Một số phương pháp giải bài toán chấp nhận tách suy rộng liên quan đến bài toán cân bằng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THANH HUYỀN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH SUY RỘNG LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN CÂN BẰNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN–2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THANH HUYỀN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH SUY RỘNG LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TỐN CÂN BẰNG Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 946 01 02 Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH LÊ DŨNG MƯU THÁI NGUYÊN–2020 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi, hồn thành hướng dẫn GS TSKH Lê Dũng Mưu Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết nêu luận án kết chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Nguyễn Thị Thanh Huyền ii LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy GS TSKH Lê Dũng Mưu Thầy tận tình hướng dẫn tơi từ làm luận văn thạc sĩ luận án tiến sĩ Thầy tận tình dạy phương pháp nghiên cứu, cách phát giải vấn đề, đồng thời Thầy động viên, khích lệ để tơi hồn thành luận án Từ tận đáy lịng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy Tôi xin trân trọng gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm, Ban Chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy, tham gia giảng dạy, tạo điều kiện thuận lợi để học tập nghiên cứu Đồng thời chân thành cảm ơn anh chị em nghiên cứu sinh, bạn bè đồng nghiệp xêmina nghiên cứu sinh khoa Toán Trường Đại học Sư phạm động viên, trao đổi đóng góp ý kiến q báu cho tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận án Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên cho hội học tập nghiên cứu Tơi xin cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Tốn - Tin thầy Khoa Tốn Tin, tạo điều kiện thu xếp công việc thuận lợi cho suốt thời gian làm nghiên cứu sinh Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy, anh chị bạn nhóm xêmina liên quan Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Bách Khoa Hà Nội, Viện Toán học, Đại học Thăng Long Xêmina tạo cho động lực nghiên cứu khoa học gắn bó với môi trường nghiên cứu Đặc biệt, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới GS TSKH Phạm Kỳ Anh Thầy động viên tôi, tạo điều kiện cho báo cáo dạy nhiều kiến thức hữu ích Tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS Lê Hải Yến, người quan tâm, bảo đường khoa học Cuối cùng, tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới người thân iii gia đình, đặc biệt bố mẹ hai bên, chồng Những người ln động viên, chia sẻ khó khăn suốt năm tháng qua để hồn thành luận án Tác giả Nguyễn Thị Thanh Huyền iv Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn iii Mục lục iii Bảng ký hiệu v Bảng chữ viết tắt viii Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm kết 1.2 Bài toán cân số toán liên quan 1.3 Bài toán chấp nhận tách 1.4 Một số phương pháp lặp tìm điểm bất động 1.5 Các kết bổ trợ 1.6 Kết luận 12 12 18 21 22 23 25 Chương Thuật toán chiếu kết hợp phép lặp Mann-Krasnoselskii giải tốn chấp nhận tách 26 2.1 Mơ tả toán hội tụ 26 2.2 Ví dụ minh họa 40 2.3 Kết luận 43 v Chương Thuật toán đạo hàm giải toán chấp nhận tách phi tuyến ứng dụng cho mơ hình cân Nash có ràng buộc 44 3.1 Mơ tả tốn 45 3.2 Thuật toán hội tụ 46 3.3 Ví dụ minh họa 60 3.4 Kết luận 69 Kết luận 70 Tài liệu tham khảo 73 vi Bảng ký hiệu R tập số thực R++ tập số thực dương Rn khơng gian véctơ Euclid thực n−chiều x, y tích vơ hướng hai véctơ x y x chuẩn Euclid véctơ x không gian Rn xn → x Dãy {xn } hội tụ mạnh tới x PC (x) Phép chiếu điểm x lên tập C PC (x) = argminy∈C y − x NC (x) Nón pháp tuyến tập lồi C x ∂f (x) Dưới vi phân hàm f x ∂ ǫ f (x) ǫ-dưới vi phân hàm f x ∂2 f (x, x) Dưới vi phân theo biến thứ hai song hàm f (x, ) x ∂2ǫ f (x, x) ǫ-dưới vi phân theo biến thứ hai song hàm f x argminC f Tập điểm cực tiểu hàm f tập C proxλg Ánh xạ gần kề hàm lồi g với tham số λ > AT ma trận chuyển vị ma trận A EP (C, f ) Bài toán cân song hàm f tập C S(C, f ) Tập nghiệm toán cân song hàm f tập C ∅ Tập rỗng ✷ Kết thúc chứng minh vii Bảng chữ viết tắt (CFP) Bài toán chấp nhận lồi (EP) Bài toán cân (SEO) Bài toán chấp nhận tách với C tập nghiệm toán EP Q tập nghiệm toán tối ưu (SFP) Bài toán chấp nhận tách (NSEP) Bài toán chấp nhận tách phi tuyến Mở đầu Một lớp toán quan trọng thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học nước giới, toán cân Thuật ngữ cân sử dụng rộng rãi nhiều ngữ cảnh khoa học kĩ thuật Trong Vật lý, trạng thái cân hệ, theo thuật ngữ học cổ điển, xảy hợp lực tác động lên hệ không trạng thái trì khoảng thời gian dài Trong Hóa học, vấn đề cân đề cập phản ứng hóa học Trong Sinh học, cân sinh thái trạng thái ổn định tự nhiên hệ sinh thái, hướng tới thích nghi cao với điều kiện sống, trạng thái thường xảy tương quan lực lượng mồi thú săn mồi hệ sinh thái có tỉ lệ tương đồng với Trong kinh tế, cân xảy ra, ví dụ lượng cung lượng cầu Trạng thái cân trạng thái mà người vạn vật có xu hướng tiến đến Bài tốn cân bằng, cịn gọi bất đẳng thức Ky Fan, nghiên cứu luận án phát biểu cách đơn giản sau: Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng khơng gian Rn f : C × C → R song hàm thỏa mãn f (x, x) = 0, với x ∈ C (song hàm có tính chất thường gọi song hàm cân bằng) Tìm x∗ ∈ C cho f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C EP(C, f ) Bất đẳng thức H Nikaido K Isoda [81] sử dụng lần vào năm 1955 nghiên cứu trị chơi khơng hợp tác Năm 1972, Ky Fan [62] gọi bất đẳng thức minimax ông đưa 68 với Fi (xi ) = log(ai xi + bi), a = (1, 2, 3, 4, 5), bi = 14 với i = 1, , 5, Q = [0, 3] × [0, 3] × × [0, 3] Song hàm f xác định f (x, y) = P x + q, y − x , q = (−28, −29, −27, −29, −29, −29, −28, −29, −28, −29),   23 10 7 10 2  23 10 9       14 10 5     21     10 4 20 10    P =   8 10 15 8     10 14 9     5 10 24       7 20  10 20 Khi song hàm f thỏa mãn giả thiết đảm bảo hội tụ hai thuật toán Lấy ρk = 3, βk = 7/2(k + 1), x0 = (3; 3; 3; 3; 3; 0; 0; 0; 0; 0) thử thuật tốn MACEP với thuật tốn chúng tơi Kết tính tốn mơ tả Bảng 3.4 3.5 Bảng 3.4: Ví dụ 3.3 Iter CPU-times(s) Err MACEP 4415 70.4365 10−4 NSEP 737 15.4585 10−4 69 Bảng 3.5: Ví dụ 3.3(tiếp) Nghiệm xấp xỉ MACEP (0.3402, 0.2121, 0.9073, 0.4221, 0.6421, 0.3109, 0.2946, 0.3426, 0.1756, 0.1518) NSEP (0.3466, 0.2203, 0.8904, 0.4399, 0.6305, 0.2709, 0.2648, 0.3585, 0.2040, 0.1703) 3.4 Kết luận Trong chương này, chúng tơi trình bày thuật toán giải toán chấp nhận tách với tập C tập nghiệm toán cân tập Q tập ràng buộc lồi, toán tử chuyển tựa tuyến tính Cuối chương giới thiệu mơ hình cân Nash có ràng buộc chung Tính hữu hiệu ưu việt thuật toán đưa ví dụ số minh họa 70 Kết luận chung Kết luận chung Luận án thu kết sau: Đề xuất thuật toán chiếu kết hợp phép lặp MannKrasnoselskii giải toán chấp nhận tách liên quan đến toán cân tốn tối ưu Chúng tơi thu hội tụ cho thuật toán, cụ thể với giả thiết thông thường thuật tốn hội tụ tốn có nghiệm tốn khơng có nghiệm thuật tốn khơng hội tụ Ngồi ra, ví dụ mơ hình sản xuất điện với phí mơi trường thấp tính tốn thử nghiệm chương trình Matlab minh họa cho thuật tốn mà chúng tơi đề xuất Đề xuất thuật toán đạo hàm giải toán chấp nhận tách với toán tử chuyển tựa tuyến tính chứng minh hội tụ Thuật tốn áp dụng cho mơ hình Nash–Cournot có ràng buộc chung, cụ thể dùng để tính tốn thử nghiệm giải mơ hình sản xuất điện thỏa mãn tỉ lệ loại điện nhiều số liệu khác tạo ngẫu nhiên Thử nghiệm so sánh với thuật toán P Santos S Scheimberg [89] cho thấy thuật tốn chúng tơi đề xuất tiến đến nghiệm nhanh Một số