Sự tồn tại nghiệm và phương pháp lặp giải phương trình dầm công xôn

Trang 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------ GIANG XUÂN CHIÊM Trang 2 LỜI CẢM ƠNĐể hoàn thành luận văn này, ngồi những nỗ lực của bản thân, tơi đãnhận được sự động viên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

GIANG XUÂN CHIÊM

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM VÀ PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DẦM CÔNG XÔN

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành luận văn này, ngoài những nỗ lực của bản thân, tôi đãnhận được sự động viên, giúp đỡ của rất nhiều người

Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất tới

Cô giáo - Tiến sĩ Nguyễn Thanh Hường, người đã luôn theo sát, hướngdẫn, chỉ bảo tận tình cho tôi trong suốt quá trình từ khi thực hiện đến lúchoàn thành luận văn

Qua đây, tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn đến các Thầy, Cô giáo thuộcKhoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã tậntình giảng dạy và giúp đỡ tôi hoàn thành chương trình đào tạo

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, tập thể các Thầy,

Cô giáo của trường Trung học phổ thông Nguyễn Trãi, huyện Vũ Thư,tỉnh Thái Bình nơi tôi công tác đã luôn động viên và tạo mọi điều kiệnthuận lợi cho tôi hoàn thành khóa học

C[a, b] Không gian các hàm liên tục trên [a, b]

Ck[a, b] Không gian các hàm có đạo hàm cho đến cấp k liên tục

trên [a, b]

Mục lục

Lời cảm ơn i

Danh mục các chữ viết tắt và các ký hiệu ii

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 5

1.1 Không gian Banach 5

1.2 Định lý điểm bất động Banach 7

1.3 Hàm Green đối với một số bài toán 8

1.4 Công thức hình thang, công thức Simpson tính gần đúng tích phân xác định 11

1.5 Nguyên lý cực đại 13

Chương 2 Sự tồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp lặp giải phương trình dầm công xôn 15

2.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 15

2.2 Phương pháp lặp giải bài toán 21

2.3 Ví dụ minh họa 26

Kết luận chung 31

Tài liệu tham khảo 33

MỞ ĐẦU

Xét bài toán là mô hình của dầm công xôn với đầu bên trái cố định

và đầu bên phải tự do như sau

Giả sử λ1 > 0 là giá trị riêng dương nhỏ nhất của bài toán giá trị riêngtuyến tính ứng với bài toán (0.0.1)

v(4)(t) = λv(t), 0 < t < 1,v(0) = v0(0) = v00(1) = v000(1) = 0

Định lý 0.1 [4, Định lý 3.1] Giả sử g : [0, 1] ×R3+ ×R− → R+ là hàmliên tục và thỏa mãn các điều kiện sau:

(F0) (Điều kiện Nagumo) Với M > 0 bất kỳ, tồn tại hàm liên tục dương

(F3) Tồn tại các hằng số dương b0, b1 thỏa mãn b0 + b1 > λ1 và δ > 0 saocho

Khi đó bài toán (0.0.1) có ít nhất một nghiệm dương

Như vậy, trong [4], để chỉ ra sự tồn tại nghiệm dương của bài toán(0.0.1), điều kiện được đưa ra là hàm g(t, t0, t1, t2, t3) tăng trưởng trên

tuyến tính hoặc dưới tuyến tính theo các biến t0, t1, t2, t3 Trong trường

theo t2 và t3 Kết quả này được chứng minh khá phức tạp bằng cách sửdụng định lý điểm bất động trên nón

Khác với ý tưởng nêu trên, trong bài báo [3], bằng cách đưa bài toán đãcho về phương trình toán tử đối với thành phần phi tuyến trong phươngtrình, sau đó sử dụng Định lý điểm bất động Bannach, xét trong miền bịchặn thích hợp, với một số điều kiện dễ kiểm tra (không cần đến các điềukiện tăng trưởng, điều kiện Nagumo), các tác giả thiết lập được sự tồn tại

và duy nhất của nghiệm của bài toán (0.0.1) và sự hội tụ của phương pháplặp tìm nghiệm Các ví dụ thử nghiệm số được đưa ra trong cả hai trườnghợp đã biết trước nghiệm đúng và chưa biết trước nghiệm đúng minh họachi tiết cho các kết quả lý thuyết thu được

Với mục đích tìm hiểu sâu phương pháp nghiên cứu trong công trình[3] đối với bài toán (0.0.1) và lấy đó làm nền tảng để nghiên cứu đầy đủ cảđịnh tính lẫn định lượng của các bài toán biên cho phương trình vi phânphi tuyến cấp bốn với các loại điều kiện biên khác, chúng tôi lựa chọn đềtài: "Sự tồn tại nghiệm và phương pháp lặp giải phương trình dầm côngxôn"

