Luận văn thạc sĩ phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ————————— NGÔ TH± THO PHƯƠNG PHÁP CHIEU GIÂI BÀI TOÁN BAT ĐANG THÚC BIEN PHÂN GI ĐƠN IfiU MANH LUắN VN THAC S TON HOC H Nđi 2015 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ————————— NGÔ TH± THO PHƯƠNG PHÁP CHIEU GIÂI BÀI TOÁN BAT ĐANG THÚC BIEN PHÂN GI ĐƠN ĐIfiU MANH Chuyên ngành: Toán úng dnng Mã so: 60460112 LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC NGƯŐI HƯŐNG DAN KHOA HOC: GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU Mnc lnc Lèi cam ơn Lèi me đau .3 Chương Bài toán bat thÉc bien phân 1.1 Kien thÉc chuan b% 1.1.1 H®i tn manh yeu khơng gian Hilbert .6 1.1.2 Toán tu chieu 1.1.3 Tính liên tnc cua hàm loi 14 1.1.4 Đao hàm dưói vi phân cua hàm loi 16 1.2 Bài toán bat thÉc bien phân 18 1.2.1 Các khái ni¾m 18 1.2.2 Các ví dn minh HQA 20 1.2.3 Sn ton tai nghi¾m .26 Chương Phương pháp chieu giai toán bat thÉc bien phân gia đơn đi¾u manh .28 2.1 Phương pháp chieu dưéi đao hàm tăng cưèng .29 2.2 Phương pháp chieu ban cai biên 36 Ket lu¾n 45 Tài li¾u tham khao 46 LèI CÂM ƠN Lòi đau tiên, em xin chân thành cam ơn GS.TSKH Lê Dũng Mưu Thay ngưịi hưóng dan khóa lu¾n tot nghi¾p hưóng dan lu¾n văn thac sĩ cho em Hai ch¾ng đưịng qua, thay ln t¾n tình hưóng dan chi bao nghiêm khac, thay cung cap nhieu tài li¾u quan TRQNG giành nhieu thịi gian giai đáp nhung thac mac suot trình làm vi¾c thay Em xin gui tói thay, Khoa Tốn - Cơ - Tin HQC, Trưịng Đai HQC Khoa HQC Tn Nhiên, Đai HQC Quoc Gia Hà N®i, thay giang day lóp Cao HQC Tốn khóa 2013 - 2015, lịi cam ơn chân thành đoi vói cơng lao day dő cua thay, hai năm qua Đ¾c bi¾t, em muon gui lịi cam ơn tói thay day chun ngành nhóm Tốn Úng Dnng M¾c dù nhóm chi có tám thành viên thay ln lên lóp vói ca nhi¾t huyet nhung chuyên đe hay, sâu sac Cuoi em xin gui lịi cam ơn tói gia đình, ban, anh, ch% cua lóp cao HQC Tốn khóa 2013 - 2015 giành riêng lịi cam ơn cho gia đình Tốn Úng Dnng Là em út cua nhóm, nên ln đưoc MQI ngưịi quan tâm nhieu Thòi gian HQC anh ch% cho em nhung ký ni¾m đep, đưoc HQC nhung đieu hay nhung kien thúc thú v% M¾c dù có nhieu co gang, lu¾n văn khơng tránh khoi nhung thieu sót Em mong nh¾n đưoc ý kien đóng góp cua thay, ban ĐQC đe luắn oc hon thiắn hn H Nđi, ngy tháng 10 năm 2015 HQC viên Ngô Th% Tho LèI Mê ĐAU Năm 1966, Hatman Stampacchia công bo nhung nghiên cúu đau tiên cua ve tốn bat thúc biên phân, liên quan tói vi¾c giai toán bien phân, toán đieu kien toi ưu tốn biên có dang cua phương trình đao hàm riêng Năm 1980, Kinderlehrer Stampacchia cho xuat ban