2Môc lôc Trang phô b×aMôc lôc 2Lêi c¶m ¬n 3Mét sè ký hiÖu vµ ch÷ viÕt t¾t 4Lêi nãi ®Çu 5Ch¬ng 1 Bµi to¸n BÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n 1 1 Mét sè kh¸i niÖm c¬ b¶n 7 1 2 Ph¸t biÓu bµi to¸n vµ vÝ dô 10 1 3 S[.]
www.VNMATH.com Mơc lơc Trang phơ b×a Mơc lơc Lời cảm ơn Một số ký hiệu chữ viết tắt Lời nói đầu Chương Bài toán Bất đẳng thức biến phân 1.1 Một số khái niệm 1.2 Phát biểu toán ví dụ 10 1.3 Sự tồn nghiệm toán VI 18 Chương Phương pháp lặp Banach giải toán (VI) đơn điệu mạnh 2.1 Tính không giÃn ánh xạ nghiệm 23 2.2 Mô tả thuật toán hội tụ 27 Chương Phương pháp lặp Banach giải toán đồng 3.1 Tính không giÃn ánh xạ nghiệm 30 3.2 Mô tả thuật toán hội tụ 35 3.3 Kết tính toán thử nghiệm 3.3.1 Mô hình cân bán độc quyền 38 3.3.2 Kết tính toán thử nghiệm 43 Tài liƯu tham kh¶o Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 44 http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com Lêi cảm ơn Bản luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên hướng dẫn TS Phạm Ngọc Anh Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy tận tình hướng dẫn suốt thời gian tác giả làm luận văn Trong trình học tập làm luận văn, thông qua giảng xêmina, tác giả thường xuyên nhận quan tâm giúp đỡ đóng góp ý kiến quý báu PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn, TS Nguyễn Thị Thu Thủy thầy cô trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy, cô khoa Khoa học Cơ bản, Ban Chấp Hành Đoàn trường Cao đẳng Công nghiệp Thái Nguyên đà đà tạo điều kiện giúp đỡ tác giả thời gian làm cao học Xin chân thành cảm ơn anh chị em học viên cao học bạn bè đồng nghiệp gần xa đà trao đổi, động viên khích lệ tác giả trình học tập, nghiên cứu làm luận văn Luận văn không hoàn thành thông cảm, giúp đỡ người thân gia đình tác giả Đây quà tinh thần, tác giả xin kính tặng gia đình thân yêu với lòng biết ơn chân thành sâu sắc Tác giả S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com Mét số ký hiệu chữ viết tắt Rn || không gian Euclide x := y x x x định nghÜa b»ng y víi mäi x tån t¹i x I AB AB ánh xạ đồng AB AB AìB A hợp với B A giao với B tích Đề-các hai tËp convD bao låi cña tËp argmin{f (x) AT xk x VI n-chiều trị tuyệt đối số thùc β tËp A lµ tËp thùc sù cđa tËp B tËp A lµ tËp cđa tËp B A B D | x C} tập điểm cực tiểu hàm f C ma trận chun vÞ cđa ma trËn A d·y {xk } héi tụ mạnh tới x toán bất đẳng thức biến ph©n Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com Lời nói đầu Theo Harker Pang, toán bất đẳng thức biến phân giới thiệu lần vào năm 1966 Hartman Stampacchia Những nghiên cứu bất đẳng thức biến phân liên quan tới việc giải toán biến phân, toán điều khiển tối ưu toán biên có dạng phương trình đạo hàm riêng Bài toán biến phân không gian vô hạn chiều ứng dụng giíi thiƯu cn s¸ch "An introduction to variational inequalities and their application" Kinderlehrer Stampacchia xuất năm 1980 sách "Variational and quasivariational inequalities: Application to free boundary problems" Baiocchi Capelo xuất năm 1984 Năm 1979 Michael J Smith đưa toán cân mạng giao thông năm 1980 Defermos rằng: Điểm cần toán nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Từ toán bất đẳng thức biến phân phát triển trở thành công cụ hữu hiệu để nghiên cứu giải toán cân kinh tế tài chính, vận tải, lý thuyết trò chơi nhiều toán khác (xem [7]) Bài toán bất đẳng thức biến phân có quan hệ mật thiết với toán tối ưu khác Bài toán bù phi tuyến, xuất vào năm 1964 luận án tiến sĩ Cottle, trường hợp đặc biệt toán bất đẳng thức biến phân (xem [5]) Gần đây, toán bất đẳng thức biến phân đề tài nhiều người quan tâm nghiên cứu vai trò lý thuyết toán học ứng dụng thực tế (xem [5, 7]) Một hướng nghiên