Luận văn thạc sĩ về toán tử tựa không giãn với bài toán bất đẳng thức biến phân

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN NGUYEN XN THÙY VE TỐN TU TUA-KHƠNG GIN VộI BI TON BAT ANG THC BIEN PHN LUÔN VĂN THAC SĨ KHOA HOC Hà N®i - 2017 NGUYEN XN THÙY VE TỐN TU TUA-KHƠNG GIÃN VéI BÀI TỐN BAT ĐANG THÚC BIEN PHÂN Chun ngành: Tốn giai tích Mó so: 60460102 LUÔN VN THAC S KHOA HOC NGDI HƯDNG DAN KHOA HOC: GS TSKH LÊ DŨNG MƯU LèI CAM ƠN Lu¾n văn đưoc hồn thành tai trưịng Đai nhiên - Đai HQc HQ c Khoa HQ c Tn Quoc Gia Hà N®i dưói sn hưóng dan cna Thay giáo GS TSKH Lê Dũng Mưu Sn đ%nh hưóng cna Thay nghiên cúu, sn t¾n tình cna Thay HQ c t¾p het tình u thương Thay dành cho em cu®c song, nhung thú quý giá nhat mà em may man mói có đưoc Em xin bày to lòng biet ơn chân thành sâu sac nhat đen vói Thay Em xin bày to sn biet ơn chân thành đen Ban Giám hi¾u trưòng Đai HQ c Khoa HQ c Tn nhiên - Đai HQc Quoc Gia Hà N®i, Khoa Sau đai Ban Chn nhi¾m Khoa Tốn - Cơ - Tin HQ c HQc, ó tao c hđi cho em oc lm luắn văn tot nghi¾p Đ¾c bi¾t, em xin bày to lịng biet ơn đen Thay, Cơ giáo Khoa Tốn - Cơ - Tin Tn nhiên - Đai HQc HQ c, trưịng Đai HQc Khoa HQc Quoc Gia Hà N®i nhi¾t tình giang day em suot năm hQc vùa qua M¾c dù rat co gang, song lu¾n văn khơng tránh khoi nhung thieu sót Em mong đưoc nhung ý kien đóng góp tù Thay, Cơ giáo ban đong nghi¾p đe lu¾n văn oc hon thiắn hn H Nđi, ngy 09 thỏng 10 năm 2017 Nguyen Xuân Thùy Mnc lnc LèI CAM ƠN LèI Me ĐAU KIEN THÚC CHUAN B± 1.1 T¾p loi, hàm loi nón pháp tuyen 1.2 Hàm nua liên tuc dưói 12 1.3 Hàm kha dưói vi phân 13 1.4 Tính đơn đi¾u kieu-Lipschitz cho song hàm 16 1.5 Toán tu chieu bat thúc bien phân 18 1.6 Dãy h®i tu yeu, ánh xa nua-đóng ánh xa tna-khơng giãn22 ÁNH XA TUA-KHƠNG GIÃN VéI ĐIEU KIfiN LIPSCHITZ VÀ BÀI TOÁN BAT ĐANG THÚC BIEN PHÂN 26 2.1 Đ%nh nghĩa cna ánh xa tna-không giãn mđt loi .26 2.2 nh xa tna-khụng gión F vói tốn V IP (C, F ) 27 VE ÁNH XA TUA-KHÔNG GIÃN KHÔNG ĐIEU KIfiN LIPSCHITZ 35 3.1 Đ%nh nghĩa cna ánh xa 35 3.2 Tính chat cna ánh xa 36 KET LU¾N 46 Tài li¾u tham khao 47 LèI Me ĐAU Cho H m®t khơng gian Hilbert thnc vói tích chuan cna lan lưot đưoc ký hi¾u boi (·, ·) ǁ · ǁ GQI C mđt loi, úng v khỏc rong H Mđt ánh xa T : C −→ C đưoc C, neu ǁT (x) − T (y)ǁ ≤ ǁx − yǁ vói T đưoc pǁ vói GQI MQI MQI GQI không giãn x, y ∈ C Ánh xa