THÔNG TIN TÀI LIỆU
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC NGUYN B ặN lu MậT PHìèNG PHP TCH GII MậT LẻP BI TON C
N BNG an n va p ie gh tn to d oa nl w LUN VN THC S TON HÅC nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ThĂi Nguyản - Nôm 2018 ac th si I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HC NGUYN B ặN lu MậT PHìèNG PHP TCH GII MậT LẻP BI TON CN BNG an va n Chuyản ng nh: TON ÙNG DƯNG M¢ sè : 8460112 p ie gh tn to d oa nl w LUN VN THC S TON HC nf va an lu Ngữới hữợng dăn khoa hồc: z at nh oi lm ul GS TSKH L DƠNG M×U z m co l gm @ ThĂi Nguyản - Nôm 2018 an Lu n va ac th si i Möc löc Möc löc lu an n va 1.1 1.2 1.3 Mët sè kh¡i ni»m cì b£n Sỹ tỗn tÔi nghiằm v cĂc tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa bi toĂn cƠn bơng 14 CĂc trữớng hủp riảng cừa bi toĂn cƠn bơng 18 p ie gh tn to Líi cÊm ỡn Lới nõi Ưu Mởt số kỵ hiằu v chỳ viát tưt Bi toĂn cƠn bơng i Thuêt to¡n tu¦n tü v sü hëi tư Thuªt to¡n song song v sü hëi tö d oa 2.1 2.2 nl w Thuªt to¡n t¡ch gi£i b i to¡n cƠn bơng ỡn iằu lu 24 33 38 39 nf va an Kát luên Ti liằu tham khÊo 23 z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si LI CM èN Luên vôn ny ữủc hon thnh dữợi sỹ hữợng dăn tên tẳnh v sỹ ch bÊo nghiảm khưc cừa thƯy giĂo GS TSKH Lả Dụng Mữu (Trữớng Ôi hồc lu Thông Long H Nởi) Tổi xin gỷi lới cÊm ỡn chƠn thnh v sƠu sưc nhĐt án an thƯy va n TĂc giÊ cụng xin kẵnh gỷi lới cÊm ỡn án cổ giĂo PGS.TS Nguyạn Th to tn Thu Thõy cịng c¡c th¦y, cỉ gi¡o tham gia giÊng dÔy khõa hồc cao hồc 2016 ie gh - 2018, nhỳng ngữới  tƠm huyát giÊng dÔy v trang bà cho t¡c gi£ nhi·u p ki¸n thùc cì sð nl w Xin gûi líi c£m ìn ¸n Ban giĂm hiằu, o tÔo, khoa ToĂn - Tin oa Trữớng HKH, Ôi hồc ThĂi Nguyản  tÔo iÃu kiằn thuên lủi cho tổi d quĂ trẳnh hồc têp tÔi trữớng an lu nf va Xin chƠn thnh cÊm ỡn gia ẳnh, bÔn b ỗng nghiằp v cĂc thnh viản lm ul lợp cao hồc toĂn K10A  luổn quan tƠm, ởng viản, giúp ù tổi thới gian hồc têp v quĂ trẳnh lm luên vôn z at nh oi Tuy b£n th¥n câ nhi·u cè gng, song thới gian v nông lỹc cừa bÊn thƠn cõ hÔn nản luên vôn khõ trĂnh khọi nhỳng thiáu sõt RĐt mong ữủc sỹ õng z gõp quỵ bĂu cừa Quỵ thƯy, cổ ton th bÔn ồc @ m co l gm T¡c gi£ an Lu n va ac th si LÍI NÂI U lu Cho H l mởt khổng gian Hilbert thỹc vợi tẵch vổ hữợng h., i v chuân k.k tữỡng ựng Cho C l mởt têp lỗi, õng, khĂc rộng H v f l song h m tø C × C v o R cho f (x, x) = vỵi måi x ∈ C Trong luên vôn ny ta s xt bi toĂn cƠn bơng sau Ơy, ữủc kỵ hiằu l EP(C, f ): an n va T¼m x∗ ∈ C cho f (x∗ , y) ≥ 0, (1) ∀y ∈ C tn to B i to¡n EP(C, f ) cán ÷đc gồi l bĐt ng thực Ky Fan ghi nhên sü âng gâp cõa ỉng l¾nh vüc n y p ie gh BĐt ng thực (1) lƯn Ưu tiản, nôm 1955, ÷đc Nikaido v Isoda dịng trá chìi khỉng hủp tĂc Nôm 1972, Ky Fan gồi (1) l bĐt ng thực minimax v ữa mởt nh lỵ và sỹ tỗn tÔi nghiằm cho bi toĂn ny khổng gian hỳu hÔn chiÃu Ngay nôm õ, nh lỵ ny ữủc m rởng khổng gian vổ hÔn chi·u bði Br²sis v Stampacchia N«m 1984, L.D Muu gåi (1) l bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn v nghiản cựu tẵnh ờn nh cho bi toĂn ny Nôm 1992, lƯn Ưu tiản (1) ữủc gồi l bi toĂn cƠn bơng ti liằu [9] d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul CĂc nghiản cựu và bi toĂn cƠn bơng cõ th chia theo hai hữợng chẵnh bao gỗm nhỳng nghiản cựu và sỹ tỗn tÔi nghiằm v cĂc thuêt toĂn giÊi bi toĂn cƠn bơng Cho án ngữới ta  ữa nhiÃu phữỡng phĂp giÊi bi toĂn cƠn bơng chng hÔn nhữ phữỡng phĂp chiáu v cĂc bián dÔng cừa nõ Tuy nhiản, tông cữớng sỹ hiằu quÊ ngữới ta  nghiản cựu cĂc phữỡng phĂp tĂch(splitting method) giÊi bi toĂn cƠn bơng z @ co l gm Mửc ẵch cừa bÊn luên vôn ny l giợi thiằu nhỳng kián thực cỡ bÊn nhĐt cừa bi toĂn cƠn bơng v trẳnh by mởt phữỡng phĂp tĂch giÊi mởt lợp bi toĂn cƠn bơng mợi ữủc cổng bố gƯn Ơy m Luên vôn bao gỗm phƯn m Ưu, hai chữỡng, kát luên v danh mửc cĂc ti liằu tham khÊo Chữỡng trẳnh by mởt số khĂi niằm cỡ bÊn liản quan án à ti CĂc vĐn à liản quan án sỹ tỗn tÔi nghiằm v cĂc trữớng hủp riảng cừa bi toĂn an Lu n va ac th si cƠn bơng cụng ữủc à cêp án Chữỡng trẳnh by hai thuêt toĂn tĂch giÊi bi toĂn cƠn bơng õ song hm l tờng cừa hai song hm Thuêt toĂn Ưu l mởt thuêt toĂn tĂch tuƯn tỹ, thuêt toĂn sau l mët thuªt to¡n t¡ch song song lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si MËT SÈ KÞ HIU V CHÚ VIT TT lu an n va p ie gh tn to H : Khæng gian Hilbert thüc; X : Khỉng gian Banach thüc; R: Tªp c¡c sè thüc; ∅: Têp rộng; I : nh xÔ ỗng nhĐt; ha, bi = Tẵch vổ hữợng cừa vc-tỡ a v b; kxk = Chuân cừa x; f (x): Dữợi vi phƠn cừa hm f tÔi x; x: Vợi mồi x; xn x: DÂy {xn } hởi tử mÔnh tợi x; xn * x: DÂy {xn } hởi tử yáu tợi x; x := y : Nghắa l, x ữủc nh nghắa bơng y ; PC (x): Hẳnh chiáu cừa x l¶n C d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chữỡng Bi toĂn cƠn bơng lu Chữỡng ny trẳnh by cĂc khĂi niằm liản quan án bi toĂn cƠn bơng, sỹ tỗn tÔi nghiằm, cĂc tẵnh chĐt cỡ bÊn v cĂc trữớng hủp riảng quan trồng cừa bi toĂn cƠn bơng CĂc kián thực chữỡng ữủc trẵch tứ ti liằu [1-4], [7], [10] an n va tn to gh 1.1 Mët sè kh¡i ni»m cì b£n p ie ành ngh¾a 1.1.(xem [4]) C°p (H, h, i) â H l mët khæng gian w tuyán tẵnh thỹc v d oa nl h, i : H × H → R (x, y) 7→ hx, yi an lu thäa m¢n c¡c i·u ki»n: nf va hx, xi ≥ 0, ∀x ∈ H; hx, xi = ⇔ x = 0; lm ul hx, yi = hy, xi , ∀x, y ∈ H ; z at nh oi hλx, yi = λ hx, yi , ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ H ; hx + y, zi = hx, zi + hy, zi , ∀x, y, z ∈ H z ÷đc gåi l khỉng gian ti·n Hilbert Khỉng gian ti·n Hilbert ¦y õ ÷đc gåi l khỉng gian Hilbert f (x) dx < + l mởt khổng gian Hilbert vợi tẵch co a m hf, gi = Zb f (x) g (x) dx; n va a an Lu vổ hữợng cho Rb l vỵi f ∈ L2[a,b] gm @ Vẵ dử 1.1 L2[a,b] l khổng gian cĂc hm bẳnh phữỡng khÊ tẵch trản [a,b] ac th si v chu©n kf kL2 [a,b] b Z 2 = f (x)dx a Tr¶n H cõ hai kiu hởi tử chẵnh sau: nh nghắa 1.2.