MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU 1 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5 1 1 Không gian tuyến tính định chuẩn 5 1 2 Không gian Hilbert 7 1 3 Lý thuyết toán tử 10 1 4 Phổ của toán t[.]
MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Khơng gian tuyến tính định chuẩn 1.2 Không gian Hilbert 1.3 Lý thuyết toán tử 10 1.4 Phổ toán tử 13 1.5 Không gian C ([ 0, T ]; H ) 14 1.6 Nửa nhóm toán tử liên tục 14 1.7 Định nghĩa tốn khơng chỉnh 18 1.8 Lược đồ chỉnh hóa 19 1.9 Bổ đề Gronwall 22 1.10 Bổ đề: số bất đẳng thức sử dụng 22 Chương CÁC KẾT QUẢ CHÍNH 24 2.1 Các định lý quan trọng 24 2.2 Chứng minh định lý quan trọng 26 Chương ÁP DỤNG 41 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 MỞ ĐẦU Bài toán ngược cho phương trình đạo hàm riêng xuất nhiều lĩnh vực khác công nghệ, địa vật lý, thủy động học, y học, xử lý ảnh, Đó tốn kiện q trình vật lý khơng đo đạc trực tiếp mà ta phải xác định chúng từ kiện đo đạc gián tiếp Trong đề tài này, ta đề cập đến phương trình parabolic ngược thời gian Đó tốn cho phương trình parabolic điều kiện ban đầu khơng biết mà ta phải xác định biết điều kiện cuối (đó lí toán gọi ngược thời gian) Phương trình parabolic ngược thời gian lĩnh vực nghiên cứu sôi động thu hút nhiều nhà tốn học tiếng ngồi nước bời có nhiều ứng dụng khoa học kĩ thuật như: vật lý, học, vật lý địa cầu, xử lý ảnh, tốn tài chính,… Cho đến nước ngồi có 300 cơng trình cơng bố tạp chí quốc tế uy tín, có tham gia nhiều nhà toán học tiếng John, Agmon, Nirenberg, Tikhonov,… Trong nước, kể đến hai nhóm nghiên cứu mà dẫn đầu Đinh Nho Hào Đặng Đức Trọng Ngoài ra, số nhà tốn học có tên tuổi quan tâm hướng nghiên cứu Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường,… Trong bài, ta xét toán giá trị cuối sau = ut + Au ( t ) f ( t , u ( t ) ) T ) , u (T ) ϕ ( ≤ t Đánh giá thuộc loại logarit t > cố định không dùng t = Nội dung luận văn dùng phương pháp QR để chỉnh hóa toán cải tiến kết hội tụ phương pháp trước đây, đồng thời chứng minh phương pháp có độ ổn định tốt nghiên cứu trước Đặc biệt, phương pháp thật hiệu xét đến toán phi tuyến Bài toán ( 0.1) xấp xỉ d ε = u ( t ) + Aε u ε ( t ) B ( ε , t ) f ( t , u ε ( t ) ) = ( ≤ t < T ) , u ε (T ) ϕ dt ( 0.3) Aε B ( ε , t ) định nghĩa theo ( 0.4 ) ( 0.5 ) = v Với v ∈ H có khai triển nghĩa tốn tử sau ∞ v pφ p , ∑ p =1 v p ∈= , p 1,2, , ta định ∞ S ( t )( v ) = ∑ e −tl p p =1 v pφ p , ( ) N −T l Ae ( v ) = − ∑ ln el p + e p v pφ p , T p =1 ∞ ( , t )( v ) ∑ + l p e B ( ee = p =1 T lp ) t −T T ( 0.4 ) v pφ p , t ∈ [ 0, T ] , t −T T ∞ ( , t )( v ) = ( A + S (T ) ) ( v ) = ∑ l p + e Q ( eee p =1 −T l p ( 0.5) ) t −T T v pφ p , với N ∈ * , N = N ( ε ) cho lN ≤ T −1 ln (T ε −1 ) Ngoài phần mở đầu giới thiệu đề tài nội dung cần đạt được, luận văn viết thành ba chương chính: Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Phần trình bày định nghĩa, ví dụ, định lý khơng gian tuyến tính định chuẩn, khơng gian Hilbert, lý thuyết tốn tử, đại số Banach, phổ toán tử, lý thuyết nửa nhóm,… bổ đề bất đẳng thức sử dụng để chứng minh chương Chương CÁC KẾT QUẢ CHÍNH Phần nêu chứng minh định lý quan trọng Chương ÁP DỤNG Phần đưa ví dụ cụ thể để áp dụng phương pháp trình bày Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Đa phần kết tổng hợp từ [1], [3] 1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn 1.1.1 Khơng gian vectơ Định nghĩa 1.1.1.1 Kí hiệu K trường số thực trường số phức Một không gian vectơ (hay khơng gian tuyến tính) K tập X ≠ ∅ , có phép cộng X × X → X phép nhân vơ hướng K × X → X , thỏa mãn điều kiện 1) x + y = y + x, 2) ( x + y ) + z =x + ( y + z ) , 3) x, Tồn θ ∈ X , gọi phần tử trung hòa cho x + θ = 4) ∀x ∈ X \ {θ } , tồn − x ∈ X , gọi phần tử đối x cho x + ( − x ) =θ , 5) λ ( x + y ) = λ x + λ y, 6) ( λ + µ ) x =λ x + µ x, 7) ( λµ ) x = λ ( µ x ) , 8) Tồn phần tử 1∈ K cho 1.x = x với x, y, z ∈ X , λ , µ ∈ K Ví dụ C [ a, b ] tập hợp hàm thực (hoặc phức) liên tục [ a, b ] khơng gian tuyến tính thực (hoặc phức) với phép cộng hàm số phép nhân thông thường x l= = ∞ ( x1 , x2 , , xn , ) , xi ∈ K , ∑ xi i =1 < ∞ không gian tuyến tính với phép cộng phép nhân số theo tọa độ 1.1.2 Khơng gian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa 1.1.2.1 Cho X không gian vectơ trường K Chuẩn X ánh xạ :X → thỏa mãn tiên đề chuẩn sau N1: x ≥ 0, ∀x ∈ X ; N2:= λx λ x , x = 0⇔ x= θ, ∀x ∈ X , λ ∈ K , N3: x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ X Định nghĩa 1.1.2.2 Một không gian vectơ X K với chuẩn gọi khơng gian tuyến tính định chuẩn K (thường gọi khơng gian định chuẩn), kí hiệu ( X , ) Định nghĩa 1.1.2.3 Một dãy { xn } không gian định chuẩn X gọi dãy Cauchy với ε > , tồn n0 (phụ thuộc ε ) cho với n, m ≥ n0 ta có xn − xm < ε Định nghĩa 1.1.2.4 Một không gian gọi đầy đủ dãy Cauchy hội tụ Định nghĩa 1.1.2.5 Một không gian định chuẩn đầy đủ gọi khơng gian Banach Ví dụ C [ a, b ] với chuẩn x : = sup x ( t ) không gian Banach a ≤t ≤b 1/2 2 ∞ l không gian Banach với chuẩn x = ∑ xi i =1 1.1.3 Ánh xạ co nguyên lý điểm bất động Định nghĩa 1.1.3.1 Cho ( X , ) không gian định chuẩn f : X → X Ta có: f ánh xạ Lipschitz tồn số k ≥ cho với x, y ∈ X , f ( x ) − f ( y ) ≤ k x − y Số k bé thỏa mãn bất đẳng thức gọi hệ số Lipschitz f Nếu k < ta nói f ánh xạ co hệ số k hay đơn giản f k – co Điểm x0 ∈ X điểm bất động f f ( x0 ) = x0 Định lý 1.1.3.2 (Định lý điểm bất động) Cho (X, ) khơng gian Banach Khi ánh xạ co f : X → X