Lời nói đầu Nhiều vấn đề trong khoa học, công nghệ, đưa đến những bài toán không chỉnh theo nghĩa nghiệm không ổn định với các dữ kiện ban đầu, một sự thay đổi nhỏ của dữ kiện ban đầu dẫn đễn sự thay[.]
Lời nói đầu Nhiều vấn đề khoa học, cơng nghệ, đưa đến tốn khơng chỉnh theo nghĩa nghiệm không ổn định với kiện ban đầu, thay đổi nhỏ kiện ban đầu dẫn đễn thay đổi lớn nghiệm, chí dẫn đến tốn vơ nghiệm Trong luận văn này, chúng tơi trình bày phương pháp lặp Landweber cải biên để giải tốn đặt khơng chỉnh Luận văn đề cập đến hội tụ phương pháp tốc độ hội tụ phép lặp trường hợp liệu khơng có nhiễu có nhiễu Luận văn viết thành ba chương Chương trình bày khái niệm sử dụng luận văn, đạo hàm theo Fréchet, phổ toán tử tuyến tính, thang khơng gian Hilbert Chương trình bày kết biết phương pháp Landweber chia thành phần Phần chứng minh hội tụ phương pháp Landweber phương trình tuyến tính Các kết phần Định lý 2.1, 2.2 Phần phần trọng tâm chương Kết hội tụ cho phương trình phi tuyến Định lý 2.3 2.4 Kết tốc độ hội tụ thể Định lý 2.6 Trong phần cuối chương, chúng tơi trình bày ví dụ ước lượng tham số khuyếch tán phương trình vi phân Chương cuối luận văn trình bày cải tiến phương pháp lặp Landweber phép lặp Landweber thang không gian Hilbert, phép chỉnh lặp Landweber, phương pháp lặp Landweber-Kaczmarz, phép lặp Landweber song song Các kết phần thể thông qua Mệnh đề 3.3, Định lý 3.1 phép lặp thang không gian Hilbert Các kết phép chỉnh lặp Định lý 3.3, 3.4, 3.5 Định lý 3.6 kết quan trọng phép lặp LandweberKaczmarz Để luận văn hồn thành, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến tất thầy khoa Tốn-Cơ-Tin, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội Tôi xin gửi lời cảm ơn đến bạn lớp i Cao học Tốn Khóa 2008-2010, đặc biệt nhóm Tốn học tính tốn, người giúp đỡ, chia sẻ nhiều vấn đề học tập sống Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến GS TSKH Phạm Kỳ Anh, người thầy tham gia giảng dạy tận tình bảo, hướng dẫn, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn Hà Nội, 12-2010 Vũ Thị Ngần Bảng ký hiệu h·, ·i Tích vơ hướng khơng gian Hilbert X h·, ·is Tích vơ hướng Xs k · ks Chuẩn Xs ||| · |||r Chuẩn Xer A∗ Toán tử liên hợp toán tử A Bρ (x0 ) Hình cầu đóng tâm x0 , bán kính ρ C[a, b] Khơng gian hàm liên tục [a, b] D(A) Miền xác định toán tử A F Toán tử xác định X F (x) Đạo hàm theo Fréchet x H k [0, 1] {x ∈ L2 [0, 1] : x(j) ∈ L2 [0, 1], j = 1, , k} H01 [0, 1] {x ∈ L2 [0, 1] : x0 ∈ L2 [0, 1], x(0) = x(1) = 0} L2 [a, b] Khơng gian hàm bình phương khả tích [a, b] N (A) Nhân toán tử A R(A) Miền giá trị toán tử A T† Toán tử nghịch đảo suy rộng x† Nghiệm suy rộng X Không gian Hilbert Xs Thang Hilbert cảm sinh Ls Xer Thang Hilbert iii Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Bài tốn đặt khơng chỉnh 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Ví dụ tốn đặt không 1.2 Đạo hàm Fréchet 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Ví dụ 1.2.3 Công thức số gia giới nội 1.3 Phổ toán tử 1.4 Thang không gian Hilbert 1 3 4 Phương pháp lặp Landweber 2.1 Phương pháp lặp Landweber cho phương trình tuyến tính 2.2 Phương pháp lặp Landweber cho phương trình phi tuyến 2.2.1 Một số điều kiện đặt lên toán tử 2.2.2 Sự hội tụ phương pháp lặp Landweber 2.2.3 Tốc độ hội tụ phương pháp lặp Landweber 2.3 Ví dụ 13 13 17 18 20 24 35 Phương pháp lặp Landweber cải biên 3.1 Phép lặp thang không gian Hilbert 3.2 Phương pháp chỉnh lặp Landweber 3.3 Phương pháp lặp xoay vòng Landweber-Kaczmarz 3.4 Phương pháp lặp song song 3.5 Ví dụ 39 39 47 55 61 62 chỉnh Kết luận 67 Tài liệu tham khảo 68 iv Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức giải tích hàm sử dụng luận văn Nội dung chương trích lục từ tài liệu [1, 2, 4, 6, 8] 1.1 1.1.1 Bài tốn đặt khơng chỉnh Định nghĩa Xét tốn A(x) = y (1.1) với toán tử A : X → Y X, Y không gian metric Bài toán (1.1) gọi đặt chỉnh giả thiết sau thỏa mãn: (i) Với y ∈ Y , tồn x ∈ X cho A(x) = y, (ii) Nghiệm x nhất, (iii) Nghiệm x phụ thuộc liên tục vào A y Bài toán (1.1) gọi đặt khơng chỉnh có điều kiện không thỏa mãn, tức là: (iv) Phương trình (1.1) vơ nghiệm với y đó, (v) Nghiệm x khơng nhất, (vi) Nghiệm x = x(A, y) không phụ thuộc liên tục vào liệu Kiến thức chuẩn bị 1.1.2 Ví dụ tốn đặt khơng chỉnh Ví dụ 1.1 Phương trình tích phân Fredholm loại I Zb y(t) = K(t, s)x(s)ds := (Ax)(t) (1.2) a với x ∈ C[a, b], y ∈ L2 [a, b], nhân tích phân K(t, s) thỏa mãn C [a, b] × [a, b] ∂K ∂t ∈ Nếu x ∈ X, Ax ∈ C [a, b] Vậy y ∈ L2 [a, b] \ C [a, b] phương trình (1.2) vơ nghiệm Vậy tốn đặt không chỉnh theo tiêu chuẩn (iv) Gọi x1 ∈ X cố định, x2 = x1 + ω sin N t, y1 = Ax1 , y2 = Ax2 Dễ thấy kx2 − x1 kC = |ω| Ta xét ky2 − y1 kL2 Zb Zb 2 21 = |ω| K(t, s) sin(N s) dt → a a n → ∞, kx1 − x2 kC = |ω| > Vậy tốn đặt khơng chỉnh theo tiêu chuẩn (vi) Ví dụ 1.2 Bài tốn Cauchy cho phương trình Laplace miền G = {(x, y) : 4u =0 u(x, 0) = ϕ(x) ∂u ∂y (x, 0) = ψ(x) (1.3) |x| < ∞, y ≥ 0} Xét ϕ1 = ψ1 = Bài tốn (1.3) có nghiệm u1 = Lấy ϕ2 = 0, ψ2 = ta có nghiệm sin N x sinh N y u2 = N2 Ta có ϕ1 − ϕ2 = 0, kψ1 − ψ2 k = N1 → 0, sin N x N , ku2 − u1 kC = sinh N y → +∞ N2 Vậy tốn đặt khơng chỉnh theo tiêu chuẩn (vi) Kiến thức chuẩn bị Ví dụ 1.3 Xét tốn truyền nhiệt ∂u ∂t = ∂2u ∂x2 (1.4) u(x, 0) = u0 (x) u(0, t) = u(π, t) = Lời giải toán (1.4) u(x, t) = ∞ P an exp(−n2 t) sin nx, với n=1 an = π Zπ u0 (s) sin nsds Tuy nhiên, ta xét tốn truyền nhiệt ngược: Cho u(x, T ) tìm u0 (x) = u(x, 0) Bài toán dẫn đến phương trình tích phân ∞ X u(x, T ) = an exp(−n2 T ) sin nx = π n=1 với K(x, s) = ∞ P Zπ K(x, s)u0 (s)ds, exp(−n2 T ) sin nx sin ns Bài toán thu đặt khơng n=1 chỉnh theo Ví dụ 1.2 1.2 1.2.1 Đạo hàm Fréchet Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Cho X, Y khơng gian tuyến tính định chuẩn Ω tập mở X Ánh xạ F : Ω −→ Y gọi khả vi theo Fréchet x ∈ Ω tồn toán tử tuyến tính bị chặn T : X −→ Y cho kF (x + h) − F (x) − T hkY lim = (1.5) h→0 khkX Đạo hàm Fréchet toán tử F x ký hiệu F (x) = T Ta viết lại (1.5) dạng F (x + h) = F (x) + T h + o(khk) (1.6) Kiến thức chuẩn bị 1.2.2 Ví dụ Ví dụ 1.4 Giả sử T : X → Y tốn tử tuyến tính liên tục hai khơng gian định chuẩn Tốn tử F (x) = T x khả vi theo Fréchet x ∈ X F (x) = T Ví dụ 1.5 Giả sử F : X → R tốn tử xác định cơng thức F (x) = hAx, xi, A ∈ L(X, X) với X khơng gian Hilbert Khi F (x) khả vi theo Fréchet x ∈ X F (x) = (A + A∗ )x 1.2.3 Công thức số gia giới nội Định lý 1.1 Cho F khả vi theo Fréchet tập mở Ω ⊂ X Giả sử x0 , x ∈ Ω đoạn [x0 , x] = {x0 + t(x − x0 ) : ≤ t ≤ 1} ⊂ Ω Khi (i) kF (x) − F (x0 )k ≤ sup kF (x0 + t(x − x0 ))k kx − x0 k, t∈[0,1] (ii) Với x˜0 ∈ [x0 , x], kF (x)−F (x0 )−F (˜ x0 )(x−x0 )k ≤ sup kF (˜ x0 )−F (x0 +t(x−x0 ))k kx−x0 k, t∈[0,1] (iii) kF (x) − F (x0 ) − F (x0 )(x − x0 )k ≤ sup kF (x0 + t(x − x0 )) − t∈[0,1] F (x0 )k kx − x0 k 1.3 Phổ toán tử Định nghĩa 1.2 Một họ {Eλ : λ ∈ R} phép chiếu trực giao không gian Hilbert X gọi họ phổ thỏa mãn điều kiện sau: (i) Eλ Eµ = Emin{λ,µ} , Kiến thức chuẩn bị (ii) E−∞ = 0, E+∞ = I, (iii) Eλ−0 = Eλ Định nghĩa 1.3 Cho f : R → R liên tục Khi đó, với phân hoạch (λi ) thỏa mãn −∞ < a = λ0 < λ1 < · · · < λn = b < ∞, ξi ∈ (λi−1 , λi ] tổng Riemann n X f (ξi )(Eλi − Eλi−1 )x i=1 hội tụ max1≤i≤n |λi − λi−1 | → giới hạn gọi tích phân Rb f (λ)dEλ x với x ∈ X a Tích phân đoạn vơ hạn hiểu theo nghĩa sau Z+∞ Zb f (λ)dEλ x = lim f (λ)dEλ x, b,a→±∞ −∞ a giới hạn bên vế phải tồn Định lý 1.2 Cho x ∈ X, hàm f : R → R liên tục Khi hai khẳng định sau tương đương (i) Tồn +∞ R f (λ)dEλ x −∞ (ii) +∞ R f (λ)dkEλ xk2 < ∞ −∞ Định lý 1.3 Cho A tốn tử tuyến tính tự liên hợp khơng gian Hilbert X Khi tồn họ phổ {Eλ : λ ∈ R} với Z+∞ o 2 D(A) = x ∈ X : λ dkEλ xk < ∞ , n −∞ Kiến thức chuẩn bị Z+∞ Ax = λdEλ x −∞ Ta ký hiệu A = +∞ R λdEλ −∞ Ta coi Eλ phép chiếu trực giao lên không gian sinh tất vec-tơ riêng ứng với giá trị riêng nhỏ λ toán tử A Định nghĩa 1.4 Cho A toán tử tự liên hợp X với họ phổ {Eλ : λ ∈ R} Ký hiệu M(A) tập hợp tất hàm đo với độ đo dkEλ xk2 , với x ∈ X Với f ∈ M(A) toán tử f (A) xác định theo công thức Z+∞ f (A)x = f (λ)dEλ x, x ∈ D(f (A)), −∞ với n D(f (A)) = x ∈ X : Z+∞ f (λ)dkEλ xk2 < ∞ −∞ Định lý 1.4 (i) Cho A tốn tử tuyến tính xác định dương, tự liên hợp với kAxk ≥ γkxk, x ∈ D(A), γ > 0, với f ∈ M(A) ta có Z+∞ Z+∞ f (λ)dEλ x = f (λ)dEλ x −∞ γ (ii) Nếu T : X → Y toán tử tuyến tính bị chặn A = T ∗ T với f ∈ M(A) ta có 2 kT kTZk Z+∞ Zk + f (λ)dEλ x = f (λ)dEλ x = lim+ →0 −∞ 0 + f (λ)dEλ x ... Phổ toán tử 1.4 Thang không gian Hilbert 1 3 4 Phương pháp lặp Landweber 2.1 Phương pháp lặp Landweber cho phương trình tuyến tính 2.2 Phương pháp lặp Landweber cho phương. .. 24 35 Phương pháp lặp Landweber cải biên 3.1 Phép lặp thang không gian Hilbert 3.2 Phương pháp chỉnh lặp Landweber 3.3 Phương pháp lặp xoay vòng Landweber- Kaczmarz 3.4 Phương pháp. .. Landweber cho phương trình phi tuyến 2.2.1 Một số điều kiện đặt lên toán tử 2.2.2 Sự hội tụ phương pháp lặp Landweber 2.2.3 Tốc độ hội tụ phương pháp lặp Landweber 2.3 Ví dụ