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chínhcủa luận văn gồm 2 chương:

Chương 1 trình bày các kiến thức bổ trợ bao gồm một số không gianhàm; Định lý điểm bất động Banach; Hàm Green đối với một số bài toán;Công thức hình thang, công thức Simpson tính gần đúng tích phân xácđịnh; Nguyên lý cực đại Các kiến thức cơ bản trong Chương 1 đóng vai tròrất quan trọng, làm nền tảng cho các kết quả được trình bày trong Chương

2 Nội dung của Chương 1 được tham khảo từ các tài liệu [1, 2, 5, 6, 7]

Trong Chương 2, trên cơ sở đọc hiểu tài liệu [3], đối với bài toán biêncho phương trình dầm công xôn, bằng cách tiếp cận đưa bài toán đã cho

về phương trình toán tử đối với các thành phần phi tuyến, chứ khôngphải đối với ẩn hàm, luận văn trình bày sự tồn tại duy nhất nghiệm, tínhdương của nghiệm, trình bày phương pháp lặp tìm nghiệm và sự hội tụcủa phương pháp lặp, xét tính đơn điệu của dãy xấp xỉ nghiệm Một số ví

dụ trong cả hai trường hợp biết trước hoặc không biết trước nghiệm đúng

đã minh họa cho tính đúng đắn của các kết quả lý thuyết và hiệu quả củaphương pháp lặp tìm nghiệm

Trong luận văn, các kết quả lý thuyết đã được kiểm tra bằng các thựcnghiệm tính toán được lập trình trong môi trường MATLAB

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày một số kết quả bổ trợ cho Chương 2 của luậnvăn Nội dung chính của chương được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu[1, 2, 5, 6, 7]

a) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X; d(x, y) = 0 ⇔ x = y,

b) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X,

c) d(x, y)6 d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X

Khi đó, d được gọi là khoảng cách hay một metric trên X, (X, d) được gọi

là không gian metric

Định nghĩa 1.2 (Xem [2]) Dãy{xn} trong không gian metric(X, d) đượcgọi là hội tụ đến x0 ∈ X nếu

lim

n→∞d(xn, x0) = 0

Khi đó, ta viết lim

n→∞xn = x0 hoặc xn → x0 và x0 được gọi là giới hạn củadãy {xn}

{xn} ⊂ X được gọi là dãy Cauchy hay dãy cơ bản nếu

lim

n,m→∞d(xn, xm) = 0,

tức là,

với ∀ε > 0, ∃n0, ∀n, m ≥ n0 : d(xn, xm) < ε

thỏa mãn các tính chất sau:

a) k x k≥ 0, ∀x ∈ X; k x k= 0 ⇔ x = 0;

b) k λx k=| λ |k x k, ∀x ∈ X, ∀λ ∈ K;

c) k x + y k≤ k x k + k y k, ∀x, y ∈ X

gọi là không gian tuyến tính định chuẩn

metric với khoảng cách

d(x, y) = k x − y k, ∀x, y ∈ X

Do đó, sự hội tụ trong không gian tuyến tính định chuẩn X được định nghĩagiống như sự hội tụ trong không gian metric Dãy {xn} trong không giantuyến tính định chuẩn X được gọi là sự hội tụ về x0 ∈ X nếu k xn− x0 k

−→ 0 khi n −→ ∞

Định nghĩa 1.6 (Xem [2]) Không gian Banach là một không gian tuyếntính định chuẩn đầy đủ

Một số ví dụ về không gian Banach:

1) R và C là những không gian Banach với chuẩn xác định bởi:

4) C1[a, b] là không gian Banach với chuẩn

k u kC1 [a,b]=k u kC[a,b] + k u0 kC[a,b]

ánh xạ T

Định lý điểm bất động Banach không những khẳng định sự tồn tại màcòn chỉ ra tính duy nhất của điểm bất động, đồng thời cho ta phương pháplặp tìm điểm bất động Dưới đây ta sẽ xét cụ thể định lý này

Xét phương trình phi tuyến

Trước tiên ta nhắc lại khái niệm toán tử co

metric (X, d) được gọi là co với hệ số q khi và chỉ khi tồn tại 0 ≤ q < 1

sao cho

d(T x, T y) ≤ qd(x, y), ∀x, y ∈ D

Định lý 1.1 (Xem [7]) (Định lý điểm bất động Banach (1922))

