(Luận văn) giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm bài toán cân bằng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————o0o————— NGUYỄN DOÃN MINH lu an n va TRÊN TẬP NGHIỆM BÀI TOÁN CÂN BẰNG p ie gh tn to GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2019 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————o0o————— NGUYỄN DOÃN MINH lu GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN an TRÊN TẬP NGHIỆM BÀI TOÁN CÂN BẰNG n va tn to p ie gh Ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 d oa nl w nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul Cán hướng dẫn khoa học GS.TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên, năm 2019 n va ac th si Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận văn cơng trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn trực tiếp GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn Các tài liệu luận văn trung thực Trong q trình nghiên cứu, tơi kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Luận văn chưa cơng bố cơng trình Thái Ngun, ngày 30 tháng 04 năm 2019 lu an Tác giả n va tn to p ie gh NGUYỄN DOÃN MINH d oa nl w XÁC NHẬN XÁC NHẬN an lu CỦA KHOA CHUYÊN MÔN CỦA CÁN BỘ HƯỚNG DẪN nf va z at nh oi lm ul z m co l gm @ GS.TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN an Lu n va ac th i si Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn hướng dẫn hiệu quả, tận tình bảo động viên suốt thời gian nghiên cứu vừa qua Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo - Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy lu an tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu n va khoa học tn to Xin chân thành cảm ơn Trường THCS Phú Lâm đồng nghiệp gh tạo điều kiện giúp đỡ mặt q trình học tập hồn p ie thành luận văn w Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết oa nl mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn d học viên để luận văn hoàn chỉnh lu nf va an Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn z at nh oi lm ul Thái Nguyên, ngày 30 tháng 04 năm 2019 Tác giả z gm @ m co l NGUYỄN DOÃN MINH an Lu n va ac th ii si Mục lục Lời mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị lu an Khơng gian Hilbert số tính chất 1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân 1.3 Bài toán cân 13 n va 1.1 gh tn to Một số phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân ie p 2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp 28 Bài toán bất đẳng thức biến phân ràng buộc điểm bất nl w 2.2 27 d oa động tách Bài toán cân hai cấp 2.4 Bài toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm 31 nf va an lu 2.3 29 toán cân 40 z at nh oi Tài liệu tham khảo lm ul Kết luận 32 41 z m co l gm @ an Lu n va ac th iii si Lời mở đầu Lý chọn đề tài Từ năm 1950, Nikaido Isoda đưa khái niệm cân toán học, sau năm 1958 John Nash đưa khái niệm cân lu trị chơi khơng hợp tác, năm 1972 Ky Fan chứng minh tồn an nghiệm bất đẳng thức, người ta gọi toán cân kiểu Ky va n Fan Từ năm 1994 Blum Oettli phát biểu toán cân cách gh tn to ngắn gọn sau: Cho C tập hợp cân H , f : C × C → H , f (u, u) = p