vấn đề tiếp tục nghiên cứu: Nghiên cứu tốn tìm phần tử có chuẩn nhỏ tập nghiệm toán chấp nhận tách Chương với hi vọng thay giả thiết para-đơn điệu song hàm giả thiết giảm nhẹ Nghiên cứu thuật toán giải toán chấp nhận tách với tốn tử chuyển 71 phi tuyến, khơng thiết tựa tuyến tính khảo sát hội tụ 72 Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến Luận án 1) L.H Yen, L.D Muu L D., N.T.T Huyen (2016), “An Algorithm for a Class of Split Feasibility Problems: Application to a Model in Electricity Production”, Mathematical Methods of Operations Research, 84, 549-565 (SCIE) 2) L.H Yen, N.T.T Huyen, L.D Muu (2018), “A subgradient algorithm for a class of nonlinear split feasibility problems: application to jointly constrained Nash equilibrium models”, Journal of Global Optimization, 73, 849-868 (SCI) 73 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Trần Việt Anh (2018), Các phương pháp giải vài lớp tốn cân có tính lồi đơn điệu suy rộng, Luận án Tiến sĩ, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà nội [2] Bùi Văn Định (2014), Một số phương pháp giải toán cân giả đơn điệu ứng dụng, Luận án Tiến sĩ, Học Viện Kỹ Thuật Quân [3] Phạm Ngọc Hải (2018), Một số phương pháp giải tốn cân có cấu trúc, Luận án Tiến sĩ, Trường Đại học Bách Khoa Hà nội [4] Phạm Gia Hưng (2014), Các phương pháp hiệu chỉnh toán cân ứng dụng, Luận án Tiến sĩ, Trường Đại học Đà Lạt Tiếng Anh [5] Agarwal R.P., O’Regan D., Sahu D.R (2000), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer [6] Anh P.K., Hai T.N (2017), “Splitting extragradient-like algorithms for strongly pseudmonotone equilibrium problems”, Numer Algor., 76, 67-91 74 [7] Anh P.K., Hai T.N (2018), “A splitting algorithm for equilibrium problem given by the difference of two bifunctions”, J Fixed Point Theory Appl., 20, 1-15 [8] Anh P.N., Muu L.D (2014), “A Hybrid subgradient algorithm for nonexpansive mapping and equilibrium problems”, Optim Lett 8(2), 727-738 [9] Anh P.N., Hai T.N., Tuan P.M (2016), “On ergodic algorithms for equilibrium problems”, J Global Optim., 64, 179-195 [10] Anh P.N., Thuy L Q., Thanh D.D (2013), “A fixed point scheme for nonexpansive mappings, variational inequalities and equilibrium problems”, Vietnam J Math., 43, 71–91 [11] Anh L.Q., Khanh P.Q (2006), On the Hăolder continuity of solutions to parametric multivalued vector equilibrium problems”, J Math Anal Appl., 321, 308–315 [12] Anh L.Q., Khanh P.Q (2007), “On the stability of the solution sets of general multivalued vector quasiequilibrium problems”, J Optim Theory Appl., 135, 271–284 [13] Anh L.Q., Khanh P.Q (2010), “Continuity of solution maps of parametric quasiequilibrium problems”, J Glob Optim., 46, 247–259 [14] Anh T.V (2017), “An extragradient method for finding minimumnorm solution of the split equilibrium problem”, Acta Math Vietnam., 42 (4), 587-604 [15] Anh T.V., Muu L.D (2018), “Quasi-nonexpansive mappings involving pseudomonotone bifunctions on convex sets”, J Convex Anal., 25(4), 1105-1119 75 [16] Aussel D., Bendottib P., Piˇstek M (2017), “Nash equilibriumin a pay-as-bid electricity market Part - best response of a producer”, Optimization, 66, 1027-1053 [17] Avriel M (1976), Nonlinear Programming: Analysis and Methods, Prentice-Hall, Englewood Cliffs [18] Bauschke H.H., Combettes P.L (2010), Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces, Springer, NewYork [19] Bertsekas D (2003), Convex Analysis and Optimization, Athena Scientific Belmont, Massachusetts [20] Bertsekas D.P (1989), Parallel and distributed computation: numerical methods, Prentice-Hall, Upper Saddle River [21] Blum E., Oettli W (1994), “From opitmization and variational enequality to equilibrium problems”, Math Student, 63, 127-149 [22] Bianchi M., Pini R (2001), “A note on equilibrium problems