(Luận văn) phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÂM THỊ THOA lu an PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN va n BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN tn to p ie gh TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG d oa nl w nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên - 2015 ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÂM THỊ THOA PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN lu TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG an n va to gh tn Chuyên ngành: Toán ứng dụng 60 46 01 12 p ie Mã số: nl w d oa LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nf va an lu lm ul NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z at nh oi PGS TS PHẠM NGỌC ANH z m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên - 2015 ac th si i Mục lục lu an ii Lời cảm ơn iii Danh sách ký hiệu iv Mở đầu n va Mục lục ie gh tn to Kiến thức chuẩn bị p Tập lồi, hàm lồi, nón pháp tuyến phép chiếu nl w 1.1 Nón pháp tuyến Phép chiếu 1.2 Hàm đơn điệu 10 1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân 15 1.3.1 Phát biểu toán 15 1.3.2 Sự tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân 16 z at nh oi z Bài toán cân gm @ 17 1.4.1 Phát biểu toán 17 1.4.2 Sự tồn nghiệm toán cân 17 m co l Kết luận an Lu 1.5 lm ul 1.4 nf va 1.1.3 an lu 1.1.2 Tập lồi hàm lồi d oa 1.1.1 19 n va ac th si ii Phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân 20 2.1 Phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân 21 2.2 Phương pháp chiếu giải toán cân 26 2.3 Ứng dụng giải toán bất đẳng thức biến phân tập 2.4 nghiệm toán cân 32 Kết luận 41 42 Tài liệu tham khảo 43 lu Kết luận an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si iii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thiện Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Phạm Ngọc Anh (Học viện Bưu Viễn thơng) trực tiếp hướng dẫn tận tình động viên tác lu an giả suốt thời gian nghiên cứu viết luận văn va n Trong q trình học tập nghiên cứu, thơng qua giảng, buổi tn to hội thảo seninar, tác giả nhận quan tâm giúp đỡ ie gh ý kiến đóng góp quý báu thầy cô Trường Đại học Khoa học Thái p Ngun, Học viện Bưu Viễn thơng, bạn học viên lớp cao học toán nl w K7Y Tác giả xin chân thành cảm ơn! d oa Xin gửi tới lời cảm ơn sâu sắc tới Ban Lãnh đạo Trường Đại học Hải an lu Dương, đồng nghiệp khoa Toán Kinh tế - Kỹ thuật bên cạnh nf va động viên, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả học tập nghiên cứu lm ul Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân, nghiên cứu làm luận văn z at nh oi người ln khuyến khích động viên tác giả suốt trình z Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Lâm Thị Thoa m co Thái Nguyên, 2015 l