(Luận văn) một số phương pháp giải bài toán chấp nhận tách suy rộng liên quan đến bài toán cân bằng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THANH HUYỀN lu an n va gh tn to p ie MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH SUY RỘNG LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN CÂN BẰNG d oa nl w u nf va an lu ll LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN–2020 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THANH HUYỀN lu an n va p ie gh tn to MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH SUY RỘNG LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN CÂN BẰNG d oa nl w Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 946 01 02 ll u nf va an lu m oi Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH LÊ DŨNG MƯU z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN–2020 n va ac th si i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi, hồn thành hướng dẫn GS TSKH Lê Dũng Mưu Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết nêu luận án kết chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả lu an va n Nguyễn Thị Thanh Huyền p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si ii LỜI CẢM ƠN lu an n va p ie gh tn to Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy GS TSKH Lê Dũng Mưu Thầy tận tình hướng dẫn tơi từ tơi làm luận văn thạc sĩ luận án tiến sĩ Thầy tận tình dạy tơi phương pháp nghiên cứu, cách phát giải vấn đề, đồng thời Thầy ln động viên, khích lệ để tơi hồn thành luận án Từ tận đáy lịng, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy Tôi xin trân trọng gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán, thầy, cô tham gia giảng dạy, tạo điều kiện thuận lợi để học tập nghiên cứu Đồng thời chân thành cảm ơn anh chị em nghiên cứu sinh, bạn bè đồng nghiệp xêmina nghiên cứu sinh khoa Toán Trường Đại học Sư phạm động viên, trao đổi đóng góp ý kiến q báu cho tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận án Tơi xin cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên cho hội học tập nghiên cứu Tôi xin cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin thầy Khoa Tốn Tin, tạo điều kiện thu xếp công việc thuận lợi cho suốt thời gian làm nghiên cứu sinh Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy, anh chị bạn nhóm xêmina liên quan Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Bách Khoa Hà Nội, Viện Toán học, Đại học Thăng Long Xêmina tạo cho động lực nghiên cứu khoa học gắn bó với mơi trường nghiên cứu Đặc biệt, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới GS TSKH Phạm Kỳ Anh Thầy động viên tôi, tạo điều kiện cho báo cáo dạy tơi nhiều kiến thức hữu ích Tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS Lê Hải Yến, người quan tâm, bảo đường khoa học Cuối cùng, muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thân d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si iii gia đình, đặc biệt bố mẹ hai bên, chồng Những người động viên, chia sẻ khó khăn tơi suốt năm tháng qua để tơi hồn thành luận án Tác giả Nguyễn Thị Thanh Huyền lu an n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si iv Mục lục lu Lời cam đoan i an iii Mục lục iii n va Lời cảm ơn gh tn to v p ie Bảng ký hiệu viii d oa Mở đầu nl w Bảng chữ viết tắt lu ll u nf va an Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm kết 1.2 Bài toán cân số toán liên quan 1.3 Bài toán chấp nhận tách 1.4 Một số phương pháp lặp tìm điểm bất động 1.5 Các kết bổ trợ 1.6 Kết luận oi m z at nh z 