(Luận văn) một số phương pháp giải số phương trình và hệ phương trình vi phân cấp cao

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Ngô Thị Thu Hương lu an n va to p ie gh tn MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH d oa nl w VI PHÂN CẤP CAO nf va an lu z at nh oi lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên - 2017 ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Ngô Thị Thu Hương lu MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI SỐ an n va PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH p ie gh tn to VI PHÂN CẤP CAO oa nl w Chuyên ngành: Toán ứng dụng d an lu nf va Mã số: 60.46.01.12 z at nh oi lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z @ gm NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC m co l TS Vũ Vinh Quang an Lu n va Thái Nguyên - 2017 ac th si i Mục lục lu an n va Bảng ký hiệu Danh sách bảng Danh sách hình vẽ Mở đầu to p ie gh tn Một số kiến thức 1.1 Một số khái niệm Giải tích hàm 1.1.1 Không gian metric 1.1.2 Ánh xạ co 1.1.3 Nguyên lí ánh xạ co 1.2 Phương pháp sai phân 1.2.1 Lưới sai phân 1.2.2 Hàm lưới 1.2.3 Công thức Taylor 1.2.4 Một số công thức xấp xỉ đạo hàm 1.3 Thuật toán truy đuổi đường chéo 1.4 Phương pháp lưới giải toán biên cho phương d oa nl w nf va an lu cấp z at nh oi lm ul trình 6 6 7 7 10 12 z Phương pháp số giải phương trình vi phân phi tuyến cấp cao hệ phương trình vi phân với hệ điều kiện đầu 16 2.1 Cơ sở lý thuyết phương pháp Runge-Kutta 16 2.1.1 Phương pháp Euler 17 2.1.2 Phương pháp Euler 18 2.1.3 Thuật toán RK4 19 2.2 Phương pháp Runge-Kutta hệ phương trình vi phân phi tuyến 20 2.3 Phương pháp Runge-Kutta phương trình vi phân cấp cao 21 2.4 Giới thiệu thư viện QH_2015 23 m co l gm @ an Lu n va ac th si ii Phương pháp lặp giải mơ hình cấp 3.1 Giới thiệu 3.2 Nghiên cứu tính chất nghiệm 3.3 Phương pháp xây dựng sơ đồ lặp 3.3.1 Cơ sở lý thuyết 3.3.2 Sơ đồ lặp tìm nghiệm số 3.3.3 Một số kết thực nghiệm toán biên phi tuyến 26 26 27 30 30 33 36 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si iii Lời cảm ơn lu an n va p ie gh tn to Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy tơi TS Vũ Vinh Quang, người trực tiếp hướng dẫn luận văn, tận tình bảo hướng dẫn tơi tìm hướng nghiên cứu, tìm kiếm tài liệu, giải vấn đề nhờ tơi hồn thành luận văn cao học Từ tận đáy lịng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy cố gắng để xứng đáng với công lao Thầy Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ suốt thời gian học tập trường Tôi xin cảm ơn quý thầy cô Khoa Toán - Tin đặc biệt PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy, trưởng Khoa Tốn - Tin, ln quan tâm, động viên, trao đổi đóng góp ý kiến quý báu suốt trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Cuối cùng, tơi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thân gia đình, đặc biệt bố mẹ Những người ln động viên, chia sẻ khó khăn suốt thời gian qua đặc biệt thời gian tơi theo học khóa thạc sỹ trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Thái Nguyên, tháng 10 năm 2017 Tác giả luận văn d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z @ m co l gm Ngô Thị Thu Hương an Lu n va ac th si Bảng ký hiệu lu an n va p ie gh tn to oa nl w Trường số thực tập số thực không âm tập số thực mở rộng Không gian Euclide n-chiều Không gian lưới Khơng gian hàm có đạo hàm liên tục hợp hai tập A B giao hai tập A B tích vơ hướng hai véc-tơ x, y ∈ H đoạn thẳng nối x y không gian dãy số vô hạn đạo hàm cấp n sai số tuyệt đối a d R R+ R ∪ {±∞} Rn Ωh C [0; L] A∪B A∩B hx, yi [x, y] l2 f (n) ∆a nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Danh sách bảng lu an n va Kết kiểm tra sai số lược đồ QH_m 24 Kết kiểm tra sai số lược đồ QH_m 25 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Trường Trường Trường Trường Trường hợp hợp hợp hợp hợp biết trước nghiệm (Tofuma_moi.m) biết trước nghiệm (Tofuma_moi.m) trước nghiệm (Tofuma_moi_xx.m) biết trước nghiệm (Tofuma_tq.m) trước nghiệm (Tofuma_tp_xx.m) 37 38 39 40 42 p ie gh tn to 2.1 2.2 d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Danh sách hình vẽ lu 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 an thị thị thị thị thị sai sai sai sai sai số số số số số giữa giữa nghiệm nghiệm nghiệm nghiệm nghiệm đúng đúng và và nghiệm nghiệm nghiệm nghiệm nghiệm gần gần gần gần gần đúng đúng 37 38 39 41 43 n va Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu lu an n va p ie gh tn to Phương trình vi phân dạng tuyến tính phi tuyến tính lớp phương trình lý thuyết phương trình vi phân có ứng dụng quan trọng toán thực tế đặc biệt lý thuyết điều khiển ổn định Về mặt lý thuyết tổng quát lớp phương trình nhà toán học nghiên cứu từ lâu, nhiên vấn đề tìm nghiệm giải tích phương trình thực phương trình dạng đặc biệt cịn chủ yếu phải xác định nghiệm xấp xỉ qua phương pháp gần Đối với phương trình vi phân cấp 2, với toán điều kiện đầu, người ta xây dựng phương pháp giải số dựa công thức Runge-Kutta với độ xác bậc 4, tốn biên với hệ điều kiện biên hỗn hợp, sử dụng phương pháp sai phân, đưa hệ phương trình đại số dạng đường chéo hệ giải thuật toán truy đuổi Đối với phương trình vi phân tuyến tính bậc 4, phương pháp phân rã, đưa tốn cấp hai để xác định nghiệm thơng qua thuật tốn biết Tuy nhiên phương trình dạng phi tuyến điều kiện biên phi tuyến để tìm nghiệm xấp xỉ, cần phải xây dựng sơ đồ lặp tùy dạng toán để xác định nghiệm xấp xỉ tốn Nội dung luận văn tìm hiểu số phương pháp giải số phương trình vi phân cấp cao hệ phương trình vi phân với hệ điều kiện đầu, phương pháp lặp số dạng tốn cho phương trình cấp với hệ điều kiện biên dạng phi tuyến, nghiên cứu tính chất hội tụ sơ đồ lặp kiểm tra tính đắn sơ đồ lặp máy tính điện tử Nội dung luận văn chia làm chương Chương 1: Một số kiến thức d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương 2: Phương pháp số giải phương trình vi phân phi tuyến cấp cao hệ phương trình vi phân với hệ điều kiện đầu Chương 3: Phương pháp lặp giải mô hình tốn biên phi tuyến cấp lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si df ≤ M Cho xn cố định bước h thay đổi Gọi y(x) nghiệm dx tốn Cauchy (2.1) ta có:  xn  y (x ) = y + R f (x, y(x)) dx, n x0  yn = yn−1 + hf (xn−1 , yn−1 ) Có thể thấy phương pháp Euler có độ xác O(h) 2.1.2 Phương pháp Euler Trong phương pháp Runge-Kutta, ta xét trường hợp r = lu an n va ∆y0 = p21 k1 (h) + p22 k2 (h) , tn to Phương trình (2.2) có dạng: p ie gh
