(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của lược đồ sai phân tìm nghiệm số cho bài toán song điều hòa phi tuyến

(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của lược đồ sai phân tìm nghiệm số cho bài toán song điều hòa phi tuyến(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của lược đồ sai phân tìm nghiệm số cho bài toán song điều hòa phi tuyến(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của lược đồ sai phân tìm nghiệm số cho bài toán song điều hòa phi tuyến(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của lược đồ sai phân tìm nghiệm số cho bài toán song điều hòa phi tuyến(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của lược đồ sai phân tìm nghiệm số cho bài toán song điều hòa phi tuyến(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của lược đồ sai phân tìm nghiệm số cho bài toán song điều hòa phi tuyến(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của lược đồ sai phân tìm nghiệm số cho bài toán song điều hòa phi tuyến(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của lược đồ sai phân tìm nghiệm số cho bài toán song điều hòa phi tuyến(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của lược đồ sai phân tìm nghiệm số cho bài toán song điều hòa phi tuyến(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của lược đồ sai phân tìm nghiệm số cho bài toán song điều hòa phi tuyến(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của lược đồ sai phân tìm nghiệm số cho bài toán song điều hòa phi tuyến(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của lược đồ sai phân tìm nghiệm số cho bài toán song điều hòa phi tuyến(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của lược đồ sai phân tìm nghiệm số cho bài toán song điều hòa phi tuyến(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của lược đồ sai phân tìm nghiệm số cho bài toán song điều hòa phi tuyến(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của lược đồ sai phân tìm nghiệm số cho bài toán song điều hòa phi tuyến(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của lược đồ sai phân tìm nghiệm số cho bài toán song điều hòa phi tuyến(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của lược đồ sai phân tìm nghiệm số cho bài toán song điều hòa phi tuyến(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của lược đồ sai phân tìm nghiệm số cho bài toán song điều hòa phi tuyến(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của lược đồ sai phân tìm nghiệm số cho bài toán song điều hòa phi tuyến(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của lược đồ sai phân tìm nghiệm số cho bài toán song điều hòa phi tuyến(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của lược đồ sai phân tìm nghiệm số cho bài toán song điều hòa phi tuyến

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ VĂN HƯỚNG TỐC ĐỘ HỘI TỤ CỦA LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN TÌM NGHIỆM SỐ CHO BÀI TỐN SONG ĐIỀU HỊA PHI TUYẾN Chun ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Vũ Vinh Quang THÁI NGUYÊN - 2020 Mục lục Lời cảm ơn iii Mở đầu Chương Một số kiến thức 1.1 Một số kiến thức không gian hàm 1.1.1 Không gian mêtric 1.1.2 Nguyên lý ánh xạ co 1.1.3 Khơng gian tuyến tuyến tính định chuẩn 1.1.4 Điều kiện Lipchitz 1.2 Lý thuyết phương pháp sai phân 1.2.1 Công thức Taylor 1.2.2 Lược đồ sai phân cấp bốn giải toán biên elliptic cấp hai 1.2.3 Phương pháp thu gọn giải hệ phương trình lưới 1.3 Phương pháp xác định bậc hội tụ theo bước lưới 1.3.1 Khái niệm cấp xác 1.3.2 Xác định cấp xác phương pháp 1.3.3 Cấp xác hàm lưới 3 5 11 11 12 15 17 17 18 18 24 Chương Phương pháp lặp tốn biên song điều hịa phi tuyến 2.1 Giới thiệu tốn biên song điều hịa 2.2 Bài toán biên phi tuyến với điều kiện biên 2.2.1 Sự tồn nghiệm 2.2.2 Sự tồn nghiệm dương i 2.3 2.4 Phương pháp lặp tìm nghiệm số 2.3.1 Sơ đồ lặp mức liên tục 2.3.2 Sơ đồ lặp rời rạc Thuật toán giải toán biên tổng quát 24 24 25 28 Chương Một số kết tính tốn số 31 3.1 Bài toán biên 32 3.2 Bài toán biên tổng quát 37 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 42 Phụ lục 44 ii Lời cảm ơn Luận văn thực Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Vũ Vinh Quang TS Đàm Thanh Phương Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc chân thành tới thầy giáo hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều tâm huyết, thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán, giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để học tập nghiên cứu Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học (khóa 2018-2020), cảm ơn gia đình, bạn bè quan chủ quản động viên, giúp đỡ tơi nhiều q trình học tập Thái Nguyên, ngày 25 tháng 11 năm 2020 Học viên Vũ Văn Hướng iii Mở đầu Nhiều tốn lĩnh vực vật lý, học mơ tả phương trình đạo hàm riêng Trong lớp phương trình phương trình cấp cao thơng dụng phương trình cấp hai cấp bốn dạng đặc biệt phương trình dạng song điều hịa Bài tốn mơ tả mơ hình lý thuyết đàn hồi phẳng, lý thuyết mỏng, lý thuyết dịng chảy, tốn phân tích ảnh Do phương trình song điều hịa có nhiều ứng dụng thực tế nên người ta quan tâm nhiều đến phương pháp giải tốn biên cho phương trình Đã có nhiều cơng trình nghiên cứu liên quan đến phương trình song điều hịa nhà khoa học cơng bố từ nhiều năm qua Nhóm tác giả Đặng Quang Á cộng sự, với hướng nghiên cứu chủ yếu đưa tốn biên song điều hịa phi tuyến với điều kiện biên phương trình tốn tử từ việc nghiên cứu tính chất co toán tử thu kết tồn nghiệm toán biên, từ xây dựng phương pháp lặp dạng liên tục giải toán vi phân Tiếp tục phát triển phương pháp này, tác giả cộng nghiên