Một định lý hội tụ mạnh cho bài toán không điểm chung tách trong không gian banach

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHẠM VĂN VƢƠNG MỘT ĐỊNH LÝ HỘI TỤ MẠNH CHO BÀI TỐN KHƠNG ĐIỂM CHUNG TÁCH TRONG KHƠNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHẠM VĂN VƢƠNG MỘT ĐỊNH LÝ HỘI TỤ MẠNH CHO BÀI TỐN KHƠNG ĐIỂM CHUNG TÁCH TRONG KHƠNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trƣơng Minh Tuyên THÁI NGUYÊN - 2019 ii Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS Trương Minh Tuyên, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu để hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, thầy giáo, giáo khoa Tốn – Tin, trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên tận tình giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Trường Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo đồng nghiệp trường THPT Tây Tiền Hải, huyện Tiền Hải, tỉnh Thái Bình Nhân dịp này, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, người thân, bạn bè động viện, khích lệ, tạo điều kiện giúp đỡ tơi trình học tập nghiên cứu iii Mục lục Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu viết tắt iv Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số vấn đề hình học khơng gian Banach 1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 12 1.3 Phép chiếu mêtric phép chiếu tổng quát 20 1.3.1 Phép chiếu mêtric 20 1.3.2 Phép chiếu tổng quát 22 1.4 Toán tử đơn điệu không gian Banach 25 Chương Xấp xỉ nghiệm tốn khơng điểm chung tách 28 2.1 Bài tốn khơng điểm chung tách tách 28 2.2 Xấp xỉ nghiệm tốn khơng điểm chung tách 29 2.3 Ứng dụng 38 2.3.1 Bài toán điểm cực tiểu tách 38 2.3.2 Bài toán chấp nhận tách 40 2.3.3 Bất đẳng thức biến phân tách 41 2.4 Ví dụ minh họa 44 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 iv Một số ký hiệu viết tắt E không gian Banach E∗ không gian đối ngẫu E R tập hợp số thực R+ tập số thực không âm ∩ phép giao inf M cận tập hợp số M sup M cận tập hợp số M max M số lớn tập hợp số M M số nhỏ tập hợp số M argminx∈X F (x) tập điểm cực tiểu hàm F X ∅ tập rỗng ∀x với x D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền ảnh toán tử A A−1 toán tử ngược toán tử A I toán tử đồng Lp (Ω) khơng gian hàm khả tích bậc p Ω lp không gian dãy số khả tổng bậc p lim sup xn giới hạn dãy số {xn } n→∞ lim inf xn giới hạn dãy số {xn } xn −→ x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn dãy {xn } hội tụ yếu x0 n→∞ x0 v JE ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc E jE ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị E δE (ε) mô đun lồi không gian Banach E ρE (τ ) mô đun trơn không gian Banach E F ix(T ) F (T ) tập điểm bất động ánh xạ T ∂f vi phân hàm lồi f M bao đóng tập hợp M PC phép mêtric lên C ΠC phép chiếu tổng quát lên C iC hàm tập lồi C Mở đầu Cho C Q tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert H1 H2 , tương ứng Cho T : H1 −→ H2 tốn tử tuyến tính bị chặn T ∗ : H2 −→ H1 toán tử liên hợp T Bài toán chấp nhận tách (SFP) có dạng sau: Tìm phần tử x∗ ∈ S = C ∩ T −1 (Q) = ∅ (SFP) Mơ hình tốn (SFP) lần giới thiệu nghiên cứu Y Censor T Elfving [4] cho mơ hình tốn ngược Bài tốn đóng vai trị quan trọng khơi phục hình ảnh Y học, điều khiển cường độ xạ trị điều trị bệnh ung thư, khơi phục tín hiệu (xem [2], [3]) hay áp dụng cho việc giải toán cân kinh tế, lý thuyết trò chơi (xem [11]) Giả sử C tập lồi đóng khơng gian Hilbert H1 Ta biết tập điểm cực tiểu hàm  0, x ∈ C, iC (x) = ∞, x ∈ /C arg minH1 iC (x) = C Do đó, ta nhận C = (∂iC )−1 (0), với ∂iC vi phân iC (Rockafellar [9] ∂iC toán tử đơn điệu cực đại) Ngoài ra, C tập khơng điểm tốn tử đơn điệu A xác định A = I − PC Do đó, ta xem tốn chấp nhận tách (SFP) trường hợp riêng tốn khơng điểm chung tách Bài tốn khơng điểm chung tách phát biểu dạng sau: Cho A : H1 −→ 2H1 B : H2 −→ 2H2 toán tử đơn điệu cực đại cho T : H1 −→ H2 tốn tử tuyến tính bị chặn Tìm phần tử x∗ ∈ S = A−1 (0) ∩ T −1 B −1 (0) = ∅ (SCNPP) Cho đến Bài toán (SCNPP) chủ đề thu hút nhiều người làm tốn ngồi nước quan tâm nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày lại kết Tuyen T.M tài liệu [12] phương pháp chiếu lai ghép cho Bài tốn (SCNPP) khơng gian Banach Nội dung luận văn chia làm hai chương chính: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, luận văn đề cập đến số vấn đề cấu trúc hình học không gian Banach không gian Banach lồi đều, không gian Banach trơn đều, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc; phép chiếu mêtric phép chiếu tổng qt; tốn tử đơn điệu khơng gian Banach, tốn tử giải mêtric Chương Xấp xỉ nghiệm tốn khơng điểm chung tách Trong chương luận văn tập trung trình bày lại cách chi tiết kết Tuyen T.M [12] phương pháp chiếu lai ghép cho tốn khơng điểm chung tách khơng gian Banach Ngồi ra, chương luận văn đề cập đến số ứng dụng phương pháp chiếu lai ghép (Định lý 2.1) cho toán điểm cực tiểu tách, toán chấp nhận tách bất đẳng thức biến phân tách Chương Kiến thức chuẩn bị Chương bao bồm mục Mục 1.1 trình bày số tính chất không gian phản xạ, không gian Banach lồi đều, trơn Mục 1.2 giới thiệu ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Mục 1.3 đề cập đến khái niệm phép chiếu mêtric phép chiếu tổng quát với số tính chất chúng Mục 1.4 trình bày tốn tử đơn điệu khơng gian Banach tốn tử giải mêtric Nội dung chương tham khảo tài liệu [1, 5, 6, 7, 8] 1.1 Một số vấn đề hình học khơng gian Banach Cho E không gian Banach E ∗ không gian đối ngẫu Để cho đơn giản thuận tiện hơn, chúng tơi thống sử dụng kí hiệu để chuẩn E E ∗ ; Sự hội tụ mạnh yếu dãy {xn } phần tử x E kí hiệu xn → x xn x toàn luận văn Trong luận văn này, thường xun sử dụng tính chất khơng