tna-không giãn ([1]) C neu ǁT (x) − pǁ ≤ ǁx − x ∈ C vói MQI điem bat đ®ng p cna T bat cú T có m®t điem bat đ®ng Rõ ràng, vói MQI ánh xa (tốn tu) khơng giãn có m®t điem bat đ®ng tna-không giãn, đieu ngưoc lai không Các ánh xa tna-không giãn đưoc nghiên cúu boi nhieu tác gia v mđt so phng phỏp nghiắm cna mđt so bi toỏn cú the a ve viắc tỡm mđt iem bat đ®ng cna ánh xa tna-khơng giãn đưoc phát trien tài li¾u chuyên khao [4] báo [1, 6, 8, 13, 16] Nói chung, cách tiep cắn dna trờn iem bat đng cna cỏc ỏnh xa khơng giãn khơng giãn suy r®ng đưoc su dung r®ng rãi nhieu lĩnh vnc cna tốn HQ c Trong [5], Combettes v cđng sn ó giúi thiắu m®t ánh xa khơng giãn Pf , đưoc tốn tu xap xi, xác đ%nh boi, vói MQI x ∈ H, Pf (x) := {z ∈ C : f (z, y) + (y − z, z − x) ≥ ∀y ∈ C}, r r > f : C × C −→ R Vói gia thiet rang f đơn đi¾u, nua liên tuc dưói, loi C đoi vói đoi so thú hai nua liên tuc (hemicontinuous) C đoi vói đoi so thú nhat, hQ chúng minh đưoc rang Pf đơn tr%, khơng giãn C Hơn nua, nhóm tác gia chi rang t¾p điem bat đng cna Pf trựng vúi nghiắm cna bi toỏn cân bang Tìm GQI x∗ ∈ C : f (x∗ , y) ≥ ∀y ∈ C EP (C, f ) MUC LUC Liên quan đen toán EP (C, f ), mắc dự nú cú mđt cụng thỳc đơn gian, bao hàm rat nhieu tốn toi ưu hóa, điem bat đ®ng Kakutani, mơ hình cân bang Nash bat thúc bien phân, đưoc xem trưịng hop đ¾c bi¾t (xem [2, 3, 14]) Toán tu xap xi Pf tro thành mđt cụng cu huu hiắu cho bat ang thỳc bien phõn n iắu, bi toỏn cõn bang v mđt so chn đe có liên quan Tuy nhiên, nói chung đoi vói song hàm gia đơn đi¾u, tốn tu khơng khơng giãn, th¾m chí giá tr% cna có the khơng loi Lu¾n văn nghiên cúu ve ánh xa tna-khơng giãn vói tốn bat thúc bien phân dna báo [18] Vói n®i dung nghiên cúu này, ngồi phan lịi mo đau, ket lu¾n tài li¾u tham khao, lu¾n văn đưoc chia thành chương Ket qua t¾p trung Chương Chương Chương Kien thÉc chuan b% Trong chương này, lu¾n văn phan đau trình bày nhung kien thúc can thiet ve giai tích loi giai tích hàm đe su dung cho chương tiep theo t¾p loi, hàm loi, hàm nua liên tuc dưói, hàm kha dưói vi phân, vv Phan tiep theo, lu¾n văn trình bày khái ni¾m ve tính đơn đi¾u, kieu-Lipschitz cho song hàm, tốn tu chieu, bat thúc bien phân, ánh xa nua-đóng ánh xa tna-không giãn không gian Hilbert thnc Chương Ánh xa tEa-khơng giãn vái đieu ki¾n Lipschitz toán bat thÉc bien phân Trong chương này, ta