tồn điểm bất động nhất, nghĩa phương trình f ( x ) = x có nghiệm 1.2 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.2.1 Cho X không gian vector trường số K ( K = K = ) Một ánh xạ từ X × X vào K , ( x, y ) x, y gọi tích vơ hướng X thỏa mãn điều kiện sau x, x = ⇔ x = θ , i) x, x ≥ 0; ii) y, x = x, y ( y, x = x, y K = ), iii) x + x′, y = x, y + x′, y , iv) λ x, y = λ x, y , với x, x′, y ∈ X , λ ∈ K Nếu , tích vơ hướng X cặp ( X , , ) gọi không gian tiền Hilbert (hay cịn gọi khơng gian Unita, khơng gian với tích vơ hướng) Nếu , tích vơ hướng X ánh xạ x x = x, x chuẩn X, gọi chuẩn sinh tích vơ hướng Một khơng gian tiền Hilbert không gian định chuẩn (với chuẩn sinh tích vơ hướng) Nếu khơng gian định chuẩn tương ứng đầy đủ ta nói ( X , , ) không gian Hilbert Từ sau ta kí hiệu H khơng gian Hilbert Ví dụ Khơng gian L2 ( X , µ ) (với X tập đo Lebesgue n , µ độ đo Lebesgue) khơng gian vector gồm tất hàm đo f từ X vào K cho f khả tích Lebesgue Với f , g ∈ L2 ( X , µ ) , ánh xạ ( f ,g) f , g = ∫ f g dµ X tích vơ hướng L2 ( X , µ ) Tích vơ hướng sinh 1/2 2 chuẩn f = ∫ f L2 ( X , µ ) khơng gian Hilbert X ∞ = l ( x1 , x2 , , xn , ) : xk ∈ , ∑ xk < ∞ k =1 Trong l , với x = { xi } , y = { yi } , ánh xạ ( x, y ) ∞ x, y = ∑ xk yk k =1 tích vơ hướng Tích vơ hướng sinh chuẩn 1/2 ∞ x = ∑ xk ( l , , k =1 ) không gian Hilbert Trong C [ a, b ] hàm thực liên tục [ a, b ] ánh xạ b x, y = ∫ x ( t ) y ( t ) dt ( x, y ) a tích vơ hướng Khơng gian ( C [ a, b ] , , ) không không gian Hilbert Tính chất 1.2.2 a) Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz: x, y ≤ x y , ∀x, y ∈ X b) Công thức nhị thức: x ± y = x + y ± 2Re x, y , ∀x, y ∈ X 2 ( c) Đẳng thức bình hành: x + y + x − y= x + y 2 2 ) , ∀x, y ∈ X Định nghĩa 1.2.3 Hai vector x, y không gian tiền Hilbert X gọi trực giao với (kí hiệu x ⊥ y ) x, y = Cho M ⊂ X Tập M ⊥ := {x ∈ X : x, y = 0, ∀y ∈ M } gọi phần bù trực giao M Một hệ trực giao không gian tiền Hilbert X tập A vector khác X cho hai vector khác A trực giao với Một hệ trực giao A gọi hệ trực chuẩn x = với x ∈ A Nói cách khác {en } hệ trực chuẩn en = với n ∈ * ei ⊥ e j ( i ≠ j ) ... đến phương trình parabolic ngược thời gian Đó tốn cho phương trình parabolic điều kiện ban đầu mà ta phải xác định biết điều kiện cuối (đó lí tốn gọi ngược thời gian) Phương trình parabolic ngược. .. xấp xỉ tốn tuyến tính cách nhiễu tốn tử A Phương pháp họ gọi phương pháp tựa đảo (quasi-reversibility method, gọi tắt phương pháp QR) hữu hiệu cho toán nhất, nhiên trường hợp phi tuyến chưa... cải tiến kết hội tụ phương pháp trước đây, đồng thời chứng minh phương pháp có độ ổn định tốt nghiên cứu trước Đặc biệt, phương pháp thật hiệu xét đến toán phi tuyến Bài toán ( 0.1) xấp xỉ d