Trang 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------ GIANG XUÂN CHIÊM Trang 2 LỜI CẢM ƠNĐể hoàn thành luận văn này, ngồi những nỗ lực của bản thân, tơi đãnhận được sự động viên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - GIANG XUÂN CHIÊM SỰ TỒN TẠI NGHIỆM VÀ PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DẦM CÔNG XÔN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Thanh Hường THÁI NGUYÊN - 2023 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn này, ngoài những nỗ lực của bản thân, tôi đã nhận được sự động viên, giúp đỡ của rất nhiều người Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất tới Cô giáo - Tiến sĩ Nguyễn Thanh Hường, người đã luôn theo sát, hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho tôi trong suốt quá trình từ khi thực hiện đến lúc hoàn thành luận văn Qua đây, tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn đến các Thầy, Cô giáo thuộc Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi hoàn thành chương trình đào tạo Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, tập thể các Thầy, Cô giáo của trường Trung học phổ thông Nguyễn Trãi, huyện Vũ Thư, tỉnh Thái Bình nơi tôi công tác đã luôn động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khóa học i Danh mục các chữ viết tắt và các ký hiệu R Tập các số thực R+ Tập các số thực không âm R− Tập các số thực không dương RK Không gian Euclide K chiều C[a, b] Không gian các hàm liên tục trên [a, b] Ck[a, b] Không gian các hàm có đạo hàm cho đến cấp k liên tục trên [a, b] x Chuẩn của phần tử x x ωh Chuẩn trên lưới ωh của phần tử x ii Mục lục Lời cảm ơn i Danh mục các chữ viết tắt và các ký hiệu ii Mở đầu 1 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Không gian Banach 5 1.2 Định lý điểm bất động Banach 7 1.3 Hàm Green đối với một số bài toán 8 1.4 Công thức hình thang, công thức Simpson tính gần đúng tích phân xác định 11 1.5 Nguyên lý cực đại 13 Chương 2 Sự tồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp lặp giải phương trình dầm công xôn 15 2.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 15 2.2 Phương pháp lặp giải bài toán 21 2.3 Ví dụ minh họa 26 Kết luận chung 31 Tài liệu tham khảo 33 iii MỞ ĐẦU Xét bài toán là mô hình của dầm công xôn với đầu bên trái cố định và đầu bên phải tự do như sau v(4)(t) = g(t, v(t), v (t), v (t), v (t)), 0 < t < 1, v(0) = v (0) = v (1) = v (1) = 0, (0.0.1) ở đây g : [0, 1] × R4 → R là hàm liên tục Năm 2016, trong [4], Li đã chỉ ra được sự tồn tại nghiệm dương của bài toán trên với một số điều kiện được đặt ra đối với hàm g Kết quả chính trong bài báo [4] của Li như sau: Giả sử λ1 > 0 là giá trị riêng dương nhỏ nhất của bài toán giá trị riêng tuyến tính ứng với bài toán (0.0.1) v(4)(t) = λv(t), 0 < t < 1, v(0) = v (0) = v (1) = v (1) = 0 Định lý 0.1 [4, Định lý 3.1] Giả sử g : [0, 1] × R3+ × R− → R+ là hàm liên tục và thỏa mãn các điều kiện sau: (F0) (Điều kiện Nagumo) Với M > 0 bất kỳ, tồn tại hàm liên tục dương HM (ρ) trên R+ thỏa mãn +∞ ρdρ = +∞ HM (ρ) + 1 0 1 sao cho g(t, t0, t1, t2, t3) ≤ HM (max{|t2|, |t3|}) với mọi (t, t0, t1, t2, t3) ∈ [0, 1] × [0, M ]2 × R+ × R−; (F1) Tồn tại các hằng số dương a0, a1, a2, a3 thỏa mãn a0 + a1 + a2 + a3 < 1 và δ > 0 sao cho g(t, t0, t1, t2, t3) ≤ a0t0 + a1t1 + a2t2 + a3|t3| với mọi (t, t0, t1, t2, t3) ∈ [0, 1] × [0, δ]3 × [−δ, 0]; (F2) Tồn tại các hằng số dương b0, b1 thỏa mãn b0 + b1 > λ1 và C0 > 0 sao cho g(t, t0, t1, t2, t3) ≥ b0t0 + b1t1 − C0 với mọi (t, t0, t1, t2, t3) ∈ [0, 1] × R3+ × R− Khi đó bài toán (0.0.1) có ít nhất một nghiệm dương Định lý 0.2 [4, Định lý 3.2] Giả sử g : [0, 1] × R3+ × R− → R+ là hàm liên tục và thỏa mãn các điều kiện sau: (F3) Tồn tại các hằng số dương b0, b1 thỏa mãn b0 + b1 > λ1 và δ > 0 sao cho g(t, t0, t1, t2, t3) ≥ b0t0 + b1t1 với mọi (t, t0, t1, t2, t3) ∈ [0, 1] × [0, δ]3 × [−δ, 0]; (F4) Tồn tại các hằng số dương a0, a1, a2, a3 thỏa mãn a0 + a1 + a2 + a3 < 1 và C0 > 0 sao cho g(t, t0, t1, t2, t3) ≤ a0t0 + a1t1 + a2t2 + a3|t3| + C0 với mọi (t, t0, t1, t2, t3) ∈ [0, 1] × R3+ × R− Khi đó bài toán (0.0.1) có ít nhất một nghiệm dương Như vậy, trong [4], để chỉ ra sự tồn tại nghiệm dương của bài toán (0.0.1), điều kiện được đưa ra là hàm g(t, t0, t1, t2, t3) tăng trưởng trên 2 tuyến tính hoặc dưới tuyến tính theo các biến t0, t1, t2, t3 Trong trường hợp tăng trưởng trên tuyến tính, ta cần thêm điều kiện Nagumo