12 12 18 21 22 23 25 @ m co l gm Chương Thuật toán chiếu kết hợp phép lặp Mann-Krasnoselskii giải toán chấp nhận tách 26 2.1 Mơ tả tốn hội tụ 26 2.2 Ví dụ minh họa 40 2.3 Kết luận 43 an Lu n va ac th si v Chương Thuật toán đạo hàm giải toán chấp nhận tách phi tuyến ứng dụng cho mơ hình cân Nash có ràng buộc 44 3.1 Mơ tả tốn 45 3.2 Thuật toán hội tụ 46 3.3 Ví dụ minh họa 60 3.4 Kết luận 69 70 Tài liệu tham khảo 73 lu Kết luận an n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si vi Bảng ký hiệu lu an n va tập số thực R++ tập số thực dương Rn không gian véctơ Euclid thực n−chiều tn to R tích vơ hướng hai véctơ x y kxk chuẩn Euclid véctơ x không gian Rn p ie gh hx, yi Phép chiếu điểm x lên tập C oa nl PC (x) Dãy {xn } hội tụ mạnh tới x w xn → x d PC (x) = argminy∈C ky − xk Nón pháp tuyến ngồi tập lồi C x ∂f (x) Dưới vi phân hàm f x ∂ ǫ f (x) ǫ-dưới vi phân hàm f x ∂2 f (x, x) Dưới vi phân theo biến thứ hai song hàm f (x, ) x ll u nf va an oi m ǫ-dưới vi phân theo biến thứ hai song hàm f x z at nh ∂2ǫ f (x, x) lu NC (x) argminC f Tập điểm cực tiểu hàm f tập C z Ánh xạ gần kề hàm lồi g với tham số λ > AT ma trận chuyển vị ma trận A l gm @ proxλg m co EP (C, f ) Bài toán cân song hàm f tập C Tập nghiệm toán cân song hàm f tập C ∅ Tập rỗng ✷ Kết thúc chứng minh an Lu S(C, f ) n va ac th si vii Bảng chữ viết tắt lu an n va Bài toán chấp nhận lồi (EP) Bài toán cân (SEO) Bài toán chấp nhận tách với C tập nghiệm toán EP tn to (CFP) ie gh Q tập nghiệm toán tối ưu p (SFP) Bài toán chấp nhận tách d oa nl w (NSEP) Bài toán chấp nhận tách phi tuyến ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu lu an n va p ie gh tn to Một lớp toán quan trọng thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học nước giới, tốn cân Thuật ngữ cân sử dụng rộng rãi nhiều ngữ cảnh khoa học kĩ thuật Trong Vật lý, trạng thái cân hệ, theo thuật ngữ học cổ điển, xảy hợp lực tác động lên hệ không trạng thái trì khoảng thời gian dài Trong Hóa học, vấn đề cân đề cập phản ứng hóa học Trong Sinh học, cân sinh thái trạng thái ổn định tự nhiên hệ sinh thái, hướng tới thích nghi cao với điều kiện sống, trạng thái thường xảy tương quan lực lượng mồi thú săn mồi hệ sinh thái có tỉ lệ tương đồng với Trong kinh tế, cân xảy ra, ví dụ lượng cung lượng cầu Trạng thái cân trạng thái mà người vạn vật có xu hướng tiến đến Bài tốn cân bằng, cịn gọi bất đẳng thức Ky Fan, nghiên cứu luận án phát biểu cách đơn giản sau: Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng không gian Rn f : C × C → R song hàm thỏa mãn f (x, x) = 0, với x ∈ C (song hàm có tính chất thường gọi song hàm cân bằng) d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z gm @ Tìm x∗ ∈ C cho f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C m co l EP(C, f ) an Lu Bất đẳng thức H Nikaido K Isoda [81] sử dụng lần vào năm 1955 nghiên cứu trị chơi khơng hợp tác Năm 1972, Ky Fan [62] gọi bất đẳng thức minimax ông đưa n va ac th si 68 với Fi (xi ) = log(ai xi + bi), a = (1, 2, 3, 4, 5), bi = 14 với i = 1, , 5, Q = [0, 3] × [0, 3] × × [0, 3] | {z } Song hàm f xác định f (x, y) = hP x + q, y − xi, lu an n va p ie gh tn to q = (−28, −29, −27, −29, −29, −29, −28, −29, −28, −29),   23 10 7 10 2  23 10 9       14 10 5     21     10 4 20 10    P =   8 10 15 8     10 14 9     5 10 24       7 20  10 20 d oa nl w va an lu ll u nf Khi song hàm f thỏa mãn giả thiết đảm bảo hội tụ hai thuật toán Lấy ρk = 3, βk = 7/2(k + 1), x0 = (3; 3; 3; 3; 3; 0; 0; 0; 0; 0) thử thuật tốn MACEP với thuật tốn chúng tơi Kết tính tốn mơ tả Bảng 3.4 3.5 oi m z at nh z Bảng 3.4: Ví dụ 3.3 CPU-times(s) MACEP 4415 70.4365 NSEP 737 15.4585 Err gm @ Iter l 10−4 m co 10−4 an Lu n va ac th si 69 Bảng 3.5: Ví dụ 3.3(tiếp) Nghiệm xấp xỉ MACEP (0.3402, 0.2121, 0.9073, 0.4221, 0.6421, 0.3109, 0.2946, 0.3426, 0.1756, 0.1518) NSEP (0.3466, 0.2203, 0.8904, 0.4399, 0.6305, 0.2709, 0.2648, 0.3585, 0.2040, 0.1703) 3.4 Kết luận lu an n va p ie gh tn to Trong chương này, chúng tơi trình bày thuật tốn giải toán chấp nhận tách với tập C tập nghiệm toán cân tập Q tập ràng buộc lồi, toán tử chuyển tựa tuyến tính Cuối chương giới thiệu mơ hình cân Nash có ràng buộc chung Tính hữu hiệu ưu việt thuật toán đưa ví dụ số minh họa d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 70 Kết luận chung lu Kết luận chung Luận án thu kết sau: an n va p ie gh tn to Đề xuất thuật toán chiếu kết hợp phép lặp MannKrasnoselskii giải toán chấp nhận tách liên quan đến toán cân tốn tối ưu Chúng tơi thu hội tụ cho thuật tốn, cụ thể chúng tơi với giả thiết thơng thường thuật tốn hội tụ tốn có nghiệm tốn khơng có nghiệm thuật tốn khơng hội tụ Ngồi ra, ví dụ mơ hình sản xuất điện với phí mơi trường thấp tính tốn thử nghiệm chương trình Matlab minh họa cho thuật tốn mà chúng tơi đề xuất d oa nl w lu ll u nf va an Đề xuất thuật toán đạo hàm giải toán chấp nhận tách với toán tử chuyển tựa tuyến tính chứng minh hội tụ Thuật tốn áp dụng cho mơ hình Nash–Cournot có ràng buộc chung, cụ thể dùng để tính tốn thử nghiệm giải mơ hình sản xuất điện thỏa mãn tỉ lệ loại điện nhiều số liệu khác tạo ngẫu nhiên Thử nghiệm so sánh với thuật toán P Santos S Scheimberg [89] cho thấy thuật tốn chúng tơi đề xuất tiến đến nghiệm nhanh oi m z at nh z @ m co l gm Một số vấn đề tiếp tục nghiên cứu: Nghiên cứu tốn tìm phần tử có chuẩn nhỏ tập nghiệm toán chấp nhận tách Chương với hi vọng thay giả thiết para-đơn điệu song hàm giả thiết giảm nhẹ Nghiên cứu thuật toán giải toán chấp nhận tách với toán tử chuyển an Lu n va ac th si 71 phi tuyến, không thiết tựa tuyến tính khảo sát hội tụ lu an n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 72 Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến Luận án lu an n va p ie gh tn to 1) L.H Yen, L.D Muu L D., N.T.T Huyen (2016), “An Algorithm for a Class of Split Feasibility Problems: Application to a Model in Electricity Production”, Mathematical Methods of Operations Research, 84, 549-565 (SCIE) d oa nl w 2) L.H Yen, N.T.T Huyen, L.D Muu (2018), “A subgradient algorithm for a class of nonlinear split feasibility problems: application to jointly constrained Nash equilibrium models”, Journal of Global Optimization, 73, 849-868 (SCI) ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 73 Tài liệu tham khảo lu Tiếng Việt an n va gh tn to [1] Trần Việt Anh (2018), Các phương pháp giải vài lớp tốn cân có tính lồi đơn điệu suy rộng, Luận án Tiến sĩ, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà nội p ie [2] Bùi Văn Định (2014), Một số phương pháp giải toán cân giả đơn điệu ứng dụng, Luận án Tiến sĩ, Học Viện Kỹ Thuật Quân nl w d oa [3] Phạm Ngọc Hải (2018), Một số phương pháp giải tốn cân có cấu trúc, Luận án Tiến sĩ, Trường Đại học Bách Khoa Hà nội an lu ll u nf va [4] Phạm Gia Hưng (2014), Các phương pháp hiệu chỉnh toán cân ứng dụng, Luận án Tiến sĩ, Trường Đại học Đà Lạt oi m z at nh Tiếng Anh z [5] Agarwal R.P., O’Regan D., Sahu D.R (2000), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer gm @ m co l [6] Anh