Luận văn sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán biên ban đầu thứ nhất đối với phương trình hyperbolic cấp hai trong trụ với đáy chứa điểm conic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC NGUYỄN VĂN HỒI SỰ TỒN TẠI DUY NHẤT NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BIÊN BAN ĐẦU THỨ NHẤT ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC CẤP HAI TRONG TRỤ VỚI ĐÁY CHỨA ĐIỂM CONIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HĨA - NĂM 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC NGUYỄN VĂN HỒI SỰ TỒN TẠI DUY NHẤT NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BIÊN BAN ĐẦU THỨ NHẤT ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC CẤP HAI TRONG TRỤ VỚI ĐÁY CHỨA ĐIỂM CONIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Tốn Giải tích Mã số: 8.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Mạnh Hùng THANH HÓA - NĂM 2019 i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu công bố Người cam đoan Nguyễn Văn Hồi ii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng Trong trình làm luận văn, Thầy người ln tận tình hướng dẫn, bảo, giúp đỡ động viên em suốt q trình nghiên cứu hồn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn bày tỏ kính trọng, lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy cô giảng dạy lớp K10 cao học Giải tích, trường Đại học Hồng Đức Tại tác giả nhận nhiều dẫn, góp ý quý báu môi trường thuận lợi để tác giả hồn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng quản lý đào tạo, Phòng quản lý sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa KHTN, Bộ mơn Tốn giải tích khoa Khoa học Tự nhiên trường Đại học Hồng Đức tạo điều kiện tốt để tác giả hoàn thành thời hạn luận văn Cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp ln khích lệ, động viên giúp đỡ tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Thanh Hóa, tháng 11 năm 2019 Kí tên Nguyễn Văn Hồi iii Mục lục Mở đầu Chương Không gian SoBolev 1.1 Không gian SoBolev 1.1.1 Trung bình hóa 1.1.2 Đạo hàm suy rộng 1.1.3 Không gian Wpm (Ω), ≤ p < ∞ 1.1.4 Không gian W˚ pm (Ω), ≤ p < ∞ 13 1.1.5 Không gian W2m,l (QT ) 14 1.2 Phép biến đổi Fourier 15 1.2.1 Phép biến đổi Fourier không gian Schwartz 15 1.2.2 Phép biến đổi Fourier không gian L2 (Rn ) 19 1.3 Các định lý nhúng 22 1.4 Vết hàm 26 1.4.1 Không gian H2s 26 1.4.2 Vết hàm W2s (Rn ) 28 1.4.3 Vết hàm W2m,l (QT ) 34 1.4.4 Vết hàm không gian W2m (Ω) 35 1.5 Các bất đẳng thức 37 1.5.1 Các bất đẳng thức Poincare 37 1.5.2 Các bất đẳng thức nội suy 43 Chương Phương trình loại Hyperbolic 45 2.1 Phương trình Hyperbolic cấp hai 45 2.1.1 Các khái niện cở 45 2.1.2 Đặt toán 47 iv 2.2 Sự tồn nghiệm toán biên ban đầu thứ phương trình Hyperbolic cấp hai trụ với đáy chứa điểm conic .49 2.2.1 Một số khơng gian hàm tốn biên trụ với đáy chứa điểm conic 49 2.3 Sự tồn nghiệm 52 Tài liệu tham khảo 66 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình đạo hàm riêng vấn quan trọng giải tích đại với nhiều ứng dụng lĩnh vực toán học ngành khoa học khác Đặc biệt, tốn biên chủ đề sơi thu hút nhiều nhà khoa nước Trong năm gần toán biên miền với biên khơng trơn nhóm tác giả trường Đại học Sư phạm Hà Nội số tác giả trường Đại học Hồng Đức nghiên cứu [1, 2] Nhóm nghiên cứu trường Đại học Sư phạm nghiên cứu toán biên loại Parabolic trụ với đáy khơng trơn [4] Bài tốn biên loại Hyperbolic GS TSKH Nguyễn Mạnh Hùng nghiên cứu miền trụ với đáy chứa điểm kỳ dị loại conic vào cuối kỷ XX đầu kỷ XXI [5, 3] Hiện nay, nghiên cứu loại toán nhóm nghiên cứu tích cực Chính lý đó, chúng tơi chọn đề tài "sự tồn nghiệm toán biên ban đầu thứ phương trình Hyperbolic cấp hai trụ với đáy chứa điểm conic" đề tài cho luận văn Mục tiêu nghiên cứu Mục đích đề tài nghiên cứu toán biên Hyperbolic với đáy chứa điểm conic biên Nghiên cứu không gian hàm để phục phụ cho tốn biên miền khơng trơn Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các khơng gian hàm, tốn biên Hyperbolic Phạm vi nghiên cứu: Sự tồn nghiệm toán biên Hyperbolic bậc hai Phương pháp nghiên cứu • Sử dụng phương pháp xấp xỉ nghiệm theo Gaolenvin, phương pháp đánh giá bất đẳng thức phương pháp giải tích hàm Nhiệm vụ nghiên cứu • Tìm hiểu số kiến thức khơng hàm quan trọng • Tìm hiểu khái niệm nghiệm phương trình Hyperbolic cấp cấp hai • Nghiên cứu tính tồn nghiệm toán biên ban đầu thứ phương trình Hyperbolic cấp hai trụ với đáy chứa điểm conic Cấu trúc luận văn Ngoài lời cảm ơn, mở đầu kết luận, nội dung luận văn chia thành hai chương Chương 1: Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm không gian hàm quan trọng, phép biến đổi Fourier định lý nhúng, vết hàm số bất đẳng thức cở Chương 2: Trình bày kết luận văn Chương chia thành hai phần Phần thứ trình bày kiến thức phương trình Hyperbolic cấp Phần thứ hai trình bày phương trình Hypecbolic cấp hai khái niệm liên quan, đưa tiêu chuẩn tồn nghiệm toán biên trụ với đáy chứa điểm conic Chương Không gian SoBolev 1.1 Không gian SoBolev 1.1.1 Trung bình hóa o Giả sử θ (x) hàm không âm thuộc C∞ (Ω) cho θ (x) = θ (−x), θ (x) = |x| > R θ (x) = Hàm θ (x) gọi nhân trung bình hóa Để Rn ví dụ, ta lấy hàm sau:  C exp(− ), |x| < 1, 1−|x|2 θ (x) = θ (x) = 0, |x| ≥ 1, với số C chọn thích hợp Nếu hàm u ∈ L p (Ω), p ≥ hàm uh (x) = h −n Z Ω θ( x−y )u(y)dy h xác định trơn vơ hạn Nó gọi trung bình hóa hay hàm trung bình hàm u Rn Định lý 1.1.1 Giả sử hàm u ∈ L p (Ω) với p ≥ Khi lim ||uh − u||L p (Ω) = h→0 Chứng minh Đặt u(x) = x ∈ Rn \ Ω Khi đó, uh (x) = h −n Z Ω x−y θ( )u(y)dy = h Bởi vậy, uh (x) − u(x) = Z Z θ (z)u(x + hz)dz Rn θ (z)[u(x + hz) − u(x)]dz, Rn p |uh (x) − u(x)| ≤ C Z |u(x + hz) − u(x)| p dz |z|