se đ%nh nghĩa m®t ánh xa tna-khơng giãn (đưoc ký hiắu l F ) vúi mđt ỏnh xa thoa ieu kiắn Lipschitz Sau ú, ta xột mđt trũng hop đ¾c bi¾t cna ΦF xay bat thúc bien phân song hàm f (x, y) := (F (x), y − x) ánh xa ΦF đưoc xác đ%nh boi ΦF (x) = PC (x − λF (PC (x − λF (x)))) Qua đó, ta se nghiên cúu mđt so tớnh chat liờn quan en iem bat đng cna nú v nghiắm cna bi toỏn bat thúc bien phân Chương Ve ánh xa tEa-khơng giãn khơng đieu ki¾n Lipschitz Trong chương này, se nghiên cúu ánh xa tna-không giãn LF ω mà khơng địi hoi đieu ki¾n Lipschitz đoi vói ánh xa F Chương KIEN THÚC CHUAN B± Trong chng ny, luắn se trỡnh by mđt so khỏi ni¾m, đ%nh nghĩa ket qua can thiet ve giai tích loi giai tích hàm nham phuc vu cho Chương Chương Tài li¾u tham khao cho chương [1], [5], [18], [22] [23] 1.1 T¾p loi, hàm loi nón pháp tuyen ngồi Trong phan này, ta ký hi¾u Rn khơng gian Euclide n-chieu trưòng so thnc R Moi véc tơ x ∈ Rn se gom n TQA đ® so thnc Vói hai véc tơ x = (x1 , , xn )T y = (y1 , , yn )T thu®c Rn , ta nhac lai rang n Σ (x, y) := xkyk k=1 GQI tích vơ hưáng cna hai véc tơ x y Chuan Euclide cna phan tu x khoang cách Euclide giua hai phan tu x y lan lưot đưoc đ%nh nghĩa sau: ǁxǁ := (x, x), d(x, y) := ǁx − yǁ Ký hi¾u R := [−∞, +∞] = R ∪ {−∞} ∪ {+∞} l so thnc mỏ rđng Chng KIEN THÚC CHUAN B± M®t đưịng thang noi hai điem (hai véc tơ) a, b Rn t¾p hop tat ca véc tơ x ∈ Rn có dang {x ∈ R: xn = αa + βb, α, β ∈ R, α + β = 1} Đoan thang noi hai điem a, b Rn t¾p hop tat ca véc tơ x ∈ Rn có dang {x ∈ R: xn= αa + βb, α ≥ 0, β ≥ 0, α + β = 1} Đ%nh nghĩa 1.1.1 M®t C Rn oc GQi l mđt loi, neu C chúa MQI đoan thang qua hai điem bat kỳ cna Nói khác đi, t¾p C loi neu chi neu ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] =⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C Ta GQI x tő hap loi cna điem (véc tơ) x1 , x2, , xk neu x= Σ Ví dn 1.1.2 (1) k k λj x vói λj > 0; ∀j = 1, , k; j= j M®t so ví du ve t¾p loi λj = j= ∅ Rn t¾p T¾p rong loi cna Rn (2)T¾p Σ Ω = {x ∈ Rn|ǁxǁ ≤ 1} l mđt loi Lúp cỏc loi l úng vói phép giao, phép c®ng đai so phép nhân tích Descartes Cu the, ta có m¾nh đe sau: M¾nh đe 1.1.3 Cho A, B t¾p loi Rn C t¾p loi Rm Khi đó, t¾p sau loi: A ∩ B := {x|x ∈ A, x ∈ B}; αA + βB := {x|x = αa + βb, a ∈ A, b ∈ B; α, β ∈ R}; A × C := {x ∈ Rn+m|x = (a, c) : a ∈ A, c ∈ C} Trong bat thúc bien phân, toi