cuon sách "An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications", giói thi¾u tốn bien phân khơng gian vơ han chieu úng dnng cua Năm 1984, cuon sách "Variational and Quasivariational Inequalities: Applications to Free Boundary Problems" cua C Baiocci A Capelo áp dnng bat thúc bien phân tna bien phân đe giai tốn khơng có biên Hi¾n toán bat thúc bien phân phát trien thành nhieu dang khác nhau,như là: bat thúc bien phân vectơ, tna bat thúc bien phân, gia bat thúc bien phân, bat thúc bien phân an, bat thúc bien phân suy r®ng Bài tốn thu hút đưoc sn quan tâm cua nhieu nhà tốn HQC Vì mơ hình cua chúa nhieu tốn quan TRQNG cua m®t so lĩnh vnc tốn HQC thnc te toi ưu hóa, tốn bù, lý thuyet trị chơi, cân bang Nash, cân bang mang giao thơng, cân bang di trú M®t nhung hưóng nghiên cúu quan TRQNG cua bat thúc bien phân vi¾c xây dnng phương pháp giai Dna tính chat cua kieu đơn đi¾u G Cohen nghiên cúu phương pháp nguyên lý toán phn Ngồi cịn có phương pháp hi¾u chinh Tikhonov, phương pháp chieu, phương pháp điem Nhung phương pháp hi¾u qua, de thnc hi¾n máy tính sn h®i tn cua chúng chi đưoc đam bao so gia thiet khác ve tính chat đơn đi¾u Có nhieu phương pháp chieu khác nhau, là: phương pháp chieu ban, phương pháp chieu dưói đao hàm, phương pháp chieu siêu phang Mői phương pháp giai quyet m®t lóp tốn bat thúc bien phân nhat đ%nh Do sn h®i tn cua thu¾t tốn đưoc đam bao Lu¾n văn trình bày phương pháp chieu dưói đao hàm tăng cưịng chieu ban cai biên đe giai toán bat thúc bien phân gia đơn đi¾u manh Các phương pháp tao mđt dóy hđi tn cua cỏc iem lắp de dng tớnh oc Chỳng eu hđi tn túi nghiắm nhat cua tốn Lu¾n văn gom hai chương: Chương 1: Bài toán bat thúc bien phân, đưoc chia lm hai phan: ã Phan 1: Nhac lai mđt so kien thúc Giai tích hàm Giai tích loi, là: h®i tn manh yeu khơng gian Hilbert, tốn tu chieu, tính liên tnc cua hàm loi, đao hàm dưói vi phân cua hàm loi • Phan 2: Phát bieu tốn, trình bày m®t so khái ni¾m mơ hình minh HQA cho tốn Sau đó, chúng minh sn ton tai tính nhat nghi¾m cua tốn Chương 2: Phương pháp chieu giai toán bat thúc bien phân gia n iắu manh v thuắt toỏn clýcua ban caihđi biờntn giai toán VI(K, F) Pháttoán bieu chúng minh Nđi dung chớnh le trỡnh by hai thuắt toỏn chieu dưóiđó đao hàm tăng cácchieu đ%nh ve chương sn cua dóy lắp tao boi cỏc thuắt a mđt so ví dn chúng minh rang đieu ki¾n cua đ%nh lý ton tai nghi¾m can thiet Neu bo i mđt cỏc ieu kiắn ú, dóy lắp se khụng hđi tn túi nghiắm nhat cua bi toỏn Chương Bài toán bat thÉc bien phân Trong chương này, se nhac lai m®t so ket qua cua Giai