Một phương pháp lặp kiểu halpern cho bài toán điểm bất động trong không gian banach

Một phương pháp lặp kiểu halpern cho bài toán điểm bất động trong không gian banach Một phương pháp lặp kiểu halpern cho bài toán điểm bất động trong không gian banach Một phương pháp lặp kiểu halpern cho bài toán điểm bất động trong không gian banach Một phương pháp lặp kiểu halpern cho bài toán điểm bất động trong không gian banach

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ LAN MỘT PHƯƠNG PHÁP LẶP KIỂU HALPERN CHO BÀI TỐN ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trương Minh Tuyên TS Phạm Hồng Trường Thái Nguyên – 2020 ii Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trương Minh Tuyên TS Phạm Hồng Trường, thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, thầy giáo, cô giáo khoa Toán -Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Ngun tận tình giúp đỡ tơi suốt trình học tập nghiên cứu Trường iii Mục lục Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu viết tắt v Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach phản xạ 1.2 Khoảng cách Bregman ánh xạ Bregman không giãn mạnh 1.2.1 Hàm lồi khoảng cách Bregman 1.2.2 Phép chiếu Bregman 20 1.2.3 Ánh xạ Bregman không giãn mạnh 23 1.3 Bài toán tìm điểm bất động ánh xạ Bregman khơng giãn mạnh 24 Chương Một phương pháp lặp kiểu Halpern tìm điểm bất động chung hữu hạn tốn tử Bregman khơng giãn mạnh 27 2.1 Thuật tốn bổ đề bổ trợ 28 2.2 Sự hội tụ mạnh thuật toán 29 2.3 Một số ứng dụng 35 2.3.1 Bài toán chấp nhận lồi 35 2.3.2 Khơng điểm chung tốn tử đơn điệu cực đại 36 2.3.3 Bài toán cân 36 2.3.4 Không điểm chung toán tử Bregman ngược đơn điệu mạnh 38 2.3.5 Bất đẳng thức biến phân 39 iv Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 v Một số ký hiệu viết tắt X không gian Banach X∗ không gian đối ngẫu X R tập hợp số thực R+ tập số thực không âm ∩ phép giao int M phần tập hợp M inf M cận tập hợp số M sup M cận tập hợp số M max M số lớn tập hợp số M M số nhỏ tập hợp số M argminx∈X F (x) tập điểm cực tiểu hàm F X ∅ tập rỗng dom(A) miền hữu hiệu toán tử (hàm số) A R(A) miền ảnh toán tử A A−1 toán tử ngược toán tử A I toán tử đồng lim sup xn giới hạn dãy số {xn } n→∞ lim inf xn giới hạn dãy số {xn } xn → x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn dãy {xn } hội tụ yếu x0 n→∞ x0 vi F (T ) tập điểm bất động ánh xạ T Fˆ (T ) tập điểm bất động tiệm cận ánh xạ T ∂f vi phân hàm lồi f f gradient hàm f M bao đóng tập hợp M projfC phép chiếu Bregman lên C Df (x, y) khoảng cách Bregman từ x đến y Mở đầu Đầu kỉ XX xuất nhiều định lý điểm bất động tiếng, phải kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912), nguyên lý ánh xạ co Banach (1922) Các kết mở rộng lớp ánh xạ không gian khác Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng lĩnh vực tốn học khác như: Giải tích số, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, tối ưu hóa, toán liên quan đến kinh tế toán cân bằng, toán chấp nhận lồi toán bất đẳng thức