with properly quasimonotone bifunctions”, J Glob Optim., 20, 67–76 [23] Bianchi M., Pini R (2005), “Coercivity conditions for equilibrium problems”, J Optim Theory Appl., 124, 79–92 [24] Bianchi M., Schaible S (1996), “Generalized monotone bifunctions and equilibrium problems”, J Optim Theory Appl., 90, 31–43 [25] Bigi G., Castellani M., Pappalardo M., Passacantando M (2013), “Existence and solution methods for equilibria”, European J Operational Rerearch, 227, 1-11 [26] Bigi G., Castellani M., Pappalardo M., Passacantando M (2019), Nonlinear Programming Techniques for Equilibria, Springer, Nature Switzerland 76 [27] Byrne C (2002), “Iterative oblique projection onto convex sets and the split feasibility problems”, Inverse Probl., 18, 441-453 [28] Censor Y., Elfving T (1994), “A multiprojections algorithm using Bregman projections in a product spaces”, Numer Algorithms, 8, 221-239 [29] Censor, Y., Elfving, T., Kopf, N., Bortfeld, T (2005), “The multiplesets split feasibility problem and its applications for inverse problems”, Inverse Probl., 21, 2071–2084 [30] Censor Y., Gibali A., Reich S (2012), “Algorithms for the split variational inequality problem”, Numer Algorithms, 59, 301-323 [31] Clarke F.H (1983), Optimization and Nonsmooth Analysis, SIAM, NewYork [32] Cohen G (1980), “Auxiliary problem principle and decomposition of optimization problems”, J Optim Theory Appl., 32, 277-305 [33] Cohen G.(1988), “Auxiliary principle extended to variational inequalities”, J Optim Theory Appl., 59, 325-333 [34] Combettes P.L., Hirstoaga S.A (2005), “Equilibrium programming in Hilbert spaces”, J Nonlinear Convex Anal., 6, 117-136 [35] Contreras J., Klusch M., Krawczyk J B (2004), “Numerical solution to Nash-Cournot equilibria in coupled constraint electricity markets”, EEE Trans Power Syst., 19, 195–206 [36] Deepho J., Kumam W., Kumam P (2014), “A new hybrid projection algorithm for solving the split generalized equilibrium problems and the system of variational inequality problems”, J Math Model Algor., 13, 405–423 [37] Dragomir S.S., Pearce C.E.M (2012), “Jensen’s inequality for quasiconvex functions”, Numer Algebra Control and Optim., 2, 279-291 77 [38] Dinh B.V., Hung P.G., Muu L.D (2014), “Bilevel optimization as a regularization approach to pseudomonotone equilibrium problems”, Numer Funct Anal Optim., 35, 539-563 [39] Dinh B.V., Muu L.D (2015), “A projection algorithm for solving pseudomonotone equilibrium problems and it’s application to a class of bilevel equilibria”, Optimization, 64, 559-575 [40] Duc P.M., Muu L.D (2016), “A splitting algorithm for a class of bilevel equilibrium problems involving nonexpansive mappings”, Optimization, 65, 1855-1866 [41] Duc P.M., Muu L.D., Quy N.V (2016), “Solution-existence and algorithms with their convergence rate for strongly pseudomonotone equilibrium problems”, Pac J Optim., 12, 833-845 [42] Duong T.T.T., Tan N.X (2011), “On the existence of solutions to generalized quasi-equilibrium problems of type II and related problems”, Acta Math Vietnam., 36, 231-248 [43] Facchinei F., Pang J.S (2003), Finite Dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problems, Springer, New York [44] Finetti D., Sulle B (1949), “Stratificazioni Conversse”, Annali di Matematica Pura ed Applicata, 30, 173-183 [45] Flam S.D., Antipin A.S (1997), “Equilibrium programming using proximal-like algorithms”, Math Program., 78, 29-41 [46] Gibali A., Kă ufer K.H., Să uss P (2013), Successive linear programing approach for solving the nonlinear split feasibility problem”, J Nonlinear Convex Anal., 15, 345-353 [47] Giorgi G (2014), “A simple way to prove the characterization of differentiable quasiconvex functions”, Appl Math., 5, 1226-1238 78 [48] Gorbachuk V.M (2010), “Cournot-Nash and Bertrand-Nash