Giả sử rằng

(i) T : D ⊆ X → D là một ánh xạ từ D vào chính nó;

(ii) D là tập đóng, khác rỗng trong không gian metric đầy đủ (X, d);(iii) T là một ánh xạ co với hệ số co q

Khi đó ta có các kết luận sau đây:

a) Sự tồn tại và duy nhất nghiệm: Phương trình (1.2.1) có duy nhất nghiệm

x tức là T có duy nhất một điểm bất động trên D

b) Sự hội tụ của phương pháp lặp: với mọi xấp xỉ ban đầu x0 tùy ý trong

D, dãy xấp xỉ liên tiếp {xn} hội tụ tới nghiệm x

c) Đánh giá sai số: Với mọi n = 0, 1, 2, ta có các đánh giá sai số tiênnghiệm

Hàm Green có ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu các bài toán giá trịbiên Đặc biệt, hàm Green là công cụ quan trọng để chỉ ra sự tồn tại vàduy nhất nghiệm của các bài toán

Xét bài toán giá trị biên tuyến tính thuần nhất

toán giá trị biên (1.3.1), (1.3.2) nếu xem như hàm của biến t, nó thỏa mãncác điều kiện dưới đây với mọi s ∈ (a, b) :

(i) Trên [a, s) và (s, b], G(t, s) là hàm liên tục, có các đạo hàm liên tụctới cấp n và thỏa mãn phương trình (1.3.1) trên (a, s) và (s, b), tức là:

Xét phương trình tuyến tính không thuần nhất

ở đây hàm vế phải f (t) là hàm liên tục trong (a, b)

Định lý sau thể hiện mối quan hệ giữa tính duy nhất nghiệm của (1.3.3),(1.3.4) với bài toán thuần nhất tương ứng

Định lý 1.3 (Xem [5]) Nếu bài toán giá trị biên thuần nhất tương ứngvới (1.3.3), (1.3.4) chỉ có nghiệm tầm thường thì bài toán (1.3.3), (1.3.4)

có nghiệm duy nhất biểu diễn dưới dạng

y(t) =

Z b a

G(t, s)f (s)ds,

trong đó G(t, s) là hàm Green của bài toán thuần nhất tương ứng

Ví dụ dưới đây chỉ ra cách xác định hàm Green đối với bài toán giá trịbiên cụ thể

G(t, s)ϕ(s)ds

ở đây f (t) là hàm số liên tục trên [a, b] và trơn tới mức cần thiết.

Chia [a, b] thành nđoạn con [ti, ti+1] (i = 0, 1, 2, , n − 1) bởi các điểmchia ti = a + ih (i = 0, 1, 2, , n) với h = (b − a)/n Đặt yi = f (ti)(i = 0, 1, 2, , n)

Xét công thức hình thang và công thức Simpson tính gần đúng tích

a) Công thức hình thang (xem [1])

trong đó M2 = maxt∈[a,b]|f00(t)|

b) Công thức Simpson (xem [1])

bằng nhau với độ dài h = (b − a)/(2n) Khi đó

1.5 Nguyên lý cực đại

Như ta đã biết, nếu hàm u(t) liên tục trên [a, b] thì nó sẽ đạt cực đạitại điểm thuộc [a, b] Nếu u(t) có đạo hàm cấp hai liên tục và u đạt cựcđại tại điểm c ∈ (a, b) thì

u0(c) = 0; u00(c) ≤ 0 (1.5.1)Giả sử trong (a, b), hàm u thỏa mãn

L[u] ≡ u00 + g(t)u0 > 0, (1.5.2)

mãn thì cực đại của u không thể đạt được tại bất cứ điểm nào trong(a, b),chỉ có thể đạt được tại a hoặc b Đây chính là trường hợp đơn giản nhấtcủa Nguyên lý cực đại

Chú ý rằng lập luận trên đòi hỏi điều kiện L[u] > 0 Tuy nhiên dễ thấy

hằng đạt cực đại tại mọi điểm Do đó khi nghiên cứu về phương trình viphân và một vài ứng dụng khác ta sẽ dùng điều kiện L[u] ≥ 0 Cụ thể xétđịnh lý sau

Định lý 1.4 (Xem [6]) (Nguyên lý cực đại)

L[u] ≡ u00+ g(t)u0 ≥ 0, a < t < b,

ở đây g(t) là hàm bị chặn Khi đó, nếu cực đại M của u đạt được tại điểm

c ∈ (a, b) thì u ≡ M

hằng thỏa mãn bất đẳng thức L[u] ≤ 0 thì nó không thể đạt cực tiểu tạibất kỳ điểm nào trong (a, b).