ưu hố, lý thuyet trị chơi nhieu chun ngành toỏn ỳng dung khỏc, khỏi niắm ve nún cú mđt vai trũ quan TRQNG Cho C l mđt Đ%nh nghĩa 1.1.4 Rn (1)T¾p C đưoc gQI nón neu ∀λ > 0, ∀x ∈ C =⇒ λx ∈ C (2) M®t nón C đưoc gQI nón loi neu C ong thũi l mđt loi (3)Mđt nón loi đưoc GQI nón NHQN neu khơng chúa đưịng thang Khi đó, ta nói O đinh cna nún Neu nún loi ny lai l mđt loi đa di¾n ta nói nón loi a diắn Vớ dn 1.1.5 Mđt vớ du ien hỡnh cna nón loi đa di¾n, thưịng đưoc su dung, t¾p hop nghi¾m cna h¾ bat phương trình tuyen tính có dang: {x|Ax ≥ 0}, vói A m®t ma trắn thnc cap huu han (so dũng v so cđt l huu han) Mắnh e 1.1.6 chat sau: Mđt C nón loi neu chs neu có tính (1) λC ⊆ C, vái MQI λ > 0; (2) C + C ⊆ C Gia su C m®t nón loi Do C m®t nón, nên ta cú (1) Tự C l mđt loi, nên vói mQI x, y ∈ C, (x + y) ∈ C V¾y theo (1) ta có x + y ∈ C ChÚng minh Do toán tu chieu PC không giãn, nên theo (3.7) (3.5), ta có ǁLωF (x) − x∗ǁ2 = ǁPC (x − κg) − PC (x∗)ǁ2 ≤ ǁx − κg − x∗ ǁ2 = ǁx − x∗ǁ2 + κ2 ǁgǁ2 − 2κ(g, x − x∗ ) ≤ ǁx − x∗ ǁ2 + κ2ǁgǁ2 − 2κ(F (z), x − z) = ǁx − x∗ǁ2 + κ2 ǁgǁ2 − 2κ2ǁgǁ2 = ǁx − x∗ǁ2 − (κǁgǁ)2 < ǁx − x∗ǁ2 Suy (3.8) ǁLFω (x) − x∗ ǁ < ǁx − x∗ ǁ (b) Do LωF (x) = x x = y, ket hop vói phan (a) ta có ǁLF (x) − x∗ ǁ ≤ ǁx − x∗ǁ ω (c) Neu x ∈ Sol(C, F ) (F (x), t − x) ≥ vói MQI t ∈ C Tù (F (x), x − x) = 0, kéo theo y = argmin,(F (x), t − x) + ǁt − xǁ2 : t ∈ C , = x F F Theo đ%nh nghĩa cna L , ta có L (x) = x, nghĩa x ∈ Fix(LF ) Tù ω ω ω đó, ta có Sol(C, F ) ⊆ Fix(LωF ) Ngưoc lai, gia su rang x ∈ Fix(LF ), LF (x) = x ω ω Neu x ƒ= y theo phan (a), ta có ǁLF (x) − x∗ǁ < ǁx − x∗ǁ, ω x∗ ∈ Sol(C, F ) Đieu mâu thuan vóiωLF (x) = x Do đó, x = y Tù (3.3), ta thay rang (F (x), t − x) ≥ vói MQI t ∈ C, túc là, x ∈ Sol(C, F ) Tù đó, ta có Fix(LF )ω ⊆ Sol(C, F ) F Ket hop vói Sol(C, F ) ⊆ Fix(L ω ), ta nh¾n đưoc Fix(LF )ω = Sol(C, F ) (d) Gia su rang dãy {xn} ⊂ C, xn ~ x ǁLω F(xn) − xnǁ −→ Ta se chúng minh x ∈ Fix(LωF ) Trưóc het, ta thay rang C t¾p đóng loi, {xn} ⊂ C xn ~ x nên kéo theo x ∈ C Tù xn ~ x, ta có dãy {xn} b% ch¾n Do đó, theo phan (b), dãy {LF (xn)} b% ch¾n ω Bây giị, ta xét hai trưòng hop sau: Trưàng hap Gia su ton tai m®t dãy {xnj } cna dãy {xn} cho LF (xn ) = j xω n j vói MQI j Trong trưịng hop này, ta có xnj ∈ Fix(LFω ) = Sol(C, F ) Suy (F (xnj ), y − xnj ) ≥ (3.9) vói y ∈ C MQI Hơn nua, dãy {xnj } h®i tu yeu đen x, nên theo (3.9) ta có (F (x), y − x) ≥ vói MQI y ∈ C, hay F x ∈ Sol(C, F ) = Fix(L ) ω Trưàng hap Gia su có m®t dãy cna dãy {xn}, đe cho đơn gian ta ký hi¾u {xn}, cho LωF (xn ) ƒ= xn vói MQI n Gia su {mn} dãy so nguyên không âm nho nhat cho (F [(1 − ωmn )xn + ωmnyn], xn − [(1 − ωmn )xn + ωmnyn])− − (F [(1 − ωmn )xn + ωmnyn], yn − [(1 − ωmn )xn + ωmnyn]) ≥ ǁxn − y,nǁ2 ≥ vói MQI n, đó, yn = argmin,(F ), t − ǁ2 : t ∈ C ,, ) + ǁt − xn xn (xn zn = (1 − ωn)xn + ωnyn,vói ωn = ωmn Theo (3.8), ta có ∗ ∗ 2 ǁLF (x ω n ) − x ǁ ≤ ǁxn − x ǁ − (κn ǁgn ǁ) , ∈ (F ∂2 (zn o đây, ), xn gn − zn ) κn = (F (zn), xn − zn) ǁgnǁ2 Suy F ∗ (κn ǁgn ǁ)2 ≤ ǁxn − x∗ǁ2 − ǁL ω (xn ) − x ǁ ≤ (ǁxn − x∗ ǁ + ǁLω F (xn ) − x∗ǁ)ǁxn −ωLF (xn )ǁ Bang cách su dung bat thúc ǁLω F(xn) − xnǁ −→ 0, đong thịi ket hop vói tính b% ch¾n cna dãy {xn} {LωF (xn)}, ta suy κ ǁg ǁ = (3.10) lim n n n→∞ Tiep theo, ta se chi rang {yn} dãy b% ch¾n Do yn = argmin,(F ), t − ǁ2 : t ∈ C ,, ) + ǁt − xn xn kéo theo (xn 2 (F (xn), t−xn)+ ǁt−xnǁ ≥ (F (xn), yn−xn)+ ǁyn−xnǁ 2 Cho t = xn, bat phương trình tro thành ∀t ∈ C Bây giị, vói MQI χn ∈ ∂2(F (xn ), xn − xn ), tù yn ∈ C, ta có (F (xn), yn − xn) ≥ (χn, yn − xn), hay 1 2 Do đó, ta có x nǁ ≤ Đieu kéo theo xn ǁ ≤ Bien đői tương đương ta thu đưoc ǁyn − xnǁ ≤ 2ǁχnǁ (3.11) Theo Bő đe 3.2, xn ~ x, nên {χn} dãy b% ch¾n Đieu ket hop vói tính b% ch¾n cna dãy {xn} (3.11), suy dãy {yn} b% ch¾n Hơn nua, dãy {zn} m®t tő hop loi cna dãy {xn} {yn} nên {zn} dãy b% ch¾n Khi đó, ton tai m®t dãy cna {zn}, đe cho đơn gian ta kí hi¾u dãy l {zn}, hđi tu yeu en z C Mắt khác, gn ∈ ∂2(F (zn), xn − zn) su dung Bő đe 3.2, ta suy {gn} dãy b% ch¾n Lai κn = (F (zn), xn − zn ) , ǁgnǁ2 ta có the viet (F (zn), xn − zn) = κnǁgnǁ2 = (κnǁgnǁ).ǁgnǁ Vì the, qua giói han n −→ ∞ ket hop vói (3.10) ta thu đưoc (F (zn), xn − zn) −→ Theo (3.4), ta có n −→ ∞ (F (zn), xn − zn) ω x ǁ − yǁn ≥ n n (3.12) Qua giói han n −→ ∞ (3.12), vói ý (F (zn), xn−zn) −→ n −→ ∞, ta nh¾n đưoc lim ωnǁxn − ynǁ2 = n−→ Tù (3.3), ta suy (3.13) ∞ (F (xn), t−x n )−(F (xn), yn −xn ) ≥ (xn−yn, t−yn) ∀t ∈ C (3.14) Đen đây, ta can phân bi¾t hai trưịng hop sau: Trưàng hap 2.1 Neu lim sup ωn > 0, n−→∞ ton tai ω m®t dãy {ωnj } cna dãy {ωn} cho ωnj −→ ω Khi đó, theo (3.13), ta thu đưoc lim ǁxn − yn ǁ = j j j−→ ∞ Mà xnj ~ x, nên ta có ynj ~ x Theo (3.14), ta có (F (xnj ), t − xnj ) − (F (xnj ), ynj − xnj ) ≥ (xnj − ynj , t − ynj ) ∀t ∈ C (3.15) Áp dung bat thúc Cauchy-Schwarz, ta đưoc |(xnj − ynj , t − ynj )| ≤ ǁxnj − ynj ǁ.