ie Bài tốn tìm u∗ ∈ C cho f (u∗ , u) ≥ 0, ∀u ∈ C , toán gọi w toán cân bằng, u∗ gọi điểm cân bằng, hàm f gọi song oa nl hàm Bài toán bao gồm toán khác lý thuyết tối ưu d trường hợp đặc biệt Sau nhà tốn học phát biểu toán lu nf va an cho trường hợp véctơ trường hợp liên quan đến ánh xạ đa trị Trong thực tế nhiều ta gặp trường hợp giải toán tập lm ul nghiệm toán khác, toán gọi toán cấp z at nh oi hai Mục đích luận văn viết tổng quan tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân toán cân xây dựng số thuật toán để giải tài toán bất đẳng thức biến phân z tập nghiệm tốn cân @ l gm Chính với mong muốn tìm hiểu nhiều vấn đề trên, với gợi ý giúp đỡ nhiệt tình GS.TSKH Nguyễn Xn Tấn, tơi co m chọn đề tài: "Giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm an Lu toán cân bằng" làm luận văn thạc sỹ n va ac th si Mục đích nghiên cứu Mục đích mà đề tài đặt nghiên cứu số phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân (i) Đề tài nghiên cứu phương pháp đạo hàm tăng cường giải toán BV I(F, G, C) với điểm sử dụng tính chất co ánh xạ Tλ = I − λF với λ > 0, F ánh xạ giá đơn điệu mạnh liên tục Lipschitz, ánh xạ G đơn điệu mạnh ngược, theo P.N Anh (ii) Kết hợp phương pháp đạo hàm kết hợp kỹ thuật điểm bất động đưa thuật toán để giải toán bất đẳng thức biến phân lu an tập nghiệm toán cân V IEP (F, f, C) với ánh xạ giá F n va đơn điệu mạnh liên tục Lipschitz, song hàm f giả đơn điệu thỏa gh tn to mãn điều kiện tiền đơn điệu chặt p ie Đối tượng phạm vi nghiên cứu Với mục đích đặt trên, đề tài nghiên w d oa nl cứu nội dung sau phương pháp giải toán V IEP (F, f, C): an lu (i) Nghiên cứu xây dựng phương pháp ánh xạ nghiệm để giải toán cân nf va giả thiết song hàm f giả co chặt, đồng thời chứng minh z at nh oi lm ul tính tựa khơng giãn tựa co ánh xạ nghiệm:   S(u) = argmin λf (u, v) + kv − uk2 : v ∈ C , ∀u ∈ C (ii) Nghiên cứu xây dựng thuật toán giải toán bất đẳng thức biến phân z tập nghiệm toán cân với giả thiết song hàm f giả đơn @ l gm điệu, liên tục Lipschitz hàm giá F liên tục Lipschitz, đơn điệu mạnh m co Phương pháp nghiên cứu an Lu Thu thập tài liệu kết liên quan tới toán bất đẳng thức biến phân, toán cân bằng, phương pháp giải toán trên, n va ac th si để điểm mạnh phương pháp giải tốn tìm nghiệm toán V IEP (F, f, C), đưa thuật toán tạo dãy lặp đơn giản với điều kiện song hàm f đơn điệu mạnh ánh xạ giá F đơn điệu, đồng thời chứng minh hội tụ mạnh dãy nghiệm toán V IEP (F, f, C) Dự kiến kết nghiên cứu Đề tài tổng quan kiến thức liên quan tới kết phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân lu an Đề tài chia thành chương va n Chương Viết kiến thức lý thuyết không gian tn to Hilbert Các tính chất liên tục, lồi ánh xạ Một số định lý tồn nghiệm p ie gh toán bất đẳng thức biến phân toán cân Chương Viết số thuật toán giải toán bất đẳng thức d oa nl w biến phân tập nghiệm toán cân nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Kiến thức chuẩn bị Khi phát biểu toán, người ta phải quan tâm toán đặt đâu Tức phải quan tâm tới không gian toán Vậy trước lu an hết ta phải nhắc lại số kiến thức liên quan tới không gian, sau