bạn đọc để luận văn hoàn thiện gm @ hạn chế, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy an Lu Học viên Cao học Tốn K7D, va Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên n ac th si iv Danh sách ký hiệu lu an n va không gian Hilbert thực kxk chuẩn véc tơ x hx, yi tích vơ hướng hai véc tơ x y R ∪ {±∞} = R tập số thực mở rộng B tích Đề - Các hai tập hợp A B A∩B tập hợp A giao với tập hợp B A⊂B tập A thực tập B ie gh tn to H tập A tập B I ánh xạ đồng p A⊆B nl w miền hữu dụng f d oa domf tập đồ thị hàm f an lu epif tập điểm cực tiểu hàm f ∂f (x) vi phân hàm lồi f x lm ul hàm C dC (x) z at nh oi δC nf va argmin{f (x) : x ∈ C} xn → x dãy {xn } hội tụ mạnh tới x xn * x dãy {xn } hội tụ yếu tới x NC (x) nón pháp tuyến điểm x tập C hàm khoảng cách từ x đến tập C z m co l gm @ an Lu n va ac th si v lu lim sup giới hạn lim inf giới hạn P rC (x) hình chiếu x lên C EP (f, C) toán cân Sol(f, C) tập nghiệm toán cân V I(F, C) toán bất dẳng thức biến phân Sol(F, C) tập nghiệm toán bất dẳng thức biến phân F ix toán điểm bất động F ix(S) tập điểm bất động ánh xạ S an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển tốn tìm điểm x∗ ∈ C cho hF x∗ , x − x∗ i ≥ ∀x ∈ C, lu an va đó, C tập con, lồi, đóng, khác rỗng không gian Hilbert n thực H ánh xạ F : H → H, thường goi ánh xạ giá Bài tốn gh tn to này, kí hiệu V I(F, C), toán lí thuyết tối ưu Bởi p ie vậy, nhiều toán tối ưu khác cố thể chuyển toán V I(F, C) w Bài toán nghiên cứu mở rộng thập kỉ gần đây, ví dụ oa nl hai số sách viết Facchinei Pang (xem [8]) d báo nghiên cứu khác Bài toán bất đẳng thức biến phân phát triển trở lu nf va an thành công cụ hữu hiệu để nghiên cứu giải toán cân nhiều lĩnh vực khác kinh tế tài chính, kỹ thuật, vận tải, lí thuyết trị lm ul chơi (xem [7]) Gần đây, toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc z at nh oi tập nghiệm toán cân đề tài nhiều người quan tâm nghiên cứu vai trị quan trọng lí thuyết toán học z ứng dụng thực tế @ gm Một hướng nghiên cứu quan trọng toán việc co l xây dựng phương pháp giải Có nhiều phương pháp giải khác m như: phương pháp dựa kỹ thuật hàm chắn, phương pháp dựa cách an Lu tiếp cận điểm bất động Song góc độ ứng dụng, phương pháp chiếu có n va thể coi phương pháp đơn giản, hữu hiệu lý thuyết tối ưu nói ac th si chung việc giải toán bất đẳng thức biến phân tốn cân nói riệng Hơn nữa, phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân đơn giản hữu hiệu với nhiều thuật tốn có Vì vậy, đề tài luận văn "Phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm tốn cân bằng" trình bày phương pháp chiếu gần cần thiết có ý nghĩa khoa học thuật tốn ứng dụng Hiện có nhiều phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân lu tập nghiệm toán cân phương pháp đạo hàm tăng