gian Banach phản xạ Mệnh đề 1.1 (xem [1] trang 41) Cho E khơng gian Banach Khi đó, khẳng định sau tương đương: i) E không gian phản xạ ii) Mọi dãy bị chặn E, có dãy hội tụ yếu Mệnh đề cho ta mối liên hệ tập đóng tập đóng yếu khơng gian tuyến tính định chuẩn Mệnh đề 1.2 Nếu C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian khơng gian tuyến tính định chuẩn X, C tập đóng yếu Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Giả sử tồn dãy {xn } ⊂ C cho xn x, x ∈ / C Theo định lý tách tập lồi, tồn x∗ ∈ X ∗ tách ngặt x C, tức tồn ε > cho y, x∗ ≤ x, x∗ − ε, với y ∈ C Đặc biệt, ta có xn , x∗ ≤ x, x∗ − ε, với n ≥ Ngồi ra, xn x, nên xn , x∗ → x, x∗ Do đó, bất đẳng thức trên, cho n → ∞, ta nhận x, x∗ ≤ x, x∗ − ε, điều vơ lý Do đó, điều giả sử sai, hay C tập đóng yếu Mệnh đề chứng minh Chú ý 1.1 Nếu C tập đóng yếu, hiển nhiên C tập đóng Mệnh đề cho ta điều kiện tồn điểm cực tiểu phiếm hàm lồi, thường, nửa liên tục không gian Banach phản xạ Mệnh đề 1.3 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng không gian Banach phản xạ E f : C −→ (−∞, ∞] hàm lồi, thường, nửa liên tục C, cho f (xn ) → ∞ xn → ∞ Khi đó, tồn x0 ∈ dom(f ) cho f (x0 ) = inf{f (x) : x ∈ C} Chứng minh Đặt m = inf{f (x) : x ∈ C} Khi đó, tồn dãy {xn } ⊂ C cho f (xn ) → m n → ∞ Nếu {xn } khơng bị chặn, tồn dãy {xnk } {xn } cho xnk → ∞ Theo giả thiết, f (xnk ) → ∞, mâu thuẫn với m = ∞ Do đó, {xn } bị chặn Theo Mệnh đề 1.1 Mệnh đề 1.2, tồn dãy 34 Do đó, từ bất đẳng thức JE (xn − zj,n ) = rn T ∗ (JF (T xn − Qjµn T xn )), j = 1, 2, , M rn ≥ a > 0, ta nhận lim JF (T xn − Qjµn T xn ) = n→∞ for all j = 1, 2, , M Mệnh đề 2.4 Trong (2.2), ta có limn→∞ JE (zj,n − Jλi n zj,n ) = với i = 1, 2, , N j = 1, 2, , M Chứng minh Từ định nghĩa Dn , ta có yn = PDn zn đó, ta nhận yn − zn ≤ y − zn với y ∈ Dn Từ bất đẳng thức xn+1 ∈ Dn , ta có yn − zn ≤ xn+1 − zn Do đó, từ Mệnh đề 2.2 xn − zn → 0, ta thu yn − zn → Từ định nghĩa yn , ta có zn − yi,n → với i = 1, 2, , N , tức zn − Jλi n zn → 0, (2.15) zn − zj,n → (2.16) với i = 1, 2, , N Từ (2.13) (2.14), ta có với j = 1, 2, , M Từ Bổ đề 2.2, ta thu Jλi n zn − Jλi n zj,n → 0, (2.17) 35 với i = 1, 2, , N j = 1, 2, , M Do đó, từ (2.15)-(2.17), ta nhận zj,n − Jλi n zj,n → (2.18) Vì lim JE (zj,n − Jλi n zj,n ) = 0, n→∞ với i = 1, 2, , N j = 1, 2, , M Sự hội tụ mạnh phương pháp lặp (2.2) cho định lý đây: Định lý 2.1 Dãy {xn } xác định (2.2) hội tụ mạnh phần tử z0 ∈ S, z0 = PS x1 Chứng minh Vì dãy {xn } bị chặn, nên tồn dãy {xnk } {xn } hội tụ yếu phần tử w ∈ E Ta w ∈ S Từ (2.14), ta có zj,nk Jλi n zj,nk w k → ∞, với j = 1, 2, , M Từ (2.18) suy w k → ∞, với j = 1, 2, , M i = 1, 2, , N Từ định nghĩa Jλi n , ta có k JE (zj,nk − Jλi n zj,nk ) k λ nk ∈ Ai Jλi n zj,nk k Từ tính đơn điệu Ai suy s− Jλi n zj,nk , t∗ k − JE (zj,nk − Jλi n zj,nk ) k λnk ≥ 0, với (s, t∗ ) ∈ Ai Vì limk→∞ JE (zj,nk − Jλi n zj,nk ) = < b ≤ λnk , nên k ta nhận s − w, t∗ − ≥ 0, với (s, t∗ ) ∈ Ai Do Ai đơn điệu cực đại, nên w ∈ Ai−1 với i = 1, 2, , N Tiếp theo, T tốn tử tuyến tính bị chặn, nên T xnk Từ Mệnh đề 2.3, ta có Qjµn T xnk k T w, k → ∞ Từ định nghĩa Qjµn , k suy JF (T xnk − Qjµnk T xnk ) µnk T w, k → ∞ ∈ Bj Qjµn T xnk k 36 Từ tính đơn điệu Bj , ta nhận ∗ u − T x nk , v − JF (T xnk − Qjµn T xnk ) k µnk ≥ 0, với (u, v ∗ ) ∈ Bj Từ JF (T xnk − Qjµn T xnk ) → < b ≤ µnk , suy k ∗ ∗ u − T w, v − ≥ với (u, v ) ∈ Bj Vì Bj tốn tử đơn điệu cực đại, nên −1 T w ∈ Bj−1 với j = 1, 2, , M , tức w ∈ T −1 (∩M j=1 Bj 0) Vậy w ∈ S Bây giờ, từ z0 = PS x1 , w ∈ S (2.11), ta có x1 − z0 ≤ x1 − w ≤ lim inf x1 − xnk k→∞ ≤ lim sup x1 − xnk k→∞ ≤ x1 − z0 Khi đó, ta thu lim x1 − xnk = x1 − w = x1 − z0 k→∞ Từ định nghĩa z0 , ta nhận z0 = w Vì E thỏa mãn tính chất Kadec-Klee (xem Mệnh đề 1.6), nên limk→∞ xnk = z0 Từ tính z0 , suy dãy {xn } hội tụ mạnh z0 = PS x1 , n → ∞ Khi N = M = 1, ta có hệ đây: Hệ 2.1 Cho E F không gian Banach lồi trơn cho JE , JF ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc E F , tương ứng Cho A B ∗ ∗ toán tử đơn điệu cực đại từ E vào 2E F vào 2F , tương ứng Cho Jλ Qµ toán tử giải mêtric A với λ > B với µ > 0, tương ứng Cho T : E −→ F toán tử tuyến tính bị chặn cho T = T ∗ toán tử liên hợp T Giả sử S = A−1 ∩ T −1 (B −1 0) = ∅ Lất x1 ∈ E cho {xn } dãy xác định zn = xn − rn JE−1 T ∗ (JF (T xn − Qµn T xn )), , yn = Jλn zn , Cn = {z ∈ E : xn − z, JE (xn − zn ) ≥ rn T xn − Qµn T xn }, 37 Dn = {z ∈ E : yn − z, JE (zn − yn ) ≥ 0}, Qn = {z ∈ E : xn − z, JE (x1 − xn ) ≥ 0}, xn+1 = PCn ∩Dn ∩Qn x1 , n ≥ 1, {λn }, {µn } ⊂ (0, ∞) a, b ∈ R thỏa mãn bất đẳng thức sau < a ≤ rn , < b ≤ λn , µn , ∀n ∈ N Khi đó, dãy {xn } hội tụ mạnh phần tử z0 ∈ S, với z0 = PS x1 Từ Định lý 2.1, ta có kết sau cho tốn tìm khơng điểm chung họ hữu hạn tốn tử đơn điệu cực đại không gian Banach Định lý 2.2 Cho E không gian Banach lồi đều, trơn cho JE ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc E Cho Ai , i = 1, 2, , N toán tử đơn điệu cực đại ∗ −1 từ E vào 2E Cho Jλi toán tử giải Ai với λ > Giả sử S = ∩N i=1 Ai = ∅ Với x1 ∈ E bất kỳ, cho {xn } dãy xác định yi,n = Jλi n xn , i = 1, 2, , N, Chọn in cho yin ,n − xn = max i=1, ,N yi,n − xn , đặt yn = yin ,n , Dn = {z ∈ E : yn − z, JE (xn − yn ) ≥ 0}, Qn = {z ∈ E : xn − z, JE (x1 − xn ) ≥ 0}, (2.19) xn+1 = PDn ∩Qn x1 , n ≥ 1, {λn } a ∈ R thỏa mãn bất đẳng thức sau < a ≤ λn , ∀n ∈ N Khi đó, dãy {xn } hội tụ mạnh phần tử z0 ∈ S, với z0 = PS x1 ∗ Chứng minh Áp dụng Định lý 2.1 với E ≡ F , Bj : E −→ 2E xác định Bj x = với j = 1, 2, , M x ∈ E (tức là, Bj = ∂iE ), T ánh xạ đồng E rn = với n ≥ 1, ta nhận điều phải chứng minh Ta có hệ cho tốn tìm khơng điểm chung họ hữu hạn tốn tử đơn điệu cực đại khơng gian Hilbert 38 