(1) (l) (l) y0 = p21 k1 (0) + p22 k2 (0); l = 1, (2.4) 00 d oa nl w Vì k1 (h) = hf (x0 , y0 ) nên k1 (0) = 0; k1 (0) = f (x0 , y0 ) k1 (0) = Tiếp theo k2 (h) = hf (ξ2 , v2 ) ξ2 = x0 + α2 h; v2 = y0 + β21 k1 (h) Ta có:   ∂f ∂f 0 k2 (h) = f (ξ2 , v2 ) + h α2 + β21 k1 (h) ≡ f (ξ2 , v2 ) + h [.] ∂x ∂y nf va an lu Dễ thấy k2 (0) = 0; k2 (0) = f (x0 , y0 )  ∂f0 ∂f0 Tiếp theo k2 (h) = [.]+[.]+h[.] nên k2 (0) = [.]|h=0 = α2 + β21 f0 ∂x ∂y ∂f0 ∂f0 ∂f ∂f ; đạo hàm ; Ở dùng kí hiệu f0 := f (x0 , y0 ) ; ∂x ∂y ∂x ∂y tương ứng tính điểm (x0 , y0 ) Từ hệ thức (2.4), ta suy ra:   y0 = f0 = p21 f0 + p22 f0 ,   (2.5) ∂f0 ∂f0 ∂f0 ∂f0 00  y0 = + f0 = 2p22 α2 + β21 f0 ∂x ∂y ∂x ∂y  00 z at nh oi lm ul 00 z m co l gm @ Từ phương trình ban đầu suy ra: p21 + p22 = an Lu n va ac th si 19 Biến đổi phương trình thứ hai hệ, ta được: (1 − 2α2 p22 ) ∂f0 ∂f0 + (1 − 2p22 β21 ) f0 = ∂x ∂y (2.6) lu Vì cơng thức Runge-Kutta (ứng với r = 2) cho hàm f nên để (2.6) nghiệm đúng, cần − 2α2 p22 = − 2p22 β21 = 1 Như vậy: α2 = β21 = 1; p21 = p22 = ∆y0 = h {f (x0 , y0 ) + f (x0 + h, y0 + hf (x 2 Ta nhận công thức gọi công thức Euler sau:   y0 := y0 + hf (x0 , y0 ) , (2.7)  y1 = y0 + h [f (x0 , y0 ) + f (x1 , y0 )] an n va Có thể thấy phương pháp Euler có độ xác O(h2 ) Thuật tốn RK4 tn to 2.1.3 Khi r = 4, ϕ4 (h) = y (x0 + h) − y (x0 ) − P gh p4i ki (h)   4 P P 0 Dễ thấy: ϕ4 (0) = 0; ϕ4 (0) = y0 − p4i ki (0) = − p4i f0 = p ie i=1 i=1 nl w oa Từ suy ra: P i=1 p4i = i=1 d 00 (4) 000 nf va an lu Ngồi ta cịn địi hỏi ϕ4 (0) = ϕ4 (0) = ϕ4 (0) = Kết có 11 phương trình 13 ẩn: α2 , α3 , α4 , β21 , β31 , β32 , β41 , β42 ,
β43 , p4i ; i = 1, Như có họ công thức RK4 Công thức thông dụng có dạng: lm ul z at nh oi ∆y0 = [k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ], k1 = hf (x0 , y0 ), h k1 k2 = hf (x0 + , y0 + ), 2 z @ (2.8) m co an Lu k4 = hf (x0 + h, y0 + k3 ), l gm h k2 k3 = hf (x0 + , y0 + ), 2 n va ac th si 20 (5) ϕ4 (ξ) Có thể chứng minh R4 (h) = h 2.2 sai số địa phương RK4 120 Phương pháp Runge-Kutta hệ phương trình vi phân phi tuyến lu Xét hệ phương trình vi phân cấp  dx1   = f1 (t, x1 , x2 , , xm ),   dt    dx2     dt = f2 (t, x1 , x2 , , xm ), dx3 = f3 (t, x1 , x2 , , xm ),   dt          dxm = fm (t, x1 , x2 , , xm ) dt (2.9) an n va tn to Nghiệm hệ cần thỏa mãn hệ điều kiện đầu: p ie gh x1 (0) = x10 , , xm (0) = xm0 d oa nl w Đặt nf va an lu U = (x1 , x2 , , xm )T ; F (t, U ) = (f1 (t, U ), , fm (t, U ))T , U0 = (x10 , , xm0 )T Khi hệ (2.9) tương với phương trình vi phân cấp dạng vecto lm ul dU = F (t, U ); U (t = 0) = U0 dt (2.10) z at nh oi z Sử dụng kết phương pháp Runge Kutta với độ xác bậc 4, xây dựng lược đồ giải số hệ phương trình vi phân cấp sơ đồ dạng vecto sau: Sơ đồ QH_m l gm @ m co Uk+1 = Uk − [K1 + 2K2 + 2K3 + K4 ], h K1 K1 = hF (tk , Uk ), K2 = hF (tk + , Uk + ), 2 h K2 