biến phân Bài toán điểm bất động có hai lĩnh vực quan tâm nghiên cứu chủ yếu, là: Ta quan tâm đến tồn nghiệm phương trình T (x) = x, T ánh xạ từ tập C không gian X vào X nghiệm x0 gọi điểm bất động T Trong nhiều trường hợp quan trọng việc giải phương trình đưa việc tìm điểm bất động ánh xạ thích hợp Chẳng hạn, X khơng gian tuyến tính, S ánh xạ X y phần tử cố định thuộc X, nghiệm phương trình S(x) = y điểm bất động ánh xạ T xác định T (x) = S(x) + x − y, với x ∈ X Bên cạnh việc tìm phương pháp tìm hay xấp xỉ điểm bất động ánh xạ thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều người làm tốn ngồi nước Một tốn xấp xỉ điểm bất động quan tâm nghiên cứu nhiều tốn tìm điểm bất động hay họ ánh xạ kiểu không giãn khơng gian Hilbert hay Banach Một khó khăn nghiên cứu toán điểm bất động toán liên quan khác (chẳng hạn toán tìm khơng điểm, bất đẳng thức biến phân, tốn cân bằng) không gian Banach người ta phải sử dụng đến ánh xạ đối ngẫu không gian Ta biết trường hợp tổng quát ánh xạ đối ngẫu khó xác định ngồi khơng có tính chất tuyến tính Do việc tìm dạng tường minh tốn tử giải tương ứng với tốn tử đơn điệu khơng gian Banach nói chung “rất khó” Để khắc phục khó khăn này, người ta sử dụng khoảng cách Bregman để thay cho khoảng cách thông thường thay ánh xạ đối ngẫu gradient phiếm hàm lồi, khả vi Gâteaux Mục đích luận văn trình bày lại kết tác giả Kim J.K Tuyen T.M báo [15] thuật tốn song song (thơng qua phương pháp lặp kiểu Halpern) tìm điểm bất động chung họ hữu hạn tốn tử Bregman khơng giãn mạnh, với số ứng dụng cho việc giải toán liên quan khác không gian Banach phản xạ Nội dung luận văn chia làm hai chương chính: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, luận văn đề cập đến số vấn đề không gian Banach phản xạ, khoảng cách Bregman, phép chiếu Bregman tốn tử Bregman khơng giãn mạnh Chương Một phương pháp lặp kiểu Halpern tìm điểm bất động chung hữu hạn tốn tử Bregman khơng giãn mạnh Trong chương luận văn tập trung trình bày lại cách chi tiết kết Kim J.K Tuyen T.M tài liệu [15] phương pháp lặp song song kiểu Halpern tìm điểm bất động chung họ hữu hạn tốn tử Bregman khơng giãn mạnh khơng gian Banach phản xạ Ngồi ra, số ứng dụng định lý cho việc giải số lớp toán liên quan khác (bài toán chấp nhận lồi, tốn tìm khơng điểm chung toán tử đơn điệu cực đại, toán cân bằng, khơng điểm chung tốn tử Bregman ngược đơn điệu mạnh bất đẳng thức biến phân) giới thiệu chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương bao gồm ba mục Mục 1.1 trình bày số tính chất không gian phản xạ Mục 1.2 giới thiệu khoảng cách Bregman, phép chiếu Bregman toán tử Bregman không giãn mạnh Mục 1.3 đề cập đến số phương pháp tìm điểm bất động tốn tử Bregman không giãn mạnh Nội dung chương tham khảo tài liệu [1, 14, 21, 27, 29] 1.1 Không gian Banach phản xạ Trước hết, mục nhắc lại khái niệm không gian Banach phản xạ Định nghĩa 1.1.1 Một không gian Banach X gọi không gian phản xạ, với phần tử x∗∗ không gian liên hợp thứ hai X ∗∗ X, tồn phần tử x thuộc X cho x, x∗ = x∗ , x∗∗ với x∗ ∈ X ∗ Chú ý 1.1.2 Trong luận văn, sử dụng ký hiệu x∗ , x để giá trị phiếm hàm x∗ ∈ X ∗ x ∈ X Mệnh đề 1.1.3 [1] Cho X không gian Banach Khi đó, khẳng định sau tương đương: i) X không gian phản xạ ii) Mọi dãy bị chặn X, có dãy hội tụ yếu Mệnh đề cho ta mối liên hệ tập đóng tập đóng yếu khơng gian tuyến tính định chuẩn Mệnh đề 1.1.4 Nếu C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian tuyến tính định chuẩn X, C tập đóng yếu Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Giả sử tồn dãy {xn } ⊂ C cho xn x, x ∈ / C Theo định lý tách tập lồi, tồn x∗ ∈ X ∗ tách ngặt x C, tức tồn ε > cho y, x∗ ≤ x, x∗ − ε, với y ∈ C Đặc biệt, ta có xn , x∗ ≤ x, x∗ − ε, với n ≥ Ngồi ra, xn x, nên xn , x∗ → x, x∗ Do đó, bất đẳng thức trên, cho n → ∞, ta nhận x, x∗ ≤ x, x∗ − ε, điều vơ lý Do đó, điều giả sử sai, hay C tập đóng yếu Mệnh đề chứng minh Chú ý 1.1.5 Nếu C tập đóng yếu, hiển nhiên C tập đóng 1.2 1.2.1 Khoảng cách Bregman ánh xạ Bregman không giãn mạnh Hàm lồi khoảng cách Bregman Cho X không gian Banach cho f : X −→ (−∞, ∞] hàm số Ta ký hiệu miền hữu hiệu domf tập {x ∈ X : f (x) < ∞} Với 31 Do đó, kết hợp (2.4) (2.6), ta nhận sn+1 ≤ (1 − αn )sn + αn cn Mệnh đề chứng minh Sự hội tụ mạnh dãy lặp {xn } Thuật toán 2.1.1 cho định lý Định lý 2.2.3 Cho X không gian phản xạ Cho Ti : X −→ X ánh xạ Bregman không giãn mạnh thỏa mãn F (Ti ) = Fˆ (Ti ) với i ∈ {1, 2, , N } N F (Ti ) = ∅ F = i=1 Cho f : X −→ R hàm Legendre, mạnh, bị chặn, khả vi Fréchet lồi hoàn toàn tập bị chặn X Nếu điều kiện (C1) (C2) thỏa mãn, dãy {xn } xác định Thuật toán 2.1.1, hội tụ mạnh x∗ = projfF (u) n → ∞ Chứng minh Đặt x∗ = projfF (u) {sn } dãy xác định Mệnh đề 2.2.2 với p = x∗ Ta sn → cách xét hai trường hợp sau Trường hợp Dãy {sn } giảm, theo nghĩa tồn N0 ≥ cho {sn } giảm n ≥ N0 {sn } dãy hội tụ Từ ta có lim (Df (x∗ , xn+1 ) − Df (x∗ , xn )) = lim (sn+1 − sn ) n→∞ n→∞ = (2.7) Từ (2.4) tính bị chặn dãy {xn }, tồn số M > cho f (x∗ ) − f (yn ), x∗ + f ∗ ( f (yn )) = Vf (x∗ , f (yn )) = Df (x∗ , yn ) ≤ M 32 Do đó, tập { f (yn )} chứa tập mức levψ≤ (M − f (x∗ )), ψ = f ∗ − ·, x∗ Vì f hàm nửa liên tục dưới, nên f ∗ nửa liên tục tơ pơ *yếu Vì vậy, theo kết Moreau-Rockafellar (xem [26, Định lý 7A] and [?]), hàm ψlà Điều suy tập { f (yn )} bị chặn Từ điều kiện (C1), ta nhận lim n→∞ f (xn+1 ) − f (yn ) = lim αn n→∞ f (u) − f (yn ) = (2.8) Vì f hàm mạnh liên tục tập bị chặn X, nên f ∗ khả vi Fréchet tập bị chặn X ∗ (xem [28, Mệnh đề 3.6.2]) Hơn nữa, f ∗ bị chặn tập bị chặn X ∗ (xem [28, Bổ đề 3.6.1] [4, Định lý 3.3]) Từ Bổ đề 1.2.16, suy f ∗ liên tục tập bị chặn X ∗ ta nhận lim xn+1 − yn = lim n→∞ n→∞ f ∗ ( f (xn+1 )) − f ∗ ( f (yn )) = (2.9) Do đó, từ Bổ đề 1.2.4, ta thu lim f (xn+1 ) − f (yn ) = (2.10) n→∞ Bây giờ, ta có Df (x∗ , yn ) − Df (x∗ , xn ) = f (x∗ ) − f (yn ) − f (yn ), x∗ − yn − Df (x∗ , xn ) = f (x∗ ) − f (xn+1 ) + f (xn+1 ) − f (yn ) − f (xn+1 ), x∗ − xn+1 + f (xn+1 ), x∗ − xn+1 − f (yn ), x∗ − yn − Df (x∗ , xn ) = Df (x∗ , xn+1 ) + (f (xn+1 ) − f (yn )) + f (xn+1 ), x∗ − xn+1 − f (yn ), x∗ − yn − Df (x∗ , xn ) = Df (x∗ , xn+1 ) + (f (xn+1 ) − f (yn )) (2.11) 33 f (yn ), x∗ − xn+1 + f (xn+1 ) − + f (yn ), yn − xn+1 Từ (2.8)–(2.11), ta nhận lim (Df (x∗ , yn ) − Df (x∗ , xn )) = lim (Df (x∗ , Tin (xn )) − Df (x∗ , xn )) n→∞ n→∞ (2.12) = Từ (1.15)-(1.17), suy lim Df (yn , xn ) = lim Df (Tin (xn ), xn ) = n→∞ n→∞ (2.13) Từ định nghĩa yn , ta có lim Df (yi,n , xn ) = lim Df (Ti (xn ), xn ) = 0, n→∞ n→∞ (2.14) với i = 1, 2, , N Vì X không gian phản xạ dãy {xn } bị chặn, nên tồn dãy {xnk } {xn } cho xnk lim sup f (u) − v f (x∗ ), xn − x∗ = f (u) − f (x∗ ), v − x∗ n→∞ Mặt khác, từ (2.14), limn→∞ Df (Ti (xn ), xn ) = với i = 1, 2, , N , ta có v ∈ F Từ định nghĩa phép chiếu Bregman Mệnh đề 1.2.27, suy lim sup f (u) − f (x∗ ), xn − x∗ ≤ 0, n→∞ tức là, lim supn→∞ cn ≤ 0, cn xác định Mệnh đề 2.2.2 Áp dụng Bổ đề 2.1.3 cho (2.5), ta nhận limn→∞ sn = 0, tức là, limn→∞ Df (x∗ , xn ) = Từ Mệnh đề 1.2.22, suy xn → x∗ Trường hợp Dãy {sn } khơng đơn điệu tăng Khi đó, theo Mệnh đề 2.1.2, ta xác định dãy số nguyên {τ (n)} với n ≥ n0 (với n0 đủ lớn) τ (n) = max{k ≤ n : sk < sk+1 } 34 Hơn nữa, τ dãy không giảm thỏa mãn τ (n) → ∞ n → ∞ sτ (n) < sτ (n+1) với n ≥ n0 Từ (2.6), ta có < sτ (n)+1 − sτ (n) ≤ 2ατ (n) f (u) − f (p), xτ (n)+1 − p Vì ατ (n) → tính bị chặn dãy {xn }, nên lim (sτ (n)+1 − sτ (n) ) = n→∞ (2.15) Bằng lập luận tương tự Trường hợp 1, ta nhận lim supn→∞ cτ (n) ≤ sτ (n)+1 ≤ (1 − ατ (n) )sτn + ατ (n) cτ (n) Do sτ (n)+1 > sτ (n) ατ (n) > 0, ta nhận sτ (n) ≤ cτ (n) Vì vậy, từ lim supn→∞ cτ (n) ≤ 0, ta thu limn→∞ sτ (n) = Điều với (2.15), suy limn→∞ sτ (n)+1 = Ta có ≤ sn ≤ max{sτ (n) , sn } ≤ sτ (n)+1 → Suy ra, sn → 0, tức là, {xn } hội tụ mạnh x∗ = projfF (u) (tương tự Trường hợp 1) Định lý chứng minh Ta biết X không gian Banach phản xạ, trơn, lồi chặt f (x) = x , khái niệm ánh xạ Bregman khơng giãn mạnh trở thành khái niệm ánh xạ không giãn tương đối mạnh Do đó, ta có hệ cho tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn tương đối mạnh (xem [30]) Hệ 2.2.4 Cho X không gian Banach phản xạ, trơn, lồi chặt J ánh ∗ xạ đối ngẫu chuẩn tắc từ X vào 2X Cho Ti ánh xạ không giãn tương đối 35 mạnh X với i ∈ {1, 2, , N } N F (Ti ) = ∅ F = i=1 Với u ∈ X, ta xác định dãy {xn } sau: x0 ∈ E    yi,n = Ti (xn ), i = 1, 2, , N,    chọn in cho φ(yin ,n , xn ) = maxi=1,2, ,N {φ(yi,n , xn )}, đặt yn = yin ,n ,     x −1 (αn J(u) + (1 − αn )J(yn )), n ≥ 0, n+1 = J {αn } ⊂ (0, 1) Nếu điều kiện (C1) (C2) thỏa mãn, dãy {xn } hội tụ mạnh x∗ = ΠF (u) n → ∞ 2.3 Một số ứng dụng Trong mục này, luận văn đề cập đến số ứng dụng Định lý 2.2.3 cho số toán liên quan 2.3.1 Bài toán chấp nhận lồi Cho Ci , i = 1, 2, , N N tập lồi, đóng khác rỗng X, cho C = ∩N i=1 Ci = ∅ toán chấp nhận lồi (CFP) xác định phần tử C Ta biết F (projfCi ) = Ci với i ∈ {1, 2, , N } hàm Legendre f khả vi Fréchet bị chặn tập bị chặn X, phép chiếu Bregman