(xem [4]) X²t d¢y {xn}n≥0 v x thc khỉng gian Hilbert thỹc H Khi õ: ã DÂy {xn } ữủc gồi l hởi tử mÔnh tợi x, kỵ hiằu xn x, náu nhữ lim kxn xk = n+ lu ã DÂy {xn} ữủc gồi l hởi tử yáu tợi x, kỵ hiằu xn * x, náu an lim hω, xn i = hω, xi , ∀ω ∈ H n va n+ gh tn to Ta nhưc lÔi cĂc kát quÊ giÊi tẵch hm (xem [4]) liản quan án hai loÔi hởi tử ny p ie Mằnh · 1.1 d oa nl w N¸u {xn} hëi tử mÔnh án x thẳ cụng hởi tử yáu án x ã Mồi dÂy hởi tử mÔnh (yáu) Ãu b chn v giợi hÔn theo sỹ hởi tử mÔnh (yáu) náu tỗn tÔi l nhĐt ã Náu khổng gian Hilbert thỹc H l khổng gian hỳu hÔn chiÃu thẳ sỹ hởi tử mÔnh v sỹ hởi tử yáu l tữỡng ữỡng ã Náu {xn }n0 l mởt dÂy b chn khổng gian Hilbert thỹc H thẳ ta trẵch ữủc mởt dÂy hởi tử yáu ã Náu {xn }n≥0 l mët d¢y bà ch°n khỉng gian Hilbert thỹc hỳu hÔn chiÃu H thẳ ta trẵch ữủc mởt dÂy hởi tử mÔnh ã nf va an lu z at nh oi lm ul z co l gm @ Tiáp theo, ta s nảu mởt số nh nghắa v kát quÊ cỡ bÊn cừa giÊi tẵch lỗi ữủc phĂt biu [1], [10] Xt C l tªp kh¡c réng khỉng gian Hilbert thüc H m nh nghắa 1.3.(xem [10]) Têp C khỉng gian Hilbert thüc H ÷đc ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C n va ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] an Lu gåi l mët tªp lỗi náu ac th si nh nghắa 1.4.(xem [10]) im a ữủc gồi l im biản cừa C náu mồi lƠn cên cừa a Ãu cõ im thuởc C v im khổng thuởc C ; Têp C ữủc gồi l têp õng náu C chựa mồi im biản cừa nõ; Têp C ữủc gồi l mởt têp compact náu C l mởt têp õng v b chn nh nghắa 1.5.(xem [10]) Cho C l mởt têp lỗi cừa khổng gian Hilbert v x ∈ C Nân ph¡p tuy¸n ngoi cừa C ữủc kỵ hiằu v nh nghắa bi: H NC (x) := {w| hw, y − xi ≤ 0, ∀y ∈ C} ành ngh¾a 1.6.(xem [10]) X²t h m f : H → R ∪ {+∞} Khi â: lu (i) Hm f ữủc gồi l hm lỗi trản H n¸u an f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ H, ∀λ ∈ (0, 1); n va tn to (ii) Hm f ữủc gồi l hm lỗi cht trản H n¸u ∀x 6= y ∈ H, ∀λ ∈ (0, 1); gh f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y), p ie (iii) H m f ữủc gồi l hm lỗi mÔnh trản H vợi hằ sè η > n¸u nl w f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − η λ(1 − λ) kx − yk2 , d oa vỵi måi x, y ∈ H, (0, 1) an Vẵ dử 1.2 lu Dữợi Ơy l mởt số vẵ dử quen thuởc và hm lỗi lm ul mÂn ng thực nf va Hm affine f (x) = aT x + b, â a Rn, b R l hm lỗi Nõ tho£ z at nh oi f (λx + (1 − λ)y) = λf (x) + (1 − λ)f (y), z Do õ nõ khổng lỗi cht Cho C 6= l mởt têp lỗi Hm ch t x, y ∈ H, λ ∈ (0, 1) x ∈ C +∞ x ∈ /C l gm δC := @ h m ch¿ cõa C Do C lỗi nản C l hm lỗi Hm khoÊng cĂch Gi£ sû C l mët tªp âng, kh¡c réng H m kho£ng c¡ch m co Ta nâi δC l n x∈C va dC (y) = inf kx − yk an Lu dC (y) ữủc nh nghắa nhữ sau: ac th si 26 ữủc sinh bi Thuêt toĂn thoÊ mÂn cĂc tẵnh chĐt sau (a) Tỗn tÔi M > cho n 2−T1 n kx − y k ≤ M.λn , kx n+1 2−T2 n − y k M.n n (b)Tỗn tÔi L > cho kxn+1 − xk2 ≤ kxn − xk2 + 2λn f (xn , x) + L.