Hệ 2.2 Cho H không gian Hilbert thực Cho Ai , i = 1, 2, , N toán tử đơn điệu cực đại từ H vào 2H Cho Jλi toán tử giải Ai với −1 λ > Giả sử S = ∩N i=1 Ai = ∅ Với x1 ∈ H, cho {xn } dãy xác định yi,n = Jλi n xn , i = 1, 2, , N, Chọn in cho yin ,n − xn = max i=1, ,N Dn = {z ∈ E : yn − z, xn − yn ≥ 0}, Qn = {z ∈ E : xn − z, x1 − xn ≥ 0}, yi,n − xn , đặt yn = yin ,n , (2.20) xn+1 = PDn ∩Qn x1 , n ≥ 1, {λn } a ∈ R thỏa mãn bất đẳng thức < a ≤ λn , ∀n ∈ N Khi đó, dãy {xn } hội tụ mạnh phần tử z0 ∈ S, với z0 = PS x1 2.3 2.3.1 Ứng dụng Bài toán điểm cực tiểu tách Cho E không gian Banach cho f : E −→ (−∞, ∞] hàm lồi, thường, nửa liên tục Dưới vi phân f ánh xạ đa trị ∂f : ∗ E −→ 2E xác định ∂f (x) = {g ∈ E ∗ : f (y) − f (x) ≥ y − x, g , ∀y ∈ E} với x ∈ E Ta biết ∂f toán tử đơn điệu cực đại (xem [9]) x0 ∈ arg minE f (x) ∂f (x0 ) Do đó, ta có định lý sau: Định lý 2.3 Cho E F không gian Banach lồi trơn Cho JE JF ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc E F , tương ứng Cho fi , i = 1, 2, , N gj , j = 1, 2, , M hàm lồi, thường, nửa liên tục từ E vào (−∞, ∞] từ F vào (−∞, ∞], tương ứng Cho T : E −→ F tốn tử tuyến tính bị chặn cho T = T ∗ toán tử liên hợp T Giả sử 39 −1 −1 −1 (∩M S = ∩N j=1 (∂gj ) 0) = ∅ Với x1 ∈ E, cho {xn } dãy i=1 (∂fi ) ∩ T xác định tj,n = arg min{gj (y) + y∈F y − T xn }, 2µn zj,n = xn − rn JE−1 T ∗ (JF (T xn − tj,n )), j = 1, 2, , M, Chọn jn cho zjn ,n − xn = max zj,n − xn , đặt zn = zjn ,n , j=1, ,M yi,n = arg min{fi (x) + y∈E x − zn }, i = 1, 2, , N, 2λn Chọn in cho yin ,n − zn = max yi,n − zn , đặt yn = yin ,n , i=1, ,N Cn = {z ∈ E : xn − z, JE (xn − zn ) ≥ rn T xn − tjn ,n }, Dn = {z ∈ E : yn − z, JE (zn − yn ) ≥ 0}, Qn = {z ∈ E : xn − z, JE (x1 − xn ) ≥ 0}, xn+1 = PCn ∩Dn ∩Qn x1 , n ≥ 1, {λn }, {µn } ⊂ (0, ∞) a, b ∈ R thỏa mãn bất đẳng thức < a ≤ rn , < b ≤ λn , µn , ∀n ∈ N Khi đó, dãy {xn } hội tụ mạnh phần tử z0 ∈ S, với z0 = PS x1 Chứng minh Ta có tj,n = arg min{gj (y) + y∈F y − T xn } 2µn ∂gj (tj,n ) + JF (tj,n − T xn ) µn 0, suy tj,n = Qjµn T xn , Qjµn tốn tử giải mêtric Bj Tương tự, ta có yi,n = arg min{fi (x) + y∈E x − zn }, 2λn yi,n = Jλi n zn , (2.21) 40 Jλj n toán tử giải mêtric Ai Do đó, áp dụng Định lý 2.1, ta nhận điều phải chứng minh 2.3.2 Bài toán chấp nhận tách Cho C tập lồi, đóng khác rỗng E Đặt iC hàm C, tức là,  0, x ∈ C, iC (x) = ∞, x ∈ / C Dễ thấy iC hàm lồi, thường, nửa liên tục dưới, tốn tử vi phân ∂iC đơn điệu cực đại Ta biết ∂iC (u) = N (u, C) = {f ∈ E ∗ : u − y, f ≥ ∀y ∈ C}, N (u, C) nón pháp tuyến C u Ta ký hiệu toán tử giải mêtric ∂iC Jr với r > Giả sử u = Jr x với x ∈ E, tức JE (x − u) ∈ ∂iC (u) = N (u, C) r Do đó, ta có u − y, JE (x − u) ≥ 0, với y ∈ C Từ Mệnh đề 1.13, ta nhận u = PC x Do vậy, từ Định lý 2.3, ta có định lý sau: Định lý 2.4 Cho E F không gian Banach lồi trơn Cho JE JF ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc E F , tương ứng Cho Li , i = 1, 2, , N Kj , j = 1, 2, , M tập lồi, đóng khác rỗng E F , tương ứng Cho T : E −→ F tốn tử tuyến tính bị chặn cho T = T ∗ −1 toán tử liên hợp T Giả sử S = ∩N (∩M i=1 Li ∩ T j=1 Kj ) = ∅ Với x1 ∈ E, cho {xn }là dãy xác định zj,n = xn − rn JE−1 T ∗ (JF (T xn − PKj T xn )), j = 1, 2, , M, Chọn jn cho zjn ,n − xn = max j=1, ,M yi,n = PLi zn , i = 1, 2, , N, zj,n − xn , đặt zn = zjn ,n , 41 Chọn in cho yin ,n − zn = max i=1, ,N yi,n − zn , đặt yn = yin ,n , Cn = {z ∈ E : xn − z, JE (xn − zn ) ≥ rn T xn − PKjn T xn }, Dn = {z ∈ E : yn − z, JE (zn − yn ) ≥ 0}, Qn = {z ∈ E : xn − z, JE (x1 − xn ) ≥ 0}, xn+1 = PCn ∩Dn ∩Qn x1 , n ≥ 1, (2.22) {rn } ⊂ (0, ∞) a ∈ R thỏa mãn bất đẳng thức < a ≤ rn , ∀n ∈ N Khi đó, dãy {xn } hội tụ mạnh phần tử z0 ∈ S, với z0 = PS x1 Ta có hệ cho toán chấp nhận lồi không gian Banach Hệ 2.3 Cho E không gian Banach lồi trơn cho JE ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc E Cho Li , i = 1, 2, , N tập lồi, đóng khác rỗng E Giả sử S = ∩N i=1 Li = ∅ Với x1 ∈ E, cho {xn } dãy xác định yi,n = PLi xn , i = 1, 2, , N, Chọn in cho yin ,n − xn = max i=1, ,N yi,n − xn , đặt yn = yin ,n , Dn = {z ∈ E : yn − z, JE (xn − yn ) ≥ 0}, Qn = {z ∈ E : xn − z, JE (x1 − xn ) ≥ 0}, (2.23) xn+1 = PDn ∩Qn x1 , n ≥ Khi đó, dãy {xn } hội tụ mạnh phần tử z0 ∈ S, với z0 = PS x1 2.3.3 Bất đẳng thức biến phân tách Cho C tập lồi, đóng khác rỗng E cho A : C −→ E ∗ toán tử đơn điệu h-liên tục (tức là, với c ∈ C tn → 0+ , ta có A(x + tn y) Ax với y ∈ E cho x + tn y ∈ C) Khi đó, phần tử u ∈ C gọi nghiệm bất đẳng thức biến phân ứng với A, y − u, Au ≥ ∀y ∈ C 42 Ta ký hiệu V I(C, A) tập nghiệm bất đẳng thức biến phân ứng với toán tử A Ta xác định ánh xạ T  Ax + N (x, C), x ∈ C, TA x = ∅, x ∈ / C Theo [9], TA toán tử đơn điệu cực đại TA−1 = V I(C, A) Với y ∈ E r > 0, ta biết tập nghiệm bất đẳng thức biên phân V I(C, rA + JE (• − y)) có phần tử Giả sử x = V I(C, rAx + JE (x − y)), tức z − x, rA(x) + JE (x − y) ≥ ∀z ∈ C Từ định nghĩa N (x, C), ta có −rAx − JE (x − y) ∈ N (x, C) = rN (x, C), suy JE (y − x) ∈ Ax + N (x, C) = TA x r Do đó, ta nhận x = Jr y, Jr tốn tử giải mêtric TA Cho E F không gian Banach lồi trơn Cho Ki , i = 1, 2, , N Lj , j = 1, 2, , M tập lồi, đóng khác rỗng E F , tương ứng Cho Ai : Ki −→ E ∗ Bj : Lj −→ F ∗ toán tử đơn điệu, h-liên tục Cho T : E −→ F tốn tử tuyến tính bị chặn cho T = Giả sử −1 S = ∩N (∩M i=1 V I(Ki , Ai ) ∩ T j=1 V I(Bj , Lj )) = ∅ Xét toán bất đẳng thức biến phân tách sau: Tìm phần tử x∗ ∈ S (2.24) Để giải toán (2.24), tác giả T.M Tuyen xây dựng toán tử TAi TBj sau:  Ai x + N (x, Ki ) x ∈ Ki , TAi x = ∅ x ∈ / Ki ,  Bj x + N (x, Lj ) x ∈ Lj , TBj x = ∅ x ∈ /L, j 43 với i = 1, 2, , N j = 1, 2, , M Với r > 0, ta ký hiệu Jri Qjr toán tử giải mêtric TAi