projf tốn tử BFNE F (projf ) = Fˆ (projf ) (xem [24]) Do đó, Ci Ci Ci lấy Ti = projfCi Định lý 2.2.3, ta nhận định lý để giải toán chấp nhận lồi Định lý 2.3.1 Cho Ci , i = 1, 2, , N N tập lồi, đóng khác rỗng X, cho C = ∩N i=1 Ci = ∅ Cho f : X −→ R hàm Legendre bị chặn, khả vi Fréchet lồi hoàn toàn tập bị chặn X Khi đó, với x0 ∈ X, dãy {xn } xác định Thuật toán 2.1.1 với Ti = projfCi với i = 1, 2, , N , hội tụ mạnh projfC (x0 ), n → ∞ 36 2.3.2 Khơng điểm chung tốn tử đơn điệu cực đại ∗ Cho A : X −→ 2X tốn tử đơn điệu cực đại tốn tìm phần tử x ∈ X cho ∈ Ax đóng vai trị quan trọng lĩnh vực tối ưu lĩnh vực liên quan Ta nhắc lại khái niệm toán tử giải A, ký hiệu ResfA : X −→ 2X xác định sau (xem [5]): ResfA (x) = ( f + A)−1 ◦ f (x) Bauschke cộng [5] chứng minh toán tử giải toán tử BFNE Nếu thêm điều kiện hàm Legendre f khả vi Fréchet bị chặn tập bị chặn X, tốn tử giải ResfA tốn tử BSNE thỏa mãn F (ResfA ) = Fˆ (ResfA ) (xem [24]) Từ F (ResfA ) = A−1 0, Định lý 2.2.3, ta lấy Ti = ResfAi với i = 1, 2, , N , ta nhận kết sau cho toán tìm khơng điểm chung họ hữu hạn tốn tử đơn điệu cực đại ∗ Định lý 2.3.2 Cho Ai : X −→ 2X , i = 1, 2, , N N toán tử đơn điệu cực −1 đại cho F = ∩N i=1 Ai = ∅ Cho f : X −→ R hàm Legendre bị chặn, khả vi Fréchet lồi hoàn toàn tập bị chặn X Khi đó, với x0 ∈ X, dãy {xn } xác định Thuật toán 2.1.1 với Ti = ResfAi với i = 1, 2, , N , hội tụ mạnh projfF (x0 ), n → ∞ 2.3.3 Bài toán cân Cho C tập lồi, đóng khác rỗng X Cho g song hàm xác định C × C nhận giá trị R Bài toán cân phát biểu sau: Tìm phần tử x ∈ C cho g(x, y) ≥ 0, ∀y ∈ C (2.16) Ta ký hiệu EP (g) tập nghiệm Bài toán (2.16) Để nghiên cứu Bài toán (2.16), ta cần đặt lên g số giả thiết sau (xem [6]): 37 C1) g(x, x) = với x ∈ C; C2) g đơn điệu, tức là, g(x, y) + g(y, x) ≤ với x, y ∈ C; C3) với x, y, z ∈ C, lim sup g(tz + (1 − t)x, y) ≤ g(x, y); t↓0 C4) với x ∈ C, g(x, ) hàm lồi, nửa liên tục Toán tử giải song hàm g : C × C −→ R (xem [13]) Resfg : X −→ 2C xác định Resfg (x) = {z ∈ C : g(z, y) + f (z) − f (x), y − z ≥ ∀y ∈ C} Ta cần bổ đề (xem [24]): Bổ đề 2.3.3 Cho f : X −→ (−∞, ∞] hàm khả vi Gâteaux Cho C tập lồi đóng X Nếu song hàm g : C × C −→ R thỏa mãn điều kiện C1)-C4), dom (Resfg ) = X Bổ đề 2.3.4 Cho f : X −→ (−∞, ∞] hàm Legendre Cho C tập lồi đóng X Nếu song hàm g : C × C −→ R thỏa mãn điều kiện C1)-C4), i) Resfg đơn trị; ii) Resfg toán tử BFNE; iii) tập điểm bất động Resfg tập nghiệm toán cân bằng, tức là, F (Resfg ) = EP (g); iv) EP (g) tập lồi đóng C; v) với x ∈ X u ∈ F (Resfg ), ta có Df (u, Resfg (x)) + Df (Resfg (x), x) ≤ Df (u, x) 38 Do đó, Từ Bổ đề 2.3.3 Bổ đề 2.3.4 suy f : X −→ R hàm Legendre, bức, bị chặn, khả vi Fréchet lồi hoàn toàn tập bị chặn X ta lấy Ti = Resfgi , Ti tốn tử BSNE với F (Ti ) = Fˆ (Ti ) (xem [24], Bổ đề 1.3.2) Ti có miền hữu hiệu X Do đó, ta có định lý sau: Định lý 2.3.5 Cho Ci , i = 1, 2, , N N tập lồi, đóng khác rỗng X cho gi : Ci × Ci −→ R, i = 1, 2, , N N song hàm thỏa mãn điều kiện C1)-C4) cho