λn2−T ∀x ∈ C, vỵi T := min{T1, T2} Chùng minh (a) Theo Bê · 2.3 ta th§y y n l nghi»m cừa bi toĂn lỗi lu an n va gh tn to min{λn f1 (xn , t) + kt − xn k2 , t ∈ C} n¸u v ch¿ n¸u ∈ ∂(λn f1 (xn , ·) + k · −xn k2 )(y n ) + NC (y n ), Theo nh lỵ Moreau- Rockafellar, tỗn tÔi w ∈ ∂f1 (xn , ·)(y n ) v v ∈ NC (y n ) := {z ∈ H : hx − y n i ≤ 0, ∀x ∈ C} cho p ie = λn w + y n − xn + v w Do â v = xn − y n − λn w oa nl Theo ành ngh¾a cõa NC (y n ) ta câ d hxn − y n − λn w, x − y n i ≤ 0, ∀x ∈ C nf va an lu hay tữỡng ữỡng vợi hxn y n , x − y n i ≤ λn hw, x − y n i, ∀x ∈ C lm ul Tø w ∈ ∂f1 (xn , ·)(y n ), ta thu ÷đc z at nh oi λn (f1 (xn , x)−f1 (xn , y n )) ≤ λn hw, x−y n i ≤ hxn −y n , x−y n i ∀x ∈ C (2.2) Trong (2.2), cho x = xn ∈ C, ta ÷đc z (2.3) gm @ ≤ kxn − y n k2 ≤ −λn f1 (xn , y n ) = λn |f1 (xn , y n )| n va kxn − y n k2−T1 ≤ (λn Q1 ) an Lu K¸t hđp (2.3) v (2.4) ta thu ÷đc (2.4) m |f1 (xn , y n )| ≤ Q1 kxn − y n kT1 co l Do tẵnh liản tửc Hă older vợi bián thự nhĐt ho°c thù hai cõa f1 v gi£ thi¸t f1 (x, x) = 0, x C, nản tỗn tÔi Q1 > cho ac th si 27 hay kxn − y n k ≤ (Q1 λn ) 2−T1 Mët c¡ch t÷ìng tü, tø xn+1 = arg min{λn f2 (y n , t) + kt − y n k , t ∈ C} ta thu ÷đc (2.5) f2 (y n , x) − f2 (y n , xn+1 ) ≤ hy n − xn+1 , x − xn+1 i ∀x ∈ C Trong (2.5) l§y x = y n v sỷ dửng tẵnh liản tửc Hă older vợi bián thự nhĐt cừa f2 ta cõ kxn+1 − y n k ≤ (Q2 λn ) 2−T2 2−T1 °t M := max(Q1 , Q 2T2 ), ta thu ữủc kát quÊ nhữ mong mn (b) Tø (2.5), vỵi méi x ∈ C, ta câ lu an n va tn to kxn+1 − xk2 = kxn+1 − y n k2 + ky n − xk2 + 2hxn+1 − y n , y n − xi = ky n − xk2 − ky n+1 − y n k2 + 2hxn+1 − y n , xn+1 − xi ≤ ky n − xk2 − kxn+1 − y n k2 + 2λn hf2 (y n , x) − f2 (y n , xn+1 )i (2.6) ie gh Mët c¡ch t÷ìng tü, tø (2.2) ta câ p ky n − xk2 ≤ kxn − xk2 − ky n − xn k2 + 2λn hf1 (xn , x) − f1 (xn , y n )i (2.7) d oa nl w Kát hủp (2.6) v (2.7), bơng cĂch sỷ dửng tẵnh liản tửc Hă older cừa fi , i = 1; 2, ta thu ÷đc nf va an lu kxn+1 −xk2 ≤ kxn −xk2 +2λn (f1 (xn , x)+f2 (y n −x)−f1 (xn , y n )−f2 (y n , xn+1 )) ≤ kxn − xk2 + 2λn (f (xn , x) + |f2 (y n − x) − f2 (xn , x)| + f1 (xn , y n )) ≤ kxn −xk2 +2λn (f (xn , x)+Q2 kxn −y n kT2 +Q1 kxn −y n kT1 +Q2 ky n −xn+1 kT2 ) lm ul (2.8) ≤ kxn − xk2 + 2λn f (xn , x) + L.λn2−T L = 2(Q2 Q1 z at nh oi T2 1−T1 2−T1 + Q1 2−T2 + Q2 ), T = min{T1 , T2 } Sü hëi tư cõa Thuªt toĂn ữủc cho bi nh lỵ dữợi Ơy z nh lẵ 2.1 Cho C l têp lỗi, õng v kh¡c réng cõa khæng gian H v gi£ (2.9) an Lu n=1 λn2−T < ∞ m n=1 λn = ∞, ∞ X co ∞ X l gm @ sỷ rơng tĐt cÊ cĂc giÊ thiát cừa Bờ à 2.4 óng °t T : = min{T1, T2} Gi£ sû rơng dÂy {n} thọa mÂn iÃu kiằn n va Khi õ, dÂy số {z n} ữủc sinh bi Thuêt to¡n hëi tư y¸u ¸n mët nghi»m cõa EP(C, f ) ac th si 28 Chùng minh Vi»c chùng minh nh lỵ ny ữủc chia thnh cĂc bữợc sau Bữợc DÂy {xn }, {z n } l b ch°n Thüc ra, (2.8), l§y x = x∗ ∈ S ⊂ C, theo M»nh · 2.2 ta câ f (xn , x∗ ) ≤ 0, ∀n ≥ Do â, ta thu ÷đc kxn+1 − x∗ k2 ≤ kxn − x∗ k2 + L.