P.K., Hai T.N (2017), “Splitting extragradient-like algorithms for strongly pseudmonotone equilibrium problems”, Numer Algor., 76, 67-91 an Lu n va ac th si 74 [7] Anh P.K., Hai T.N (2018), “A splitting algorithm for equilibrium problem given by the difference of two bifunctions”, J Fixed Point Theory Appl., 20, 1-15 [8] Anh P.N., Muu L.D (2014), “A Hybrid subgradient algorithm for nonexpansive mapping and equilibrium problems”, Optim Lett 8(2), 727-738 lu [9] Anh P.N., Hai T.N., Tuan P.M (2016), “On ergodic algorithms for equilibrium problems”, J Global Optim., 64, 179-195 an n va gh tn to [10] Anh P.N., Thuy L Q., Thanh D.D (2013), “A fixed point scheme for nonexpansive mappings, variational inequalities and equilibrium problems”, Vietnam J Math., 43, 71–91 p ie [11] Anh L.Q., Khanh P.Q (2006), On the Hăolder continuity of solutions to parametric multivalued vector equilibrium problems”, J Math Anal Appl., 321, 308–315 nl w d oa [12] Anh L.Q., Khanh P.Q (2007), “On the stability of the solution sets of general multivalued vector quasiequilibrium problems”, J Optim Theory Appl., 135, 271–284 va an lu ll u nf [13] Anh L.Q., Khanh P.Q (2010), “Continuity of solution maps of parametric quasiequilibrium problems”, J Glob Optim., 46, 247–259 oi m z at nh [14] Anh T.V (2017), “An extragradient method for finding minimumnorm solution of the split equilibrium problem”, Acta Math Vietnam., 42 (4), 587-604 z @ m co l gm [15] Anh T.V., Muu L.D (2018), “Quasi-nonexpansive mappings involving pseudomonotone bifunctions on convex sets”, J Convex Anal., 25(4), 1105-1119 an Lu n va ac th si 75 [16] Aussel D., Bendottib P., Piˇstek M (2017), “Nash equilibriumin a pay-as-bid electricity market Part - best response of a producer”, Optimization, 66, 1027-1053 [17] Avriel M (1976), Nonlinear Programming: Analysis and Methods, Prentice-Hall, Englewood Cliffs [18] Bauschke H.H., Combettes P.L (2010), Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces, Springer, NewYork lu [19] Bertsekas D (2003), Convex Analysis and Optimization, Athena Scientific Belmont, Massachusetts an n va gh tn to [20] Bertsekas D.P (1989), Parallel and distributed computation: numerical methods, Prentice-Hall, Upper Saddle River p ie [21] Blum E., Oettli W (1994), “From opitmization and variational enequality to equilibrium problems”, Math Student, 63, 127-149 w d oa nl [22] Bianchi M., Pini R (2001), “A note on equilibrium problems with properly quasimonotone bifunctions”, J Glob Optim., 20, 67–76 lu u nf va an [23] Bianchi M., Pini R (2005), “Coercivity conditions for equilibrium problems”, J Optim Theory Appl., 124, 79–92 ll [24] Bianchi M., Schaible S (1996), “Generalized monotone bifunctions and equilibrium problems”, J Optim Theory Appl., 90, 31–43 oi m z at nh z [25] Bigi G., Castellani M., Pappalardo M., Passacantando M (2013), “Existence and solution methods for equilibria”, European J Operational Rerearch, 227, 1-11 gm @ m co l [26] Bigi G., Castellani M., Pappalardo M., Passacantando M (2019), Nonlinear Programming Techniques for Equilibria, Springer, Nature Switzerland an Lu n va ac th si 76 [27] Byrne C (2002), “Iterative oblique projection onto convex sets and the split feasibility problems”, Inverse Probl., 18, 441-453 [28] Censor Y., Elfving T (1994), “A multiprojections algorithm using Bregman projections in a product spaces”, Numer Algorithms, 8, 221-239 lu [29] Censor, Y., Elfving, T., Kopf, N., Bortfeld, T (2005), “The multiplesets split feasibility problem and its applications for inverse problems”, Inverse Probl., 21, 2071–2084 an n va [30] Censor Y., Gibali A., Reich S (2012), “Algorithms for the split variational inequality problem”, Numer Algorithms, 59, 301-323 to ie gh tn [31] Clarke F.H (1983), Optimization and Nonsmooth Analysis, SIAM, NewYork p [32] Cohen G (1980), “Auxiliary problem principle and decomposition of optimization problems”, J Optim Theory Appl., 32, 277-305 nl w d oa [33] Cohen G.