S = ∩N i=1 EP (gi ) = ∅ Cho f : X −→ R hàm Legendre, bức, bị chặn, khả vi Fréchet lồi hoàn toàn tập bị chặn X Khi đó, với x0 ∈ X, dãy {xn } xác định Thuật toán 2.1.1 với Ti = Resfgi với i = 1, 2, , N , hội tụ mạnh projfS (x0 ), n → ∞ 2.3.4 Không điểm chung toán tử Bregman ngược đơn điệu mạnh Lớp toán tử Bregman ngược đơn điệu mạnh xây dựng Butnariu Kassay tài liệu [10] Ta giả sử hàm Legendre f thỏa mãn điều kiện miền sau: ran ( f − A) ⊂ ran ( f ) (2.17) ∗ Một toán tử A : X −→ 2X gọi toán tử Bregman ngược đơn điệu mạnh (BISM) (domA) ∩ (int domf ) = ∅ với x, y ∈ int domf , ξ ∈ Ax, η ∈ Ay, ta có ξ − η, f ∗ ( f (x) − ξ) − f ∗ ( f (y) − η) ≥ Toán tử phản giải A Af : X −→ 2X xác định Af = fo∗ ( f − A) Ta biết toán tử A BISM toán tử phản giải Af (đơn trị) tốn tử BFNE (xem [10], Bổ đề 3.5) Reich cộng chứng ∗ minh f : X −→ (−∞, ∞] hàm Legendre A : X −→ 2X toán 39 tử BISM cho A−1 (0) = ∅, A−1 (0) = F (Af ) (xem [22], Mệnh đề 7) Do đó, hàm Legendre f khả vi Fréchet lồi hoàn toàn tập bị chặn X, tốn tử phản giải Af đơn trị toán tử BSNE thỏa mãn F (Af ) = Fˆ (Af ) (xem [24], Bổ đề 1.3.2) Bây giờ, cho Ci , i = 1, 2, , N N tập lồi, đóng khác rỗng ∗ X cho Ai : X −→ 2X , i = 1, 2, , N N toán tử BISM cho Ci ⊂ domAi với i ∈ {1, 2, , N } f : X −→ R Từ điều kiện miền (2.17), ta có domAfi = (domA) ∩ (int domf ) = domAi trường hợp int domf = X Từ Mệnh đề i) tài liệu [24], ta nhận A−1 (0) = F (Af ) Do đó, ta có định lý sau: Định lý 2.3.6 Cho Ci , i = 1, 2, , N N tập lồi, đóng khác rỗng ∗ X X cho C = ∩N i=1 Ci = ∅ Cho Ai : X −→ , i = 1, 2, , N N toán −1 tử BISM cho Ci ⊂ domAi S = ∩N i=1 Ai (0) = ∅ Cho f : X −→ R hàm Legendre, bị chặn, khả vi Fréchet lồi hoàn toàn tập bị chặn X Giả sử điều kiện miền (2.17) thỏa mãn với Ai Khi đó, với x0 ∈ X, dãy {xn } xác định Thuật toán 2.1.1 với Ti = Afi với i = 1, 2, , N , hội tụ mạnh projfS (x0 ), n → ∞ 2.3.5 Bất đẳng thức biến phân Xét bất đẳng thức biến phân: Tìm phần tử x† ∈ C cho Ax† , y − x† ≥ ∀y ∈ C, (2.18) A : X −→ X ∗ toán tử BISM C tập lồi, đóng khác rỗng domA Ta ký hiệu V I(C, A) tập nghiệm Bài toán (2.18) Ta biết (xem [22], Mệnh đề 8), Reich cộng chứng minh f : X −→ (−∞, ∞] hàm Legendre lồi hoàn toàn, thỏa mãn điều kiện miền (2.17) A : X −→ X ∗ toán tử BISM, C tập lồi, đóng khác rỗng domA ∩ int domf , V I(A, C) = F (projfC o Af ) 40 Ta biết phép chiếu Begman projfC toán tử BSNE thỏa mãn tính chất F (projfC ) = Fˆ (projfC ) Do đó, từ Bổ đề tài liệu [19], projfC o Af toán tử BSNE với F (projf o Af ) = Fˆ (projf o Af ) Vì vậy, ta có định lý sau: C C Định lý 2.3.7 Cho Ci , i = 1, 2, , N N tập lồi, đóng khác rỗng ∗ X cho C = ∩N i=1 Ci = ∅ Cho Ai : X −→ X , i = 1, 2, , N N toán tử BISM cho Ci ⊂ dom Ai S = ∩N i=1 V I(Ci , Ai ) = ∅ Cho f : X −→ R hàm Legendre, bị chặn, khả vi Fréchet lồi hoàn toàn tập bị chặn X Giả sử điều kiện miền (2.17) thỏa mãn với Ai Khi đó, với x0 ∈ X, dãy {xn } xác định Thuật toán 2.1.1 với Ti = Afi với i = 1, 2, , N , hội tụ mạnh projfS (x0 ), n → ∞ 41 Kết luận Luận