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1Chương 1 đã trình bày một số kiến thức bổ trợ bao gồm: Không gianBanach, Định lý điểm bất động Banach, Hàm Green, công thức hình thang

và công thức Simpson tính gần đúng tích phân xác định, Nguyên lý cựcđại Đây là những kiến thức cơ sở được sử dụng rất nhiều trong nghiên cứuđịnh tính cũng như phương pháp giải cho nhiều bài toán biên phi tuyến đốivới phương trình vi phân cấp bốn với các loại điều kiện biên khác nhau.Các kết quả bổ trợ này được sử dụng trong chương tiếp theo của luận vănkhi tìm hiểu về định tính cùng phương pháp lặp giải phương trình dầmcông xôn

Chương 2

Sự tồn tại duy nhất nghiệm và

phương pháp lặp giải phương trình dầm công xôn

Trong chương 2, dựa trên cơ sở đọc hiểu tài liệu [3], luận văn tậptrung trình bày một cách có hệ thống các kết quả về sự tồn tại duy nhấtnghiệm và phương pháp lặp giải gần đúng bài toán biên đối với phươngtrình vi phân phi tuyến cấp bốn đầy đủ (0.0.1) với điều kiện biên dạngngàm - tự do

v(4)(t) = g(t, v(t), v0(t), v00(t), v000(t)), 0 < t < 1,v(0) = v0(0) = v00(1) = v000(1) = 0,

xôn

Để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán (0.0.1), ta đưa bài toán

đã cho về phương trình toán tử đối với thành phần phi tuyến trong phươngtrình, tức là hàm vế phải Cụ thể như sau: với hàmψ ∈ C[0, 1], xét phươngtrình toán tử

ở đây T là toán tử được xác định bởi

(T ψ)(t) = g(t, vψ(t), yψ(t), uψ(t), zψ(t)), (2.1.2)với

yψ(t) = vψ0 (t), zψ(t) = u0ψ(t), (2.1.3)trong đó các hàm uψ(t), vψ(t) được xác định từ các bài toán

Do đó vψ(t) là nghiệm của bài toán (0.0.1)

Ngược lại, giả sử v(t) là nghiệm của (0.0.1) Đặt

ψ(t) = g(t, v(t), v0(t), v00(t), v000(t)), u = v00 (2.1.6)

Khi đó bài toán (0.0.1) được đưa về dãy hai bài toán cấp hai (2.1.4),

phi tuyến xác định bởi (2.1.2)-(2.1.5)

Với N > 0, ký hiệu B[O, N ] là hình cầu đóng tâm O với bán kính N

trong không gian các hàm liên tục C[0, 1] với chuẩn

Khi đó, toán tửT định nghĩa bởi (2.1.2)-(2.1.5) ánh xạ hình cầuB[O, N ]

vào chính nó Thêm vào đó, nếu

thì T là toán tử co trong hình cầu B[O, N ]

Thật vậy, lấy hàm ψ bất kỳ thuộc B[O, N ] Với cách đặt

ψ(t) = g(t, v(t), v0(t), v00(t), v000(t)),

Nghiệm duy nhất của bài toán (2.1.11) được biểu diễn qua hàm Green

v(t) =

Z 1 0

G(t, s)ds = 1

8, 0≤t≤1max

Z 1 0

Từ đây suy ra

u0(t) = −

Z 1 t

Do đó, (t, v, y, u, z) ∈ DN với t ∈ [0, 1] Từ điều kiện (2.1.8) ta suy ra

T ψ ∈ B[O, N ], tức là toán tử T ánh xạ B[O, N ] vào chính nó

Tiếp theo, giả sử ψ1, ψ2 ∈ B[O, N ] và v1, v2 là các nghiệm của bài toán(2.1.11) tương ứng với ψ1, ψ2 Ký hiệu yi = vi0, ui = v00i, zi = u0i (i = 1, 2)

Từ cách xác định toán tử T và điều kiện Lipschitz (2.1.9) ta có

Định lý 2.1 Với các giả thiết của Bổ đề 2.1, bài toán (0.0.1) có duy nhất

từ hai bài toán (2.1.4), (2.1.5), với ψ là điểm bất động duy nhất của toán

tử T Đánh giá (2.1.24) thực chất là đánh giá (2.1.22) Từ đây ta có điềucần chứng minh

