Một số phương pháp giải số phương trình và hệ phương trình vi phân cấp cao

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Ngô Thị Thu Hương MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Ngô Thị Thu Hương MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Vũ Vinh Quang Thái Nguyên - 2017 i Mục lục Bảng ký hiệu Danh sách bảng Danh sách hình vẽ Mở đầu Một số kiến thức 1.1 Một số khái niệm Giải tích hàm 1.1.1 Khơng gian metric 1.1.2 Ánh xạ co 1.1.3 Nguyên lí ánh xạ co 1.2 Phương pháp sai phân 1.2.1 Lưới sai phân 1.2.2 Hàm lưới 1.2.3 Công thức Taylor 1.2.4 Một số công thức xấp xỉ đạo hàm 1.3 Thuật toán truy đuổi đường chéo 1.4 Phương pháp lưới giải toán biên cho phương trình cấp 6 6 7 7 10 12 Phương pháp số giải phương trình vi phân phi tuyến cấp cao hệ phương trình vi phân với hệ điều kiện đầu 16 2.1 Cơ sở lý thuyết phương pháp Runge-Kutta 16 2.1.1 Phương pháp Euler 17 2.1.2 Phương pháp Euler 18 2.1.3 Thuật toán RK4 19 2.2 Phương pháp Runge-Kutta hệ phương trình vi phân phi tuyến 20 2.3 Phương pháp Runge-Kutta phương trình vi phân cấp cao 21 2.4 Giới thiệu thư viện QH_2015 23 ii Phương pháp lặp giải mơ hình cấp 3.1 Giới thiệu 3.2 Nghiên cứu tính chất nghiệm 3.3 Phương pháp xây dựng sơ đồ lặp 3.3.1 Cơ sở lý thuyết 3.3.2 Sơ đồ lặp tìm nghiệm số 3.3.3 Một số kết thực nghiệm toán biên phi tuyến 26 26 27 30 30 33 36 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 iii Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy tơi TS Vũ Vinh Quang, người trực tiếp hướng dẫn luận văn, tận tình bảo hướng dẫn tơi tìm hướng nghiên cứu, tìm kiếm tài liệu, giải vấn đề nhờ tơi hồn thành luận văn cao học Từ tận đáy lịng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy cố gắng để xứng đáng với công lao Thầy Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ suốt thời gian học tập trường Tôi xin cảm ơn quý thầy cô Khoa Toán - Tin đặc biệt PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy, trưởng Khoa Tốn - Tin, ln quan tâm, động viên, trao đổi đóng góp ý kiến quý báu suốt trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Cuối cùng, tơi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thân gia đình, đặc biệt bố mẹ Những người ln động viên, chia sẻ khó khăn suốt thời gian qua đặc biệt thời gian tơi theo học khóa thạc sỹ trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Thái Nguyên, tháng 10 năm 2017 Tác giả luận văn Ngô Thị Thu Hương Bảng ký hiệu R R+ R ∪ {±∞} Rn Ωh C [0; L] A∪B A∩B x, y [x, y] l2 f (n) ∆a Trường số thực tập số thực không âm tập số thực mở rộng Không gian Euclide n-chiều Không gian lưới Không gian hàm có đạo hàm liên tục hợp hai tập A B giao hai tập A B tích vơ hướng hai véc-tơ x, y ∈ H đoạn thẳng nối x y không gian dãy số vô hạn đạo hàm cấp n sai số tuyệt đối a Danh sách bảng 2.1 2.2 Kết kiểm tra sai số lược đồ QH_m 24 Kết kiểm tra sai số lược đồ QH_m 25 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Trường Trường Trường Trường Trường hợp hợp hợp hợp hợp biết trước nghiệm (Tofuma_moi.m) biết trước nghiệm (Tofuma_moi.m) trước nghiệm (Tofuma_moi_xx.m) biết trước nghiệm (Tofuma_tq.m) trước nghiệm (Tofuma_tp_xx.m) 37 38 39 40 42 Danh sách hình vẽ 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ thị thị thị thị thị sai sai sai sai sai số số số số số giữa giữa nghiệm nghiệm nghiệm nghiệm nghiệm đúng đúng và và nghiệm nghiệm nghiệm nghiệm nghiệm gần gần gần gần gần đúng đúng 37 38 39 41 43 Mở đầu Phương trình vi phân dạng tuyến tính phi tuyến tính lớp phương trình lý thuyết phương trình vi phân có ứng dụng quan trọng toán thực tế đặc biệt lý thuyết điều khiển ổn định Về mặt lý thuyết tổng quát lớp phương trình nhà toán học nghiên cứu từ lâu, nhiên vấn đề tìm nghiệm giải tích phương trình thực phương trình dạng đặc biệt chủ yếu phải xác định nghiệm xấp xỉ qua phương pháp gần Đối với phương trình vi phân cấp 2, với tốn điều kiện đầu, người ta xây dựng phương pháp giải số dựa công thức Runge-Kutta với độ xác bậc 4, tốn biên với hệ điều kiện biên hỗn hợp, sử dụng phương pháp sai phân, đưa hệ phương trình đại số dạng đường chéo hệ giải thuật tốn truy đuổi Đối với phương trình vi phân tuyến tính bậc 4, phương pháp phân rã, đưa tốn cấp hai để xác định nghiệm thông qua thuật tốn biết Tuy nhiên phương trình dạng phi tuyến điều kiện biên phi tuyến để tìm nghiệm xấp xỉ, cần phải xây dựng sơ đồ lặp tùy dạng toán để xác định nghiệm xấp xỉ toán Nội dung luận văn tìm hiểu số phương pháp giải số phương trình vi phân cấp cao hệ phương trình vi phân với hệ điều kiện đầu, phương pháp lặp số dạng toán cho phương trình cấp với hệ điều kiện biên dạng phi tuyến, nghiên cứu tính chất hội tụ sơ đồ lặp kiểm tra tính đắn sơ đồ lặp máy tính điện tử Nội dung luận văn chia làm chương Chương 1: Một số kiến thức Chương 2: Phương pháp số giải phương trình vi phân phi tuyến cấp cao hệ phương trình vi phân với hệ điều kiện đầu Chương 3: Phương pháp lặp giải mô hình tốn biên phi tuyến cấp 36 điều kiện biên Dirichlet ln giải lược đồ sai phân với độ xác cấp thư viên QH_2015 3.3.3 Một số kết thực nghiệm Để kiểm tra hội tụ tốc độ hội tụ sơ đồ lặp, sử dụng phương pháp sai phân chuyển tốn vi phân hệ phương trình sai phân, việc tính tốn gần tích phân xác định sử dụng b−a cơng thức Parabol với độ xác O(h4 ) h = bước lưới sai n phân, việc giải gần hệ sai phân sử dụng sử dụng hàm thư viện QH_2015 với độ xác cấp Sai số tính tốn xác định ε = u(k+1) − u(k) Trong trường hợp biết nghiệm xác sai số bước lặp lấy ε = u(∗) − u(k) kí hiệu nghiệm toán Các kết thử nghiệm số chia làm trường hợp Trường hợp thứ áp dụng cho toán (3.27) điều kiện biên (thuật toán1), trường hợp thứ hai áp dụng cho toán biên (3.30) hệ điều kiện biên dạng tổng quát (thuật toán 2) 3.3.3.1 Kết thực nghiệm thuật