tới Một khơng gian tuyến tính thực (phức) với hàm h·, ·i song n va số tính chất chúng tn to tuyến tính thực (phức), đối xứng thỏa mãn điều kiện ie gh p hu, ui ≥ 0, ∀u ∈ H, hu, ui = ⇔ u = 0, nl w gọi không gian tiền Hilbert thực (phức) d oa Trong không gian tiền Hilbert ta định nghĩa chuẩn u ∈ H p sau: kuk = hu, ui, ta dễ dàng chứng minh chuẩn an lu nf va H từ chuẩn ta định nghĩa khoảng cách hai điểm u, v sau: ρ(u, v) = ku − vk; H, ρ trở thành không gian định chuẩn lm ul Nếu H đầy đủ với chuẩn khơng gian với tích vơ hướng z at nh oi gọi không gian Hilbert Ta dễ dàng nhận thấy không gian Hilbert H , cấu trúc tôpô cấu trúc đại số tương đương nhau, tức phép tính đại số liên tục với tơpơ sinh metric z gm @ Tiếp theo ta đưa vào khái niệm ánh xạ không gian Hilbert l Cho H1 , H2 , H3 không gian Hilbert, phép chuyển T chuyển m co phân tử từ H1 vào H2 gọi ánh xạ (hay toán tử), ta phân loại ánh xạ đưa vào cấu trúc tôpô cấu trúc đại số an Lu (i) T (αu + βv) = αT (u) + βT (v) với α, β ∈ R, u, v ∈ H1 T gọi n va ac th si ánh xạ tuyến tính; ngược lại T gọi ánh xạ phi tuyến; (ii) T gọi liên tục u → u T (u) → T (u); (iii) T có đồ thị đóng gọi ánh xạ đóng; (iv) T chuyển từ tập giới nội thành tập compact tương đối (A ⊂ H1 , T A compact) T gọi ánh xạ compact Tiếp theo ta nêu số tính chất ánh xạ (i) Cho T1 , T2 liên tục (đóng, compact) T1 + T2 liên tục (đóng, compact); lu (ii) Cho T liên tục (đóng, compact) α ∈ R αT liên tục an n va (đóng, compact); T1 T2 liên tục Khơng gian Hilbert số tính chất nl w 1.1 p ie gh tn to (iii) Cho T1 : H1 → H2 , T2 : H2 → H3 ; T1 , T2 liên tục (đóng, compact) oa Trong phần ta nhắc lại định nghĩa không gian Hilbert, số d khái niệm thuộc khơng gian Hilbert tính trực giao, hình chiếu, lu nf va an toán tử compact toán tử bị chặn Định nghĩa 1.1 Cho H không gian tuyến tính thực Tích vơ hướng lm ul xác định H ánh xạ xác định sau: z at nh oi h·, ·i : H × H → R, (u, v) 7→ hu, vi ; z thỏa mãn điều kiện sau: @ hu, ui = ⇔ u = an Lu (d) hu, ui ≥ 0, ∀u ∈ H, m (c) hλu, vi = λhu, vi, ∀λ ∈ R, ∀u, v ∈ H; co (b) hu + v, ti = hu, ti + hv, ti, ∀u, v, t ∈ H; l gm (a) hu, vi = hv, ui, ∀u, v ∈ H; n va ac th si Chương Một số phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân lu an Giả sử C tập con, lồi, đóng, khác rỗng không gian Hilbert va n thực H , song hàm f : C × C → R hàm giá F : C → H Bài toán tn to bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân bằng, ký hiệu p ie gh V IEP (F, f, C), tốn: Tìm u∗ ∈ Sol(f, C) hF (u∗ ), v − u∗ i ≥ 0, ∀v ∈ Sol(f, C), w (2.1) d oa nl Sol(f, C) tập nghiệm tốn cân bằng, ký hiệu EP (f, C) tìm v ∗ ∈ C thỏa mãn f (v ∗ , v) ≥ 0, ∀v ∈ C an lu (2.2) nf va Ta giả thiết song hàm f thỏa mãn điều kiện cân z at nh oi theo biến v C lm ul f (v, v) = 0, ∀v ∈ C với u ∈ C hàm f (u, v) hàm lồi, khả vi Ta gọi toán (2.1) toán cấp toán (2.2) toán cấp Bài toán (2.1) trường hợp riêng toán cân hai z cấp bao hàm nhiều lớp toán quan trọng khác như: bất đẳng thức @ gm biến phân hai cấp, toán cực tiểu hai cấp, toán lồi hai cấp co l Dưới ta xét số trường hợp đặc biệt toán m thuật toán, phương pháp giải toán trường hợp đặc biệt