K3 = hF (tk + , Uk + ), K4 = hF (tk + h, Uk + K3 ) 2 an Lu (2.11) n va ac th si 21 Có thể chứng minh lược đồ (2.11) có độ xác bậc 2.3 Phương pháp Runge-Kutta phương trình vi phân cấp cao Xuất phát từ kết truyền thống phương trình vi phân cấp 1, sau đưa kết mở rộng phương pháp cho phương trình vi phân dạng tổng quát cấp n Xét toán biên u(n) = f (x, u, u0 , , u(n−1) ), x ∈ [a, b], u(a) = u0,a , , u(n−1) (a) = un−1,a (2.12) lu an n va p ie gh tn to Việc xây dựng phương pháp sai phân trực tiếp cho phương trình vi phân cấp cao khó khăn vấn đề xác định cơng thức sai phân cho đạo hàm cấp cao khó, nhiên sử dụng phép biến đổi dạng vecto để đưa dạng phương trình vi phân cấp sau: Đặt       u u u0a  u0   u00  u       1a  U =  ; F (x, U ) =   ; Ua =   (2.13)       u(n−1) f (x, u, , u(n−1) ) un−1,a d oa nl w lu nf va an Khi tốn (2.12) tương đương với toán sau đây: U = F (x, U ), x ∈ [a, b], U (a) = Ua lm ul z at nh oi Sử dụng sơ đồ tính tốn tương tự phương pháp Runge-Kutta, ta có sơ đồ sai phân cách hình thức sau: Sơ đồ QH_m z Uk+1 = Uk − [K1 + 2K2 + 2K3 + K4 ], h K1 (2.14) K1 = hF (xk , Uk ), K2 = hF (xk + , Uk + ), 2 h K2 K3 = hF (xk + , Uk + ), K4 = hF (xk + h, Uk + K3 ) 2 m co l gm @ an Lu n va Các kí hiệu U, K1 , K2 , K3 , K4 , F, Ua vecto n chiều Chú ý khác với lược đồ (2.11), lược đồ (2.14) nghiệm xấp ac th si 22 xỉ phương trình vi phân cấp cao nhận tọa độ vectơ U Tương tự lược đồ (2.11), lược đồ (2.14) có độ xác bậc Sau số kết xây dựng lược đồ sai phân cho phương trình cấp cao Bài toán cấp u00 = f (x, u, u0 ), x ∈ [a, b], u(a) = u0,a , u0 (a) = u1,a ! ! ! u u pi 0a , i = 1, 2, 3, , U0 = , v = u0 , U = Ki = u1a v ki lu an n va p4 k4 ! , p ie gh tn to Sơ đồ QH_2 ! ! ! ! p1 p2 p3 uk ∆ = + + + k1 k3 k3 vk ! ! p1 vk =h , k1 f (xk , uk , vk )   ! k1 vk + p2   = h p1 k1  , k2 f (xk + , uk + , vk + ) 2   ! k2 vk + p3   = , p k h 2 k3 f (xk + , uk + , vk + ) 2 2! ! p4 vk + k3 = k4 f (xk + h, uk + p3 , vk + k3 d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul Bài toán cấp z u000 = f (x, u, u0 , u00 ), x ∈ [a, b], u(a) = u0,a , u0 (a) = u1,a , u00 (a) = u2a @      ri u u0a       Ki =  pi  , v = u0 , w = u00 , U =  v  , U0 =  u1a  , i = 1, 2, 3, ki w u2a m co l gm  an Lu n va ac th si 23 lu an n va p ie gh tn to Sơ đồ QH_3           uk r1 r2 r3 r4  1  2  2  1   ∆  v k  =  p1  +  p2  +  p3  +  p4  , 6 6 w k k k k4 k 3     vk r1     wk ,  p1  = h  k1  f (xk , uk , vk , wk ) p    vk +   r2  k     , w + = p    k   h r1 p1 k1  k2 f (xk + , uk + , vk + , wk + ) 2 2   k   vk +   r3  k    ,  p3  =  w + k    k3 r2 p2 k2  h f (xk + , uk + , vk + , wk + ) 2 2    r4 vk + p3     wk + k3  p4  =   k4 f (xk + h, uk + r3 , vk + p3 , wk + k3 d oa nl w 2.4 nf va an lu Hồn tồn tương tự, xây dựng sơ đồ QH_4, QH_5, QH_6, tìm nghiệm số cho phương trình vi phân cấp 4, 5, 6, Giới thiệu thư viện QH_2015 lm ul z at nh oi Xuất phát từ lược đồ tính tốn phương trình vi phân cấp 1, lược đồ phương trình vi phân cấp tuyến tính sơ đồ QH_2, QH_3, phương trình vi phân phi tuyến cấp cao hệ phương trình vi phân Tham khảo thư viện QH_2015 gồm hàm cho