cường an mở rộng cho toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, phương pháp điểm va n gần kề xấp xỉ phương pháp khác (xem [6]) Trong luận văn này, gh tn to trình bày phương pháp hiệu đề xuất nhóm tác giả p ie Hiên - Vương - Strodiot báo "On extragradient - viscosity methods for solving equilibrium and fixed point problems in a Hilbert space", Phan oa nl w Tu Vuong, Jean Jacques Strodiot and Van Hien Nguyen, Vol 64, No 2, pp d 429-451, Optimization, 2015 lu nf va an Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị lm ul Nội dung gồm kiến thức tập lồi, hàm lồi, nón pháp tuyến z at nh oi phép chiếu không gian Hilbert thực Nhắc lại số định nghĩa mở rộng tính đơn điệu ánh xạ F song hàm f Phát biểu z toán trình bày số kết tồn tại, tính nghiệm @ gm tốn bất đẳng thức biến phân, toán cân m toán cân co l Chương 2: Ứng dụng giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm an Lu Nội dung chương trình bày phương pháp chiếu hai lần để giải toán n va bất đẳng thức biến phân toán cân không gian Hilbert ac th si thực Đặc biệt ứng dụng phương pháp chiếu để giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân Thái Nguyên, ngày 20 tháng 11 năm 2015 Lâm Thị Thoa Email: uhdthoalam.edu@gmail.com lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 30 Ta có (2.8) λk {f (xk , y) − f (xk , y k )} ≥ hy k − xk , y k − yi ∀y ∈ C Thay y = xk+1 ∈ C, ta nhận (2.9) λk {f (xk , xk+1 ) − f (xk , y k )} ≥ hy k − xk , y k − xk+1 i Từ (2.7), (2.8) 2hxk+1 − xk , x∗ − xk+1 i = kxk − x∗ k2 − kxk+1 − xk k2 − kxk+1 − x∗ k2 lu an n va suy gh tn to kxk − x∗ k2 − kxk+1 − xk k2 − kxk+1 − x∗ k2 ≥ 2hy k − xk , y k − xk+1 i p ie − 2λk c1 kxk − y k k2 − 2λk c2 kxk+1 − y k k2 oa nl w Do d kxk+1 − x∗ k2 ≤ kxk − x∗ k2 − kxk+1 − xk k2 − 2hy k − xk , y k − xk+1 i lu nf va an + 2λk c1 kxk − y k k2 + 2λk c2 kxk+1 − y k k2 = kxk − x∗ k2 − k(xk+1 − y k ) − (y k − xk )k2 lm ul − 2hy k − xk , y k − xk+1 i + 2λk c1 kxk − y k k2 z at nh oi + 2λk c2 kxk+1 − y k k2 ≤ kxk − x∗ k2 − kxk+1 − y k k2 − kxk − y k )k2 z gm @ + λk c1 kxk − y k k2 + 2λk c2 kxk+1 − y k k2 an Lu Vậy, bổ đề chứng minh m − (1 − 2λk c2 )ky k − xk+1 k2 co l = kxk − x∗ k2 − (1 − 2λk c1 )kxk − y k )k2 n va ac th si 31 Định lí 2.2.1 Giả sử x∗ ∈ Sol(f, C) song hàm f liên tục kiểu Lipschitz với số c1 > 0, c2 > giả đơn điệu C, nửa liên tục n o 1 C × C dãy {λk } thỏa mãn < p < λk < 2c1 , 2c2 , lim λk = λ k→∞ k Khi đó, dãy lặp {x } hội tụ tới nghiệm EP (f, C) với tốc độ hội tụ tuyến tính Chứng minh Từ giả thiết < p < λk < n 1 2c1 , 2c2 o suy − 2λk c1 > − 2λk c2 > Theo Bổ đề 2.2.1, ta có lu kxk+1 − x∗ k ≤ kxk − x∗ k, ∀k ≥ an n va Tức là, dãy {kxk − x∗ k} không tăng bị chặn nên tồn giới hạn tn to hữu hạn c = lim kxk − x∗ k Vậy kxk − x∗ k bị chặn tồn dãy k→∞ {x } hội