tích hàm có liên quan tói sn h®i tn manh h®i tn yeu cua m®t dóy so Nhac lai mđt so khỏi niắm v %nh lý ban cua Giai tích loi, là: đ%nh nghĩa tính chat cua tốn tu chieu, tính liên tnc, đao hàm dưói vi phân cua m®t hàm loi, Đ%nh lý tách, Đ%nh lý Moreau- Rockafellar Phan sau ta se giói thi¾u tốn bat thúc bien phân (VIP) nhan manh toán bat thúc bien phân gia đơn đi¾u manh Chi ví dn ve tốn bat thúc bien phân thưịng g¾p thnc te mơ hình toán HQC Cuoi chương phát bieu chúng minh đ%nh lý ve sn ton tai tính nhat nghi¾m cua tốn N®i dung chu yeu đưoc trích dan tù tài li¾u [1], [2], [3], [6], [10] Trong lu¾n văn này, se làm Σ vi¾c khơng gian Hilbert thnc trang b% m®t tơ pơ yeu, vói tích vơ hưóng , chuan tương úng cua ||.|| 1.1 Kien thÉc chuan b% 1.1.1 H®i tn manh yeu khơng gian Hilbert Đ%nh nghĩa 1.1.1 Giá su H không gian tuyen tính thnc, vái MQI x ∈ H xác đ%nh m®t so GQI chuan cua x ( kí hi¾u ||x||) thóa mãn ba tiên đe sau: 1.Xác đ%nh dương: ∀x||x|| ∈ ≥ 0; =∀λ 0y⇔∈ = ||x|| 0.||λx|| 2.Thuan nhat||x|| dương: ∈H H; ∈xH R 3.Bat giác: ∀x, ||x + y||= ≤ |λ| ||x|| + || y|| thúc tam ∀x Đ%nh nghĩa 1.1.2 Giá su H không gian tuyen tớnh thnc, cắp (H, , : H ì H → R (x, y) ›→ thóa mãn đieu ki¾n: Xác đ%nh dương: Σ , ) vái Σ x, y Σ Σ x, x ≥ ∀x ∈ H; x, x = ⇔ x = Σ Σ x, y = y, x ∀x, y ∈ H Σ Σ Σ Song tuyen tính: αx + βy, z = α x, z + β y, z ∀α, β ∈ R, ∀x, y, z ∈ H Đoi xúng: đưac GQI không gian tien Hilbert Không gian tien Hilbert, đay đu đưac GQI khơng gian Hilbert, kí hi¾u H Ví dn 1.1.1 n H = Rtrên ; xR =n (x , · ·đ%nh · , xn);boi y = (y1, y2, · · · , yn) ∈ H tích vơ hưóng 1, x 2xác chuan đưoc n x, y = xi yi, Σ ∑ ∑n xi ||x|| = i=1 i=1 2 H = Cchuan gianđ%nh hàm [a,b] khơng hưóng đưoc xác boi liên tnc Khi vói MQI x, y ∈ H tích vơ Σ ∫ b x t y t dt x y , = a a t |2 dt ||x|| ∫ b |x () () , = () ∗ ∗H ϕ1.1.3 :HQ Hlàánh → R phiem hàm tuyen ϕ f gian (x) =đoi f (x) Khi Đ%nh Tô pô yeu H đưac đ%nh bái tô pô sinh bái HQ fánh khap Gia suf H không gian thnc, H ∗ nghĩa làtính khơng ngau cua H chay vxaf HKớ ngha tahiắu cú mđt xa (ϕ ) fHilbert f ∈H ∗ (ϕ f ) f ∈H ∗ Kí hi¾u σ (H, H ∗ ) ∗ tô fpô∈ yeu σ (H, ) tô pô yeu nhat H đam bao cho tat ca Như phiemv¾y hàm H ∗ đeu liên H tnc Đ%nh nghĩa 1.1.4.1) Ta nói dãy {xk} h®i tn manh đen x ( kí hi¾u xk → x) neu lim k→∞ ||xk −x|| = 2) Dãy {xk} hđi tn yeu en x ( kớ hiắu xk ~ x) neu {xk} h®i tn ve x theo tơ pơ yeu σ túc ∀ f ∈ H ∗ f (xk ) → f (x) M¾nh đe 1.1.1 Giá su {xk } ⊂ H { fk } ⊂ H ∗ Khi Σ Σ a) xk ~ x ⇔ xk , y → x, y , ∀y ∈ H b) Neu xk → x xk ~ x c) Neu xk ~ x {xk} b% ch¾n ||x|| ≤ limk→∞||xk|| d) Neu xk ~ x lim ||xk|| ≤ ||x|| xk → x k→∞ e) Neu xk ~ x fk → f fk(xk) → f (x) Khi H không gian huu han chieu tơ pơ yeu tơ pơ thơng thũng trờn H trựng ắc biắt, mđt dóy hđi tn manh chi h®i tn yeu = ||β (u−v) −||u||(u−v) − (||u|| − ||v||)v|| ≤ β||u−v|| + ||u|| ||u−v|| + | ||u|| −||v|| | ||v|| ≤ β||u−v|| + α ||u−v|| + α||u−v|| = (β + 2α)||u−v|| Do làđó liên F tnc Lipschitz KαTheo vói hang so Lipschitz :=ββ Suy + 2α u, β K0.αFDo cho v − utrên ≥ gia thiet ||u|| ≤ αL < Cho u, v − β (u), uv ∈ ≥đó Σ Σ Σ Fβ (v), v−uΣ= (β −||v||) v, v−u Σ ΣΣ ≥ (β − ||v||) v, v − u − u, v − u ≥ (β −α)||u−v|| = γ||u−v||2, o γ := β −α > Suy Fβ gia đơn đi¾u manh Kα Hơn nua Fβ khơng the Σ đơn đi¾u manh khơng the đơn đi¾u K Th¾t βα v¾y, ta cHQN u = , 0, , 0, ,v= (α, 0, · · · , 0, · · · ) ∈ Kα Σ β Σ3 Fβ (u) − Fβ (v), Ta có = −α < 2γ 2(β − α ) Theo Đ%nh lý 2.2.1, dóy {uk} oc tao boi Thuắt toỏn 2.2.1 hđi tn tuyen kLay ∈ uN ∈ Kα bat kỳ, λ ∈ 0, Σ = 0, Σ tùy ý, đ¾t λk = λ vói MQI (β + L tính tói Hơn nua, 2α)2 µ k+1 k+1 k+1 k µk+1 ||u − ||u −u || − 0|| ≤ ||u −u || ||u0|| ≤ 1−µ 1−µ vói MQI k ∈ N, =√ + λ [2(β −α) −λ (β + 2α)2] µ Theo Chú ý 2.2.1 giá tr% nho nhat cua µ µ∗ λ = λ∗ β −α β + 2α = √2] 2α) (β −α) + (β + tai điem (β + 2α) Neu đ® dài bưóc tao thành m®t dãy khơng kha tong cua so thnc dương thỡ = Thuắt toỏn 2.2.1 cng tao mđt dóy lắp hđi manh túi nghiắm nhat cua bi toỏn Ta cú: %nh lý 2.2.2 Cho K l mđt loi đóng khác rőng khơng gian Hilbert thnc H F : K → H m®t ánh xa giá đơn đi¾u manh K vái mơ-đun γ liên tnc Lipschitz K vái hang so L Giá su {λk} m®t dãy vơ hưáng dương vái ∞ ∑ λk = +∞, lim λk = (2.5) k→∞ k=0 Dãy l¾p {uk} đưac tao thành tù Thu¾t toỏn 2.2.1 se hđi tn manh tỏi u l nghiắm nhat cua toán VI(K, F) Hơn nua, ton tai m®t chi so k0 ∈ N cho vái mői k ≥ k0, λk(2γ −λ k L ) > 0, uk+1 − u∗ || ≤ ∏ || ||uk0 − u∗ || + λi(2γ −λ i L ] ChÉng minh Vì λk → 0, nên ton tai k0 ∈ N cho λk L2 < λ vói MQI k ≥ k0 Do k i=k0 [1 λk(2γ −λ k L ) > λk(2γ −γ) = γλk > 0, vói MQI k ≥ k0 Vì the, tù [1 + λk (2γ − λk L2 )] ||uk+1 − u∗ ||2 ≤ ||uk − u∗ ||2 , suy k+1 ∗ u u u||k − u∗ || − || ≤ || + λk(2γ −λ k L ) 1 ≤ u||k−1 − u∗ || [1 + λk(2γ −λ k L )] [1 + λk−1(2γ −λ k−1L2)] ≤ ||uk0 − u∗ ||2 ∏ i=k k [1 + λi(2γ −λ i L2 )] uk+1 − u∗ || ≤ ||uk0 − u∗ || (2.6) ∏ || k i=k0 [1 + λi(2γ −λ i L )] Tiep theo, ta se chúng minh dãy {uk } h®i tn theo chuan tói u∗ Vói mői k ∈ N, đ¾t V¾y αk = λk(2γ −λkL2) viet lai công thúc (2.6), ta đưoc uk+1 − u∗ || ≤ ||uk0 − u∗ || || ∏ k i=k0 (1 + αi ) Vì αk = λk (2γ −λk L2 ) > γλ k vói mői k ≥ k0 , nên ∑∞ αk k=k0 = +∞ Do ∏ α (1 + αi ) i −→ ≤ 1+ i=k ∑k k → ∞ Vì the, ||uk+1 − u∗ || → 0, hay dãy {uk } h®i tn theo chuan tói u∗ Đ%nh lý đưoc chúng minh Q H¾ qua 2.2.2 Cho {λk} Đ%nh lý 2.2.2 Cho F đơn đi¾u manh K vái mô-đun γ liên tnc Lipschitz K vái m®t hang so L Thì dãy {uk} bat k ac tao tự Thuắt toỏn 2.2.1 hđi tn theo chuan tái nghi¾m nhat cua tốn VI(K, F) ton tai m®t chi so k0 ∈ N cho uk+1 − u∗ || ≤ ∏ | ||uk0 − u∗ ||, ng vái mői k ≥ k0 > : ch0 | Đ o¾| t u β | i0= kk λi(2 γ −λ > | iL ] α V Ch ≤ > í o β α } d H , K || − F α n = β l = α ( { u βu ) ∈ ∈ = R H ( β (β manh tói ) + nghi¾ m Đ α) nhat , cua ¾ 2( tốn(k + β VI(Kα2 t 2) − , Fβ k α ) − || u| |) u, t λ= r o ∞ n= k g = đ, ó α ∀ = λk (2γ , βk l ∈ + − λk L ) > ∞ c 0, vói MQI k c N , t ≥ k0 Ta có h l a ( mK i ΣΣ ∏ s hi m ik ||uk0 o u , đ − v ó λ 0||, λ β k Σ ∀k k ∑ ≥ k+ k k 1= − k 0 Cho {uk} l mđt dóy lắp oc tao boi Thuắt toỏn 2.2.1 Suy dóy {uk} hđi tn α ≤ + + C h ú n g t a s e x é t x e m đ i e u g ì s e x a y r − a n e u b o đ i e u ki¾n (2.4) (2.5) lan lưot đưoc đưa o Đ%nh lý 2.2.1 Đ%nh lý 2.2.2 thơng qua ví dn sau: Ví dn R u.Đ¾t liên tnc đơn đi¾u manh KKràng F)2.2.3 ==0 CRõ HQN u= =F 1S(K, ∈F(u) K vàLipschitz, λk = , ∀k ∈ N Tù lim λk = ∑∞ k= k→∞ λk < +∞, ca hai đieu ki¾n (2.4) (2.5) đeu b% lưoc bo Dãy l¾p uk đưoc tao boi Thu¾t tốn 2.2.1 vói u0 = đưoc cho boi uk+1 = PK (uk −λkF(uk)) = uk −λkuk = (1 −λk)uk Do đó, =∏ ( − i) k = uk+1 i=0 ∏ − i=0 k (i + Σ 1 λ = k ∏ (i + 1) (i + 3) (i + 2)2 k+3 = 2(k + 2) , ∀k ∈ N i=0 V¾y lim u = Ngha l {uk} khụng hđi tn en nghiắm nhat cua toán V I( k→∞ K, F) V¾y đieu ki¾n (2.4) (2.5) khơng the bo i, neu khụng dóy lắp se khụng hđi tn túi nghi¾m cua tốn can tìm Ví dn 2.2.4 Cho K = R F(u) = u, u0 ∈ R\{0} Cho λk ⊂ (0, +∞) thoa mãn ∞ đieu ∑ λkki¾n = +∞, = ƒ= 1, ∀k ∈ N Khi dãy l¾p {uk} k lim λk k = k→ ∞ λk tro thành uk+1 = PK (uk −λkF(uk)) = uk −λkuk = (1 −λk)uk Đe chúng minh {uk} h®i tn tuyen tính đen 0, ta can chúng minh: vói µ 01 lim , n h a t c u a b i k ∈t o ( n V , I( ) K , F ) Vì lim λk = ƒ V uk = vói MQI k í N, ta có k→∞ lim d λ lim n k→∞ || k |= uk − 0|| = k→ | Vắy {uk} khụng hđi tn tuyen tớnh tói nghi¾m t r ê n c h o t h a y r ang dãy {uk} đưoc xét Đ%nh lý 2.2.2 có the khơng h®i tn tuyen tính tói nghi¾m nhat cua tốn VI(K, F) Mắt khỏc, mđt so sỏnh vúi dóy lắp oc tao Đ%nh lý 2.2.1, cơng thúc l¾p Đ%nh lý 2.2.2 cú toc đ hđi tn chắm hn Nh vắy, bên canh nhung ưu điem nêu trên, phương pháp chieu cai biên khơng có hang so tiên nghi¾m có nhung nhưoc điem ve toc đ® h®i tn KET LU¾N Sau đưoc Hatman Stampacchia giói thi¾u lan đau vào năm 1966, trai qua 50 năm phát trien khơng