toán 37 N=100 K ε K ε 0.02 11 × 10−6 0.0023 13 × 10−7 × 10−4 15 × 10−8 × 10−5 17 × 10−9 Bảng 3.1: Trường hợp biết trước nghiệm (Tofuma_moi.m) ud (x) = x5 − x4 − x3 + x; M (x) = x; g(x) = −2x; Hình 3.1: Đồ thị sai số nghiệm nghiệm gần 38 N=100 K ε K ε 0.0031 × 10−7 × 10−4 × 10−8 × 10−5 × 10−9 × 10−6 × 10−10 Bảng 3.2: Trường hợp biết trước nghiệm (Tofuma_moi.m) √ ud (x) = sin(πx); M (x) = x; g(x) = −4 x; 20 Hình 3.2: Đồ thị sai số nghiệm nghiệm gần 39 Nhận xét: Trong ví dụ chọn hàm f (x, u, u ), g(x), M 0(x) thỏa mãn điều kiện định lý Qua kết thực nghiệm thấy sơ đồ lặp đưa thuật toán hội tụ, tốc độ hội tụ nhanh Độ xác phương pháp tương đương với theo lý thuyết phương pháp sai phân Các kết trường hợp toán thực tế biết dạng phương trình dạng điều kiện biên nhất, kết đưa Bảng 3.3 N=100 K ε K ε 1 × 10−11 × 10−4 7 × 10−13 3 × 10−6 × 10−14 × 10−8 × 10−16 × 10−9 10 × 10−18 Bảng 3.3: Trường hợp trước nghiệm (Tofuma_moi_xx.m) √ x; g(x) = −4 x; f (x, u, u ) = x + u − u ; M (x) = 20 Hình 3.3: Đồ thị sai số nghiệm nghiệm gần 40 3.3.3.2 Kết thực nghiệm thuật toán N=100 K ε K ε 0.02 11 × 10−6 0.01 12 × 10−6 0.004 13 × 10−7 0.0017 14 × 10−7 × 10−4 15 × 10−8 × 10−4 16 × 10−8 × 10−4 17 × 10−8 × 10−5 18 × 10−9 × 10−5 19 × 10−9 10 × 10−6 20 × 10−10 Bảng 3.4: Trường hợp biết trước nghiệm (Tofuma_tq.m) √ ud (x) = sin x + e−x ; M (x) = x + 2x; g(x) = x2 + sinx − 1; x ∈ [4, 5] 20 41 Hình 3.4: Đồ thị sai số nghiệm nghiệm gần Nhận xét: Qua kết thực nghiệm thấy sơ đồ lặp đưa thuật toán hội tụ, tốc độ hội tụ nhanh Độ xác phương pháp tương đương với O(h4 ) theo lý thuyết phương pháp sai phân 42 N=100 K ε K ε 0.9458 11 × 10−7 0.0422 12 × 10−7 0.0086 13 × 10−8 0.0026 14 × 10−8 × 10−4 15 × 10−9 × 10−4 16 × 10−9 × 10−5 17 × 10−10 × 10−5 18 × 10−11 × 10−6 19 × 10−11 10 × 10−6 20 × 10−12 Bảng 3.5: Trường hợp trước nghiệm (Tofuma_tp_xx.m) x x4 M 0(x) = + 2x; g(x) = + sinx; f (x, u, u ) = x + y − z ; x ∈ [2, 3] 20 10 43 Hình 3.5: Đồ thị sai số nghiệm nghiệm gần 44 Kết luận Nội dung luận văn đề cập đến việc nghiên cứu phương pháp xây dựng sơ đồ giải số phương trình vi phân hệ phương trình vi phân Các kết luận văn gồm có: + Trình bày kiến thức không gian metric, nguyên lý ánh xạ co phương pháp sai phân, phương pháp xấp xỉ đạo hàm, thuật toán truy đuổi đường chéo + Xây dựng sơ đồ tính tốn tìm nghiệm số phương trình vi phân cấp cao hệ phương trình vi phân cấp dựa sơ đồ Runge-Kutta với độ xác cấp + Xây dựng thuật toán giải toán biên phi tuyến cấp với độ xác cấp cao dựa thuật toán truy đuổi đường chéo kết hợp với công thức sai phân đạo hàm bậc cao + Xây dựng thư viện QH_2015 gồm tất hàm mơ tả lược đồ tính tốn ngôn ngữ Matlab + Nguyên cứu sở lý thuyết xây dựng sơ đồ lặp cho toán biên cấp tổng quát mô tả dao động dầm đàn hồi với hệ điều kiện biên đặc biệt Tiến hành tính tốn thử nghiệm cho sơ đồ lặp trường hợp cụ thể Các kết đạt khẳng