TBj ,tương ứng Từ lập luận trên, Bài toán (2.24) tương đương với tốn khơng điểm chung tách ứng với toán tử đơn điệu cực đại TAi TBj Do đó, từ Định lý 2.1, ta có kết sau: Định lý 2.5 Cho x1 ∈ E phần tử cho {xn } dãy xác định tj,n = V I(Lj , µn Bj + JF (• − T xn )), j = 1, 2, , M, zj,n = xn − rn JE−1 T ∗ (JF (T xn − tj,n )), j = 1, 2, , M, Chọn jn cho zjn ,n − xn = max j=1, ,M zj,n − xn , đặt zn = zjn ,n , yi,n = V I(Ki , λn Ai + JE (• − zn )), i = 1, 2, , N, Chọn in cho yin ,n − zn = max i=1, ,N yi,n − zn , đặt yn = yin ,n , Cn = {z ∈ E : xn − z, JE (xn − zn ) ≥ rn T xn − Qjµnn T xn }, Dn = {z ∈ E : yn − z, JE (zn − yn ) ≥ 0}, Qn = {z ∈ E : xn − z, JE (x1 − xn ) ≥ 0}, (2.25) xn+1 = PCn ∩Dn ∩Qn x1 , n ≥ 1, {λn }, {µn } ⊂ (0, ∞) a, b ∈ R thỏa mãn bất đẳng thức sau: < a ≤ rn , < b ≤ λn , µn , ∀n ∈ N Khi đó, dãy {xn } hội tụ mạnh phần tử z0 ∈ S, với z0 = PS x1 Cuối cùng, ta có hệ cho hệ bất đẳng thức biến phân: Hệ 2.4 Cho E không gian Banach lồi trơn Cho Ki , i = 1, , N tập lồi, đóng khác rỗng E Cho Ai : Ki −→ E ∗ toán tử đơn điệu, h-liên tục Giả sử S = ∩N i=1 V I(Ki , Ai ) = ∅ Với x1 ∈ E, cho {xn } dãy xác định yi,n = V I(Ki , λn Ai + JE (• − xn )), i = 1, 2, , N, Chọn in cho yin ,n − xn = max i=1, ,N yi,n − xn , đặt yn = yin ,n , 44 Dn = {z ∈ E : yn − z, JE (xn − yn ) ≥ 0}, Qn = {z ∈ E : xn − z, JE (x1 − xn ) ≥ 0}, xn+1 = PDn ∩Qn x1 , n ≥ 1, {λn } ⊂ (0, ∞) a ∈ R thỏa mãn bất đẳng thức < a ≤ λn ∀n ∈ N Khi đó, dãy {xn } hội tụ mạnh phần tử z0 ∈ S, với z0 = PS x1 2.4 Ví dụ minh họa Ví dụ 2.1 Xét tốn chấp nhận tách, tìm phần tử x∗ ∈ S = ∩N i=1 Li ∩ N T −1 (∩M Kj ⊂ RM xác định j=1 Kj ), với Li ⊂ R Li = {x ∈ RN : aLi , x ≤ bLi }, K Kj = {x ∈ RM : aK j , x ≤ bj }, M aLi ∈ RN , aK bLi , bK j ∈ R j ∈ R với i = 1, 2, , N j = 1, 2, , M , T tốn tử tuyến tính bị chặn từ RN vào RM với ma trận có phần tử lấy ngẫu nhiên đoạn [2, 4] Tiếp theo, tọa độ L K véc tơ aLi , aK j lấy ngẫu nhiên đoạn [1, 3], bi , bj lấy ngẫu nhiên đoạn [5, 10] [2, 4], tương ứng −1 Dễ thấy ∈ S = (∩N (∩M i=1 Li ) ∩ T j=1 Kj ) dó S = ∅ Chú ý 2.1 Trong ví dụ này, ta xác định hàm số TOLn TOLn = N N xn − PCi xn i=1 + M M T xn − PQj T xn , j=1 với n ≥ Nếu bước lặp thứ n, TOLn = 0, xn ∈ S, tức là, xn nghiệm tốn Do đó, ta sử dụng điều kiện TOLn < err để dừng thuật toán, err sai số cho trước Lấy N = 10, M = 20, N = 20, M = 50 Xét hội tụ phương pháp lặp (2.22) Định lý 2.3 với x0 có tọa độ lấy ngẫu nhiên đoạn [10, 50], ta nhận bảng kết số 45 Phương pháp lặp (2.22) err TOLn 10−3 10−4 10−5 6.823227758529849e − 004 9.976801269707151e − 005 9.995962160965001e − 006 n 1220 5202 Bảng 2.1: Kết số cho phương pháp lặp (2.22) Dáng điệu hàm số TOL Bảng 2.1 mô tả hình đây: 10 TOL 10 10 10 TOL 10 −1 10 −2 10 −3 10 −4 10 −5 10 1000 2000 3000 Number of iterations 4000 5000 6000 Hình 2.1: Dáng điệu hàm số TOL với điều kiện