ǁt − ynj ǁ (3.16) Do dãy {ynj } b% ch¾n ǁxnj − ynj ǁ −→ nên theo (3.16), ta có lim (xn − yn , t − yn ) = j j j j−→ ∞ Vì the, dna vào sn h®i tu yeu cna hai dãy {xnj }, {ynj } đen x su dung (3.15), ta thu đưoc (F (x), t − x) ≥ vói MQI t ∈ C Do F x ∈ Sol(C, F ) = Fix(L ) ω Trưàng hap 2.2 Neu lim ωn = 0, n−→ ∞ trưịng hop này, dãy {yn} b% ch¾n, khơng mat tính tőng qt, ta có the gia su rang yn ~ y n −→ ∞ Do ωn = ωmn −→ 0, suy mn > vói n đn lón ǁx − y ǁ2n (F (zn), xn − zn) − (F (zn), yn − zn) < n , (3.17) zn = (1 − ωmn−1)xn + ωmn−1yn Trong (3.14), cHQN t = xn , ta đưoc − (F (xn), yn − xn) ≥ ǁxn − ynǁ (3.18) Ket hop (3.17) (3.18), ta có (3.19) Do ωn −→ nhị vào tính b% ch¾n cna dãy {xn} {yn}, ta có the viet ǁzn − xnǁ = ωn ǁxn − ynǁ −→ ω Tù xn ~ x ǁzn − xnǁ −→ 0, kéo theo zn ~ x Mà yn ~ y, nên theo (3.19) ta suy −(F (x), y − x) ≤ − (F (x), y − x) Do (F (x), y − x) ≥ (3.20) Tù (3.18), cho ta (F (xn), yn − xn) ≤ Do xn ~ x, yn ~ y tù (3.21), ta có (3.21) (F (x), y − x) ≤ Ket hop vói (3.20), ta thu đưoc (F (x), y − x) = Tù (3.18), vói ý rang lim (F (xn), yn − xn) = (F (x), y − x) = 0, n−→ ∞ cho ta lim n−→ ∞ ǁxn − ynǁ = Do xn ~ x, nên yn ~ x Tù ǁxn − ynǁ −→ tính b% ch¾n cna dãy {yn}, kéo theo lim (xn − yn, t − yn) = n−→ ∞ Cuoi cùng, đe hoàn thnh viắc chỳng minh, ta dna vo sn hđi tu yeu cna hai dãy {xn}, {yn} đen x su dung (3.14), ta thu đưoc (F (x), t − x) ≥ vói MQI t ∈ C, hay F x ∈ Sol(C, F ) = Fix(L ) ω V¾y LF ω nua-đóng tai Đ%nh lý đưoc chúng minh hồn tồn KET LU¾N Lu¾n văn “Ve tốn tU tUa-khơng giãn vái tốn bat thÚc bien phân” ó trỡnh by oc mđt so van e sau: 1.Hắ thong lai nhung kien thúc ban giai tích loi giai tích hàm Ngồi ra, lu¾n văn cịn trình bày khái ni¾m ve tính đơn đi¾u, kieu-Lipschitz cho song hàm, ánh xa nua-đóng tai ánh xa tna-khơng giãn khơng gian Hilbert thnc 2.Trình bày khái ni¾m ve ánh xa ΦF LF vói ánh xa F gia đơn ω đi¾u có khụng cú ieu kiắn Lipschitz Trỡnh by mđt so tớnh chat cna ánh xa tính tna-khơng giãn, tính nua-đóng tai 3.