an Lu n va ac th 27 si 2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp Phương pháp đạo hàm tăng cường, theo thuật ngữ G.M Korpele- vich, phương pháp hữu hiệu việc giải toán bất đẳng thức biến phân với miền ràng buộc có cấu trúc đơn giản Phương pháp G.M Korpelevich trình bày giải tốn bất đẳng thức biến phân với ánh xạ giá đơn điệu liên tục Lipschitz Gần đây, P.N Anh nghiên cứu ứng dụng phương pháp đạo hàm tăng cường giải toán bất đẳng thức biến phân hai cấp BV I(F, G, C) 2.1.1 Đặt toán lu an Cho ánh xạ G : H → H gọi ánh xạ giá, đặt g(u, v) = n va hG(u), v − ui ∀u, v ∈ C Khi đó, toán BEP (g, F, C) phát biểu: tn to Tìm u∗ ∈ Sol(G, C) thỏa mãn hF (u∗ ), u − u∗ i ≥ 0, ∀u ∈ S(G, C) gh Bài toán thường gọi toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, p ie ký hiệu BV I(F, G, C), hay toán bất đẳng thức biến phân với miền ràng w buộc tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân khác, Ta ký oa nl hiệu tập nghiệm toán BV I(F, G, C) Ω d 2.1.2 Thuật toán ([3]) an lu nf va Thuật toán để giải toán phát biểu sau: lm ul Cho k = 0, m0 ∈ H, < λ ≤ 2β , L21 dãy số dương {δk }, {λk }, z at nh oi {αk }, {βk }, {γk } {k } thỏa mãn   {αk } ⊂ [m, n] với m, n ∈ (0, 1), λk ≤ L12 , ∀k ≥ 0,    ∞ P  lim δk = 0, k < ∞, < lim inf k→∞ βk < lim supk→∞ βk < 1, k→∞ k=0  ∞  P   k + βk + γk = 1, ∀k ≥ 0, lim k = 0, k = ∞ z gm @ k→∞ k=0 l an Lu λk G(uk )) tk = P rC (uk − λk G(v k )) m co Bước Nếu uk ∈ Sol(BV I) dừng Ngược lại, tính v k = P rC (uk − n va ac th 28 si Bước Vịng lặp trong, j = 0, 1, Tính  k,0 k k k   u = t − λ F (t ), v k,j = P rC (uk,j − δj G(uk,j )),   uk,j+1 =  uk,0 + β uk,j + γ P r (uk,j − δ G(v k , j)) j j j C j Tìm hk thỏa mãn khk − lim uk,j k ≤ k đặt uk+1 = αk uk + (1 − αk )hk j→∞ Bước Tăng k thêm đến Bước 2.1.3 Định lý hội tụ Sự hội tụ thuật toán khẳng định định lý sau lu Định lý 2.1 Cho C tập con, lồi, đóng, khác rỗng khơng gian Hilbert an thực H Giả sửu ánh xạ F : C → H đơn điệu mạnh với hệ số β liên va n tục Lipschitz với hệ số L1 Sol(G, C) ánh xạ G : H → H đơn điệu tn to liên tục Lipschitz với hệ số L2 C Khi đó, dãy {uk }, {v k } {tk } ie gh xác định thuật toán 1.1 hội tụ mạnh đến nghiệm u∗ toán p BV I(F, G, C) Hơn nữa, ta có w u∗ = lim P rSol(G,C) (uk ) d oa nl k→∞ an lu Bài toán bất đẳng thức biến phân ràng buộc điểm bất động tách nf va 2.2 lm ul Phương pháp chiếu - điểm bất động phương pháp kết hợp z at nh oi phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân kỹ thuật Krasanoselskii-Mann tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn Phương z pháp P.N Anh [4] trình bày giải toán bất đẳng thức biến @ m co l gm phân ràng buộc điểm bất động tách, ký hiệu (BSF ) an Lu n va ac th 29 si 2.2.1 Đặt tốn Tìm u∗ ∈ Ω thỏa mãn hF (u∗ ), u − u∗ i ≥ 0, ∀u ∈ Ω (2.2.1) với Ω tập nghiệm toán điểm bất động tách: Tìm u∗ ∈ C thoả mãn u∗ = T u∗ , Au∗ ∈ Q Au∗ = S(Au∗ ) C, Q hai tập con, lồi, đóng, khác rỗng hai không gian Hilbert H1 , H2 F : C → H1 ánh xạ đơn điệu, ánh xạ T : C → C, S : Q → Q ánh xạ khơng giãn 2.2.2 Thuật tốn định lý hội tụ lu Thuật toán hội tụ mạnh dãy lặp trình bày chi tiết an n va định lý sau tn to Định