cứu tiếp toán biên phi tuyến cấp bốn cho phương trình đạo hàm riêng thu nhiều kết định tính định lượng Tuy nhiên kết lý thuyết dừng lại lớp toán biên dạng song điều hòa với điều kiện biên nhất, đồng thời việc nghiên cứu giải số với độ xác bậc cao việc đánh giá tốc độ hội tụ bước lưới chưa đánh giá đầy đủ Mục tiêu nghiên cứu luận văn tìm hiểu mơ hình tốn biên song điều hòa phi tuyến, tồn nghiệm toán Nghiên cứu sở lý thuyết giải số toán dựa phương pháp lặp dạng phương trình tốn tử tìm hiểu mơ hình sơ đồ lặp, tính chất hội tụ sơ đồ lặp đồng thời nghiên cứu hội tụ lược đồ sai phân đánh giá tốc độ hội tụ lược đồ sai phân theo bước lưới Cấu trúc luận văn gồm chương ❼ Chương 1: Trình bày kiến thức không gian hàm, lý thuyết phương pháp lưới kết xây dựng hệ phương trình sai phân giải toán biên elliptic cấp hai với độ xác cấp bốn, phương pháp giải hệ phương trình sai phân thuật tốn thu gọn khối lượng tính toán Phương pháp xác định bậc hội tụ phương pháp lặp theo bước lưới ❼ Chương 2: Trình bày mơ hình tốn biên song điều hòa phi tuyến, tồn nghiệm toán, sở lý thuyết xây dựng sơ đồ lặp dựa phương trình tốn tử, thuật toán chi tiết dạng vi phân dạng sai phân tìm nghiệm số dạng tốn song điều hòa phi tuyến với hệ điều kiện biên Dirichlet ❼ Chương 3: Đưa số kết tính tốn giải số để kiểm tra độ xác thuật toán Chương 2, đồng thời đánh giá bậc hội tụ theo bước lưới số toán biên cụ thể Các kết số thực môi trường MATLAB version 7.0 Chương Một số kiến thức Nội dung Chương trình bày số kiến thức không gian hàm, lý thuyết phương pháp sai phân kết xây dựng lược đồ sai phân với độ xác bậc tìm nghiệm số toán biên elliptic cấp hai, thư viện chương trình giải số tốn biên elliptic cấp hai miền chữ nhật Cơ sở lý thuyết đánh giá bậc hội tụ bước lưới Đây kiến thức công cụ quan trọng sử dụng để nghiên cứu thực tính tốn chương tiếp sau luận văn Các kết tham khảo tài liệu [1, 2, 3, 4, 5] 1.1 1.1.1 Một số kiến thức không gian hàm Không gian mêtric Định nghĩa 1.1 Cho X tập khác rỗng Trên X ta trang bị hàm số d:X ×X →R (x, y) → d(x, y), thỏa mãn điều kiện sau 1) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X ; d(x, y) = ⇔ x = y ; 2) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X ; 3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ X Khi đó, d gọi mêtric hay khoảng cách X cặp (X, d) gọi không gian mêtric (đôi kí hiệu X ) Mỗi phần tử X gọi điểm, d(x, y) gọi khoảng cách hai x y điểm X Định nghĩa 1.2 Dãy số {xn } gọi hội tụ đến x0 n → +∞, ký hiệu lim xn = x0 d(xn , x0 ) → n → +∞ n→∞ Định nghĩa 1.3 Dãy {xn } dãy Cauchy hay dãy với , tồn N ( ) cho với m, n ≥ N ( ) d(xn , xm ) < Định nghĩa 1.4 Không gian mêtric X gọi đủ dãy hội tụ đến phần tử thuộc X 1.1.2 Nguyên lý ánh xạ co Định nghĩa 1.5 ([1]) Cho (X, d) không gian metric Ánh xạ f : X → X gọi ánh xạ co