λn2−T Tø Bê · 2.1, ta suy rơng giợi hÔn lim kxn x k2 tỗn tÔi Do vêy, {xn } n lu l b chn, tực l tỗn tÔi số thỹc k > cho kxn k ≤ k ∀n ≥ Theo ành ngh¾a cõa z n ta suy r¬ng Pn k n k=1 λk kx k kz k ≤ Pn ≤ k an n va k=1 λk tn to Do {z n } l b chn v tỗn tÔi mởt dÂy {z ni } {z n } cho ie gh z ni → z¯ ∈ C p Bữợc Khng nh rơng z S nl w Ta thu ÷đc tø (2.8) d oa kxn+1 − xk2 − kxn − xk2 ≤ 2λn f (xn , x) + L.λn2−T ∀x ∈ C an lu Do vêy, bơng cĂch sỷ dửng tẵnh lỗi cừa hm f (Ã, y) ta Ôt ữủc kx Pni 2−T λk − xk − |x − xk λ f (x , x) Pni Pnki ≤ k=1 + Pk=1 ni k=1 λk k=1 λk k=1 λk P P ni ni λ x k 2−T λ k k ≤ 2f Pk=1 , x + L Pk=1 ni ni k=1 λk k=1 λk Pni 2−T ni k=1 λk P ≤ 2f (z , x) + L ni k=1 λk nf va ni +1 n Pni k z at nh oi lm ul z gm @ m co l P P∞ 2−T B¬ng cĂch lĐy giợi hÔn i , rỗi sỷ döng ∞ λ = ∞, λ , n n n=1 n=1 ni z * z v tẵnh liản tửc trản yáu cừa hm f (Ã, x), ta thĐy rơng f (¯ z , x) ≥ lim supi→∞ f (xni , x) ≥ 0, ∀x ∈ C i·u n y r¬ng z¯ S an Lu Vẳ S l têp õng, lỗi v khĂc rộng nản vợi mội xn , tỗn tÔi iºm un cho n va un = PS (xn ) ac th si 29 º ho n th nh chùng minh nh lỵ, ta cƯn chựng minh rơng un z Trong trữớng hủp õ, tĐt cÊ cĂc im giợi hÔn yáu cừa dÂy {z k } Ãu bơng z v ton bở dÂy {z k } hởi tử yáu và z Bữợc Khng nh un hởi tử Vẳ un ∈ S v f l h m gi£ ìn i»u, ta suy r¬ng f (xk , un ) ≤ ∀x ≥ Tø (2.8), ta câ kx n+p ∞ X 2−T λk − u k ≤ kx − u k + L n n (2.10) n k=n V¼ un+p = arg min{ky − xn+p k}, y ∈ S n¶n ta câ lu kxn+p − un+p k2 ≤ kxn+p − (un + un+p )k2 K¸t hñp (2.10) v (2.11) ta câ (2.11) an n va kun+p − un k2 = k(un+p − xn+p ) + (xn+p − un )k2 p ie gh tn to kun+p − xn+p k2 + 2kxn+p − un k2 − 4kxn+p − (un + un+p )k2 n+p n n+p n+p ≤ 2kx − u k − 2ku −x k ∞ X n n n+p n+p 2−T (2.12) ≤ 2kx − u k − 2ku − x k + 2L λk nl w k=n d oa Tø â, suy r¬ng −x n n k ≤ kx − u k + L an ku n+p lu n+p λk2−T , ∀n, p ≥ k=n nf va lm ul Do vªy, ∞ X ∞ X lim sup ku − x k ≤ ku − x k + L λk2−T , ∀n ≥ m m 2 k=n 2−T = 0, ta suy rơng lim kxn un k2 tỗn tÔi k=n k n z n P n z at nh oi m Vẳ lim n gm @ Kát hủp iÃu ny vợi (2.12) ta suy rơng l lim kun+p − un k2 = ∀p ≥ n m co iÃu ny cõ nghắa rơng {un } l dÂy Cauchy, õ nõ hởi tử án z Bữợc Khng nh rơng z = z n va hy − un , un − xn i ≥ 0, ∀y ∈ S an Lu Tø un = PS (xn ), sû döng M»nh · 2.1, ta câ ac th si 30 Do z¯ ∈ S, ta câ h¯ z − un , xn − un i ≤ Khi â h¯ z − zˆ, xn − un i = h¯ z − un , xn − un i + hun − z¯, xn − un i = hun − zˆ, xn − un i = kun − zˆk.kxn − un k ≤ p.kun − zˆk (2.13) Trong â, p = sup{kxn − un k : n ≥ 1} < HÂy viát (2.13) vợi ch số k v lĐy tờng tứ k = tợi ni , ta thu ÷đc h¯ z − zˆ, ni X k λk x − k=1 ni X k λk u i ≤ p ni X k=1 Do â, ni X k=1 ni X k lu λk u an k=1 ni X h¯ z − zˆ, z ni − λk kuk − zˆk i ≤ p k=1 n va λk to k=1 tn p ie gh V¼ un → zˆ, ∞ X λk kuk − zˆk ni X λk k=1 λk = ∞, ¡p dưng Bê · 2.2, vỵi an = kun − zˆk ta câ k=1 oa nl w ni X lim λk kuk − zˆk k=1 ni X d i→∞ an lu λk k=1 nf va ni X k λk u k=1 ni X − zˆk ≤ ni X λk k=1 lim = zˆ m co λk l k=1 k=1 gm k=1 ni i→∞ X λk @ λk uk Ta suy r¬ng z ni X λk kuk − zˆk k=1 z at nh oi lm ul ni X Sau â, tø b§t ¯ng thùc k = an Lu V¼ z ni → z¯, i·u n y k²o theo h¯ z − zˆ, z¯ − zˆi ≤ 0, tø â suy zˆ = z¯ v vi»c chùng minh ho n th nh n va ac th si 31 Chú ỵ 2.1 Vợi T (0; 1], ta cõ 2 T (1; 2] BƠy giớ, vợi mội n 1, ta thĐy n = n1 vợi ( 2 T , 1] thẳ dng suy rơng iÃu kiằn ữủc thoÊ mÂn (2.9) t f2 = nh lỵ 2.2, ta cõ h» qu£ sau H» qu£ 2.1 °t C l tªp lỗi, õng, khĂc rộng H v f : C × C → R lu l song h m Gi£ sû rơng f l hm giÊ ỡn iằu v liản tửc T Hăolder vợi bián thự nhĐt hoc thự hai Vỵi méi x ∈ C, f (x, ·) l lỗi, nỷa liản tửc dữợi, f (Ã, x) l lóm, nỷa liản tửc trản yáu v f (x, x) = S 6= ∅ an n va tn to GiÊ thiát rơng {n } l mởt dÂy số thüc d÷ìng cho ie gh ∞ X λn = ∞, p n=1 ∞ X λn2−T < ∞ n=1 d oa nl w n Khi â, d¢y {z } ữủc sinh bi thuêt toĂn sau: Chån x0 ∈ H n n+1 n+1 nhữ sau: Cho trữợc x , tẵnh x , z lu nf va an xn+1 = arg min{λn f (xn , t) + kt − xn k2 : t ∈ C} Pn+1 k λ x k n+1 = Pk=1 z n+1 k=1 λk s³ hëi tư y¸u ¸n mởt phƯn tỷ cừa têp S z at nh oi lm ul Vẵ dử 2.1 Cho hm z f :RìRR C =H =R f1 (x, y) = hP x + Qx + q; y − xi f2 (x, y) = kyk2 − kxk2 vỵi P = , Q = x¡c ành d÷ìng, q = −2 X²t λn = n +1 ∈ (0; 1) Bữợc 0: LĐy x0 = z = (0; 0), n = m co l gm @ an Lu n va ac th si 32 Bữợc 1: n1 o y = arg f1 (x , t) + kt − x k n 2o = arg f1 (0, t) + ktk 0 °t ϕ0 (t) = f1 (0, t) + ktk2 t = (t1 , t2 ), f1 (0, t) = hq, ti = t1 − 2t2 , ktk2 = t21 + t22 vợi nản 1 ϕ0 (t) = t21 + t22 + t1 − 2t2 2 lu an n va tn to =0 t Ôt ∂ϕ0 =0 ∂t2 ⇒ y = (−1; 2) ⇔ ( t1 + = ⇔ t2 − = ( t1 = −1 t2 = gh n o 0 x = arg f2 (y , t) + kt − y k ie p °t d oa nl w φ0 (t) = f2 (y , t) + kt − y k2 2 f2 (y , t) = kt − k − ky k2 = t21 + t22 − 1 kt − y k2 = (t1 + 1)2 + (t2 − 2)2 2 nf va an lu lm ul N¶n φ0(t) = 32 t21 + 23 t22 + t1 − 2t2 − 52 z at nh oi ∂φ0 ( t1 = =0 3t + = t Ôt ∂φ0 ⇔ ⇔ 3t − = t2 = =0 ∂t2 −1 ⇒x = ; 3 −1 λ1 x1 1 ⇒z = =x = ; 32 Bữợc 2: n = 1, z = x1 = ; n1 o 1 1 y = arg f1 (x , t) + kt − x k 2 z −1 3 m co l gm @ an Lu n va ac th si 33 °t 1 ϕ1 (t) = f1 (x1 , t) + kt − x1 k2 2 * t1 + , f1 (x1 , t) = hP x1 + Qx1 + q, t − x1 i = t − + 3 2 = 2 2 + t2 − kt − x k = t1 + 3 1 2 2 N¶n ϕ1(t) = t1 + + t2 − −1 ⇒y = ; 3 n1 o 1 x = arg f2 (y , t) + kt − y k 2 lu an n va 1 φ1 (t) = f2 (y , t) + kt − y k2 2 h 1 2 2 i 2 = (ktk − ky k ) + t1 + + t2 − 3 2 2 i 1h 2 = t1 + t22 − + t1 + + t2 − 3 ∂φ1 −1 2t1 + 2(t1 + ) = t1 = =0 t1 Ôt ∂φ 1 2t2 + 2(t2 − ) = t2 = =0 3 ∂t2 1 −1 −4 x + x λ1 x + λ2 x 2 ⇒x = ; ⇒z = = = ; 1 3 λ1 + λ2 15 15 + p ie gh tn to °t d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z Thuªt to¡n song song v sü hëi tư Thuªt to¡n Thuªt to¡n t¡ch song song m co an Lu Chồn dÂy {n } (0, ) Bữợc L§y x0 ∈ H °t t0 = x0 , n = l gm @ 2.2 