Mục lục Lời cảm ơn 2 Lời mở đầu 3 Chương 1 Bài toán bất đẳng thức biến phân 5 1 1 Kiến thức chuẩn bị 6 1 1 1 Hội tụ mạnh và yếu trong không gian Hilbert 6 1 1 2 Toán tử chiếu 8 1 1 3 Tính liên tục của[.]
Mục lục Lời cảm ơn Lời mở đầu Chương Bài toán bất đẳng thức biến phân 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Hội tụ mạnh yếu không gian Hilbert 1.1.2 Toán tử chiếu 1.1.3 Tính liên tục hàm lồi 14 1.1.4 Đạo hàm vi phân hàm lồi 16 1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân 1.2.1 Các khái niệm 1.2.2 Các ví dụ minh họa 1.2.3 Sự tồn nghiệm 18 18 20 26 Chương Phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh 28 2.1 Phương pháp chiếu đạo hàm tăng cường 29 2.2 Phương pháp chiếu cải biên 36 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn GS.TSKH Lê Dũng Mưu Thầy người hướng dẫn khóa luận tốt nghiệp hướng dẫn luận văn thạc sĩ cho em Hai chặng đường qua, thầy ln tận tình hướng dẫn bảo nghiêm khắc, thầy cung cấp nhiều tài liệu quan trọng giành nhiều thời gian giải đáp thắc mắc suốt trình làm việc thầy Em xin gửi tới thầy, cô Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội, thầy cô giảng dạy lớp Cao học Tốn khóa 2013 - 2015, lời cảm ơn chân thành công lao dạy dỗ thầy, cô hai năm qua Đặc biệt, em muốn gửi lời cảm ơn tới thầy dạy chuyên ngành nhóm Tốn Ứng Dụng Mặc dù nhóm có tám thành viên thầy lên lớp với nhiệt huyết chuyên đề hay, sâu sắc Cuối em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn, anh, chị lớp cao học Tốn khóa 2013 - 2015 giành riêng lời cảm ơn cho gia đình Tốn Ứng Dụng Là em út nhóm, nên ln người quan tâm nhiều Thời gian học anh chị cho em kỷ niệm đẹp, học điều hay kiến thức thú vị Mặc dù có nhiều cố gắng, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận ý kiến đóng góp thầy, bạn đọc để luận văn hoàn thiện Hà Nội, ngày tháng 10 năm 2015 Học viên Ngô Thị Tho LỜI MỞ ĐẦU Năm 1966, Hatman Stampacchia công bố nghiên cứu toán bất đẳng thức biên phân, liên quan tới việc giải toán biến phân, toán điều kiển tối ưu tốn biên có dạng phương trình đạo hàm riêng Năm 1980, Kinderlehrer Stampacchia cho xuất sách "An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications", giới thiệu toán biến phân khơng gian vơ hạn chiều ứng dụng Năm 1984, sách "Variational and Quasivariational Inequalities: Applications to Free Boundary Problems" C Baiocci A Capelo áp dụng bất đẳng thức biến phân tựa biến phân để giải tốn khơng có biên Hiện toán bất đẳng thức biến phân phát triển thành nhiều dạng khác nhau,như là: bất đẳng thức biến phân vectơ, tựa bất đẳng thức biến phân, giả bất đẳng thức biến phân, bất đẳng thức biến phân ẩn, bất đẳng thức biến phân suy rộng Bài toán thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học Vì mơ hình chứa nhiều toán quan trọng số lĩnh vực tốn học thực tế tối ưu hóa, tốn bù, lý thuyết trị chơi, cân Nash, cân mạng giao thông, cân di trú Một hướng nghiên cứu quan trọng bất đẳng thức biến phân việc xây dựng phương pháp giải Dựa tính chất kiểu đơn điệu G Cohen nghiên cứu phương pháp nguyên lý toán phụ Ngồi cịn có phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, phương pháp chiếu, phương pháp điểm Những phương pháp hiệu quả, dễ thực máy tính hội tụ chúng đảm bảo sở giả thiết khác tính chất đơn điệu Có nhiều phương pháp chiếu khác nhau, là: phương pháp chiếu bản, phương pháp chiếu đạo hàm, phương pháp chiếu siêu phẳng Mỗi phương pháp giải lớp toán bất đẳng thức biến phân định