tụ tới điểm x ∈ C Từ Bổ đề 2.2.1, suy p ie gh ki nl w (1 − 2ρc1 )ky k − xk k2 ≤ (1 − 2λk c1 )ky k − xk k2 ≤ kxk − x∗ k2 − kxk+1 − x∗ k2 oa Từ giả thiết − 2ρc1 > c = lim kxk − x∗ k suy lim kxk − y k k = d k→∞ k→∞ Theo chứng minh trên, x → x i → ∞, ta có y → x i → ∞ Mặt nf va khác ki an lu ki   λki f (xki , y) + ky − xki k2 : y ∈ C   z at nh oi lm ul y ki = argmin   z Cho i → ∞ sử dụng tính liên tục f , ta có     x = argmin λ(x, y) + ky − xk : y ∈ C   l gm @ m co Vậy, x nghiệm toán EP (f, C) Bằng cách thay x∗ x, ta có k→∞ i→∞ an Lu c = lim kxk − xk = lim kxki − xk = n va ac th si 32 Do đó, dãy {xk } hội tụ tới x ∈ Sol(f, C) Theo Bổ đề 2.2.1 giả thiết, kxk − x∗ k = x∗ nghiệm EP (f, C) Ngược lại, ta có kxk+1 − xk lim k→∞ kxk − xk < Vậy, dãy {xk } hội tụ tới x ∈ Sol(f, C) theo tốc độ tuyến tính 2.3 lu Ứng dụng giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân an n va Mở rộng phương pháp chiếu việc tìm nghiệm toán bất tn to đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân Nội dung phần này, ie gh trình bày thuật tốn chiếu mở rộng chứng minh hội tụ mạnh thuật p toán nl w Giả sử song hàm f : C × C → R thỏa mãn điều kiện sau: ∀x ∈ C; d oa (A1 ) : f (x, x) = nf va an lu (A2 ) : f giả đơn điệu C tập nghiệm Sol(f, C), nghĩa f (y, x∗ ) ≤ 0, ∀x∗ ∈ Sol(f, C) y ∈ C; lm ul (A3 ) : lim sup f (xn , y) ≤ f (x, y), ∀xn * x; z at nh oi n→∞ (A4 ) : f (x, ) lồi khả vi phân C, ∀x ∈ C; (A5 ) : ∃C1 > 0, ∃C2 > cho ∀x, y ∈ C: z gm @ f (x, y) + f (y, z) ≥ f (x, z) − C1 ky − xk2 − C2 kz − yk2 m tốn cân tập đóng lồi co l Nếu f thỏa mãn tính chất (A1 ) đến (A4 ) tập nghiệm E(f, C) an Lu Thuật toán 2.3.1 Bước 0: Chọn dãy {αn } ⊂ [0, 1), {βn } ⊂ (0, 1), {λn } ⊂ n va (0, ∞) ac th si 33 Bước 1: Cho x0 ∈ H Đặt n = Bước 2: Giải          y = argminy∈C λn f (xn , y) + ky − xn k ,     n           z = argminy∈C λn f (yn , y) + ky − xn k   n   Ta thu nghiệm tối ưu yn , zn Bước 3: Tính xn+1 = (1 − βn )tn + βn Stn với tn = zn − αF zn lu an Bước 4: Đặt n = n + quay lại bước va n Với dãy {xn } {yn } không thiết thuộc C gh tn to Các dãy {xn }, {yn } {zn } sinh thuật toán thỏa mãn tính p ie chất sau: nl w Bổ đề 2.3.1 Cho C tập con, khác rỗng, đóng khơng gian oa Hilbert thực H hàm f : H × H → R thỏa mãn điều kiện (A1 ) → (A2 ) d (A4 ) → (A5 ), ∀x∗ ∈ E(f, C) ∀n ∈ N, ta có an lu nf va i) hxn − yn , y − yn i ≤ λn f (xn , y) − λn f (xn , yn ), ∀y ∈ C lm ul ii) kzn − x∗ k2 ≤ kxn − x∗ k2 − (1 − 2λn C1 )kyn − xn k2 −(1 − 2λn C2 )kzn − yn k2 z at nh oi Nếu yn = xn , xn ∈ Sol(f, C) Để chứng minh hội tụ thuật toán ta sử dụng số bổ đề sau z @ gm Bổ đề 2.3.2 Cho F ánh xạ liên tục, η− đơn điệu mạnh Ω = F ix(S) ∩ co l Sol(f, C), Ω tập lồi đóng, khác rỗng H Khi đó, tốn bất m đẳng thức biến phân V I(F, C) có nghiệm an Lu Bổ đề 2.3.3 Cho β ∈ (0, 1) K tập con, lồi, đóng, khác rỗng va n H Ánh xạ S : K → K tựa giả co chặt cho F ix(S) 6= ∅ Khi đó, ac th si 34 Sω = (1 − ω)I + ωS ánh xạ tựa không giãn K, ∀ω ∈ [0, − β] Hơn nữa, kSω x−x∗ k2 ≤ kx−x∗ k2 −ω(1−β −ω)kSx−xk2 , ∀(x, x∗ ) ∈ K ×F ix(S) (2.10) Bổ đề 2.3.4 Cho {an } dãy số thực không âm Giả sử m số nguyên Khi đó, tồn số ngun p cho p ≥ m ap ≤ ap+1 Cho n0 số nguyên cho an0 ≤ an0 +1 số nguyên n ≥ n0 Ta định nghĩa lu an τ (n) = max{k ∈ N : n0 ≤ k ≤ n, ak ≤ ak+1 } n va Hơn nữa, dãy {τ (n)}n≥n0 không giảm dần tới +∞ n → ∞ ie gh tn to Khi đó, ≤ an ≤ aτ (n)+1 , ∀n ≥ n0 p Bây ta chứng minh định lý hội tụ mạnh thuật toán oa nl w Định lí 2.3.1 Cho C ⊂ H, C 6= ∅, C đóng, lồi Hàm f : C × C → R thỏa d mãn điều kiện (A1 ) → (A5 ) ánh xạ S : C → C giả co chặt nửa đóng lu nf va an 0; Ω = Sol(f, C) 6= ∅ Cho F : C → H ánh xạ Lipschitz, liên tục (C2 ) : lim αn = n→∞ = ∞ n=1 1−β z , ∀n ∈ N tồn λ, λ, β vô hướng, dương Khi đó, dãy {xn } → x∗ với x∗ nghiệm V I(F, Ω) Chứng minh Ta chia chứng minh thành bước sau: an Lu Bước 1: ∀x∗ ∈ Ω, ta có m co l gm @ (C3 ) : < β ≤ βn ≤ ∞ P z at nh oi lm ul η− đơn điệu mạnh Giả sử dãy  {λn }, {αn }, {βn } thỏa mãn điều kiện  1  (C1 ) : < λ ≤ λn ≤ λ < , , ∀n ∈ N  2C1 2C2  n va kxn+1 − x∗ k2 ≤kxn − x∗ k2 − (1 − 2λn C1 )kyn − xn k2 ac th si 35 − (1 − 2λn C2 )kzn − yn k2 − kxn+1 − zn k2 − 2αn hxn+1 − x∗ , F zn i (2.11) Thật vậy, cho x∗ ∈ Ω Từ Bổ đề 2.3.3, ta có kxn+1 − x∗ k2 ≤ ktn − x∗ k2 − β(1 − β − βn )ktn − Stn k2 Từ Stn − tn = βn (2.12) (xn+1 − tn ), từ (2.12) , suy lu an kxn+1 − x∗ k ≤ ktn − x∗ k2 − ρkxn+1 − tn k2 , ρ = − β − βn n va βn ta có ρ ≥ Và từ tn = zn − αn F zn , ta có ie gh tn to Từ < β ≤ βn ≤ 1−β p kxn+1 − x∗ k2 ≤ ktn − x∗ k2 − kxn+1 − tn k2 d oa nl w ≤ kzn − αn F zn − x∗ k2 − kxn+1 − (zn − αn F zn )k2 ≤ kzn − x∗ k2 − 2αhxn+1 − x∗ , F zn i − kxn+1 − zn k lu nf va an ≤ kxn − x∗ k2 − (1 − 2λn C1 )kyn − xn k2 − (1 − 2λn C2 )kzn − yn k2 − 2αn hxn+1 − x∗ , F zn i lm ul − kxn+1 − zn k2 z at nh oi Ở ta sử dụng Bổ đề (2.3.1 − ii) để suy bất đẳng thức z Bước 2: Các dãy {xn }, {yn }, {zn } {tn } bị chặn Cho x∗ ∈ Ω định gm @ nghĩa Sβn = (1 − βn )I + βn S, ∀n ∈ N l Theo Bổ đề 2.3.3, Sβn ánh xạ tựa không giãn Sử dụng điều kiện (C1 ), an Lu sau: m co Bổ đề (2.3.2 − ii), định nghĩa xn+1 x∗ = Sβn x∗ ta viết (2.13) n va kzn+1 − x∗ k ≤ kxn+1 − x∗ k = kSβn tn − x∗ k ≤ ktn − x∗ k ac th si 36  Mặt khác, từ lim αn = 0, ta giả sử αn ∈ 0, n→∞ η L2   khơng tính tổng quát, ta giả sử < η < Từ F L− Lipschitz liên tục η đơn điệu mạnh, ta có     η2 η η  F − 1 zn+1 −  F − 1 x∗ = kF zn+1 − F x∗ k L2 L2 L4 η + hF zn+1 − F x∗ , zn+1 − x∗ i + kzn+1 − x∗ k2 L lu an L2 ∗ kzn+1 − x k − 2η L2 kzn+1 − x∗ k2 + kzn+1 − x∗ k2 n va ≤ η2 tn to  η L2   kzn+1 − x∗ k2 (2.14) p ie gh = 1 − nl w Từ bất