(1988), “Auxiliary principle extended to variational inequalities”, J Optim Theory Appl., 59, 325-333 an lu ll u nf va [34] Combettes P.L., Hirstoaga S.A (2005), “Equilibrium programming in Hilbert spaces”, J Nonlinear Convex Anal., 6, 117-136 oi m [35] Contreras J., Klusch M., Krawczyk J B (2004), “Numerical solution to Nash-Cournot equilibria in coupled constraint electricity markets”, EEE Trans Power Syst., 19, 195–206 z at nh z [36] Deepho J., Kumam W., Kumam P (2014), “A new hybrid projection algorithm for solving the split generalized equilibrium problems and the system of variational inequality problems”, J Math Model Algor., 13, 405–423 m co l gm @ an Lu [37] Dragomir S.S., Pearce C.E.M (2012), “Jensen’s inequality for quasiconvex functions”, Numer Algebra Control and Optim., 2, 279-291 n va ac th si 77 [38] Dinh B.V., Hung P.G., Muu L.D (2014), “Bilevel optimization as a regularization approach to pseudomonotone equilibrium problems”, Numer Funct Anal Optim., 35, 539-563 [39] Dinh B.V., Muu L.D (2015), “A projection algorithm for solving pseudomonotone equilibrium problems and it’s application to a class of bilevel equilibria”, Optimization, 64, 559-575 lu [40] Duc P.M., Muu L.D (2016), “A splitting algorithm for a class of bilevel equilibrium problems involving nonexpansive mappings”, Optimization, 65, 1855-1866 an n va ie gh tn to [41] Duc P.M., Muu L.D., Quy N.V (2016), “Solution-existence and algorithms with their convergence rate for strongly pseudomonotone equilibrium problems”, Pac J Optim., 12, 833-845 p [42] Duong T.T.T., Tan N.X (2011), “On the existence of solutions to generalized quasi-equilibrium problems of type II and related problems”, Acta Math Vietnam., 36, 231-248 d oa nl w va an lu [43] Facchinei F., Pang J.S (2003), Finite Dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problems, Springer, New York ll u nf [44] Finetti D., Sulle B (1949), “Stratificazioni Conversse”, Annali di Matematica Pura ed Applicata, 30, 173-183 oi m z at nh [45] Flam S.D., Antipin A.S (1997), “Equilibrium programming using proximal-like algorithms”, Math Program., 78, 29-41 z m co l gm @ [46] Gibali A., Kă ufer K.H., Să uss P (2013), “Successive linear programing approach for solving the nonlinear split feasibility problem”, J Nonlinear Convex Anal., 15, 345-353 an Lu [47] Giorgi G (2014), “A simple way to prove the characterization of differentiable quasiconvex functions”, Appl Math., 5, 1226-1238 n va ac th si 78 [48] Gorbachuk V.M (2010), “Cournot-Nash and Bertrand-Nash equilibria for heterogeneous duopoly of differentiated products”, Cyber Systems Anal., 46, 25-26 [49] Ha T.X.D (2012), “Optimality conditions for various efficient solutions involving coderivatives: From set-valued optimization problems to set-valued equilibrium problems”, Nonlinear Analysis: Theory, Meth and Appl., 75, 1305-1323 lu [50] Iusem A.N (1998), “On some properties of paramonotone operator”, Convex Anal., 5, 269-278 an n va gh tn to [51] Iusem A.N., Sosa W (2003), “Iterative algorithms for equilibrium propositions”, Optimization, 52, 301-316 p ie [52] Iusem A.N., Kassay G., Sosa W (2009), “On certain conditions for the existence of solutions of equilibrium problems”, Math Program., Ser B, 116, 259–273 nl w d oa [53] Iusem A.N., Sosa W (2003), “New existence results for equilibrium problems”, Nonlinear Anal., 52, 621–635 an lu ll u nf va [54] Jing-Yuan W., Smeers Y (1999), “Spatial oligopolistic electricity models with Cournot generators and regulated transmission prices”, Oper Res., 47, 102–112 oi m z at nh [55] Kassay G., Radulescu V (2019), Equilibrium Problems and Applications, Academic Press, United Kingdom z l gm @ [56] Kiwiel K.C (2001), “Convergence and efficiency of subgradient methods for quasiconvex minimization”, Math Program., 90, 1-25 m co [57] Konnov I.V, Dyabilkin D.A (2011), “Nonmonotone equilibrium problems: coercivity conditions and weak regularization”, J Glob Optim., 49, 575-587 an Lu n va ac th si 79 [58] Konnov I.V (2000), Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities, Springer, Berlin [59] Konnov I.V (2007), Equilibrium Models and Variational Inequalities, Elsevier, Amsterdam [60] Kraikaew R., Saejung S (2014) “On split common fixed point problems”, J Math Anal Appl., 415, 513-524 lu [61] Krawczyk J.B., Uryasev S (2000), “Relaxation algorithms to find Nash equilibria with economic applications”, Enviro Model Assess., 5, 63-73 an n va gh tn to [62] Fan K (1972), “A minimax inequality and applications”, Shisha, O (ed.) Inequality III, Academic Press, New York,, 103-113 p ie [63] Hieu D.V (2018), “An inertial-like proximal algorithm for equilibrium problems”, Math Meth Oper Res., 88 (3), 399-415 d oa nl w [64] Hieu D.V., Cho Y.J., Xiao Y (2018), “Modified extragradient algorithms for solving equilibrium problems”, Optimization, 67 (11), 2003-2029 an lu ll u nf va [65] Hieu D.V., Quy P.K., Vy L.V (2019), “Explicit iterative algorithms for solving equilibrium problems”, Calcolo, 56:11 DOI 10.1007/s10092-019-0308-5 oi m z at nh [66] Hung P.G., Muu L.D (2011), “The Tikhonov regularization extended to equilibrium problems involving pseudomonotone bifunctions”, Nonlinear Anal: Theory, Methods Appl., 74, 6121-6129 z @ m co l gm [67] Langenberg N (2013), “Interior proximal methods for equilibrium programming: part II”, Optimization, 62, 1603-1625 an Lu [68] Li Z., Hana D., Zhang W (2013), “Self-adaptive projection-type method for nonlinear multiple-sets split feasibility problem”, Inverse Probl Sci and Eng., 21, 155 - 170 n va ac th si 80 [69] Luc D.T (1993), “Characterisations of quasiconvex functions”, Bull Austral Math Soc., 48, 393-406 [70] Luu D.V (2018), “Second-order necessary efficiency conditions for nonsmooth vector equilibrium problems”, J Glob Optim., 70, 437–453 lu [71] Mastroeni G (2003), “On auxiliary principle for equilibrium problems”, in: P Daniele, F Giannessi, and A.Maugeri, (eds.), Equilibrium Problems and Variational Models, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht an n va gh tn to [72] Mastroeni G (2003), “Gap function for equilibrium problems”, J Glob Optim., 27, 411-426 p ie [73] Minh N.B., Tan N.X (2006), “On the existence of solutions of quasiequilibrium problems with constraints”, Math Methods Oper Res., 64, 17–31 nl w d oa [74] Moudafi A., Thakur B.S (2014), “Solving proximal split feasibility problems without prior knowledge of operator norms”, Optim Lett., 8, 2099-2110 