n va ac th si 34 Bữợc Cho xn , tẵnh y n , z n , xn+1 v tn+1 nh÷ sau: y n = arg min{λn f1 (xn , t) + kt − xn k2 : t ∈ C} z n = arg min{λn f2 (xn , t) + kt − xn k2 : t ∈ C} n n y + z xn+1 = Pn+1 k n+1 k=1 k x t = Pn+1 k=1 k Bữợc Cªp nhªt n := n + v quay lÔi bữợc Sỹ hởi tử cừa Thuêt toĂn ữủc cho bi nh lỵ dữợi Ơy nh lẵ 2.2 GiÊ sỷ rơng tĐt cÊ cĂc iÃu kiằn (B1) (B3) ữủc thoÊ mÂn; lu song hm fi l Ti Hăolderliản tửc theo bián thự nhĐt hoc thự hai (i = 1, 2) X X Th¶m núa, λn = ∞; λn < ∞ vỵi T : = min{T1, T2} Khi â, d¢y an n=1 n va 2−T n tn to {t } n=1 ữủc sinh bi Thuêt toĂn hởi tử yáu án mởt phƯn tỷ cừa tªp S ie gh Chùng minh Tø (2.2) suy r¬ng p hxn − y n , x − xn i ≤ λn [f1 (xn , x) − f1 (xn , y n )] − kxn − y n k2 , x ∈ C nl w T÷ìng tü, ta câ d oa hxn − z n , x − xn i ≤ λn [f1 (xn , x) − f2 (xn , z n )] − kxn − z n k2 , x ∈ C yn + zn ta thu Bơng cĂch cởng hai bĐt ng thực cuối v sỷ dưng xn+1 = ÷đc nf va an lu Do â, z at nh oi lm ul 2hxn − xn+1 , x − xn i ≤ λn [f (xn , x) − f1 (xn , y n ) − f2 (xn , z n )] − kxn − y n k2 − kxn − z n k2 z kxn+1 − xk2 = kxn − xk2 + kxn+1 − xn k2 + 2hxn+1 − xn , xn − xi ≤ kxn − xk2 + kxn+1 − xn k2 + λn [f (xn , x) − f1 (xn , y n ) −f2 (xn , z n )] − kxn − y n k2 − kxn − z n k2 gm @ m co l ≤ kxn − xk2 + λn [f (xn , x) − f1 (xn , y n ) − f2 (xn , z n )] + k(y n − xn ) n n n n +(z − x )k − kx − y k − kxn − z n k2 ≤ kxn − xk2 + λn f (xn , x) + λn |f1 (xn , y n )| + λn |f2 (xn , z n )| an Lu n va ≤ kxn − xk2 + λn f (xn , x) + K.n2T ac th si 35 PhƯn cỏn lÔi cừa viằc chựng minh tữỡng tỹ nhữ chựng minh nh lỵ 2.2 Vẵ dử 2.2 Cho hm f :RìRR C =H =R f1 (x, y) = hP x + Qx + q; y − xi f2 (x, y) = kyk2 − kxk2 vỵi P = , Q = xĂc nh dữỡng, q = 11 Xt dÂy n = n +1 (0; +) Bữợc 0: L§y x0 = t0 = 0, n = lu Bữợc 1: n o 0 y = arg f1 (x , t) + kt − x k : t ∈ R an n va gh tn to °t p ie ϕ0 (t) = f1 (0, t) + ktk2 2 = t1 + t2 + t1 + t2 2 oa nl w d ∂ϕ0 =0 t Ôt =0 ∂t2 ⇒ y = (−1; −1) lu lm ul n z at nh oi o z = arg f2 (x , t) + kt − x k : t ∈ R °t ⇔ t1 = t2 = −1 t2 + = nf va an ⇔ ( t1 + = 0 z m co l gm @ φ0 (t) = f2 (0, t) + ktk2 = ktk2 + ktk2 = (t21 + t22 ) 2 n va y + z −1 −1 ⇒x = = ; 2 an Lu ⇒ z = (0; 0) ac th si 36 −1 −1 ⇒t =x = ; 2 1 Bữợc 2: n1 o 1 y = arg f1 (x , t) + kt − x k : t ∈ R 2 °t 1 ϕ1 (t) = f1 (x1 , t) + kt − x1 k2 2 câ lu an n va p ie gh tn to f1 (x1 , t) = hP x11 + Qx12 + q, t − x1 i " −1 −1 # t1 + = −1 , −1 t2 + 2 1 1 −1 t1 + − t2 + = 2 2 −1 −1 = t1 − t2 − 2 1 kt − x1 k2 = (t1 + )2 + (t2 + )2 2 h 1 1 1i ⇒ ϕ1 (t) = (t1 + ) + (t2 + ) − t1 − t2 − 2 2 ∂ϕ 1 t1 + − = =0 t1 Ôt ∂ϕ ⇔ t = t = ⇔ 1 t2 + − = =0 ∂t2 −1 −1 ⇒ y1 = ( ; ) 4 n1 o 1 1 z = arg f2 (x , t) + kt − x k 2 d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul °t z 1 φ1 (t) = f2 (x1 , t) + kt − x1 k2 2 1 2 2 = (ktk2 − kx1 k2 ) + t1 + + t2 + 2 2 2 1 2 2 = t1 + t2 − + t1 + + t2 + 2 2 2 ∂φ1 t1 + t2 + = =0 −1 ∂t1 ∂φ ⇔ ⇔ t = t = =0 t2 + t2 + = ∂t2 m co l gm @ an Lu Ôt n va ac th si 37 ⇒ z1 = ( −1 −1 ; ) 4 y + z −1 −1 = ; x = 4 Câ 1 x + x λ1 x + λ2 x 1 2 2 t = x + x = = 1 λ1 + λ2 + 3 2 −2 −2 = x + x =( ; ) 5 5 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 38 KT LUN lu an n va tn to B i to¡n cƠn bơng cõ nhiÃu ựng dửng thỹc tiạn, chng hÔn vêt lỵ, ngnh k thuêt, lỵ thuyát trỏ chỡi, vên tÊi, kinh tá, hằ thống mÔng Bi toĂn cƠn bơng bao hm cĂc bi toĂn quan trồng nhữ bi toĂn lỗi, bĐt ng thực bián phƠn, im bĐt ởng Kakutani, bi toĂn mnimax, mổ hẳnh cƠn bơng Nash Hai thuêt toĂn lp mợi ữủc dỹa trản thuêt toĂn tĂch ữủc trẳnh by giÊi cĂc bi toĂn cƠn bơng ữủc cho bi tờng hai song hm, õ ta cõ th xỷ lỵ mội phƯn cừa song hm ban Ưu mởt cĂch ởc lêp Ta cụng chựng minh tẵnh hởi tử cừa thuêt toĂn Luên vôn  à cêp nhỳng vĐn à sau: p ie gh Tr¼nh b y mët c¡ch h» thèng c¡c kián thực cỡ bÊn nhĐt và bi toĂn cƠn bơng theo b§t ¯ng thùc Ky Fan d oa nl w Giợi thiằu thuêt toĂn tĂch giÊi mởt lợp bi toĂn cƠn bơng khổng gian Hilbert thỹc Sỹ hởi tử cừa thuêt toĂn  ữủc phƠn tẵch v chùng minh chi ti¸t nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 39 T i liằu tham khÊo [1] Nguyạn Vôn HiÃn, Lả Dụng Mữu, Nguyạn Hỳu in (2005), giÊi tẵch lỗi ựng dửng, NXB Ôi hồc Quốc gia H Nởi Nhêp mổn [2] Lả Dụng Mữu (2003), "Bi toĂn cƠn bơng", preprint, Viằn ToĂn hồc, VAST lu an [3] TrƯn Vụ Thiằu, Nguyạn Th Thu Thừy (2011), tuyán, NXB Ôi hồc Quốc gia H Nëi n va H m thüc v gi£i t½ch h m, NXB Ôi hồc Quốc gia ie gh tn to [4] Hong Tửy (2010), H Nởi GiĂo trẳnh tối ữu phi p Ti¸ng Anh d oa nl w [5] E Blum and W Oettli (1994), From Optimization and variational inequality to equilibrium problems, The Math Student 63, pp 127-149 nf va an lu [6] Trinh Ngoc Hai and Nguyen The Vinh (2017), "Two new splitting algorithms for equilibrium problems", RACSAM, 111, Issue 4, pp 10511069 DOI: 10.1007/s13398-016-0347-6 lm ul Combined Relaxation Methods for Variational In- [8] G.M.Korpelevich (1976), z at nh oi [7] Igor Konnov (2001), equalities, Springer The extragradient method for finding saddle z points and other problems, Ekon Math.Metody 12, pp 747-756 [9] L.D.Muu and W Oettli (1992), Convergence of an adaptive penalty scheme for finding constrained equilibria, Nonlin Anal TMA 18, pp Princeton University Press, m Convex Analysis, co l an Lu [10] R.T.Rockafellar (1970), Princeton, New Jersey gm @ 1159-1166 n va ac th si 40 An iterative method for equilibrium problems, variational inequality problems and fixed point problems for a nonexpansive semigroup in a Hilbert spaces, Bulletin of the Malaysian Mathematical Sci- [11] N.T.T Thuy, ences Society, (to appear) [12] Q.D Tran., L.D Muu and V.H Nguyen (2008), Extragradient algorithms extended to equilibrium problems, Optim 57, pp 749-776 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si
Ngày đăng: 21/07/2023, 08:57
Xem thêm: