Luận văn thạc sĩ toán học một số phương pháp giải số phương trình và hệ phương trình vi phân cấp cao

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Ngô Thị Thu Hương MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN[.]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Ngô Thị Thu Hương MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Ngô Thị Thu Hương MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Vũ Vinh Quang Thái Nguyên - 2017 i Mục lục Bảng ký hiệu Danh sách bảng Danh sách hình vẽ Mở đầu Một số kiến thức 1.1 Một số khái niệm Giải tích hàm 1.1.1 Khơng gian metric 1.1.2 Ánh xạ co 1.1.3 Nguyên lí ánh xạ co 1.2 Phương pháp sai phân 1.2.1 Lưới sai phân 1.2.2 Hàm lưới 1.2.3 Công thức Taylor 1.2.4 Một số công thức xấp xỉ đạo hàm 1.3 Thuật toán truy đuổi đường chéo 1.4 Phương pháp lưới giải toán biên cho phương trình cấp 6 6 7 7 10 12 Phương pháp số giải phương trình vi phân phi tuyến cấp cao hệ phương trình vi phân với hệ điều kiện đầu 16 2.1 Cơ sở lý thuyết phương pháp Runge-Kutta 16 2.1.1 Phương pháp Euler 17 2.1.2 Phương pháp Euler 18 2.1.3 Thuật toán RK4 19 2.2 Phương pháp Runge-Kutta hệ phương trình vi phân phi tuyến 20 2.3 Phương pháp Runge-Kutta phương trình vi phân cấp cao 21 2.4 Giới thiệu thư viện QH_2015 23 ii Phương pháp lặp giải mơ hình cấp 3.1 Giới thiệu 3.2 Nghiên cứu tính chất nghiệm 3.3 Phương pháp xây dựng sơ đồ lặp 3.3.1 Cơ sở lý thuyết 3.3.2 Sơ đồ lặp tìm nghiệm số 3.3.3 Một số kết thực nghiệm toán biên phi tuyến 26 26 27 30 30 33 36 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 iii Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy tơi TS Vũ Vinh Quang, người trực tiếp hướng dẫn luận văn, tận tình bảo hướng dẫn tơi tìm hướng nghiên cứu, tìm kiếm tài liệu, giải vấn đề nhờ tơi hồn thành luận văn cao học Từ tận đáy lịng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy cố gắng để xứng đáng với công lao Thầy Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ suốt thời gian học tập trường Tơi xin cảm ơn q thầy Khoa Tốn - Tin đặc biệt PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy, trưởng Khoa Tốn - Tin, ln quan tâm, động viên, trao đổi đóng góp ý kiến quý báu suốt trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Cuối cùng, tơi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thân gia đình, đặc biệt bố mẹ Những người ln động viên, chia sẻ khó khăn tơi suốt thời gian qua đặc biệt thời gian tơi theo học khóa thạc sỹ trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Thái Nguyên, tháng 10 năm 2017 Tác giả luận văn Ngô Thị Thu Hương Bảng ký hiệu R R+ R ∪ {±∞} Rn Ωh C [0; L] A∪B A∩B hx, yi [x, y] l2 f (n) ∆a Trường số thực tập số thực không âm tập số thực mở rộng Không gian Euclide n-chiều Không gian lưới Không gian hàm có đạo hàm liên tục hợp hai tập A B giao hai tập A B tích vơ hướng hai véc-tơ x, y ∈ H đoạn thẳng nối x y không gian dãy số vô hạn đạo hàm cấp n sai số tuyệt đối a Danh sách bảng 2.1 2.2 Kết kiểm tra sai số lược đồ QH_m 24 Kết kiểm tra sai số lược đồ QH_m 25 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Trường Trường Trường Trường Trường hợp hợp hợp hợp hợp biết trước nghiệm (Tofuma_moi.m) biết trước nghiệm (Tofuma_moi.m) trước nghiệm (Tofuma_moi_xx.m) biết trước nghiệm (Tofuma_tq.m) trước nghiệm (Tofuma_tp_xx.m) 37 38 39 40 42 Danh sách hình vẽ 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ thị thị thị thị thị sai sai sai sai sai số số số số số giữa giữa nghiệm nghiệm nghiệm nghiệm nghiệm đúng đúng và và nghiệm nghiệm nghiệm nghiệm nghiệm gần gần gần gần gần đúng đúng 37 38 39 41 43 Mở đầu Phương trình vi phân dạng tuyến tính phi tuyến tính lớp phương trình lý thuyết phương trình vi phân có ứng dụng quan trọng toán thực tế đặc biệt lý thuyết điều khiển ổn định Về mặt lý thuyết tổng quát lớp phương trình nhà tốn học nghiên cứu từ lâu, nhiên vấn đề tìm nghiệm giải tích phương trình thực phương trình dạng đặc biệt chủ yếu phải xác định nghiệm xấp xỉ qua phương pháp gần Đối với phương trình vi phân cấp 2, với tốn điều kiện đầu, người ta xây dựng phương pháp giải số dựa cơng thức Runge-Kutta với độ xác bậc 4, toán biên với hệ điều kiện biên hỗn hợp, sử dụng phương pháp sai phân, đưa hệ phương trình đại số dạng đường chéo hệ giải thuật tốn truy đuổi Đối với phương trình vi phân tuyến tính bậc 4, phương pháp phân rã, đưa tốn cấp hai để xác định nghiệm thơng qua thuật tốn biết Tuy nhiên phương trình dạng phi tuyến điều kiện biên phi tuyến để tìm nghiệm xấp xỉ, cần phải xây dựng sơ đồ lặp tùy dạng toán để xác định nghiệm xấp xỉ toán Nội dung luận văn tìm hiểu số phương pháp giải số phương trình vi phân cấp cao hệ phương trình vi phân với hệ điều kiện đầu, phương pháp lặp số dạng toán cho phương trình cấp với hệ điều kiện biên dạng phi tuyến, nghiên cứu tính chất hội tụ sơ đồ lặp kiểm tra tính đắn sơ đồ lặp máy tính điện tử Nội dung luận văn chia làm chương Chương 1: Một số kiến thức 5 Chương 2: Phương pháp số giải phương trình vi phân phi tuyến cấp cao hệ phương trình vi phân với hệ điều kiện đầu Chương 3: Phương pháp lặp giải mơ hình toán biên phi tuyến cấp 6 Chương Một số kiến thức Trong chương chúng tơi trình bày số kết lý thuyết sơ đồ lặp, phương pháp sai phân phương trình vi phân cấp thuật tốn truy đuổi đường chéo Những kết kiến thức bổ trợ cho việc trình bày kết chương chương Các kết lý thuyết tham khảo tài liệu [1, 2, 3] 1.1 1.1.1 Một số khái niệm Giải tích hàm Khơng gian metric Định nghĩa 1.1.1 Tập X phần tử x, y, z gọi không gian metric với phần x, y tương ứng với với số không âm d(x,y) thỏa mãn điều kiện sau: + d(x,y)>0, d(x,y)=0 x=y + d(x,y)=d(y,x) + d(x,y) ≤d(x,z)+d(z,y) Số d(x, y) gọi khoảng cách phần tử x y hay thường gọi metric Định nghĩa 1.1.2 Dãy {xn }được gọi dãy ∀ε > 0, tồn số N > cho với m,n>N ta có d(xn , xm ) ≤ ε Nếu dãy không gian X hội tụ đến phần tử thuộc X X gọi khơng gian đủ 1.1.2 Ánh xạ co Định nghĩa 1.1.3 Một ánh xạ A từ khơng gian metric (X,d) vào gọi ánh xạ co tồn số q ∈ (0, 1) cho với x, y ∈ X, d(A(x), A(y)) < qd(x, y) Khi số q gọi hệ số co ánh