X tồn q ∈ [0, 1) cho với x, y ∈ X , ta ln có d(f (x), f (y)) ≤ qd(x, y), đó, q gọi hệ số co Dễ thấy ánh xạ co liên tục Định lý 1.1 (Nguyên lý ánh xạ co Banach [1]) Cho f ánh xạ co không gian mêtric đủ (X, d) Khi đó, (a) Tồn x∗ ∈ X cho f (x∗ ) = x∗ Phần tử x∗ gọi điểm bất động ánh xạ f (b) Mọi dãy lặp xn+1 = f (xn ), n ≥ xuất phát từ x0 hội tụ Ngồi ra, ta có ước lượng sau d(xn , x∗ ) ≤ q n (1 − q)−1 d(x0 , x1 ), n ≥ d(xn , x∗ ) ≤ q(1 − q)−1 d(xn−1 , xn ), n ≥ 1.1.3 Khơng gian tuyến tuyến tính định chuẩn Định nghĩa 1.6 Cho X không gian tuyến tính, ta đưa vào ánh xạ ký hiệu chuẩn X : X → R thỏa mãn điều kiện a x ≥ 0; x = ⇔ x = 0; b λx = |λ| x ; c x + y ≤ x + y , với x, y ∈ X Khi cặp (X, ), X khơng gian tuyến tính, chuẩn X , gọi khơng gian định chuẩn (hay cịn gọi khơng gian tuyến tính định chuẩn) Cho X khơng gian định chuẩn Xét hàm số ρ : X × X → R, xác định ρ(x, y) = x−y , với x, y ∈ X Dễ chứng minh với định nghĩa ρ metric X , gọi metric sinh chuẩn Như vậy, không gian định chuẩn không gian metric 1.1.4 Điều kiện Lipchitz Định nghĩa 1.7 Giả sử f : V → W gọi thỏa mãn điều kiện Lipchitz tồn số Lk ≥ cho với yk , zk hệ thức sau thỏa mãn f (x, y1 , , yn ) − f (x, z1 , , zn ) ≤ L1 y1 − z1 + · · · + Ln yn − zn , L1 , L2 , , Ln gọi số Lipchitz 1.2 Lý thuyết phương pháp sai phân Phương pháp lưới hay gọi phương pháp sai phân áp dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật Nội dung đưa tốn vi phân hệ phương trình sai phân tương ứng Bảng 3.5: Tốc độ hội tụ theo bước lưới, Rate = log2 Ukh − Udh h/2 Uk − h/2 Ud M ×N T OL K Rate 8×8 1.3086 × e − - 16 × 16 8.2383 × e − 3.98955 32 × 32 5.1579 × e − 3.99748 64 × 64 3.2251 × e − 8 3.99937 128 × 128 2.0156 × e − 4.00006 256 × 256 8.6421 × e − 11 4.00235 , T OL = Ukh −Udh Bài toán Xét toán giá trị biên  ∆2 u = f (x, y, u, ∆u), (x, y) ∈ Ω, ∆u = 0, u = 0, (x, y) ∈ Γ, f (x, y, u, v) = 5v + σ(x, y)u4 + sin πx sin πy Trong ví dụ này, nghiệm xác chưa biết Nếu hàm σ(x, y) dao động khoảng [0, 1], lấy M = 3, miền DM điều kiện Định lý 2.1 thỏa mãn với L1 = 0.0005, L2 = 5, q = 0.6250 Do đó, tốn có nghiệm Hơn nữa, theo Định lý 2.2, sơ đồ lặp hội tụ dạng cấp số nhân với tỷ lệ q Kết hội tụ cho trường hợp σ(x, y) = cos πx cos πy đưa Bảng 3.6 Nhận xét 3.1 ❼ Từ kết thực nghiệm số ví dụ, thấy Thuật tốn 2.1 tốn song điều hịa với điều kiện biên có tốc độ hội tụ nhanh, độ xác đạt cấp bốn ❼ Có thể kết luận bậc hội tụ theo bước lưới đạt cấp 36 h/2 Ukh − Uk Bảng 3.6: Tốc độ hội tụ theo bước lưới, Rate = log2 h/2 Uk − h/4 Uk h , T OL = Uk+1 − Ukh 3.2 M ×N T OL K Rate 8×8 7.6892 × e − 16 - 16 × 16 7.6768 × e − 16 - 32 × 32 7.6718 × e − 16 3.9890 64 × 64 7.6937 × e − 16 3.9994 128 × 128 7.7022 × e − 16 4.9994 256 × 256 7.7749 × e − 16 4.9993 Bài toán biên tổng quát Bài toán Xét toán biên  ∆2 u = 4ex1 +x2 + sin(ex1 +x2 − u) + cos(2ex1 +x2 − ∆u) − 1, u = ex1 +x2 , ∆u = 2ex1 +x2 , (x , x ) ∈ ∂Ω, x ∈ Ω, Ω = (0, 1) × (0, 1), x = (x1 , x2 ) Đối với toán này, thấy hàm vế phải f (x, u, ∆u) thỏa mãn điều kiện Định lý 2.1 nên toán biên điều kiện biên tồn nghiệm, từ tốn tồn nghiệm Có thể thấy nghiệm xác tốn ud = ex1 +x2 Kết chạy thực nghiệm Thuật toán 2.3 thể Bảng 3.7 Bài toán Xét toán biên  ∆2 u = 120(x + x ) + sin x sin x + cos(u − γ) − cos(∆u − ψ), x ∈ Ω, 2 u = γ, ∆u = ψ, x ∈ ∂Ω, Ω = (0, 1) × (0, 1), x = (x1 , x2 ), γ = x51 + x52 + sin x1 sin x2 , ψ = 20(x31 + x32 ) − sin x1 sin x2 Đối với toán này, thấy hàm vế phải f (x, u, ∆u) thỏa mãn điều kiện Định lý 2.1 nên toán biên 37 Bảng 3.7: Tốc độ hội tụ theo bước lưới, T OL = Ukh − Udh sai số tốt sơ đồ lặp M ×N T OL K Rate 8×8 1.6293 × e − - 16 × 16 1.6305 × e − 3.9875 32 × 32 1.0209 × e − 3.9974 64 × 64 6.3864 × e − 11 3.9987 128 × 128 4.0829 × e − 12 3.7695 256 × 256 2.0218 × e − 12 0.8370 điều kiện biên tồn nghiệm, từ tốn tồn nghiệm Có thể thấy nghiệm xác tốn ud = γ = x51 + x52 + sin x1 sin x2 Kết chạy thực nghiệm Thuật toán 2.3 thể Bảng 3.8 Bảng 3.8: Tốc độ hội tụ theo bước lưới, T OL = Ukh − Udh sai số tốt sơ đồ lặp M ×N T OL K Rate 8×8 2.7135 × e − - 16 × 16 1.6971 × e − 3.9990 32 × 32 1.0609 × e − 10 3.9997 64 × 64 6.3631 × e − 12 3.9994 128 × 128 4.0967 × e − 12 4.0171 256 × 256 2.4247 × e − 13 1.0000 Bài toán Xét toán biên  ∆2 u = u + (∆u)2 sin πx1 sin πx2 + , x ∈ Ω, u = log(x5 + x5 ), ∆u = sin x sin x , x ∈ ∂Ω, 2 Ω = (0, 1) × (0, 1), x = (x1 , x2 ) Đối với toán này, thấy hàm vế phải f (x, u, ∆u) thỏa mãn điều kiện Định lý 2.1 nên toán biên 38 điều kiện biên tồn nghiệm, từ toán tồn nghiệm Chọn miền Ω = (0, 1) × (0, 1), sử dụng Thuật toán 2.3, kết tốc độ hội tụ phương pháp lặp đưa Bảng 3.9 h sai số tốt sơ Bảng 3.9: Tốc độ hội tụ theo bước lưới, ERR = Ukh − Uk−1 đồ lặp M ×N T OL K Rate 8×8 1.2285 × e − 13 - 16 × 16 1.2329 × e − 13 - 32 × 32 1.2407 × e − 13 3.9580 64 × 64 1.2401 × e − 13 3.9992 128 × 128 1.2407 × e − 13 3.9998 256 × 256 1.2412 × e − 13 3.9997 Nhận xét 3.2 ❼ Từ kết thực nghiệm số toán, thấy Thuật toán 2.3 ứng với tốn biên song điều hịa tổng qt có tốc độ hội tụ nhanh, độ xác đạt cấp bốn ❼ Tốc độ hội tụ theo bước lưới đạt cấp bốn 39 Kết luận Nội dung luận văn trình bày kết tìm hiểu nghiên cứu mơ hình tốn song điều hòa, tồn nghiệm phương pháp lưới giải toán Các kết thu bao gồm: ❼ Tìm hiểu phương pháp sai phân với độ xác bậc bốn để xây dựng hệ phương trình lưới tìm nghiệm số tốn biên elliptic cấp hai, sử dụng thuật toán thu gọn khối lượng tính tốn xây dựng thư viện RC2009 làm sở để cài đặt tất thuật toán luận văn ❼ Tìm hiểu sở lý thuyết phương pháp đánh giá tốc độ hội tụ theo bước lưới lược đồ sai phân tổng quát ❼ Tìm hiểu mơ hình tổng qt tốn song điều hòa phi tuyến với hệ điều