dừng TOLn < 10−5 46 Kết luận Luận văn trình bày lại cách chi tiết hệ thống vấn đề sau: • Một số tính chất đặc trưng không gian không gian Banach phản xạ, không gian Banach lồi đều, không gian Banach trơn ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc; • Phép chiếu mêtric phép chiếu tổng quát với số tính chất chúng; • Tốn tử đơn điệu đa trị khơng gian Banach tốn tử giải mêtric; • Các kết nghiên cứu T.M Tuyen tài liệu [12] phương pháp chiếu lai ghép cho tốn khơng điểm chung tách khơng gian Banach Ngoài ra, chương luận văn đề cập đến ứng dụng phương pháp chiếu lai ghép cho số toán liên quan toán điểm cực tiểu tách, toán chấp nhận tách toán bất đẳng thức biến phân tách 47 Tài liệu tham khảo [1] Agarwal R P., O’Regan D., Sahu D R (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer [2] Byrne C (2002), “Iterative oblique projection onto convex sets and the split feasibility problem”, Inverse Problems, 18 (2), pp 441–453 [3] Byrne C (2004), “A unified treatment of some iterative algorithms in signal processing and image reconstruction”, Inverse Problems, 18, pp 103–120 [4] Censor Y., Elfving T (1994), “A multi projection algorithm using Bregman projections in a product space”, Numer Algorithms, (2-4), pp 221–239 [5] Diestel J (1970), Geometry of Banach Spaces-Selected Topics, SpringerVerlag [6] Goebel K., Kirk W.A (1990), Topic in Metric Fixed Point Theory, Cambridge University Press [7] Kamimura S., Takahashi W (2003), “Strong convergence of proximal-type algorithm in Banach space”, SIAM J Optim., 13(3), pp 938–945 [8] Lindenstrauss J., Tzafriri L (1979), Classical Banach Spaces II: Function Spaces, Ergebnisse Math Grenzgebiete Bd 97, Springer-Verlag [9] Rockafellar R T (1970), “On the maximal monotonicity of subdifferential mappings”, Pacific J Math., Vol 33(1), pp 209–216 [10] Rockafellar R T (1970), “On the maximality of sums of nonlinear monotone operators”, Trans Amer Math Soc., 149, pp 75–88 [11] Shehu Y., Agbebaku D.F (2017), “On split inclusion problem and fixed point problem for multi-valued mappings”, Comp Appl Math., 37(2), pp 1807–1824 48 [12] Tuyen T.M., (2017), “A strong convergence theorem for the split common null point problem in Banach space”, Appl Math Optim., 79(1), pp 207– 227 ... {xn } hội tụ mạnh phần tử z0 ∈ S, với z0 = PS x1 Từ Định lý 2.1, ta có kết sau cho tốn tìm khơng điểm chung họ hữu hạn tốn tử đơn điệu cực đại không gian Banach Định lý 2.2 Cho E không gian Banach. ..  - PHẠM VĂN VƢƠNG MỘT ĐỊNH LÝ HỘI TỤ MẠNH CHO BÀI TỐN KHƠNG ĐIỂM CHUNG TÁCH TRONG KHƠNG GIAN BANACH Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN... hội tụ mạnh phương pháp lặp (2.2) cho định lý đây: Định lý 2.1 Dãy {xn } xác định (2.2) hội tụ mạnh phần tử z0 ∈ S, z0 = PS x1 Chứng minh Vì dãy {xn } bị chặn, nên tồn dãy {xnk } {xn } hội tụ