xạ A 1.1.3 Nguyên lí ánh xạ co Cho A ánh xạ co không gian metric đủ (X, d) Khi đó: • Tồn x∗ ∈ X cho A(x∗ ) = x∗ Phần tử x∗ ∈ X gọi điểm bất động ánh xạ A • Mọi dãy lặp xn+1 = A(xn ), (n ≥ 0) xuất phát từ x0 hội tụ Ngồi ta có ước lượng sau d(xn , x∗ ) ≤ q n (1 − q)−1 d(x0 , x1 ) d(xn , x∗ ) ≤ q(1 − q)−1 d(xn−1 , xn ) 1.2 1.2.1 (n ≥ 1), (n ≥ 1) Phương pháp sai phân Lưới sai phân Ta chia đoạn [a, b] thành N đoạn nhau, đoạn dài b−a h= điểm xi = a + ih, i = 0, 1, , N Khi tập điểm xi gọi N lưới sai phân [a, b] ký hiệu Ωh , điểm xi gọi nút lưới, h gọi bước lưới 1.2.2 Hàm lưới Xét hàm số u(x) xác định đoạn [a,b], tập giá trị hàm điểm lưới gọi hàm lưới ui = u (xi ) 1.2.3 Công thức Taylor Giả sử u(x) hàm số xác định có đạo hàm đến cấp m + khoảng (α, β) chứa x x + ∆x, ∆x âm hay dương Khi ta có cơng thức khai triển: (∆x)2 00 u(x + ∆x) = u(x) + ∆xu (x) + u (x) + 2! (∆x)m (m) (∆x)m+1 (m+1) + u (x) + u (c) m! (m + 1)! c điểm khoảng từ x đến x+∆x Có thể viết c = x+θ∆x với < θ < Ta giả thiết thêm: (m+1) (x) ≤ M = const, x ∈ [α, β] u (∆x)(m+1) (m+1) Khi u (c) vơ bé ∆x → Tức tồn (m + 1)! số K > không phụ thuộc vào ∆x cho: (∆x)(m+1) (m+1) u (c) ≤ K(∆x)(m+1) (m + 1)! Cơng thức Taylor viết gọn sau:   (∆x)2 00 (∆x)m m (m+1) u(x+∆x) = u(x)+∆xu (x)+ u (x)+ + u (x)+O (∆x) 2! m! 1.2.4 Một số công thức xấp xỉ đạo hàm Xét không gian lưới Ωh với bước lưới h = b−a , xét công thức N khai triển Taylo tổng quát hàm u(x): h2 00 h3 (3) h(4) (4) u(x ± h) = u(x) ± hu + u ± u + u + + O(hn ) 24 Xuất phát từ công thức Taylo dừng với số hạng khai triển, nhận công thức xấp xỉ đạo hàm với độ xác cấp cấp sau: u0 (xi ) = u00 (xi ) = ui+1 − ui + O(h) h ui+1 − ui−1 + O(h2 ) 2h Nếu sử dụng công thức khai triển Taylo với số hạng khai triển, thu công thức ui+1 h2 00 h3 (3) h4 (4) h5 (5) h6 (6) u + u + O(h6 ) = ui + hui + ui + ui + ui + 24 120 i 720 i 0 ui−1 = ui − hui + h2 00 h3 (3) h4 (4) h5 (5) h6 (4) ui − ui + ui − ui + ui + O(h6 ) 24 120 720 Từ suy ui+1 + ui−1 h4 (4) h6 (6) = 2ui + h ui + ui + ui + O(h6 ) 12 360 00 hay 00 ui = ui−1 − 2ui + ui+1 h2 (4) h4 (6) − u − ui + O(h4 ) i h 12 360 Vậy ta có lược đồ sai phân với độ xác cấp h2 (4) h4 (6) ui−1 − 2ui + ui+1 (2) = ui + ui + u ; i = 1, 2, , n − h2 12 360 i Với hàm f (x) tùy ý, ta cần xác định đạo hàm cấp thông qua giá trị hàm mốc nội suy Sử dụng kết đa thức nội suy Lagrange, ta có f (m) (xi ) = n X (m) f (xk )Lk (xi ) + R(xi ); i = 0, 1, , n k=0 Trong độ xác khai triển cao số mốc nội suy lớn Như đạo hàm hàm điểm xi tính qua giá trị hàm điểm xk với độ xác bậc cao Bằng tính tốn cụ thể, ta có cơng thức sau Đạo hàm cấp 1 (−25f0 + 48f1 − 36f2 + 16f3 − 3f4 ) + O(h4 ), 12h f (xn ) = (25fn − 48fn−1 + 36fn−2 − 16fn−3 + 3fn−4 ) + O(h4 ) 12h f (x0 ) = Đạo hàm cấp f 00 (x0 ) = (35f0 − 104f1 + 114f2 − 56f3 + 11f4 ) + O(h2 ), 12h f 00 (x1 ) = (11f0 − 20f1 + 6f2 + 4f3 − f4 ) + O(h2 ), 12h2 f 00 (xk ) = (−fk−2 + 16fk−1 − 30fk + 16fk+1 − fk+2 ) + O(h2 ), 12h2 f 00 (xn−1 ) = (11fn − 20fn−1 + 6fn−2 + 4fn−3 − fn−4 ) + O(h2 ), 12h2 10 f 00 (xn ) = (35fn − 104fn−1 + 114fn−2 − 56fn−3 + 11fn−4 ) + O(h2 ), 12h Đạo hàm cấp f (4) (x0 ) = (f0 − 4f1 + 6f2 − 4f3 + f4 ) + O(h), h4 f (4) (x1 ) = (f0 − 4f1 + 6f2 − 4f3 + f4 ) + O(h), h4 f (4) (xk ) = (fk−2 − 4fk−1 + 6fk − 4fk+1 + fk+2 ) + O(h), h4 f (4) (xn−1 ) = f (4) (xn ) = (fn − 4fn−1 + 6fn−2 − 4fn−3 + fn−4 ) + O(h), h4 (fn − 4fn−1 + 6fn−2 − 4fn−3 + fn−4 ) + O(h) h4 Các công thức tính xấp xỉ đạo hàm sử dụng để xây dựng lược đồ sai phân giải phương trình vi phân 1.3 Thuật tốn truy đuổi đường chéo Xét hệ phương trình:    C1 x1 + B1 x2 = f1 Ai xi−1 + Ci xi + Bi xi+1 = fi ; (i = 1, 2, , n − 1)  A x = fn n n−1 + Cn xn Có hệ ma trận:  C1 B1 0   A2 A2 B2 0  A=   0 0 Cn−1 Bn−1  0 An Cn dạng đường chéo X = (x0 , x1 , , xn ) : ẩn phải tìm; D = (f0 , f1 , , fn ) : cột vế phải         (1.1) 11 Các hệ số ma trận đường chéo cần thỏa mãn điều kiện sau đây: |Ci | ≥ |Ai | + |Bi | , i = 1, 2, , n tồn bất đẳng thức chặt Hệ phương trình gọi hệ đường chéo Đối với hệ dạng đặc biệt này, tìm nghiệm hệ thuật toán sau Thuật toán truy đuổi đường chéo Ta tìm nghiệm hệ (1.1) dạng: xi = αi+1 xi+1 + βi+1 ; i = 0, 1, 2, , n − 1, (1.2) αi+1 , βi+1 tìm từ điều kiện ràng buộc (1.2), nghiệm hệ (1.1) Thay (1.2) vào (1.1) sử dụng đẳng thức: xi−1 = αi xi + βi = αi (αi+1 xi+1 + βi+1 ) + βi ta được: [αi+1 (αi Ai − Ci ) + Bi ] xi+1 + [(αi Ai − Ci ) Bi+1 + βi Ai + di ] = Đẳng thức ∀i = 1, 2, , n − nên: αi+1 (αi Ai − Ci ) + βi = 0, (αi Ai − Ci ) Bi+1 + βi Ai + di = Từ ta có công thức truy hồi: αi+1 = Bi+1 = βi , (Ci − αi Ai ) βi Ai + di ; i = 1, 2, , n − (Ci − αi Ai ) Để có hệ số đó, ta cần xác định α1 , β1 ; Do phương trình đầu tiên: −C0 x0 + B0 x1 = −d0 B0 d0 hay: x0 = x1 + = α1 x1 + β1 có dạng (1.2) C0 C0 B0 d0 Nghĩa là: α1 = , β1 = C0 C0 Nhưng để tính theo cơng thức (1.2), ta cần có xn Ẩn xn tìm nhờ 12 phương trình cuối hệ (1.1) An xn+1 − Cn xn = −dn Lại theo (1.2) ta có: xn−1 = αn xn + βn βn An + dn C n − An αn Như nghiệm hệ (1.1) tìm theo cơng thức  Bi Ai βi + di   αi+1 = ; βi+1 = ; i = 1, 2, , n − 1,   C − α A C − α A i i i i i i     α = B0 ; β = d0 , 1 Co Co   xi = αi+1 xi+1 + βi+1 ; i = 1, 2, , n − 1,     β A + dn   xn = n n Cn − An αn Loại trừ xn−1 từ hệ này, ta suy được: xn = (1.3) Xuất phát từ cơng thức trên, thuật tốn truy đuổi đường chéo thực thuật toán sau đây: Thuật toán B1 f1 Bước 1: Xuất phát từ α1 = − , β1 = , xác định tất giá trị C1 C1 αi , βi , ∀i = 2, 3, , n theo công thức: αi+1 = Bi Ai βi + di ; βi+1 = ; i = 1, 2, , n − Ci − αi Ai C i − αi Ai Bước 2: Xuất phát từ xn = βn An + dn , xác định tất xi , i = Cn − An αn n − 1, n − 2, , 1, theo công thức: xi = αi+1 xi+1 + βi+1 ; i = 1, 2, , n − 1, Chúng ta thấy độ phức tạp thuật tốn O(n) 1.4 Phương pháp lưới giải toán biên cho phương trình cấp Xét tốn biên u00 = f (x), x ∈ [a, b], α0 u(a) − α1 u0 (a) = A, β0 u(b) + β1 u0 (b) = B α0 , α1 , β0 , β1 ≥ 0, α02 + α12 > 0, A, B số tùy ý (1.4) 13 Thuật tốn thơng thường Sử dụng công thức sai phân với độ xác cấp 2, ta có ui+1 − 2ui + ui−1 + O(h2 ), h2 u1 − u0 un−1 − un 0 u0 = + O(h), un = + O(h) 2h −h u00 = Khi (1.4) đưa hệ phương trình sai phân sau   = 2hA,  (2hα0 + α1 )u0 − α1 u1 ui+1 − 2ui + ui−1 = h2 fi ,   −β u n−1 + (2hβ0 + β1 )un = 2hB (1.5) Hệ phương trình (1.5) có dạng hệ truy đuổi đường chéo có tính chất chéo trội, giải thuật tốn truy đuổi với độ phức tạp O(n) Do phương pháp sai phân đạo hàm nên độ xác O(h) Thuật tốn với độ xác bậc cao Sử dụng cơng thức xấp xỉ đạo hàm với độ xác bậc cao, ta thu ui+1 h2 00 h3 (3) h4 00 h6 (4) h5 (5) = ui + hui + ui + ui + fi + u + f + O(h6 ), 24 120 i 720 i ui−1 h2 00 h3 (3) h4 00 h5 (5) h6 (4) = ui − hui + ui − ui + fi − ui + fi + O(h6 ) 24 120 720 0 Hay 00 ui = h4 (4) ui−1 − 2ui + ui+1 h2 00 − f − fi + O(h4 ) i h 12 360 Vậy ta có lược đồ sai phân với độ xác cấp ui−1 − 2ui + ui+1 h2 00 h4 (4) = fi + fi + f ; i = 1, 2, , n − h2 12 360 i Sử dụng công thức đạo hàm cấp để sai phân hệ điều kiện biên tốn, ta thu hệ phương trình sai phân với độ xác cấp 14 sau: α1 (−25u0 + 48u1 − 36u2 + 16u3 − 3u4 ) = A, 12h h6 (4) h4 00 f ; i = 1, 2, , n − 1, ui−1 − 2ui + ui+1 = h2 fi + fi + 12 360 i β1 β0 un + (25un − 48un−1 + 36un−2 − 16un−3 + 3un−4 ) = B 12h α0 u0 − Ta thu hệ đại số tuyến tính AU = F           A=         a00 a01 a10 a11 a21 0 0 a02 a03 a04 a12 0 a22 a23 a31 a32 a33 0 0 0 (1.6)  an−3n−4 an−3n−3 an−4n−3 0 an−2n−3 an−2n−2 an−2n−1 0 an−1n−2 an−1n−1 an−1n ann−4 ann−3 ann−2 ann−1 ann                   U = (u0 , u1 , , un )T ; F = (F0 , F1 , , Fn )T Hệ phương trình sai phân (1.3) hệ phương trình sai phân tương ứng với tốn biên cho phương trình vi phân (1.1) với độ xác cấp Trong trường hợp điều kiện biên có dạng Dirichlet u(a) = A; u(b) = B ta thu lược đồ sai phân với đội xác cấp (do sai phân điều kiện biên) Bởi ma trận A hệ khơng phải dạng đường chéo, hệ khơng giải thuật tốn truy đuổi Nhận xét: Có thể thấy qua số hữu hạn phép biến đổi ta chuyên hệ ban đầu dạng đường chéo với hệ số xác định công thức: α1 α1 a00 = α0 + ; a01 = − ; h h ai−1i = 1; aii = −2; aii+1 = 1; i = 1, 2, , n − 1, β1 β1 an−1n = ; ann = β0 + h h 15 Do điều kiện α0 , α1 > 0, β0 , β1 ≥ hệ số hệ thỏa mãn tính chất |a00 | > |a01 | , |ann | > |an−1n | , |aii | = |aii−1 | + |aii+1 | , ∀i = 1, 2, , n − Tức hệ thu hệ đường chéo có tính chất chéo trội hệ giải thuật tốn đường chéo với độ phức tạp tính tốn O(n) Kết luận Nội dung chương trình bày lý thuyết khơng gian metric, nguyên lý ánh xạ co sở phương pháp sai phân, xấp xỉ đạo hàm dựa khai triển Taylo tổng quát Các kết sở để nghiên cứu nội dung chương luận văn  ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Ngô Thị Thu Hương MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC... dung luận văn chia làm chương Chương 1: Một số kiến thức 5 Chương 2: Phương pháp số giải phương trình vi phân phi tuyến cấp cao hệ phương trình vi phân với hệ điều kiện đầu Chương 3: Phương pháp. .. tìm hiểu số phương pháp giải số phương trình vi phân cấp cao hệ phương trình vi phân với hệ điều kiện đầu, phương pháp lặp số dạng toán cho phương trình cấp với hệ điều kiện biên dạng phi tuyến,