văn trình bày lại cách chi tiết hệ thống vấn đề sau: • Một số tính chất đặc trưng không gian Banach phản xạ, khoảng cách Bregman, phép chiếu Bregman, hàm lồi hồn tồn • Tốn tử Bregman khơng giãn mạnh số kết tốn tìm điểm bất động cho lớp ánh xạ • Các kết nghiên cứu J.K Kim T.M Tuyen tài liệu [15] phương pháp lặp kiểu Halpern cho tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn toán tử Bregman không giãn mạnh không gian Banach phản xạ 42 Tài liệu tham khảo [1] Agarwal R P., O’Regan D., Sahu D R (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer [2] Ambrosetti A., Prodi G (1993), A Primer of Nonlinear Analysis, Cambridge University Press, Cambridge [3] Alber Y.I (1996), “Metric and generalized projection operators in Banach spaces: properties and applications, In: Kartsatos, A.G (ed.) Theory and Applications of Nonlinear Operator of Accretive and Monotone Type”, Marcel Dekker, New York, pp 15–50 [4] Bauschke H.H., Borwein J.M., Combettes P.L (2001), “Essential smoothness, essential strict convexity, and Legendre functions in Banach spaces”, Commun Contemp Math., 3, pp 615–647 [5] Bauschke H.H., Borwein J.M., Combettes P.L (2003), “Bregman monotone optimization algorithms”, SIAM J Control Optim., 42, pp 596–636 [6] Blum E., Oettli W (1994), “From optimization and variational inequalities to equilibrium problems”, Math Student, 63, pp 123–145 [7] Bonnans J.F., Shapiro A (2000), Perturbation Analysis of Optimization Problem, Springer, New York [8] Butnariu D., Iusem A.N (2000), Totally convex functions for fixed points computation and infinite dimensional optimization, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 43 [9] Butnariu D., Resmerita E (2006), “Bregman distances, totally convex functions and a method for solving operator equations in Banach spaces”, Abstr Appl Anal., 2006, pp 1–39 [10] Butnariu D., Kassay G (2008), “A proximal-projection method for finding zeroes of set-valued operators”, SIAM J Control Optim., 47, pp 2096–2136 [11] Censor Y., Lent A (1981), “An iterative row-action method for interval convex programming”, J Optim Theory Appl., 34, pp 321–353 [12] Censor Y., Reich S (1996), “Iterations of paracontractions and firmly nonexpansive operators with applications to feasibility and optimization”, Optimization, 37, pp 323–339 [13] Combettes P.L., Hirstoaga S.A (2005), “Equilibrium programming in Hilbert spaces”, J Nonlinear Convex Anal., 6, pp 117–136 [14] Goebel K., Kirk W.A (1990), Topics in Metric Fixed Point Theory, Cambridge Stud Adv Math., 28, Cambridge Univ Press, Cambridge, UK [15] Kim J.K., Tuyen T.M (2020), “A parallel iterative method for a finite family of Bregman strongly nonexpansive operators in reflexive Banach spaces”, Journal of the Korean Mathematical Society, 57(3), pp 617–640 [16] Kohsaka F., Takahashi W (2005), “Proximal point algorithms with Bregman functions in Banach spaces”, J Nonlinear Convex Anal., 6, pp 505–523 [17] Maingé P.E (2008), “Strong