kiện biên nhất, tồn nghiệm, tồn nghiệm dương, nghiệm nghiệm Các sơ đồ lặp dạng liên tục rời rạc tìm nghiệm xấp xỉ toán Sự hội tụ phương pháp ❼ Tìm hiểu mơ hình tổng qt tốn song điều hịa phi tuyến với hệ điều kiện biên tổng quát, tồn nghiệm Xây dựng sơ đồ lặp dạng liên tục rời rạc tìm nghiệm xấp xỉ tốn Sự hội tụ phương pháp ❼ Tiến hành tính tốn thử nghiệm thuật tốn thơng qua ví dụ cụ thể, đồng thời đánh giá tốc độ hội tụ theo bước lưới thuật toán Các kết tính tốn thử nghiệm qua ví dụ khẳng định thuật toán đề xuất hội tụ với tốc độ hội tụ nhanh Độ xác đạt cấp bốn với bước lưới 40 Hướng phát triển luận văn mở rộng nghiên cứu ứng dụng tốn song điều hịa mơ hình học mơi trường liên tục khác 41 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh, Giải tích số, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004 [2] Tạ Văn Đĩnh, Phương pháp sai phân phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, 2000 [3] Vũ Vinh Quang, Trương Hà Hải, Phương pháp lặp giải toán song điều hịa tổng qt ứng dụng, Tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Thái nguyên, 2020 [4] Vũ Vinh Quang, Trương Hà Hải, Nguyễn Thị Tuyển , Xây dựng chương trình RC2009 giải số tốn biên elliptic với hệ số hằng, Tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Thái Nguyên, T.69(07):56-63, 2010 Tiếng Anh [5] Darae Jeong, Yibao Li, Chaeyoung Lee, Junxiang Yang, Yongho Choi and Junseok Kim, Verifying Numerical Convergence Rates, DN2255 – Numerical Solutions of Differential Equations Olof Runborg Spring 2012, 1-9 [6] Q A Dang, T H Nguyen, “Existence result and iterative method for solving a nonlinear biharmonic equation of Kirchhoff type”, Computers & Mathematics with Applications, 76, pp.11-22, 2018 42 [7] Q A Dang, Hai T H, Huong N T, Quy N K, “Solving a nonlinear biharmonic boundary value problem”, Journal of Computer Science and Cybernetics, V.33, N.4 (2017), 308-324 DOI 10.15625/18139663/33/4/11066 [8] Samarskij A and Nikolaev E., Numerical Methods for Grid Equations: Volume II Iterative Methods, Birkhăauser, 2012 43 PHỤ LỤC MỘT SỐ CHƯƠNG TRÌNH NGUỒN Thuật toán 2.1 % Chuong trinh giai bai toan song dieu hoa phi tuyen % dang -delta2(u)=f(x,u,delta(u)); % Truong hop biet truoc nghiem dung function pt=qhr_cx(k,saiso) %format long e; clc; rate=ones(1,4); for n=3:7 N=2^n; M=N; a=1;b=1; p1=1;p2=M+1;q1=1;q2=N+1; x10=0;x20=0;l1=a;l2=b; h1=l1/M;h2=l2/N;X1=linspace(x10,x10+a,N+1); X2=linspace(x20,x20+b,N+1); csiluu=zeros(M+1); % Gia tri nghiem dung va ve phai for i=1:M+1 for j=1:N+1 x1=x10+(i-1)*h1; x2=x20+(j-1)*h2; ud(i,j)=u(x1,x2);% Nghiem dung csi(i,j)=f(x1,x2,0,0); end; end; 44 thoigian=cputime; count=0;ss=10;l=1; while and(ss>saiso,count3 y(n-2,l+3)=rate(n-3); else y(l+3)=0;end; end; save ketqua.dat y -ascii; Ket_qua=’ Buoc luoi So buoc lap Sai so Toc do’ type ketqua.dat; thoigian=cputime-thoigian function ux=ux(x1,x2) ux=sin(pi*x1); function dh2ux=dh2ux(x1,x2) dh2ux=-pi^2*sin(pi*x1); function dh4ux=dh4ux(x1,x2) dh4ux=pi^4*sin(pi*x1); function uy=uy(x1,x2) uy=sin(pi*x2); function dh2uy=dh2uy(x1,x2) dh2uy=-pi^2*sin(pi*x2); function dh4uy=dh4uy(x1,x2) dh4uy=pi^4*sin(pi*x2); function u=u(x1,x2) u=ux(x1,x2).