equilibria for heterogeneous duopoly of differentiated products”, Cyber Systems Anal., 46, 25-26 [49] Ha T.X.D (2012), “Optimality conditions for various efficient solutions involving coderivatives: From set-valued optimization problems to set-valued equilibrium problems”, Nonlinear Analysis: Theory, Meth and Appl., 75, 1305-1323 [50] Iusem A.N (1998), “On some properties of paramonotone operator”, Convex Anal., 5, 269-278 [51] Iusem A.N., Sosa W (2003), “Iterative algorithms for equilibrium propositions”, Optimization, 52, 301-316 [52] Iusem A.N., Kassay G., Sosa W (2009), “On certain conditions for the existence of solutions of equilibrium problems”, Math Program., Ser B, 116, 259–273 [53] Iusem A.N., Sosa W (2003), “New existence results for equilibrium problems”, Nonlinear Anal., 52, 621–635 [54] Jing-Yuan W., Smeers Y (1999), “Spatial oligopolistic electricity models with Cournot generators and regulated transmission prices”, Oper Res., 47, 102–112 [55] Kassay G., Radulescu V (2019), Equilibrium Problems and Applications, Academic Press, United Kingdom [56] Kiwiel K.C (2001), “Convergence and efficiency of subgradient methods for quasiconvex minimization”, Math Program., 90, 1-25 [57] Konnov I.V, Dyabilkin D.A (2011), “Nonmonotone equilibrium problems: coercivity conditions and weak regularization”, J Glob Optim., 49, 575-587 79 [58] Konnov I.V (2000), Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities, Springer, Berlin [59] Konnov I.V (2007), Equilibrium Models and Variational Inequalities, Elsevier, Amsterdam [60] Kraikaew R., Saejung S (2014) “On split common fixed point problems”, J Math Anal Appl., 415, 513-524 [61] Krawczyk J.B., Uryasev S (2000), “Relaxation algorithms to find Nash equilibria with economic applications”, Enviro Model Assess., 5, 63-73 [62] Fan K (1972), “A minimax inequality and applications”, Shisha, O (ed.) Inequality III, Academic Press, New York,, 103-113 [63] Hieu D.V (2018), “An inertial-like proximal algorithm for equilibrium problems”, Math Meth Oper Res., 88 (3), 399-415 [64] Hieu D.V., Cho Y.J., Xiao Y (2018), “Modified extragradient algorithms for solving equilibrium problems”, Optimization, 67 (11), 2003-2029 [65] Hieu D.V., Quy P.K., Vy L.V (2019), “Explicit iterative algorithms for solving equilibrium problems”, Calcolo, 56:11 DOI 10.1007/s10092-019-0308-5 [66] Hung P.G., Muu L.D (2011), “The Tikhonov regularization extended to equilibrium problems involving pseudomonotone bifunctions”, Nonlinear Anal: Theory, Methods Appl., 74, 6121-6129 [67] Langenberg N (2013), “Interior proximal methods for equilibrium programming: part II”, Optimization, 62, 1603-1625 [68] Li Z., Hana D., Zhang W (2013), “Self-adaptive projection-type method for nonlinear multiple-sets split feasibility problem”, Inverse Probl Sci and Eng., 21, 155 - 170 80 [69] Luc D.T (1993), “Characterisations of quasiconvex functions”, Bull Austral Math Soc., 48, 393-406 [70] Luu D.V (2018), “Second-order necessary efficiency conditions for nonsmooth vector equilibrium problems”, J Glob Optim., 70, 437–453 [71] Mastroeni G (2003), “On auxiliary principle for equilibrium problems”, in: P Daniele, F Giannessi, and A.Maugeri, (eds.), Equilibrium Problems and Variational Models, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht [72] Mastroeni G (2003), “Gap function for equilibrium problems”, J Glob Optim., 27, 411-426 [73] Minh N.B., Tan N.X (2006), “On the existence of solutions of quasiequilibrium problems with constraints”, Math Methods Oper Res., 64, 17–31 [74] Moudafi A., Thakur B.S (2014), “Solving proximal split feasibility problems without prior knowledge of operator norms”, Optim Lett., 8, 2099-2110 [75] Moudafi A., Théra M (1999), “Proximal and dynamical approaches to equilibrium problems”, in