cứu quan trọng toán bất đẳng thức biến phân việc xây dựng phương pháp giải Thông thường phương pháp giải chia thành loại sau: Loại thứ phương pháp chuyển toán hệ phương trình dùng phương pháp thông dụng phương pháp Newton, phương pháp điểm để giải hệ phương trình Loại thứ hai phương pháp có tính chất kiểu đơn điệu Điển hình phương pháp phương pháp gradient sau tổng quát Cohen thành nguyên S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com lý toán phụ (xem [5]), phương pháp điểm gần kề Rockafellar (xem [3]), phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov (xem [5]), Các phương pháp hiệu quả, dễ thực thi máy tính điều kiện hội tụ đảm bảo giả thiết khác tính chất đơn điệu Loại thứ ba phương pháp dựa kỹ thuật hàm chắn (xem [5]) Nội dung phương pháp chuyển toán bất đẳng thức biến phân cực tiểu hàm chắn sau sử dụng kỹ thuật tối ưu trơn không trơn để tìm cực tiểu hàm chắn Phương pháp giải toán với giả thiết nhẹ Tuy nhiên, tốc độ hội tụ thuật toán đề xuất chậm (xem [5]) Loại thứ tư phương pháp dựa cách tiếp cận điểm bất động Nội dung phương pháp chuyển toán bất đẳng thức biến phân tìm điểm bất động ánh xạ nghiệm Luận văn trình bày phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân thông qua tìm điểm bất động ánh xạ nghiệm viết báo "P N Anh, L D Muu, V H Nguyen and J J Strodiot (2005), On the contraction and nonexpansiveness properties of the marginal mapping in generalized variational inequalities involving cocoercive operators, in: Generalized Convexity and Generalized Monotonicity and Applications Eds A Eberhard, N Hadjisavvas and D T Luc, Springer, pp 89-111" Ngoài lời nói đầu phần tài liệu tham khảo, luận văn chia làm ba chương Chương có tiêu đề "bài toán bất đẳng thức biến phân" Chương nhắc lại kiến thức toán bất đẳng thức biến phân, ví dụ, kiến thức liên quan ứng dụng toán bất đẳng thức biến phân Chương gồm hai phần bản: Phần thứ trình bày mối quan hệ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân ánh xạ nghiệm Phần thứ hai ánh xạ nghiệm co hàm giá đơn điệu mạnh Lipschitz Chương trình bày phương pháp lặp Banach cho ánh xạ đồng vi tính toán ứng dụng thuật toán đề xuất Khi đó, ánh xạ nghiệm không giÃn việc tìm điểm bất động ánh xạ không giÃn tìm theo kiĨu ®iĨm bÊt ®éng cđa Nadler Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com CHƯƠNG I BàI TOáN BấT ĐẳNG THứC BIếN PHÂN 1.1 Một số khái niệm Cho hai véc t¬ x := (x1, x2, , xn)T , y := (y1, y2, , yn)T ∈ Rn hx, yi = n X xiyi i=1 gọi tích vô hướng hai véc tơ x y Chuẩn Euclide khoảng cách xác định tương ứng ||x|| := p hx, xi, d(x, y) := ||x − y|| Ta nhắc lại số kiến thức giải tích lồi dùng cho chương Định nghĩa 1.1 ã Tập C Rn gäi lµ tËp låi, nÕu λx + (1 − λ)y ∈ C ∀x, y ∈ C, λ ∈ (0, 1) ã Tập C Rn gọi nón, nÕu λx ∈ C ∀x ∈ C, λ ≥ • Cho C ⊂ Rn hiƯu lµ mét tËp låi x C , nón pháp tuyến C x, ký NC (x), xác định c«ng thøc NC (x) := {w ∈ Rn : hw, y − xi ≤ ∀y ∈ C} Cho C Rn tập lồi, ánh xạ f : C → Rn Khi ®ã, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com Định nghĩa 1.2 ã Miền hữu hiệu f , ký hiệu dom f , xác định domf := {x ∈ Rn : f (x) < +∞} ãf gọi thường, domf 6= , f (x) > x C ãf gọi hàm lồi C , f (x1 + (1 − λ)x2) ≤ λf (x1) + (1 − λ)f (x2) ∀x1, x2 ∈ C, λ ∈ [0, 1] •f gọi hàm lồi chặt C , f (λx1 + (1 − λ)x2) < λf (x1) + (1 − λ)f (x2) ∀x1 6= x2 ∈ C, λ (0, 1) ã f gọi hàm lồi mạnh với hệ số > C , nÕu ∀x1 6= x2 ∈ C, λ ∈ (0, 1), ta cã f (λx1 + (1 − λ)x2) < λf (x1) + (1 − λ)f (x2) − λ(1 − λ)β||x1 x2||2 Bây ta giả sử Khi đó, véc tơ f hàm lồi tập låi C kh«ng gian Rn w ∈ Rn gọi gradient hàm f x ∈ C , nÕu f (y) − f (x) ≥ hw, y − xi ∀y ∈ C TËp tÊt c¶ gradient hàm ký hiệu f x gọi vi phân f , f (x), hay ∂f (x) := {w ∈ Rn : f (y) − f (x) ≥ hw, y − xi ∀y C} Khi đó, f gọi khả vi phân C , f (x) 6= x C Ví dụ 1.1 tập Khi C Cho C tập lồi khác rỗng kh«ng gian 0 δ(x) := +∞ nÕu x ∈ C, nÕu x∈ / C Rn XÐt hµm chØ ∂δC (x) = NC (x) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com ThËt vËy, nÕu x ∈ C th× δC (x) = vµ ∂δC (x) = {w ∈ Rn : δC (y) ≥ hw, y − xi ∀y ∈ C} Hay ∂δC (x) = {w ∈ Rn : ≥ hw, y − xi ∀y ∈ C} = NC (x) VÝ dụ 1.2 Trong không gian Rn cho hàm chuẩn f (x) := ||x|| x ∈ Rn Khi ®ã, {w ∈ Rn : ||w|| = 1, hw, xi = ||x||} ∂f (x) := B(0, ¯ 1) ®ã nÕu x 6= 0, nÕu x = 0, ¯ 1) lµ hình cầu đóng, tâm bán kính B(0, Thật vậy, ta xét trường hợp sau: Trường hợp Với x 6= 0, ta cần chứng minh ∂f (x) = {w ∈ Rn : ||w|| = 1, hw, xi = ||x||} NÕu w tháa m·n ||w|| = 1, hw, xi = ||x|| th× hw, xi ≤ ||w||.||x|| = ||x|| Do ®ã hw, x − yi ≤ ||x|| ||y|| Hay w f (x) Ngược lại, w ∈ ∂f (x), th× −||x|| = ||0|| − ||x|| ≥ hw, − xi = −hw, xi, ||x|| = ||2x|| − ||x|| ≥ hw, 2x − xi = hw, xi suy ||x|| = hw, xi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (∗) http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 10 Mặt khác ||z + x|| ||x|| ≥ hw, λz + x − xi = hw, λzi ∀λ > 0, z ∈ Rn Suy Cho x ||z + || − ||x|| ≥ hw, xi , ta nhận ||z|| hw, zi ∀z ∈ Rn Do vËy ||w|| ≤ Hơn thay z= ||w|| < víi mäi z ∈ Rn , ||z|| = ta cã |hw, zi| < Khi ®ã, x ||x|| ta cã |hw, zi| = |hw, x i| < ||x|| Do hw, xi < ||x|| Điều mâu thuẫn víi Trêng hỵp Víi (∗) VËy ||w|| = x = Ta cã ¯ 1) ∂f (x) = {w ∈ Rn : hw, yi ≤ ||y|| ∀y} = {w ∈ Rn : ||w|| ≤ 1} = B(0, 1.2 Phát biểu toán ví dụ "Bài toán bất đẳng thức biến phân" toán quan tâm nhiều toán học nói chung đặc biệt ngành tối ưu tính toán nói riêng Luận văn trình bày phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân không gian hữu hạn chiều Chương bao gồm việc nhắc lại kiến thức toán bất đẳng thức biến phân sử dụng cho chương sau Bài toán bất đẳng thức biến phân không gian hữu hạn chiều phát biểu sau: C tập lồi, đóng khác rỗng không gian Euclidean n-chiều Rn , F : C Rn ánh xạ liên tục Bài toán bất đẳng thức biến phân Cho S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com 11 (viết tắt là: VI) toán tìm điểm x∗ ∈ C , cho: hF (x∗), x − x∗i ≥ ∀x ∈ C TËp nghiƯm cđa VI ký hiệu Định nghĩa 1.3 ánh xạ Khi đó, F (a) đơn điệu C Cho (1.1) S tập lồi, đóng Rn , cho F : C Rn gọi là: C , nÕu: hF (u) − F (v) , u − vi u, v C (b) đơn điệu ngặt C , nếu: hF (u) F (v) , u − vi > ∀u, v ∈ C, u 6= v (c) đơn điệu mạnh C với số > (viết tắt là: -đơn điệu m¹nh) nÕu: hF (u) − F (v) , u − vi ≥ τ ku − vk2 δ (d) ®ång bøc với mô đun u, v C (viết tắt là: -đồng bức) C tồn số > cho: hF (u) − F (v), u − vi ≥ δ||F (u) − F (v)||2 u, v C Ta nhắc lại kết tương đương sau: NhËn xÐt 1.1 Cho C tơc trªn tËp më chøa i) F đơn điệu C tập lồi F : C Rn ánh xạ khả vi liên C Khi đó, F (x) nửa xác định dương C hay hy, ∇F (x)yi ≥ ∀y ∈ C ii) F đơn điệu chặt C F (x) xác định dương C hay hy, ∇F (x)yi > ∀y ∈ C, y 6= iii) C F đơn điệu mạnh hay tồn C F (x) xác định dương > cho hy, F (x)yi > β||y||2 ∀y ∈ C, y 6= Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ... khảo, luận văn chia làm ba chương Chương có tiêu đề "bài toán bất đẳng thức biến phân" Chương nhắc lại kiến thức toán bất đẳng thức biến phân, ví dụ, kiến thức liên quan ứng dụng toán bất đẳng thức. .. biểu toán ví dụ "Bài toán bất đẳng thức biến phân" toán quan tâm nhiều toán học nói chung đặc biệt ngành tối ưu tính toán nói riêng Luận văn trình bày phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân. .. trọng toán bất đẳng thức biến phân việc xây dựng phương pháp giải Thông thường phương pháp giải chia thành loại sau: Loại thứ phương pháp chuyển toán hệ phương trình dùng phương pháp thông dụng phương