Luận văn phương pháp weiszfeld giải bài toán fermat weber (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————– * ——————— LÊ VĂN BÌNH PHƯƠNG PHÁP WEISZFELD GIẢI BÀI TỐN FERMAT-WEBER Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ THANH HĨA, 2016 Luận văn hồn thành Trường Đại học Hồng Đức Người hướng dẫn: GS TS ĐẶNG QUANG Á Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ khoa học Tại: Vào hồi: .ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận văn Thư viện Trường Đại học Hồng Đức, Bộ môn .Trường Đại học Hồng Đức 1 Mở đầu Lý chọn đề tài Vào kỷ 17, nhà toán học Pháp tiếng Pierre de Fermat (16011665), sách “Treatise on Minima and Maxima” đưa toán sau “Cho trước ba điểm mặt phẳng Hãy tìm điểm thứ tư cho tổng khoảng cách từ điểm tới ba điểm cho trước nhỏ có thể” Bài tốn Fermat Evangelista Torricelli (1608-1647) giải phương pháp hình học vào năm 1640 Phương pháp Torricelli sau: Cho tam giác ABC Dựng tam giác ABD, BCE, ACF bên ngồi tam giác ABC Dựng đường trịn ngoại tiếp tam giác ACF, ABD, BCE Giao điểm ba đường tròn ký hiệu P Điểm P điểm có tổng khoảng cách đến ba điểm A, B, C ngắn Điểm mang tên điểm Torricelli tam giác tạo ba điểm cho Xuất phát từ toán Fermat, có nhiều người khai thác, mở rộng theo nhiều hướng khác Một mở rộng toán Fermat toán Fermat - Weber (bài toán định vị), phát biểu sau: Cho m điểm a1 , a2 , , am Rn với trọng số wj > Tìm điểm x∗ cho  f (x∗ ) = f (x) = m P i=1  wi kx − k , x ∈ Rn Nhà toán học người Hungary, Endre Weiszfeld, 16 tuổi đưa phương pháp để giải toán Fermat - Weber, sau gọi phương pháp Weiszfeld Năm 1962, sở phương pháp giải Weiszfeld, nhà toán học Kuenne tìm lời giải Đến năm 1973, nhà toán học Kuhn thêm vào phần chứng minh Kuenne để hoàn thiện phương pháp giải toán Nhà toán học Cooper phát lại phương pháp Weiszfeld toán vào năm 1963, để giải tốn tổng qt hơn, toán định vị nhiều điểm R2 Luận văn "phương pháp Weiszfeld giải tốn Fermat-Weber" có mục đích trình bày kết phương pháp Weiszfeld giải toán Fermat-Weber ứng dụng tốn tối ưu Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu phương pháp Weiszfeld giải tốn Fermat-Weber Ngồi ra, luận văn nghiên cứu phương pháp Weiszfeld cải biên, đồng thời mở rộng phương pháp Weiszfeld ngồi phạm vi tốn Fermat-Weber Đối tượng phạm vi nghiên cứu + Phương pháp Weiszfeld giải toán Fermat-Weber + Các tài liệu, sách báo liên quan đến phương pháp Weiszfeld giải toán Fermat-Weber Phương pháp nghiên cứu + Tổng hợp, phân tích, hệ thống kiến thức toán học phương pháp Weiszfeld giải toán Fermat-Weber + Đối chiếu so sánh với phương pháp khác Chọn tên đề tài Phương pháp Weiszfeld giải toán Fermat-Weber 3 Cấu trúc luận văn Bố cục luận văn bao gồm chương • Chương Lịch sử toán Fermat-Weber phương pháp Weiszfeld giải tốn Fermat-Weber • Chương Các phương pháp khác giải toán Fermat-Weber 4 Chương LỊCH SỬ BÀI TOÁN FERMAT-WEBER VÀ PHƯƠNG PHÁP CỦA WEISZFELD GIẢI BÀI TỐN FERMAT-WEBER 1.1 Bài tốn Fermat mặt phẳng Vào kỷ 17, nhà toán học người pháp tiếng Pierre De Fermat (1601-1665), sách "Treatise on Minima and Maxima" đưa toán sau đây: "Cho trước ba điểm mặt phẳng Hãy tìm điểm thứ tư cho tổng khoảng cách từ điểm tới ba điểm cho trước nhỏ có thể" Bài tốn Fermat Evangelista Torricelli (1608-1647) giải phương pháp hình học vào năm 1640, phương pháp Torricelli đưa đơn giản sau: Dựng tam giác ABD, BCE, CAF bên tam giác ABC Dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác ACF, ABD, BCE Giao điểm ba đường trịn kí hiệu P Điểm P điểm có tổng khoảng cách đến ba điểm A, B, C ngắn Điểm mang tên điểm Torricelli tam giác tạo ba điểm cho Ngay sau đó, Bonaventura Francesco Cavalieri (1598-1667) điểm Torricelli P nhìn ba cạnh tam giác ABC góc 1200 Thomas Simpson (1710-1761) đóng góp thêm phương pháp tìm điểm Torricelli vào năm 1750 Phương pháp Simpson thực cách dựng tam giác ABD, BCE, CAF bên tam giác ABC Vẽ đường thẳng AE, BF, CD Giao điểm ba đường điểm Torricelli Sau nhiều kỷ, toán Fermat phát triển lại dạng tổng quát nhiều nhà toán học khác Một toán tổng quát toán Fermat phát biểu sau Bài toán Fermat: Cho trước tập hợp điểm hữu hạn mặt phẳng Hãy tìm điểm cho tổng khoảng cách từ điểm tới điểm cho trước nhỏ Điểm cần tìm gọi điểm Torricelli hệ n điểm cho trước 1.2 Bài toán Fermat-Weber Định lý Weiszfeld phát biểu sau Định lý 1.1 ([3; tr 3]) Giả sử điểm tập A khơng thẳng hàng Khi a Bài tốn (F W ) có lời giải tối ưu b Giả sử x∗ lời giải tối ưu toán (F W ) Nếu x∗ ∈ / A, ∗ ∇f (x ) = m X i=1 x ∗ − wi ∗ = kx − k (1.1) Nếu x∗ = với i ∈ {1, 2, , m} ta có bất đẳng thức m ∗ X x − a j ≤ wi w i ∗ − a k kx j j=1,j6=i PHƯƠNG PHÁP WEISZFELD CHỌN ĐIỂM XUẤT PHÁT: x0 ∈ Rn \A BƯỚC LẶP xk+1 = T (xk ), (k = 0, 1, ) Thuật toán đẹp đẽ hấp dẫn nhiều nhà nghiên cứu lĩnh vực tối ưu hóa tốn định vị 6 1.3 Lời giải ban đầu toán Fermat-Weber Weiszfeld Bổ đề 1.1 ([3; tr 7]) Đối với y ∈ Rn \A, ta có f (T (y)) ≤ f (y) Dấu = xảy T (y) = y Hệ 1.1 ([3; tr 7]) Giả sử {xk }k≥o dãy tạo theo phương pháp Weiszfeld xk ∈ / A với k > Khi f (xk+1 ) ≤ f (xk ) với k ≥ dấu = xảy xk lời giải tối ưu toán (F W ) 7 Chương CÁC PHƯƠNG PHÁP KHÁC GIẢI BÀI TOÁN FERMAT-WEBER 2.1 Phương pháp Kuhn Kuenne (1962) Bổ đề 2.1 ([3; tr 10]) Giả sử y ∈ / A f (T (y)) ≤ f (y)+ < ∇f (y), T (y) − y > + L(y) kT (y) − yk2 (2.1) Bổ đề 2.2 ([3; tr 11]) Cho {xk }k≥0 dãy tạo phương pháp Weiszfeld giả sử xk ∈ / A, ∀k ≥ Khi đó, với x ∈ Rn bất đẳng thức sau thỏa mãn f (xk+1 ) − f (x) ≤ L(xk ) (kxk − xk2 − kxk+1 − xk2 ) (2.2) Hệ 2.1 ([3; tr 12]) Cho {xk }k≥0 dãy tạo phương pháp Weiszfeld Giả sử xk 6= A, ∀k ≥ Khi với x ∈ Rn thỏa mãn f (x) ≤ f (xk ), ∀k ≥ bất đẳng thức sau thỏa mãn kxk+1 − xk ≤ kxk − xk Ngoài dãy {xk }k≥0 bị chặn Định lý 2.1 ([3; tr 10]) Cho {xk }k≥0 dãy tạo phương pháp Weiszfeld Nếu xk ∈ / A, ∀k ≥ dãy {xk }k≥0 hội tụ đến lời giải tối ưu toán (F W ) 8 Định lý 2.2 ([3; tr 16]) Tập hợp điểm xuất phát x0 qua thuật toán Weiszfeld hội tụ điểm neo , i = 1, 2, , m sau hữu hạn lần lặp đếm bao affine A Rn Ví dụ 2.1 ([3; tr 16]) Xét trọng số toán Fermat-Weber với m = n = cho a1 = (1, 0, 0)T , a2 = (0, 1, 0)T , a3 = (0, 0, 0)T Với y ∈ / A ta có T (x) = P i=1 kx − k X i=1 ky − k Do đó, T (x) tổ hợp lồi a1 , a2 , a3 với hệ số dương Điều có nghĩa T (x) khơng đạt điểm neo, hay phương trình T (x) = (ai điểm neo) khơng có nghiệm Như phương pháp Weiszfeld xác định tốt với điểm xuất phát không thuộc A PHƯƠNG PHÁP WEISZFELD CẢI BIÊN XUẤT PHÁT x0 ∈ Rn BƯỚC LẶP (k = 0, 1, 2, ) Định lý 2.3 ([3; tr 17-18]) Giả sử {xk }k≥0 dãy tạo phương pháp Weiszfeld f (S(aj )) < f (aj ) với aj ∈ A cho kRj k > wj Khi đó, dãy {xk }k≥0 hội tụ đến nghiệm tối ưu toán(F W ) Bổ đề 2.3 ([3; tr 19]) Giả sử aj với j = 1, 2, , m nghiệm tối ưu toán (F W ) Nghĩa kRj k > wj Khi (kRj k − wj )2 f (aj ) − f (aj + tj dj ) ≥ 2L(aj ) với tj = tV Z = kRj k − wj L(aj ) PHƯƠNG PHÁP SP (a) Cho q ∈ arg {f (ai ), ≤ i ≤ p} (b) Nếu aq tối ưu (dễ dàng kiểm tra điều kiện kRq k ≤ wq ), kết luận aq nghiệm tốn tối ưu Nếu ngược lại, aq khơng phải tối ưu đầu điểm S(aq ) Hệ 2.2 ([3; tr 19]) Giả sử khơng có điểm cố định nghiệm tối ưu cho toán F W giả sử {xk }k≥0 dãy tạo phương pháp Weiszfeld với điểm xuất phát x0 cho phương pháp SP Khi xk ∈ / A với k ≥ xk → x∗ k → ∞ 2.2 Phương pháp Weiszfeld cải biên Cho λ ∈ [1, 2] xét toán tử Tλ (y) = y + λ(T (y) − y) = λT (y) + (1 − λ)y Ostrech chứng minh hội tụ phương pháp cải biên xác định dãy lặp xk+1 = Tλ (xk ), với λ ∈ [1, 2] xử lý thích hợp điểm neo cố định Sử dụng độ dài bước ttham khảo [2] 2.3 Tốc độ hội tụ phương pháp Weiszfeld Định lý 2.4 ([3; tr 22]) Cho {xk }k≥0 dãy tạo phương pháp Weiszfeld với x0 chọn (2.8) - (2.10) Khi với k ≥ ta có f (xk ) − f ∗ ≤ L kx0 − x∗ k2 2k (2.3) Ở đây, L chặn dãy {L({xk }k≥0 )}k≥0 Bổ đề 2.4 ([3; tr 23-24]) Giả sử x0 chọn (2.8) - (2.10) Khi đó, với i = 1, 2, , m x thỏa mãn f (x) ≤ f (x0 ), bất đẳng thức kx − k ≥ f (ai ) − f (x0 ) w 10 m P với w = wi i=1 Bổ đề 2.5 ([3; tr 23]) Giả sử dãy {(xk )}k≥0 sinh phương pháp Weiszfeld với x0 chọn (2.8)-(2.10) Khi với k ≥ 0, ta có L(xk ) ≤ Ở w = m P 2L(ap )w2 (kRp k − wp )2 (2.4) wi i=1 Định lý 2.5 ([3; tr 24]) Giả sử dãy {(xk )}k≥0 sinh phương pháp Weiszfeld với x0 cho (2.8) - (2.10) Khi với k ≥ ta có f (xk ) − f ∗ ≤ với M = M kx0 − x∗ k2 , 2k (2.5) 2L(aq ).w2 kRq − wq k2 Bổ đề 2.6 ([3; tr 26]) Cho r > Khi (i) gr (x) ≥ g(x), ∀x ∈ Rn (ii) gr (x) khả vi liên tục gradient liên tục Lipschits với số r Nhận xét 2.1 Hàm gr liên quan chặt chẽ đến hàm Huber  r   kxk − , kxk ≥ r 2 Hr (x) = kxk   , kxk < r 2r Bổ đề 2.7 ([3; tr 27-28]) Cho w xác định (2.8) (3.1) Các tính chất sau ln (i) fs hàm lồi Rn (ii) fs (x) ≥ f (x), ∀x ∈ Rn (iii) Nghiệm tối ưu x∗ tốn minn fs (x) nghiệm tối ưu x∈R toán (FW) (iv) fs khả vi liên tục gradient liên tục Lipschits với số 11 Lipschits Ls = w m X i=1 wi f (ai ) − f (u) Hơn nữa, số Ls đánh giá Ls ≤ 2L(ap )w2 (kRp k − wp )2 PHƯƠNG PHÁP WEISZFELD NHANH (độ dài bước không đổi) CHỌN ĐIỂM XUẤT PHÁT: y1 = x0 ∈ Rn t1 = BƯỚC LẶP: (k = 0, 1, 2, ) TÍNH ∇fs (yk ), Ls q + + 4t2k , tk+1 = tk−1 yk+1 = xk + (xk − xk−1 ) tk+1 xk = yk − PHƯƠNG PHÁP WEISZFELD NHANH (độ dài bước quay lui) XUẤT PHÁT L0 > với số n > x0 ∈ Rn Đặt y1 = x0 , t1 = BƯỚC LẶP: k = 0, 1, 2, Tìm số ngun khơng âm nhỏ ik cho với L = η ik Lk−1 1 fs (y)) ≤ fs (y) − k∇fs (y)k2 L 2L tính fs (y − Đặt Lk = η ik Lk−1 ∇fs (yk ), Lk q + + 4t2k tk+1 = , tk−1 yk+1 = xk + (xk − xk−1 ) tk+1 xk = yk − 12 Định lý 2.6 ([3; tr 30-31]) Giả sử {xk }k≥0 {yk }k≥0 hai dãy tạo phương pháp Weiszfeld nhanh Khi đó, với k ≥ ta có 2α.Ls kx0 − x∗ k fs (xk ) − f ≤ (1 + k)2 ∗ Ở đây, α = với độ dài bước không đổi α = η cho độ dài bước quay lui Hệ 2.3 ([3; tr 31]) Giả sử {xk }k≥0 {yk }k≥0 hai dãy tạo phương pháp Weiszfeld nhanh Khi với k ≥ ta có f (xk ) − f ∗ ≤ 2α.Ls kx0 − x∗ k , (k + 1)2 đây, α = với độ dài bước không đổi α = η cho độ dài bước quay lui 2.4 Bài tốn Fermat-Weber mở rộng 2.4.1 Định vị đa điểm Tìm x cực tiểu tổng bình phương sai số (SL) : minn x∈R m X (kx − k − di )2 i=1 Mặc dù có tương đồng với toán Fermat-Weber, toán (SL) toán khơng lồi khó Một phương pháp nghiên cứu Beck [3] (2008) sử dụng ý tưởng Weiszfeld thay chuẩn kx − k kx − k2 biểu thức kxk − k Do đó, kết dẫn tới sơ đồ lặp xk+1 m X kx − k2 ∈ arg minn ( − di )2 x∈R kxk − k i=1 13 KẾT LUẬN Luận văn cố gắng xây dựng thành tài liệu tham khảo tốt "phương pháp Weiszfeld giải tốn Fermat-Weber" Trong - Luận văn trình bày chi tiết số kiến thức liên quan đến lịch sử toán Fermat-Weber - Tiếp theo luận văn trình bày chi tiết phương pháp Weiszfeld để giải toán Fermat-Weber - Cuối cùng, luận văn trình bày dạng toán liên quan đến phương pháp Weiszfeld mở rộng phương pháp ngồi tốn FermatWeber 14 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt Trần Đình Xuyền (2014), Bài toán Steiner số ứng dụng,tr.13-35, Luận văn thạc sỹ khoa học chuyên ngành toán sơ cấp, trường đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội Tiếng Anh A Beck, M Teboulle, and Z Chikishev (2008), "Iterative minimization schemes for solving the single source localization problem", SIAM J Optim, pp 1397-1416 Amir Beck, Shoham Sabach (2013),"Weiszfeld method: Old and New Results", Anothersample.net, pp 1-40 H W Kuhn (1973), "A note on Fermat’s problem",Math Programming, pp 98-107 H W Kuhn, R E Kuenne (1962), "An efficent algorithm for the numerical solution of the generalized Weber problem in spatial economics", Journal of Regional Science, pp 21-34 E Weiszfeld, (1937), "Sur le point pour lequel la somme des distances de n point donnes minimum, Tohoku Math J., 43, pp 355-386