đẳng thức (2.13), (2.14) tn+1 = zn+1 − αn+1 F zn+1 , ta có d oa ktn+1 − x∗ k ≤ ktn+1 − (x∗ − αn+1 F x∗ )k + αn+1 kF x∗ k nf va an lu = k(zn+1 − αn+1 F zn+1 ) − (x∗ − αn+1 F x∗ )k + αn+1 kF x∗ k   αn+1 L  (zn+1 − x∗ ) = 1 − η      αn+1 L2 η η ∗      − F − zn+1 − F − x + αn+1 kF x∗ k 2 η L L v    u 2u αn+1 L αn+1 L u η  kzn+1 − x∗ k + t1 − kzn+1 − x∗ k ≤ 1 − η η L z at nh oi lm ul z αn+1 L θ  kzn+1 − x∗ k + αn+1 kF x∗ k n va η  an Lu = 1 − m co l gm @  + αn+1 kF x∗ k ac th si 37  ≤ 1 − αn+1 L θ η s Ở θ = − 1− trên, ta có   ktn − x∗ k + αn+1 kF x∗ k η2 L2 ∈ (0, 1) Đặt θn = αn L2 θ η ∈ (0, 1) Từ bất đẳng thức ktn+1 − x∗ k ≤ (1 − θn+1 )ktn − x∗ k + θn+1 η L2 θ kF x∗ k (2.15) lu     η ∗ ∗ ≤ max ktn − x k, kF x k   Lθ an n va tn to Bằng quy nạp, với n ∈ N, ta có     η ∗ ∗ ∗ ktn − x k ≤ max kt0 − x k, kF x k   Lθ p ie gh (2.16) w Do đó, dãy {tn } bị chặn dãy {xn }, {yn }, {zn } thỏa mãn (2.13) , mệnh oa nl đề (2.3.1 − ii) điều kiện (C1 ) d Bước 3: Nếu znk * x∗ , kxnk −ynk k → 0, kynk −znk k → 0, kxnk +1 −znk k → 0, nf va an lu x∗ ∈ Ω Đầu tiên, ta ý x∗ ∈ C {znk } ⊂ C C đóng, yếu Khi đó, lm ul từ giả thiết ta suy xnk * x∗ , ynk * y ∗ kxnk − znk k → Bây giờ, z at nh oi ta giả sử f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C Theo mệnh đề (2.3.2 − i), ta có (2.17) hxnk − ynk , y − ynk i ≤ λnk f (xnk , y) − λf (xnk , ynk ) ∀y ∈ C z l gm @ Tương tự, theo định nghĩa znk , ta có: (2.18) m co hxnk − znk , y − znk i ≤ λnk f (ynk , y) − λf (ynk , znk ), ∀y ∈ C an Lu Mặt khác, f thỏa mãn điều kiện Lipschitz (A5 ), ta có bất đẳng thức sau: n va λnk f (ynk , znk ) ≥ λnk f (xnk , znk ) − λnk f (xnk , ynk ) − C1 λnk kynk − xnk k2 ac th si 38 − C2 λnk kznk − ynk k2 Từ kxnk − ynk k → 0, kznk − ynk k → 0, kxnk − znk k → {znk } bị chặn, sử dụng điều kiện (C1 ) vế phải bất đẳng thức dần Sử dụng điều kiện (A3 ) hội tụ yếu dãy {ynk } tới x∗ , ta suy ∀y ∈ C ta có: lim sup f (ynk , y) ≤ f (x∗ , y), tức x∗ ∈ E(f, C) k→∞ Ta chứng minh x∗ ∈ F ix(S) Từ tnk = znk − αnk F znk , F ánh xạ Lipschitz, liên tục {znk } bị chặn lim αnk = 0, ta có ktnk − znk k → 0, n→∞ từ giả thiết ta suy kxnk − tnk k → lu an Mặt khác, từ xnk = (1 − βnk )tnk + βnk Stnk < β ≤ βnk ta có va n kStnk − tnk k ≤ kxnk +1 − tnk k → β gh tn to p ie Từ giả thiết, S nửa đóng tnk * x∗ , ta suy Sx∗ = x∗ , tức x∗ ∈ F ix(S) oa nl w Bước 4: Chứng minh an = kxn − x∗ k2 → 0, x∗ nghiệm d V IP (F, Ω) nf va an lu Đầu tiên, từ bước tính bị chặn dãy {xn } {zn }, ta có |hxn+1 − x∗ , F zn i| ≤ M, ∀n ∈ N lm ul z at nh oi Do đó, an+1 −an +kxn+1 −zn k2 +(1−2λC1 )kyn −xn k2 +(1−2λC2 )kyn −zn k2 ≤ 2αn M z (2.19) gm @ Ta xét hai trường hợp: co l Trường hợp 1: Tồn n0 cho {an } dãy giảm với n ≥ n0 Trong trường n→∞ n→∞ an Lu (2.19), lim an = từ điều kiện (C1 ), ta có m hợp