của g theo t2 và t3 Kết quả này được chứng minh khá phức tạp bằng cách sử dụng định lý điểm bất động trên nón Khác với ý tưởng nêu trên, trong bài báo [3], bằng cách đưa bài toán đã cho về phương trình toán tử đối với thành phần phi tuyến trong phương trình, sau đó sử dụng Định lý điểm bất động Bannach, xét trong miền bị chặn thích hợp, với một số điều kiện dễ kiểm tra (không cần đến các điều kiện tăng trưởng, điều kiện Nagumo), các tác giả thiết lập được sự tồn tại và duy nhất của nghiệm của bài toán (0.0.1) và sự hội tụ của phương pháp lặp tìm nghiệm Các ví dụ thử nghiệm số được đưa ra trong cả hai trường hợp đã biết trước nghiệm đúng và chưa biết trước nghiệm đúng minh họa chi tiết cho các kết quả lý thuyết thu được Với mục đích tìm hiểu sâu phương pháp nghiên cứu trong công trình [3] đối với bài toán (0.0.1) và lấy đó làm nền tảng để nghiên cứu đầy đủ cả định tính lẫn định lượng của các bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn với các loại điều kiện biên khác, chúng tôi lựa chọn đề tài: "Sự tồn tại nghiệm và phương pháp lặp giải phương trình dầm công xôn" Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn gồm 2 chương: Chương 1 trình bày các kiến thức bổ trợ bao gồm một số không gian hàm; Định lý điểm bất động Banach; Hàm Green đối với một số bài toán; Công thức hình thang, công thức Simpson tính gần đúng tích phân xác định; Nguyên lý cực đại Các kiến thức cơ bản trong Chương 1 đóng vai trò rất quan trọng, làm nền tảng cho các kết quả được trình bày trong Chương 2 Nội dung của Chương 1 được tham khảo từ các tài liệu [1, 2, 5, 6, 7] 3 Trong Chương 2, trên cơ sở đọc hiểu tài liệu [3], đối với bài toán biên cho phương trình dầm công xôn, bằng cách tiếp cận đưa bài toán đã cho về phương trình toán tử đối với các thành phần phi tuyến, chứ không phải đối với ẩn hàm, luận văn trình bày sự tồn tại duy nhất nghiệm, tính dương của nghiệm, trình bày phương pháp lặp tìm nghiệm và sự hội tụ của phương pháp lặp, xét tính đơn điệu của dãy xấp xỉ nghiệm Một số ví dụ trong cả hai trường hợp biết trước hoặc không biết trước nghiệm đúng đã minh họa cho tính đúng đắn của các kết quả lý thuyết và hiệu quả của phương pháp lặp tìm nghiệm Trong luận văn, các kết quả lý thuyết đã được kiểm tra bằng các thực nghiệm tính toán được lập trình trong môi trường MATLAB 4 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày một số kết quả bổ trợ cho Chương 2 của luận văn Nội dung chính của chương được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [1, 2, 5, 6, 7] 1.1 Không gian Banach Định nghĩa 1.1 (Xem [2]) Cho X là một tập hợp khác rỗng Một metric trên X là một ánh xạ d : X × X −→ R+ thỏa mãn các điều kiện sau: a) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X; d(x, y) = 0 ⇔ x = y, b) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X, c) d(x, y) d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X Khi đó, d được gọi là khoảng cách hay một metric trên X, (X, d) được gọi là không gian metric Định nghĩa 1.2 (Xem [2]) Dãy {xn} trong không gian metric (X, d) được gọi là hội tụ đến x0 ∈ X nếu lim d(xn, x0) = 0 n→∞ Khi đó, ta viết lim xn = x0 hoặc xn → x0 và x0 được gọi là giới hạn của n→∞ dãy {xn} Định nghĩa 1.3 (Xem [2]) Cho (X, d) là một không gian metric Dãy 5 {xn} ⊂ X được gọi là dãy Cauchy hay dãy cơ bản nếu tức là, lim d(xn, xm) = 0, n,m→∞ với ∀ε > 0, ∃n0, ∀n, m ≥ n0 : d(xn, xm) < ε Định nghĩa 1.4 (Xem [2]) Một không gian metric (X, d) được gọi là đầy đủ nếu trong X mọi dãy Cauchy đều hội tụ Định nghĩa 1.5 (Xem [2]) Cho X là một không gian véc tơ trên trường K (thực hoặc phức) Một chuẩn trên X là một ánh xạ : X −→ R+ thỏa mãn các tính chất sau: a) x ≥ 0, ∀x ∈ X; x = 0 ⇔ x = 0; b) λx =| λ | x , ∀x ∈ X, ∀λ ∈ K; c) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ X Không gian tuyến tính X cùng với một chuẩn xác định trên nó được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn Nhận xét 1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn X cũng là không gian metric với khoảng cách d(x, y) = x − y , ∀x, y ∈ X Do đó, sự hội tụ trong không gian tuyến tính định chuẩn X được định nghĩa giống như sự hội tụ trong không gian metric Dãy {xn} trong không gian tuyến tính định chuẩn X được gọi là sự hội tụ về x0 ∈ X nếu xn − x0 −→ 0 khi n −→ ∞ Định nghĩa 1.6 (Xem [2]) Không gian Banach là một không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ 6