Tiếp theo, ta xét trường hợp đặc biệt của Định lý 2.1 Ký hiệu

thỏa mãn điều kiện Lipschitz (2.1.9) và

Khi đó, bài toán (0.0.1) có nghiệm không âm duy nhất

Chứng minh Cách chứng minh định lý này tương tự như cách chứng minhĐịnh lý 2.1 khi sử dụng các kết quả trong Bổ đề 2.1, trong đó ta thay miền

DN và hình cầu B[O, N ] tương ứng bởi miền DN+ và dải SN

Ta xét phương pháp lặp tìm nghiệm của bài toán (0.0.1) như sau:

1 − qkψ1 − ψ0k Ta thu được các kết quả sau:

Định lý 2.3 Với các giả thiết của Bổ đề 2.1, phương pháp lặp nêu trênhội tụ với tốc độ cấp số nhân và ta có các các đánh giá như sau

ở đây v là nghiệm đúng của bài toán (0.0.1)

Chứng minh Chú ý rằng, phương pháp lặp nêu trên về bản chất là phươngpháp lặp tìm điểm bất động của toán tử T với xấp xỉ ban đầu (2.2.1) thuộc

B[O, N ] Do đó, theo Định lý điểm bất động Bannach, nó hội tụ với tốc

và giảm theo z với (t, v, y, u, z) ∈ DN Khi đó, nếu ψ0(1), ψ0(2) ∈ B[O, N ]

là các xấp xỉ ban đầu thỏa mãn ψ0(1)(t) ≤ ψ0(2)(t) với ∀t ∈ [0, 1] thì các dãy

{vk(1)}, {v(2)k } sinh ra bởi quá trình lặp thỏa mãn tính chất

vk(1)(t) ≤ vk(2)(t), k = 0, 1, ; ∀t ∈ [0, 1]

Chứng minh Ta biểu diễn nghiệm của bài toán (2.1.4) qua hàm Green

u(t) =

Z 1 0

G2(t, s)ψ(s)ds, G2(t, s) ≥ 0 (2.2.7)

Ta có

z(t) = u0(t) = −

Z 1 t

Tương tự, nghiệm của bài toán (2.1.5) biểu diễn được dưới dạng

v(t) =

Z 1 0

và do đó

y(t) = v0(t) =

Z t 0

G2(t, s)[ψ0(1)(s) − ψ(2)0 (s)]ds,

v0(1)(t) − v0(2)(t) =

Z 1 0

G3(t, s)[ψ0(1)(s) − ψ0(2)(s)]ds

VìG2(t, s) ≥ 0, ψ0(1) ≤ ψ0(2)nênu(1)0 (t)−u(2)0 (t) ≤ 0, tức làu(1)0 (t) ≤ u(2)0 (t).Tương tự, ta có v0(1)(t) ≤ v0(2)(t) Kết hợp với (2.2.8), (2.2.10) ta thu được

Lập luận hoàn toàn tương tự như trên, từ ψ1(1)(t) ≤ ψ1(2)(t) ta có v(1)1 (t) ≤

v1(2)(t) và ψ(1)2 (t) ≤ ψ2(2)(t) Tổng quát lên ta thu được u(1)k (x) ≤ u(2)k (x)

Chứng minh Giả sử quá trình lặp (2.2.1)-(2.2.4) được xuất phát từ xấp

xỉ đầu ψ0 = ψmin Theo Bổ đề 2.1 ta có

ở đây vk(t) là dãy lặp sinh ra bởi quá trình lặp với xấp xỉ ban đầu ψ0 =

ψmin Từ quan hệ trên ta thu được vk(t) ≤ vk+1(t), (k = 0, 1, ), điều đó

có nghĩa là dãy {vk(t)} là dãy tăng

được chứng minh một cách tương tự

Chú ý: - Nếu ψmin ≥ 0 thì theo Nguyên lý cực đại ta có v0(t) ≥ 0

Do đó vk(t) ≥ 0 với mọi k ≥ 1 Vì vậy v(t) = lim

k→∞vk(t) ≥ 0, điều này cónghĩa là nghiệm của bài toán là không âm

- Tương tự, nếu ψ0 = ψmax và ψmax ≤ 0 thì nghiệm của bài toán làkhông dương.

Định lý 2.5 (Nghiệm dưới và nghiệm trên) Giả sử ψmin ≤ 0, ψmax ≥ 0.Khi đó, hàm β(t) = v(t) thu được từ các bài toán







u00(t) = ψmin, 0 < t < 1,u(1) = u0(1) = 0,







v00(t) = u(t), 0 < t < 1,v(0) = v0(0) = 0







v00(t) = u(t), 0 < t < 1,v(0) = v0(0) = 0

là nghiệm trên của bài toán (0.0.1)