Do hội tụ thuật tốn đảm bảo Luận văn trình bày phương pháp chiếu đạo hàm tăng cường chiếu cải biên để giải toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh Các phương pháp tạo dãy hội tụ điểm lặp dễ dàng tính Chúng hội tụ tới nghiệm toán Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Bài toán bất đẳng thức biến phân, chia làm hai phần: • Phần 1: Nhắc lại số kiến thức Giải tích hàm Giải tích lồi, là: hội tụ mạnh yếu khơng gian Hilbert, tốn tử chiếu, tính liên tục hàm lồi, đạo hàm vi phân hàm lồi • Phần 2: Phát biểu tốn, trình bày số khái niệm mơ hình minh họa cho tốn Sau đó, chứng minh tồn tính nghiệm tốn Chương 2: Phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh Nội dung chương trình bày hai thuật tốn chiếu đạo hàm tăng cường thuật toán chiếu cải biên để giải toán V I(K, F) Phát biểu chứng minh định lý hội tụ dãy lặp tạo thuật tốn Đưa số ví dụ chứng minh điều kiện định lý tồn nghiệm cần thiết Nếu bỏ điều kiện đó, dãy lặp không hội tụ tới nghiệm toán Chương Bài toán bất đẳng thức biến phân Trong chương này, nhắc lại số kết Giải tích hàm có liên quan tới hội tụ mạnh hội tụ yếu dãy số Nhắc lại số khái niệm định lý Giải tích lồi, là: định nghĩa tính chất tốn tử chiếu, tính liên tục, đạo hàm vi phân hàm lồi, Định lý tách, Định lý MoreauRockafellar Phần sau ta giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân (VIP) nhấn mạnh toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh Chỉ ví dụ toán bất đẳng thức biến phân thường gặp thực tế mơ hình toán học Cuối chương phát biểu chứng minh định lý tồn tính nghiệm tốn Nội dung chủ yếu trích dẫn từ tài liệu [1], [2], [3], [6], [10] Trong luận văn này, làm việc không gian Hilbert thực trang bị tô pô yếu, với tích vơ hướng , chuẩn tương ứng ||.|| 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Hội tụ mạnh yếu không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.1 Giả sử H khơng gian tuyến tính thực, với x ∈ H xác định số gọi chuẩn x ( kí hiệu ||x||) thỏa mãn ba tiên đề sau: Xác định dương: ∀x ∈ H ||x|| ≥ 0; ||x|| = ⇔ x = Thuần dương: ∀x ∈ H; ∀λ ∈ R Bất đẳng thức tam giác: ∀x, y ∈ H ||λ x|| = |λ | ||x|| ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| Định nghĩa 1.1.2 Giả sử H khơng gian tuyến tính thực, cặp (H, , ) với , : H ×H → R (x, y) 7→ x, y thỏa mãn điều kiện: Xác định dương: x, x ≥ ∀x ∈ H; x, x = ⇔ x = Đối xứng: x, y = y, x ∀x, y ∈ H Song tuyến tính: αx + β y, z = α x, z + β y, z ∀α, β ∈ R, ∀x, y, z ∈ H gọi không gian tiền Hilbert Không gian tiền Hilbert, đầy đủ gọi khơng gian Hilbert, kí hiệu H Ví dụ 1.1.1 H = Rn ; x = (x1 , x2 , · · · , xn ); y = (y1 , y2 , · · · , yn ) ∈ H tích vơ hướng chuẩn Rn xác định n x, y = ∑ xi yi , i=1 s ||x|| = n ∑ xi2 i=1 H = C[a,b] không gian hàm liên tục Khi với x, y ∈ H tích vơ hướng chuẩn xác định Zb x, y = x(t)y(t)dt, a s ||x|| = Z b |x(t)|2 dt a Giả sử H không gian Hilbert thực, H ∗ không gian đối ngẫu H f ∈ H ∗ Kí hiệu ϕ f : H → R phiếm hàm tuyến tính ϕ f (x) = f (x) Khi f chạy khắp H ∗ ta có họ ánh xạ (ϕ f ) f ∈H ∗ Định nghĩa 1.1.3 Tô pô yếu H định nghĩa tô pô sinh họ ánh xạ (ϕ f ) f ∈H ∗ Kí hiệu σ (H, H ∗ ) Như tô pô yếu σ (H, H ∗ ) tô pô yếu H đảm bảo cho tất phiếm hàm f ∈ H ∗ liên tục Định nghĩa 1.1.4 1) Ta nói dãy {xk } hội tụ mạnh đến x ( kí hiệu xk → x) lim ||xk − x|| = k→∞ 2) Dãy {xk } hội tụ yếu đến x ( kí hiệu xk * x) {xk } hội tụ x theo tô pô yếu σ tức ∀ f ∈ H ∗ f (xk ) → f (x) Mệnh đề 1.1.1 Giả sử {xk } ⊂ H { fk } ⊂ H ∗ Khi a) xk * x ⇔ xk , y → x, y , ∀y ∈ H b) Nếu xk → x xk * x c) Nếu xk * x {xk } bị chặn ||x|| ≤ limk→∞ ||xk || d) Nếu xk * x lim ||xk || ≤ ||x|| xk → x k→∞ e) Nếu xk * x fk → f fk (xk ) → f (x) Khi H khơng gian hữu hạn chiều tô pô yếu tô pô thông thường H trùng Đặc biệt, dãy hội tụ mạnh hội tụ yếu 1.1.2 Tốn tử chiếu Định nghĩa 1.1.5 Cho H không gian Hilbert thực, tập C ⊆ H gọi • tập lồi nếu: ∀x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1] ⇒ λ x + (1 − λ )y ∈ C, • nón nếu: ∀λ > 0, ∀x ∈ C ⇒ λ x ∈ C, • nón lồi vừa nón vừa tập lồi Hình 1.1: tập lồi, nón, nón lồi Mệnh đề 1.1.2 Giả sử A, B tập lồi không gian Hilbert thực H, tập sau tập lồi: A ∩ B :={x | x ∈ A, x ∈ B}, αA + β B :={x | x = αa + β b, a ∈ A, b ∈ B, α, β ∈ R}, A × B :={x | x = (a, b), a ∈ A, b ∈ B} Định nghĩa 1.1.6 Siêu phẳng không gian Hilbert thực H tập hợp điểm có dạng {x ∈ H | a(x) = α}, a ∈ H ∗ phiếm hàm tuyến tính α ∈ R Một siêu phẳng chia không gian hai nửa không gian Nửa không gian định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1.7 Cho a ∈ H phiếm hàm tuyến tính α ∈ R Tập {x | a(x) ≥ α}, gọi nửa không gian đóng tập {x | a(x) > α}, gọi nửa không gian mở Định nghĩa 1.1.8 Cho hai tập C D khác rỗng, ta nói siêu phẳng a(x) = α tách C D a(x) ≤ α ≤ a(y), ∀x ∈ C, y ∈ D Ta nói siêu phẳng a(x) = α tách chặt C D a(x) < α < a(y), ∀x ∈ C, y ∈ D Ta nói siêu phẳng a(x) = α tách mạnh C D sup a(x) < α < inf a(y) y∈D x∈C Định lý 1.1.1 (Định lý tách 1) Cho C D hai tập lồi khác rỗng không gian Hilbert thực H cho C ∩ D = / Khi có siêu phẳng tách C D Định lý 1.1.2 (Định lý tách 2) Cho C D hai tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H cho C ∩ D = / Giả sử có tập compăc Khi hai tập C D tách mạnh siêu phẳng Định nghĩa 1.1.9 Giả sử C tập lồi, khác rỗng không gian Hilbert thực H x0 ∈ C Nón pháp tuyến (ngồi) C x0 kí hiệu NC (x0 ) định nghĩa bởi: NC (x0 ) := {ω ∈ H| ω T (x − x0 ) ≤ ∀x ∈ C} Tập −NC (x0 ) gọi nón pháp tuyến (trong) C x0 Nón pháp tuyến ε C x0 định nghĩa bởi: NCε (x0 ) := {ω ∈ H| ω T (x − x0 ) ≤ ε ∀x ∈ C} Hiển nhiên ∈ NC (x0 ) từ định nghĩa ta thấy NC (x0 ) nón lồi đóng Định nghĩa 1.1.10 Giả sử C 6= 0/ (không thiết lồi) tập không gian Hilbert H y véc-tơ bất kỳ, khoảng cách từ y đến C định nghĩa dC (y) := inf ||x − y|| x∈C Nếu tồn π ∈ C cho dC (y) := ||π − y||, ta nói π hình chiếu (khoảng cách) y C, kí hiệu π = pC (y) Hình 1.2: Hình chiếu khoảng cách Theo định nghĩa, ta thấy hình chiếu pC (y) y C nghiệm toán tối ưu ||x − y|| | x ∈ C x Nói cách khác, việc tìm hình chiếu khoảng cách y C đưa việc tìm cực tiểu hàm toàn phương ||x − y||2 C Chú ý rằng, C 6= 0, / dC (y) hữu hạn, ≤ dC (y) ≤ ||x − y||, ∀x ∈ C Mệnh đề 1.1.3 Cho C tập lồi đóng khác rỗng Khi đó: Với y ∈ H, π ∈ C hai tính chất sau tương đương: a) π = pC (y), b) y − π ∈ NC (π) Với y ∈ H, hình chiếu pC (y) y C tồn 10 ... biến phân tựa biến phân để giải tốn khơng có biên Hiện toán bất đẳng thức biến phân phát triển thành nhiều dạng khác nhau,như là: bất đẳng thức biến phân vectơ, tựa bất đẳng thức biến phân, giả bất. .. ), −y0 > Do F khơng đơn điệu Định nghĩa 1.2.3 Giả sử toán tử F toán tử giả đơn điệu mạnh tốn bất đẳng thức biến phân (VIP) trở thành toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh Kí hiệu VI(K,... bản, phương pháp chiếu đạo hàm, phương pháp chiếu siêu phẳng Mỗi phương pháp giải lớp toán bất đẳng thức biến phân định Do hội tụ thuật tốn đảm bảo Luận văn trình bày phương pháp chiếu đạo hàm