lý 2.2 ([4]) Giả sử C, Q hai tập con, lồi, đóng, khác rỗng hai gh khơng gian Hilbert thực H1 , H2 tốn tử A : H1 → H2 toán tử tuyến p ie tính bị chặn với tốn tử liên hợp A∗ CHo F : C → H1 ánh xạ w đơn điệu mạnh với hệ số β , liên tục Lipschitz với hệ số L C hai ánh oa nl xạ T : C → C S : Q → Q ánh xạ không giãn Lấy u0 ∈ C , dãy d lặp {ak }, {uk }, {v k } {tk } xác định sau   ak = P rQ (Auk ),    v k = P r (uk + δA∗ (Suk − Auk )), C  tk = P rC (v k − λk µF (v k )),     k+1 u = αk uk + (1 − αk )T (tk ), ∀k ≥ 0,   với δ ∈ 0, kAk2 +1 , < µ < L2β2 , {λk } {αk } hai dãy thuộc (0, 1) thỏa nf va an lu z at nh oi lm ul mãn điều kiện sau: z l gm @ (a) limk→∞ λk = 0, P (b) ∞ k=0 λk (1 − αk ) = ∞, co (c) limk→∞ αk = α ∈ (0, 1) m Giả sử Ω 6= ∅ dãy uk hội tụ mạnh đến nghiệm u∗ an Lu Bài toán (2.2.1) n va ac th 30 si 2.3 Bài toán cân hai cấp Phương pháp điểm gần kề phương pháp thơng dụng việc giải tốn quy hoạch lồi không trơn Phương pháp R.T Rockafellar phát triển cho tốn tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại Gần đây, [9] A.Moudafi rộng phương pháp điểm gần kề cho toán cân hai cấp, ký hiệu (BEP ) 2.3.1 Đặt tốn Tìm u∗ ∈ Ω thỏa mãn g(u∗ , v) ≥ 0, ∀v ∈ Ω, (2.3.1) với f, g : C × C → R hai song hàm Ω tập nghiệm toán cân lu an bằng: n va Tìm v ∗ ∈ Ω thỏa mãn f (v ∗ , v) ≥ 0, ∀v ∈ C Thuật toán toán phát biểu sau: p ie gh tn to 2.3.2 Thuật toán ([9]) nl w Cho u0 ∈ C, {rn } {n } dãy số dương oa Bước Tìm un+1 ∈ C nghiệm tốn d F (un+1 , v) + n g(un+1 , v) + − un , v − un+1 i ≥ 0, ∀v ∈ C an lu n+1 rn hu nf va Bước Nếu un+1 = un thuật tốn dừng, un nghiệm Ngược lại, thay lm ul n n + chuyển Bước thỏa mãn điều kiện sau z at nh oi Ở đây, coi K hàm đại diện cho hai song hàm f, g Khi đó, f g (A1) K(u, u) = với u ∈ C ; z @ (A2) K đơn điệu, K(u, v) + K(v, u) ≤ với u, v ∈ C ; gm (A3) lim(kt + (1 − k)u, v) ≤ K(u, v) với u, v, t ∈ C ; k↓0 l (A4) với u ∈ C, v → K(u, v) hàm lồi nửa liên tục yếu m co an Lu n va ac th 31 si 2.3.3 Định lý hội tụ Sau định lý hội tụ Thuật toán Định lý 2.3 Giả sử tập nghiệm Ω 6= ∅, với v ∈ C , hàm u → g(u, v) hàm nửa liên tục bị chặn với v ∈ Ω Giả sử lim inf rn > +∞ P rn n < +∞ Khi n=0 +∞ X kun+1 − un k2 < +∞ n=0 dãy {un } cho Thuật toán 1.2 hội tụ yếu đến điểm thuộc Ω lu Nếu kun+1 − un k = o(n ), dãy {un } hội tụ yếu đến nghiệm toán an (2.3.1) n va Bài toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân ie gh tn to 2.4 p Phương pháp chiếu đạo hàm kết hợp kỹ thuật điểm bất động nl w đưa thuật tốn để tìm nghiệm toán V IEP (F, f, C) sở kết d oa hợp phương pháp đạo hàm tăng cường, theo P.N Anh [3] lu nf va an 2.4.1 Đặt tốn Giả sử C tập con, lồi, đóng, khác rỗng không gian Hilbert lm ul thực H , song hàm f : C × C → R hàm giá F : C → H Bài toán V IEP (F, f, C), toán: z at nh oi bất đẳng thức biến phân tập nghiệm tốn cân bằng, ký hiệu Tìm u∗ ∈ Sol(f, C) hF (u∗ ), v − u∗ i ≥ 0, ∀v ∈ Sol(f, C), z (2.4.1) gm @ Sol(f, C) tập nghiệm toán cân bằng, ký hiệu EP (f, C) l tìm v ∗ ∈ C thỏa mãn f (v ∗ , v) ≥ 0, ∀v ∈ C m co (2.4.2) an Lu n va ac th 32 si 2.4.2 Thuật toán ([3]) Bước Chọn x0 ∈ C, k = 0, µ, λ, dãy số dương {λk }, {βk }, {ξk } {k } thỏa mãn    ∞ ∞ P P 2β   µ ∈ 0, , {β } ⊂ (0, 1] , β < ∞, βk = ∞,  k k L2   k=0 k=0   ∞ P ξk < ∞, {ξk } ⊂ (0, 1), k=0     k & k → ∞,    λ = inf{λ : k = 0, 1, } > k Bước Tính lu   wk ∈ ∂2k f (uk , uk ),    γ = max{λ , kwk k}, α = βk , k k k γk k k k  v = P rC (u − αk w ),       k+1 u = P rC v k − µξk F (v k ) an n va gh tn to p ie Bước Cho k = k + 1, đến Bước d oa nl w Trong trường hợp f (x, y) = toán V IEP (F, f, C) toán V I(F, C) an lu 2.4.3 Định lý hội tụ nf va Để chứng minh hội tụ thuật toán này, ta nhắc lại số bổ lm ul đề sử dụng phần z at nh oi Bổ đề 2.1 Cho {ak } {δk } dãy số thực không âm thỏa mãn ak+1 ≤ ak + δk , P∞ < ∞ Khi đó, tồn giới hạn limk→∞ ak l gm @ k=0 δk z dãy {δk } thỏa mãn ∀k ≥ 0, Bây ta giả sử hàm giá F song hàm f thỏa mãn điều kiện co m (A1) Với u ∈ C, f (u, ·) hàm lồi, nửa liên tục C Nếu {uk } ⊂ an Lu C bị chặn k & k → ∞ dãy {wk } bị chặn với wk ∈ n va ac th 33 si ∂2k f (uk , uk ), ∂2k f (uk , uk ) vi phân với sai số  hàm lồi f (uk , uk ) theo biến thứ hai uk : ∂2k f (uk , uk ) = {w ∈ H : f (uk , u) − f (uk , uk ) ≥ hw, u − uk i − k ∀u ∈ C} = {w ∈ H : f (uk , u) + k ≥ hw, u − uk i ∀u ∈ C}; (A2) f giả đơn điệu C với nghiệm u∗ toán V IEP (F, f, C) thỏa mãn điều kiện tiền đơn điệu chặt v ∈ C, f (v, u∗ ) = f (u∗ , v) = ⇒ y ∈ Sol(f, C); (A3) Với u ∈ C, f (·, u) nửa liên tục trên C; lu (A4) Tập nghiệm Sol(f, C) toán V I(F, C) khác rỗng; an n va (A5) F liên tục Lipschitz với hệ số L đơn điệu mạnh với hệ số β to tn Dễ dàng nhận thấy, hàm giá F toán V I(F, C) liên tục ie gh đơn điệu mạnh tập con, lồi, đóng, khác rỗng C ⊂ H tốn p V I(F, C) có nghiệm Khi f giả đơn điệu Sol(f, C) 6= ∅, nl w Sol(f, C) lồi điều kiện (A2), (A4) (A5), toán V IEP (F, f, C) d oa có nghiệm an lu Định lý 2.4 Trong không gian Euclide Rn , ánh xạ F : C → Rn song nf va hàm f : C × C → R thỏa mãn giả thiết (A1)-(A5) Khi đó, dãy {uk } {v k } sinh thuật toán 2.4.2 hội tụ đến nghiệm toán z at nh oi lm ul V IEP (F, f, C) Chứng minh Giả sử u∗ nghiệm toán V IEP (F, f, C) Chứng minh định lý chia thành bước sau z co p − µ(2β − µL2 ) ∈ (0, 1] , ξ k = − τ ξk , Sk = (1) tồn giới hạn limk→∞ kuk − u∗ k2 = c 2βk k ξ k λ + βk2 ξ k + an Lu ξk µ2 ∗ τ kF (u )k m với τ = − 2βk f (uk , u∗ ) + Sk , λ l kuk+1 − u∗ k2 ≤ ξ k kuk − u∗ k2 + gm @ Bước Chứng minh n va ac th 34 si Chứng minh Với u ∈ C , đặt gk (u) = u − ξk µF (u) với k = 0, 1, Theo Bổ đề 2.1, ta có kgk (u) − gk (v)k ≤ (1 − ξk τ )ku − vk, ∀u, v ∈ C Sử dụng tính chất khơng giãn phép chiếu bất đẳng thức tam giác, ta   kuk+1 − u∗ k = kP rC v k − µξk F (v k ) − u∗ k   = kP rC v k − µξk F (v k ) − P rC (u∗ )k ≤ kgk (v k ) − gk (u∗ ) − µξk F (u∗ )k ≤ kgk (v k ) − gk (u∗ )k − µξk kF (u∗ )k lu ≤ ξ k kv k − u∗ k + µξk F (u∗ )k an n va Điều cho thấy p ie gh tn to kuk+1 − u∗ k ≤ ξ k kv k − u∗ k + µξk F (u∗ )k h µ i2 k ∗ ∗ = (1 − ξk τ )kv − u k + ξk τ kF (u )k τ ξk µ k ∗ ≤ (1 − ξk τ )kv − u k + kF (u∗ )k2 τ w (2) oa nl Từ v k = P rC (uk − αk wk ) u∗ ∈ Sol(F, f, C) ⊆ C , ta có d kv k − u∗ k2 = kP rC (uk − αk wk ) − P rC (u∗ )k2 lu nf va an ≤ kuk − αk wk − u∗ k2 = kuk − u∗ k2 − 2αk hwk , uk − u∗ i + αk2 kwk k2 lm ul ≤ kuk − u∗ k2 − 2αk (f (uk , u∗ ) − f (uk , uk ) + k ) + αk2 γk2 z at nh oi = kuk − u∗ k2 − 2αk f (uk , u∗ ) + 2αk k + βk2 βk βk k ≤ kuk − u∗ k2 + f (uk , u∗ ) + + βk2 λ λ z gm @ Mặt khác, u∗ ∈ Sol(F, f, C) ⊆ Sol(f, C), f (u∗ , u) ≥ với u ∈ C, uk ∈ C , theo tính chất giả đơn điệu song hàm f theo u∗ , ta có l n ac th 35 va ≤ kuk − u∗ k2 + Sk βk f (uk , u∗ ) + Sk λ an Lu kuk+1 − u∗ k2 ≤ ξ k kuk − u∗ k2 + m co f (uk , u∗ ) ≤ Khi đó, theo cách đặt ξ k ∈ (0, 1] (1) ta si ak+1 ≤ ak + δk , ∀k ≥ 0, Khi đó, ta có: với ak = kuk − u∗ k2 δk = Sk Theo giả thiết Bước thuật tốn, ta có ∞ ∞ ∞ X X X ξk < ∞, βk k < ∞, βk < ∞, ∞ P k=0 k=0 k=0 Sk < ∞ sử dụng Bổ đề 2.1, tồn limk→∞ kuk − u∗ k2 = c k=0 Bước Chứng minh lim supk→∞ f (uk , u∗ ) = limk→∞ kv k − uk k = Chứng minh Vì u∗ ∈ Sol(F, f, C) song hàm f giả đơn điệu nên −f (uk , u∗ ) ≥ Mặt khác, theo chứng minh Bước ξ k ∈ (0, 1] nên với lu k , ta có an n va 0≤ ∞ ∞ X  2X  k ∗ ∗ βk −f (u , u ) ≤ ku − u k + Sk < ∞, λ k=0 k=0 p ie gh tn to Khi đó,  2βk  −f (uk , u∗ ) ≤ kuk − u∗ k2 − kuk+1 − u∗ k2 + Sk λ đó, oa nl w ∞ X k=0 ∞ P d βk = ∞ −f (uk − u∗ ) ≥ 0, ta khẳng định an lu Vậy, theo   βk −f (uk , u∗ ) < ∞ k=0 k→∞ nf va lim sup f (uk , u∗ ) = lm ul Mặt khác, theo tính chất không giãn phép chiếu P rC định z at nh oi nghĩa dãy {v k }, {uk } ∈ C , ta có kv k − uk k = kP rC (uk − αk wk ) − P rC (uk )k ≤ kuk − αk wk − uk k z gm @ = αk kwk k l ≤ αk γk Vậy, lim kv k − uk k = ac th 36 n va k→∞ an Lu → k → ∞ m co = βk si Bước Giả sử {ukj } dãy {uk } thỏa mãn lim sup f (uk , u∗ ) = lim f (ukj , u∗ ), (3) j→∞ k→∞ u điểm giới hạn dãy {ukj } Khi đó, u ∈ Sol(f, C) Chứng minh Khơng tính tổng qt, ta giả sử ukj hội tụ đến u j → ∞ Từ f (·, u∗ ) nửa liên tục trên, theo Bước , ta có f (u, u∗ ) ≥ lim sup f (ukj , u∗ ) j→∞ = lim f (ukj , u∗ ) j→∞ = lim sup f (uk , u∗ ) k→∞ lu an = n va Mặt khác, f giả đơn điệu theo u∗ f (u∗ , u) ≥ Vậy f (u, u∗ ) = tn to Khi theo giả thiết (A2), ta kết luận u nghiệm EP (f, C) ie gh Bước Chứng minh dãy {uk } {v k } hội tụ đến nghiệm u∗ ∈ p Sol(F, f, C) w Chứng minh Theo Bước Bước 3, dãy {ukj } hội tụ đến u oa nl u ∈ Sol(f, C) v kj * u Tương tự Bước 1, ta có d kuk+1 − u∗ k2 ≤ β k kv k − u∗ k2 lu nf va an ≤ kv k − u∗ k2 ≤ kuk − u∗ k2 + lm ul βk k + βk2 λ z at nh oi (4) Kết hợp điều với lim kuk − u∗ k2 = c2 , ta k→∞ z lim kv k − u∗ k = c gm @ k→∞ Từ v kj * u ∈ Sol(f, C) j → ∞, cho thấy l j→∞ m k→∞ co lim inf hv k − u∗ , F (u∗ )i = lim hv kj − u∗ , F (u∗ )i = hu − u∗ , F (u∗ )i ≥ an Lu n va ac th 37 si Vì F đơn điệu mạnh với hệ số β C , ta lim inf hv k − u∗ , F (v k )i k→∞   = lim inf hv k − u∗ , F (v k ) − F (u∗ )i + hv k − u∗ , F (u∗ )i k→∞   ≥ lim inf βkv k − u∗ k2 + hv k − u∗ , F (u∗ )i k→∞ = βc + lim hv k − u∗ , F (u∗ )i k→∞ ≥ βc (5) Để điều mâu thuẫn, ta giả sử với c > 0, chọn  = 21 βc2 từ (5) tồn k0 thỏa mãn bất đẳng thức lu 1 hv k − u∗ , F (v k )i ≥ βc2 −  = βc2 − βc2 = βc2 > 2 an n va với k ≥ k0 Ta xét, tn to kuk+1 − u∗ k2 = kP rC (v k − βk µF (v k )) − P rC (u∗ )k2 gh ≤ kv k − βk µF (v k )) − u∗ k2 p ie = kv k − u∗ k2 − 2βk µhF (v k ), v k − u∗ i + βk2 µ2 kF (v k )k2 − 2βk µhF (u∗ ), v k − u∗ i + βk2 µ2 kF (v k )k2 oa nl w = kv k − u∗ k2 − 2βk µhF (v k ) − F (u∗ ), v k − u∗ i d ≤ kv k − u∗ k2 − 2βk µβkv k − u∗ k2 − 2βk µhF (u∗ ), v k − u∗ i an lu nf va + βk2 µ2 kF (v k )k2 lm ul ≤ kv k − u∗ k2 − 2βk µhF (u∗ ), v k − u∗ i + βk2 M, với M = sup{µ2 kF (v k )k2 : k = 0, 1, } < ∞ Khi đó, theo (4), ta z at nh oi βk k + βk2 − 2βk µhF (u∗ ), v k − u∗ i + βk2 M λ βk k ≤ kuk − u∗ k2 + + βk2 − βk µβc2 + βk2 M ∀k ≥ k0 λ kuk+1 − u∗ k2 ≤ kuk − u∗ k2 + z k0 ∗ − u k − ku − u k + µβc k X k k X 2X βj ≤ βk k + (1 + M ) βk2 λ j=k j=k m ku ∗ co k+1 l gm @ Vậy, ta viết 0 an Lu j=k0 n va ac th 38 si Chuyển qua giới hạn k → ∞, ta βj < ∞ Điều mâu thuẫn j=k0 ∞ P với giả thiết ∞ P βj = ∞ (1) Vậy, ta có c = 0, uk → u∗ v k → u∗ j=k0 Kết luận Chương Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức sở giải tích lồi, tốn bất đẳng thức biến phân tính chất nó, tốn cân mối liên hệ với toán tối ưu khác Đồng thời trình bày tốn bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân phương pháp giải làm sở xây dựng thuật lu toán sau an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th 39 si Kết luận Trong luận văn thu kết sau Trình bày ánh xạ giả co chặt dạng ánh xạ không giãn mở rộng Dựa vào tính chất tính co, tính khơng giãn tính giả co chặt giả thiết đơn điệu song hàm f cách lựa chọn tham số quy phù hợp để giải toán cân EP (f, C) Trình bày số thuật tốn giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân phương pháp đạo hàm tăng cường, lu phương pháp chiếu điểm bất động hay phương pháp điểm gần kề an va Bên cạnh kết đạt luận văn, vấn đề cần n đề xuất mở rộng nghiên cứu thời gian tới, là: tn to gh Mở rộng thuật toán luận văn để nghiên cứu giải toán bất p ie đẳng thức biến phân hai cấp, toán cân hai cấp d oa nl văn w Nghiên cứu sai số đánh giá tốc độ hội tụ thuật toán luận nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th 40 si Tài liệu tham khảo [1] P.N Anh (2015), Các phương pháp tối ưu ứng dụng, NXB Thông tin Truyền thông, Hà Nội [2] L.D Mưu (1998), Nhập môn phương pháp tối ưu, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội lu an [3] P.N Anh, J.K Kim, L.D Muu (2012), An emtragradient algorithm for solving bilevel pseudomonotone variational inequalities, J Glob Optim 52, 627 - 639 n va p ie gh tn to [4] T.V Anh, L.D Muu (2016), A projection Fixed point method for a class of bilevel variational inequalities with split Fixed point constraints, Optim 65, 1229-1243 d oa nl w [5] E.Blum, W Oettli (1994), From optimization and variational inequality to equilibrium problem, Math Student 63, 127 - 149 nf va an lu [6] H Brezis (1987), Analyse Fontionnelle: Théorie et Application, MASSON z at nh oi lm ul [7] D Kinderlehrer, G Stampacchia (1980), An introducation to variational inequalities and their applications, Academic Press, New York [8] P.E Maingé (2010), Projected subgradient techniques and viscosity methods for optimization with variational inequalities constraints, Eur J Oper Res 205, 501-506 z @ m co l gm [9] A Moudafi (2010), Proximal methods for a class of bilevel monotone equilibrium problems, J Glob Optim 47, 287-292 an Lu n va ac th 41 si