va an lu ll u nf [75] Moudafi A., Théra M (1999), “Proximal and dynamical approaches to equilibrium problems”, in Ill-Posed Variational Problems and Regularization Techniques, ed by M Théra, R Tichatschke (Springer, Berlin, 1999), 187–201 oi m z at nh z [76] Muu L.D (1984), “Stability property of a class of variational inequality”, Optimization, 15, 347-351 gm @ m co l [77] Muu L.D., Oetlli W (1992), “Convergence of an adaptive penaty scheme for finding constraint equilibria”, Nonlinear Anal.: Theory Methods Appl., 18, 1159-1166 an Lu n va ac th si 81 [78] Muu L.D., Quy N.V (2015), “On existence and solution methods for strongly pseudomonotone equilibrium problems”, Vietnam J Math, 43, 229 - 238 [79] Muu L.D., Quoc T.D (2009), “Regularization algorithms for solving monotone Ky Fan inequalities with application to a Nash-Cournot equilibrium model”, J Optim.Theory Appl., 142, 185 - 204 lu [80] Nasria M., Sosa W (2011), “Equilibrium problems and generalized Nash games”, Optimization, 60, 1161–1170 an n va [81] Nikaido H., Isoda K (1955), “Note on noncooperative convex games”, Pac J Math., 5, 807-815 to p ie gh tn [82] Oettli W (1997), “A Remark on vector-valued equilibria and generalized monotonicity”, Acta Math Vietnam., 22 (1), 213-221 d oa nl w [83] Quoc T.D., Muu L.D (2012), “Iterative methods for solving monotone equilibrium problems via dual gap functions”, Comput Optim Appl., 51, 709-728 ll u nf va an lu [84] Quoc T D., Muu L.D and Hien N.V (2007), “Extragradient algorithms extended to equilibrium problems”, Optimization, 57, 749776 oi m [85] Rockafellar R.T (1976), “Monotone operators and the proximal point algorithm”, SIAM J.Control Optim., 14 ,877-898 z at nh z [86] Rockafellar R.T., Wets Roger J.B (1998), Variational Analysis, Springer, Heidelberg gm @ m co l [87] Sach P.H., Tuan L.A (2007), “Existence results for set-valued vector quasiequilibrium problems”, J Optim Theory Appl., 133, 229–240 an Lu [88] Santos P., Scheimberg S (2011), “An inexact subgradient algorithm for Equilibrium problems”, Comput Appl Math., 30, 91-107 n va ac th si 82 [89] Santos P., Scheimberg S (2017), “A modified projection algorithm for constrained equilibrium problems”, Optimization, 66 (12), 20512062 [90] Shehu Y., Ogbuisi F.U (2015), “Convergence analysis for proximal split feasibility problems and fixed point problems”, J Appl Math Comput., 48, 221-239 lu [91] Tang J., Chang S., Yuan F (2014), “A strong convergence theorem for equilibrium problems and split feasibility problems in Hilbert spaces”, Fixed Point Theory Appl., 36, 1687-1812 an n va ie gh tn to [92] Thuy L.Q., Hai T.N (2017), “A Projected subgradient algorithm for bilevel equilibrium problems and applications”, J Optim Theory Appl., 175, 411–431 p [93] Tikhonov A.N, Goncharsky A.V, Stepanov V.V, Yagola A.G (1990), Numerical Methods for the Solution of Ill-Posed Problems, Springer, Dordrecht d oa nl w va an lu [94] Tuy H (2016), Convex Analysis and Global Optimization, Springer, Dordrecht ll u nf [95] Xu H.K (2011), “Averaged mappings and the gradient-projection algorithm”, J Optim Theory Appl., 150, 360–378 oi m z at nh [96] Vuong P.T., Strodiot J J., Nguyen V H (2015), “A gradient projection method for solving split equality and split feasibility problems in Hilbert spaces”, Optimization, 64, 2321-2341 z @ m co l gm [97] Yang Q (2004), “The relaxed CQ algorithm for solving split feasibility problem”, Inverse Probl., 20, 1261–1266 an Lu n va ac th si