phép trả lại nghiệm số phương trình tương ứng Trong thiết kế thư viện, thống sử dụng hệ thống kí hiệu sau: + a, b giá trị đầu mút đoạn [a, b] + n số nút lưới chia đoạn [a, b] b−a +h= bước lưới n + α0 , α1 , β0 , β1 , A, B hệ số hệ điều kiện biên phương trình vi phân tuyến tính cấp z m co l gm @ an Lu n va ac th si 24 lu an n va ie gh tn to +u0,a , u1,a , , un−1,a giá trị đầu cho phương trình vi phân phi tuyến cấp n tổng quát Các hàm xây dựng thư viện gồm: + Hàm Rk1(a, b, n, u0,a ) trả lại kết nghiệm số phương trình vi phân cấp theo phương pháp Euler + Hàm Rk2(a, b, n, u0,a ) trả lại kết nghiệm số phương trình vi phân cấp theo phương pháp Euler + Hàm Rk4(a, b, n, u0,a ) trả lại kết nghiệm số phương trình vi phân cấp theo phương pháp Runge-Kutta + Hàm qh4(a, b, n, α0 , α1 , β0 , β1 , A, B) trả lại kết nghiệm số phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ điều kiện đầu với độ xác cấp sử dụng thuật toán truy đuổi đường chéo + Hàm qhm(a, b, n, U0 ) trả lại kết nghiệm số phương trình vi phân phi tuyến cấp n sử dụng lược đồ tính tốn QH_m + Hàm qhhm(a, b, n, X0 ) trả lại kết nghiệm số hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp sử dụng lược đồ tính tốn QH_m N Sai số phương pháp p m=3 m=4 m=5 m=10 8.0e-7 3.0e-7 5.7e-7 2.4e-7 3.3e-7 3.0e-11 5.5e-11 2.1e-11 3.0e-11 8.8e-14 3.3e-14 4.8e-14 3.4e-15 4.8e-15 2.8e-15 2.8e-15 d oa nl w m=2 10 nf va an lu 100 500 1.2e-13 4.8e-14 1000 8.8e-15 4.8e-15 6.8e-15 10000 2.6e-15 2.8e-15 2.8e-15 7.8e-11 z at nh oi lm ul z gm @ m co l Bảng 2.1: Kết kiểm tra sai số lược đồ QH_m u∗ (x) = e−x , x ∈ [0, 1] an Lu n va ac th si 25 N Sai số phương pháp lu an n va m=2 m=3 m=4 m=5 10 3e-7 2e-6 6e-6 2e-5 100 3e-11 2e-10 7e-10 2e-9 500 5e-14 4e-13 1e-12 4e-12 1000 6e-15 1e-14 8e-14 2e-13 10000 2e-14 3e-14 3e-14 4e-14 tn to ie gh Bảng 2.2: Kết kiểm tra sai số lược đồ QH_m p Qua kiểm tra tính tốn ví dụ cụ thể thấy hàm xây dựng thư viện QH_2015 có độ xác theo lý thuyết đưa Thư viện QH_2015 cung cấp cho người sử dụng công cụ chuẩn để tìm nghiệm số phương trình vi phân hệ phương trình vi phân d oa nl w lu nf va an Kết luận z at nh oi lm ul Nội dung chương đưa số kết xây dựng lược đồ tính tốn nghiệm xấp xỉ phương trình vi phân hệ phương trình vi phân dựa sơ đồ Runge-Kutta, từ xây dựng thư viện số QH_2015 cung cấp công cụ giải số cho người sử dụng Các kết sử dụng để cài đặt thuật tốn trình bày chương luận văn z m co l gm @ an Lu n va ac th si 26 Chương Phương pháp lặp giải mơ hình tốn biên phi tuyến cấp lu an n va p ie gh tn to Trong chương này, luận văn trình bày số kết nghiên cứu mơ hình tốn biên phi tuyến, kết gồm có việc nghiên cứu tồn nghiệm toán sở toán học cho việc xây dựng phương pháp lặp tìm nghiệm số tốn dựa lý thuyết ánh xạ co Phần thực nghiệm máy tính điện tử sử dụng chương trình mẫu xây dựng thư viện QH_2015 Các kết lý thuyết tham khảo tài liệu [4, 5, 6, 7] oa nl w Giới thiệu d 3.1 lu nf va an Chúng ta xét tốn biên mơ tả phương trình vi phân phi tuyến cấp có dạng lm ul với điều kiện biên z at nh oi ZL u0000 (x) − M ( u0 (s)ds)u00 (x) = f (x, u(x), u0 (x)), 0