Ill-Posed Variational Problems and Regularization Techniques, ed by M Théra, R Tichatschke (Springer, Berlin, 1999), 187–201 [76] Muu L.D (1984), “Stability property of a class of variational inequality”, Optimization, 15, 347-351 [77] Muu L.D., Oetlli W (1992), “Convergence of an adaptive penaty scheme for finding constraint equilibria”, Nonlinear Anal.: Theory Methods Appl., 18, 1159-1166 81 [78] Muu L.D., Quy N.V (2015), “On existence and solution methods for strongly pseudomonotone equilibrium problems”, Vietnam J Math, 43, 229 - 238 [79] Muu L.D., Quoc T.D (2009), “Regularization algorithms for solving monotone Ky Fan inequalities with application to a Nash-Cournot equilibrium model”, J Optim.Theory Appl., 142, 185 - 204 [80] Nasria M., Sosa W (2011), “Equilibrium problems and generalized Nash games”, Optimization, 60, 1161–1170 [81] Nikaido H., Isoda K (1955), “Note on noncooperative convex games”, Pac J Math., 5, 807-815 [82] Oettli W (1997), “A Remark on vector-valued equilibria and generalized monotonicity”, Acta Math Vietnam., 22 (1), 213-221 [83] Quoc T.D., Muu L.D (2012), “Iterative methods for solving monotone equilibrium problems via dual gap functions”, Comput Optim Appl., 51, 709-728 [84] Quoc T D., Muu L.D and Hien N.V (2007), “Extragradient algorithms extended to equilibrium problems”, Optimization, 57, 749776 [85] Rockafellar R.T (1976), “Monotone operators and the proximal point algorithm”, SIAM J.Control Optim., 14 ,877-898 [86] Rockafellar R.T., Wets Roger J.B (1998), Variational Analysis, Springer, Heidelberg [87] Sach P.H., Tuan L.A (2007), “Existence results for set-valued vector quasiequilibrium problems”, J Optim Theory Appl., 133, 229–240 [88] Santos P., Scheimberg S (2011), “An inexact subgradient algorithm for Equilibrium problems”, Comput Appl Math., 30, 91-107 82 [89] Santos P., Scheimberg S (2017), “A modified projection algorithm for constrained equilibrium problems”, Optimization, 66 (12), 20512062 [90] Shehu Y., Ogbuisi F.U (2015), “Convergence analysis for proximal split feasibility problems and fixed point problems”, J Appl Math Comput., 48, 221-239 [91] Tang J., Chang S., Yuan F (2014), “A strong convergence theorem for equilibrium problems and split feasibility problems in Hilbert spaces”, Fixed Point Theory Appl., 36, 1687-1812 [92] Thuy L.Q., Hai T.N (2017), “A Projected subgradient algorithm for bilevel equilibrium problems and applications”, J Optim Theory Appl., 175, 411–431 [93] Tikhonov A.N, Goncharsky A.V, Stepanov V.V, Yagola A.G (1990), Numerical Methods for the Solution of Ill-Posed Problems, Springer, Dordrecht [94] Tuy H (2016), Convex Analysis and Global Optimization, Springer, Dordrecht [95] Xu H.K (2011), “Averaged mappings and the gradient-projection algorithm”, J Optim Theory Appl., 150, 360–378 [96] Vuong P.T., Strodiot J J., Nguyen V H (2015), “A gradient projection method for solving split equality and split feasibility problems in Hilbert spaces”, Optimization, 64, 2321-2341 [97] Yang Q (2004), “The relaxed CQ algorithm for solving split feasibility problem”, Inverse Probl., 20, 1261–1266 ... chấp nhận lồi (EP) Bài toán cân (SEO) Bài toán chấp nhận tách với C tập nghiệm toán EP Q tập nghiệm toán tối ưu (SFP) Bài toán chấp nhận tách (NSEP) Bài toán chấp nhận tách phi tuyến Mở đầu Một. .. ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THANH HUYỀN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH SUY RỘNG LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN CÂN BẰNG Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 946 01 02 Người hướng dẫn khoa học:... tơi trình bày số kiến thức sở giải tích lồi dùng chương Chúng giới thiệu toán cân bằng, toán chấp nhận tách số toán liên quan đến toán này, số phương pháp lặp Phần cuối chương số bổ đề bổ trợ