*uy(x1,x2); 46 function delta=delta(x1,x2) delta=dh2ux(x1,x2).*uy(x1,x2)+ux(x1,x2).*dh2uy(x1,x2); function delta2=delta2(x1,x2) delta2=dh4ux(x1,x2).*uy(x1,x2)+2*dh2ux(x1,x2).*dh2uy(x1,x2)+ux(x1,x2 ).*dh4uy(x1,x2); function f=f(x1,x2,y,z) xicma=cos(pi*x1).*cos(pi*x2); f=xicma*z./(1+y)4*pi^4*u(x1,x2)+2*k*pi^2*xicma*u(x1,x2)./(1+u(x1,x2)); Thuật toán 2.2 % Chuong trinh giai bai toan song dieu hoa phi tuyen % dang -delta2(u)=f(x,u,delta(u)); % dieu kien bien tong quat % truong hop khong biet nghiem dung function pt=Q_H_r_xx_tq(k,saiso) clc; rate=ones(1,4); for n=3:8 N=2^n; M=N; a=1;b=1; p1=1;p2=M+1;q1=1;q2=N+1; x10=0;x20=0;l1=a;l2=b; h1=l1/M;h2=l2/N;X1=linspace(x10,x10+a,N+1);X2=linspace(x20,x20+b,N+1 ); uluu=zeros(N+1);Z0=zeros(1,N+1); % Gia tri nghiem dung va ve phai for i=1:M+1 for j=1:N+1 47 x1=x10+(i-1)*h1; x2=x20+(j-1)*h2; ud(i,j)=u(x1,x2);% Nghiem dung csi(i,j)=f(x1,x2,0,0); end; end; thoigian=cputime; % buoc 1: giai bai toan voi u1 % giai bai toan v1=delta(u1) b1=g1(x10,X2);b2=g1(x10+l1,X2); b3=g1(X1,x20);b4=g1(X1,x20+l2); phiv=zeros(N+1); v1=u0000(phiv,b1,b2,b3,b4,l1,l2,M,N,n,p1,p2,q1,q2); % giai bai toan u1 b1=g0(x10,X2);b2=g0(x10+l1,X2); b3=g0(X1,x20);b4=g0(X1,x20+l2); phiu=-v1; u1=u0000(phiu,b1,b2,b3,b4,l1,l2,M,N,n,p1,p2,q1,q2); % Buoc 2: giai bai toan voi u2 % Gia tri nghiem dung va ve phai for i=1:M+1 for j=1:N+1 x1=x10+(i-1)*h1; x2=x20+(j-1)*h2; ud(i,j)=u(x1,x2);% Nghiem dung csi(i,j)=f(x1,x2,u1(i,j),v1(i,j)); end; end; count=0;ss=10;ss1=10; 48 while and(ss>saiso,count4) Z3=u2; rate(n-4)=log2(chuan_moi(Z1,Z2)/chuan_moi(Z2,Z3)) Z1=Z2; Z2=Z3; end; end; thoigian=cputime-thoigian function g0=g0(x1,x2) g0=log(x1.^5+x2.^5+1); function g1=g1(x1,x2) g1=2*sin(x1).*sin(x2); function f=f(x1,x2,y,z) %f=sin(x1)-cos(x2)+y.^2+z.^3+cos(t); f=y+z.^2.*sin(pi*x1).*sin(pi*x2)+1/4;%ham so 50 ... biên song điều hòa phi tuyến, tồn nghiệm toán, sở lý thuyết xây dựng sơ đồ lặp dựa phương trình tốn tử, thuật toán chi tiết dạng vi phân dạng sai phân tìm nghiệm số dạng tốn song điều hòa phi tuyến. .. giá tốc độ hội tụ theo bước lưới lược đồ sai phân tổng qt ❼ Tìm hiểu mơ hình tổng qt tốn song điều hịa phi tuyến với hệ điều kiện biên nhất, tồn nghiệm, tồn nghiệm dương, nghiệm nghiệm Các sơ đồ. .. thực nghiệm số toán, thấy Thuật toán 2.3 ứng với tốn biên song điều hịa tổng qt có tốc độ hội tụ nhanh, độ xác đạt cấp bốn ❼ Tốc độ hội tụ theo bước lưới đạt cấp bốn 39 Kết luận Nội dung luận văn