này, giới hạn dãy {an } tồn lim (an+1 − an ) = Do vậy, từ n va kxn+1 − zn k → 0, kxn − yn k → 0, kyn − zn k → (2.20) ac th si 39 Suy kxn − zn k → 0, kzn − x∗ k2 → a Từ {zn } ⊂ C bị chặn, tồn dãy {znk } dãy {zn } hội tụ yếu tới vài z ∈ C thỏa mãn đẳng thức lim inf hzn − x∗ , F x∗ i = lim hznk − x∗ , F x∗ i n→∞ k→∞ Khi đó, từ (2.20) bước chứng minh này, suy z ∈ Ω Do vậy, ta có lim inf hzn − x∗ , F x∗ i = lim hznk − x∗ , F x∗ i = hz − x∗ , F x∗ i ≥ (2.21) n→∞ k→∞ Mặt khác, từ F η− đơn điệu mạnh, ta có lu an hxn+1 −x∗ , F zn i = hxn+1 −zn , F zn i+hzn −x∗ , F x∗ i+hzn −x∗ , F zn −F x∗ i va n ≥ hxn+1 −zn , F zn i+hzn −x∗ , F x∗ i+ηkzn −x∗ k2 (2.22) tn to ie gh Từ (2.20), (2.21), (2.22), ta có p lim infhxn+1 − x∗ , F zn i ≥ ηa nl w ηa Từ (2.23) tồn nf va an lu n0 > cho d oa Giả sử, để có mâu thuẫn a > 0, chọn  = (2.23) ∗ hxn+1 − x , F zn i ≥ ηa −  = (2.24) z at nh oi lm ul ηa Với n ≥ n0 khơng đổi Khi đó, từ (2.11) (2.24), ta có an+1 − an ≤ −αn ηa, ∀n ≥ n0 z Do đó, ta viết @ gm an+1 − an0 ≤ −ηa n X αk = ∞ (2.25) suy lim inf an = −∞ Đây mâu thuẫn m n→∞ Như hệ quả, ta có a = xn → x∗ an Lu k=1 co Từ ∞ P l k=n0 (2.25) αk n va Trường hợp 2: Tồn dãy ani an cho: ani ≤ ani +1 , ∀i ∈ N ac th si 40 Từ Bổ đề 2.3.5, ta viết bất đẳng thức sau: Với số nguyên n ≥ n0 : aΓ(n) ≤ aΓ(n)+1 an ≤ aΓ(n)+1 , (2.26) đó, Γ(n) = max{k ∈ N|n0 ≤ k ≤ n, ak ≤ ak+1 } Hơn nữa, dãy {Γ(n)}n≥n0 không giảm tiến tới +∞ n → ∞ Từ (2.19) lim αn = điều kiện (C1 ), ta có n→∞ kxΓ(n)+1 − zΓ(n) k → 0, kxΓ(n) − yΓ(n) k → 0, kyΓ(n) − zΓ(n) k → 0, (2.27) lu Từ dãy {zΓ(n) } bị chặn, tồn dãy dãy {zΓ(n) }, kí hiệu {zΓ(nk ) } an n va cho zΓ(nk ) * x Khi đó, từ (2.27) bước chứng minh ta suy Tiếp tục, ta chứng minh zΓ(nk ) → x∗ Từ (2.11) , suy ie gh tn to x ∈ Ω p 2αΓ(nk ) < hxΓ(nk )+1 − x∗ , F zΓ(nk ) − aΓ(nk )+1 i − kxΓ(nk )+1 − zΓ(nk ) k2 oa nl w − (1 − 2λΓ(nk ) C1 )kyΓ(nk ) − xΓ(nk ) k2 (2.28) d − (1 − 2λΓ(nk ) C2 )kzΓ(nk ) − yΓ(nk ) k2 ≤ lu nf va an Từ F η− đơn điệu mạnh, ta có lm ul ηkzΓ(nk ) − x∗ k ≤ hzΓ(nk ) − x∗ , F zΓ(nk ) − x∗ i z at nh oi = hxΓ(nk )+1 − x∗ , F zΓ(nk ) i + hzΓ(nk ) − xΓ(nk ) + 1, F zΓ(nk ) i − hzΓ(nk ) − x∗ , F x∗ i z gm @ Kết hợp (2.28) , (2.29) ta nhận (2.29) k→∞ (2.31) n n→∞ va lim kzΓ(nk ) − x∗ k = an Lu Do đó, lim kzΓ(nk ) − x∗ k = Khi đó, dễ thấy m co l kzΓ(nk ) − x∗ k ≤ hzΓ(nk ) − xΓ(nk )+1 , F zΓ(nk ) i − hzΓ(nk ) − x∗ , F x∗ i (2.30) η ac th si 41 Từ (2.27) (2.31) , ta kết luận kzΓ(n)+1 − x∗ k → 0, nghĩa lim aΓ(n)+1 = Từ (2.26) , an ≤ aΓ(n)+1 , ∀n ≥ n0 , ta suy n→∞ lim an = Đây điều phải chứng minh n→∞ 2.4 Kết luận Trong chương 2, ta nhắc lại phương pháp chiếu hai lần cho giải toán bất đẳng thức biến phân toán cân Đối với toán bất đẳng thức biến phân, với giả thiết Lipschitz, thuật tốn hai phép chiếu khơng địi lu hỏi tính