ngùng, tốn bat thúc bien phân ó tro thnh mđt cụng cn huu hiắu, e nghiờn cúu giai toán cân bang kinh te tài chính, v¾n tai, lý thuyet trị chơi nhieu toán khác Gan đây, toán bat thúc bien phân đưoc nhieu nhà toán HQC quan tâm, có đưoc nhieu ket qua quan TRQNG Ngưịi ta tìm nhieu phương pháp đe giai tốn Ban lu¾n văn nham mnc đích giói thi¾u tốn bat thúc bien phân gia đơn đi¾u manh Cn the là, sau tong hop lai m®t so kien thúc ban ve Giai tích hàm Giai tích loi, trình bày ve tốn bat thúc bien phân vói ví dn minh HQA Sau đó, lu¾n văn trình bày ve sn ton tai nhat nghi¾m cua tốn Tiep đen, lu¾n văn giói thi¾u hai thu¾t tốn chieu đe giai lóp tốn này, đong thịi xét đen sn hđi tn cua cỏc thuắt toỏn khụng gian Hilbert TÀI LIfiU THAM KHÂO Tieng Vi¾t Hồng Tny (2005), Hàm thnc giái tích hàm, Nhà xuat ban Đai HQC Quoc gia Hà N®i Lê Dũng Mưu, Nguyen Văn Hien, Nguyen Huu Đien (2015), Giái tích loi úng dnng, Nhà xuat ban Đai HQC Quoc gia Hà N®i Pham Kỳ Anh, Tran Đúc Long (2001), Hàm thnc giái tích hàm, Nhà xuat ban Đai HQC Quoc gia Hà N®i Tieng Anh D Kinderlehrer and G Stampacchia (1980), An Introduction to Variational In- equalities and Their Applications, Academic Press, New York Fan Ky (1972), A minimax inequalities and applications In: Shisha O (Ed): In- equalities, Academic Press, New York Igor Konnov (2001), Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities, Springer Pham Duy Khanh (2012), ”A new extragradient method for strongly pseudomono- tone variational inequalities”, Submitted Pham Duy Khanh, Phan Tu Vuong (2014), ”Modified projection method for strongly pseudomonotone variational inequalities”, Journal of Global Optimization,58, no 2, 341 - 350 Phung M Duc, Le D Muu, and Nguyen V Quy (2014), ”Solution existence and algorithms with their convergence rate for strongly pseudomonotone equilib- rium problems”, Pracific Journal Mathematics, Pacific J Mathematics, To appear 46 46 46 46 46 46 ... bien phân vi¾c xây dnng phương pháp giai Dna tính chat cua kieu đơn đi¾u G Cohen nghiên cúu phương pháp ngun lý tốn phn Ngồi cịn có phương pháp hi¾u chinh Tikhonov, phương pháp chieu, phương pháp. .. TU NHIÊN ————————— NGÔ TH± THO PHƯƠNG PHÁP CHIEU GIÂI BÀI TOÁN BAT ĐANG THÚC BIEN PHÂN GI ĐƠN ĐIfiU MANH Chuyên ngành: Toán úng dnng Mã so: 60460112 LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC NGƯŐI HƯŐNG DAN KHOA... Nhung phương pháp hi¾u qua, de thnc hi¾n máy tính sn h®i tn cua chúng chi đưoc đam bao so gia thiet khác ve tính chat đơn đi¾u Có nhieu phương pháp chieu khác nhau, là: phương pháp chieu ban, phương