convergence of projected subgradient methods for nonsmooth and nonstrictly convex minimization”, Set-Valued Anal., 16, pp 899–912 [18] Martin-Marquez V., Reich S., Sabach S (2013), “Bregman strongly nonexpansive operators in reflexive Banach spaces”, J Math Anal Appl., 400, 597–614 44 [19] Reich S (1996), “A weak convergence theorem for the alternating method with Bregman distances, in: Theory and Applications of Nonlinear Operators of Accretive and Monotone Type”, Marcel Dekker, New York, pp 313– 318 [20] Reich S., Sabach S (2009), “A strong convergence theorem for a proximal type algorithm in reflexive Banach spaces”, J Nonlinear Convex Anal., 10, pp 471–485 [21] Reich S., Sabach S (2010), “Two strong convergence theorems for a proximal method in reflexive Banach spaces”, Numer Funct Anal Optim., 31, pp 22–44 [22] Reich S., Sabach S (2010), “Two strong convergence theorems for Bregman strongly nonexpansive operators in reflexive Banach spaces”, Nonlinear Analysis, 73, pp 122–135 [23] Reich S., Sabach S (2011), “Existence and approximation of fixed points of Bregman firmly nonexpansive mappings in reflexive Banachs paces, in: Fixed-Point Algorithms for Inverse Problems in Science and Engineering”, Springer, NewYork, pp 301–316 [24] Reich S., Sabach S (2011), “Existence and approximation of fixed points of Bregman firmly nonexpansive mappings in reflexive Banach spaces, in: Fixed-Point Algorithms for Inverse Problems in Science and Engineering”, Springer, New York, 49 , pp 301–316 [25] Resmerita E (2004), “On total convexity, Bregman projections and stability in Banach spaces”, J Convex Anal., 11, pp 1–16 [26] Rockafellar R.T (1966), “Level sets and continuity of conjugate convex functions”, Trans Amer Math Soc., 123, pp 46–63 45 [27] Suantai S., Cho Y.J., Cholamjiak P (2012), “Halperns iteration for Bregman strongly nonexpansive mappings in reflexive Banach spaces”, Comput Math Appl., 64, pp 489–499 [28] Zalinescu C (2002), Convex Analysis in General Vector Spaces, World Scientific, Publishing Co., Inc., River Edge, NJ [29] Zegeye H (2014), “Convergence theorems for Bregman strongly nonexpansive mappings in reflexive Banach spaces”, Filomat, 7, pp 1525–1536 [30] Zhao J., Wang S (2015), “Strong convergence for Bregman relatively nonexpansive mapping in reflexive Banach spaces and applications”, Nonlinear Funct Anal Appl., 20(3), pp 365-379 ... 27 Chương Một phương pháp lặp kiểu Halpern tìm điểm bất động chung hữu hạn tốn tử Bregman khơng giãn mạnh Trong chương này, đề cập đến phương pháp lặp kiểu Halpern cho tốn tìm điểm bất động chung... (T ) 1.3 Bài tốn tìm điểm bất động ánh xạ Bregman không giãn mạnh Mục trình bày số phương pháp lặp tìm điểm bất động (chung) tốn tử Bregman khơng gãn mạnh không gian Banach phản xạ X Cho Ti :... 1.2.3 Ánh xạ Bregman không giãn mạnh 23 1.3 Bài tốn tìm điểm bất động ánh xạ Bregman không giãn mạnh 24 Chương Một phương pháp lặp kiểu Halpern tìm điểm bất động chung hữu hạn tốn