giả đơn điệu mạnh ánh xạ giá F Đối với toán cân bằng, thuật an n va toán hai phép chiếu đồi hỏi giả thiết giả đơn điệu liên tục kiểu Lipschitz tn to song hàm f Các phương pháp chiếu mở rộng ứng dụng giải ie gh toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân p chứng minh hội tụ mạnh thuật tốn khơng gian Hilbert thực d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 42 Kết luận chung Bài toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân toán tổng quát, cấp thứ hai tốn tập hợp khơng dạng hiển Do vậy, toán dạng toán tối ưu hai cấp lu an phức tạp Nội dung luận văn trình bày phương pháp chiếu va n mở rộng để giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán tn to cân chứng minh hội tụ phương pháp Nội dung luận văn ie gh trình bày bao gồm: p Nhắc lại số kiến thức tâp lồi, hàm lồi, nón pháp tuyến phép nl w chiếu không gian Hilbert Phát biểu trình bày số kết tồn d oa nghiệm toán bất đẳng thức biến phân toán cân an lu Trình bày thuật tốn chiếu hai lần chứng minh hội tụ thuật nf va toán cho toán bất đẳng thức biến phân toán cân Đặc biệt, nội lm ul dung cốt lõi luận văn ứng dụng phương pháp chiếu giải toán bất z at nh oi đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân z m co l gm @ an Lu n va ac th si 43 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Ngọc Anh (2015), Các phương pháp tối ưu ứng dụng, NXB lu Thông tin Truyền thông an va n [2] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2010), Giáo trình Giải tích hàm, NXB to gh tn Đại học Sư phạm p ie [3] Nguyễn Thị Bạch Kim (2008), Các phương pháp tối ưu- Lý thuyết nl w thuật toán, NXB Bách khoa Hà Nội d oa [4] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học z at nh oi lm ul Tiếng Anh nf va an lu Kĩ thuật Hà Nội [5] Anh P.N (2013), "A hybrid extragradient method to fixed point problems and equilibrium problems", Optimization, Vol 62 (2), pp 271-283 z @ gm [6] Anh P.N., Kim J., Mưu L.D (2012), "An Extragradient Algorithm co l for Solving Bilevel Pseudomonotone Variational Inequalities", J.Global m Optimization 52, pp.627 – 639, doi 10.1007/s 10898 – 012 – 9870 an Lu [7] Kinderlehrer D and Stampachia G (1980), An Introduction to Varia- n va tionnal Inequalities and Their Applications, Academic Press ac th si 44 [8] Facchinei F and Pang J.S (2003), Finite - Dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problems, Vals I and II, Springer, New York [9] Konnov I (2001), Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities, Springer [10] Vuong P.T., Strodiot J.J and Nguyen V.H (2015), "On extragradientviscosity methods for solving equilibrium and fixed point problems in a lu Hilbert space", Optimization, Vol 64, No 2, pp 429-451 an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si