định ưu điểm sơ đồ tính tốn số sơ đồ lặp cho toán biên cấp Hướng phát triển luận văn thời gian tới tiếp tục phát triển sơ đồ tính toán sơ đồ lặp cho tốn phương trình vi phân hệ phương trình vi phân phức tạp 45 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (1990),Giải tích số, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật [2] Tạ Văn Đĩnh (2005), Phương pháp sai phân phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật [3] Vũ Vinh Quang, Trương Hà Hải, Nguyễn Thanh Hường, Ngô Thị Kim Quy (9/2015), Kết xây dựng thư viện số QH2015 giải phương trình vi phân, Hội thảo Quốc gia “Một số vấn đề chọn lọc CNTT TT”, Đại học Nguyễn Tất Thành Tiếng Anh [4] T.F Ma, A.L.M Martinez (2010), Positive solution for a fourth order equation with nonlinear boundary conditions, Mathematics and Computers in Simulation 80(11), pp.2177-2184 [5] T.F Ma (2000), Existence Results for a Model of Nonlinear Beam on Elastic Bearings, Applied Mathematics Letters 13(5), pp 11-15 [6] T.F Ma (2003), Existence Results and numerical solutions for a beam equation with nonlinear boundary conditions, Applied Numerical Mathematics 47(2), pp 189-196 [7] T.F Ma, J.D Silva (2004), Iterative solutions for a beam equation with nonlinear boundary conditions of third order, Applied Mathematics and computation 159, pp.11-18 [8] Samarskij, A.A., Nikolaev E.S (1989), Numerical Methods for Grid Equations,Vol 2, Birkhauser, Basel 46 [9] Marchuk, G.I (1982), Methods of Numerical Mathematics, Springer, New York [10] E Haier, S.P Norsett, G Wanner (2008), Runge-Kutta and Extrapolation Methods, Solving Ordinary Differential Equations Nonstiff Problem, Springer 47 Phần phụ lục Một số chương trình nguồn sử dụng luận văn Chương trình giải số tốn biên cấp với độ xác cấp function qh40 = qh40(e,g,f,ga,gb,n) h=(g-e)/n; for i=3:n-1 F(i-1)=h∧ 2*f(i)+h∧ 2*(-f(i-2)+16*f(i-1)-30*f(i)+16*f(i+1)-f(i+2))/144 +h∧ 2*(f(i-2)-4*f(i-1)+6*f(i)-4*f(i+1)+f(i+2))/360; end; F(1)=h∧ 2*f(2)+h∧ 2*(11*f(1)-20*f(2)+6*f(3)+4*f(4)-f(5))/144 +h∧ 2*(f(1)-4*f(2)+6*f(3)-4*f(4)+f(5))/360; F(n-1)=h∧ 2*f(n)+h∧ 2*(11*f(n+1)-20*f(n)+6*f(n-1)+4*f(n-2)-f(n-3))/144 +h∧ 2*(f(n+1)-4*f(n)+6*f(n-1)-4*f(n-2)+f(n-3))/360; F(1)=F(1)-ga;F(n-1)=F(n-1)-gb; for i=1:n-1 c(i)=-2;a(i)=1;b(i)=1; end; u4=truyduoi(a,b,c,F,n-1); for i=1:n-1 qh40(i+1)=u4(i); end; qh40(1)=ga;qh40(n+1)=gb; function u=truyduoi(a,b,c,f,n) alpha(1)=-b(1)/c(1);beta(1)=f(1)/c(1); for k=2:n-1; alpha(k)=-b(k)/(a(k)*alpha(k-1)+c(k)); beta(k)=(f(k)-a(k)*beta(k-1))/(a(k)*alpha(k-1)+c(k)); end; u(n)=(f(n)-a(n)*beta(n-1))/(a(n)*alpha(n-1)+c(n)); for k=(n-1):-1:1; u(k)=alpha(k)*u(k+1)+beta(k); end; Chương trình mơ tả thuật tốn function TF=Tofuma_moi(a,b,n,k,saiso); clc;h=(b-a)/n; for i=0:n; x=a+i*h;ud(i+1)=u(x); 48 end; uu=zeros(1,n+1);dh=zeros(1,n+1);dh2=zeros(1,n+1); ss=10;count=0; while and(ss>saiso,countsaiso,count