Đ¾c bi¾t, lu¾n văn chi rang cỏc iem bat đng cna cỏc ỏnh xa ΦF LF trùng vói t¾p nghi¾m cna tốn bat thúc bien ω phân Qua đó, cho phép đoi vói ánh xa tna-khơng giãn có the đưoc áp dung cho toán bat thúc bien phân gia đơn đi¾u 46 Tài li¾u tham khao [1] Agarwal R P., Oregan D., Sahu D R (2000), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer [2] Bigi G., Castellani M., Pappalardo M., Passacantando M (2013), “Ex- istence and solution methods for equilibria”, European J Oper Res., 227, pp 1-11 [3] Blum E., Oettli W (1994), “From optimization and variational inequalities to equilibrium problems”, Math Stud., 63, pp 123-145 [4] Cegielski A (2012), Iterative Methods for Fixed Point Problems in Hilbert Spaces, Springer, Berlin, Heidelberg [5] Combettes P L., Hirstoaga S A (2005), “Equilibrium programming in Hilbert spaces”, J Nonlinear Convex Anal, 6, pp 117-136 [6] Ghosh M K., Debnath L (1997), “Convergence of Ishikawa iterates of quasi-nonexpansive mappings”, J Math Anal Appl., 207, pp 96103 [7] Ioffee A D., Tihomirov V M (1979), Theory of Extremal Problems, North-Holland, Amsterdam et al [8] S (1974), “Fixed points by a new iteration method”, Ishikawa Proc Amer Math Soc., 44, pp 147-150 [9] Iusem A N., Svaiter B F (1992), “A variant of Korpelevichs method for variational inequalities with a new search strategy”, Optimization, 42, pp 309-321 47 TÀI LIfiU THAM KHÁO [10] Khobotov E N (1987), “Modication of the extragradient method for solving variational inequalities and certain optimization problem”, USSR Comput Math and Math Phy., 27, pp 120-127 [11] Korpelevich G M (1976), “The extragradient method for finding sad- dle points and other problems”, Ekonomika i Matematcheskie Metody, 12, pp 747-756 [12] Mastroeni G (2004), “Gap functions for equilibrium problems”, J Glob Optim, 27, pp 411-426 [13] Moore C (November 1998), Iterative aproximation of fixed points of demicontractive maps, The Abdus Salam Intern Centre for Theoretical Physics, Trieste, Italy, Scientific Report, IC/98/214 [14] Muu L D., Oettli W (1992), “Convergence of an adaptive penalty scheme for finding constrained equilibria”, Nonlinear Anal., 18, pp 1159-1166 [15] Muu L D., Quoc T D (2009), “Regularization algorithms for solving monotone Ky Fan inequalities with application to a Nash-Cournot equilibrium model”, J Optim Theory Appl., 142, pp 185-204 [16] Petryshyn W V and Williamson T E (1973), “Strong and weak convergence of the sequence of successive approximations for quasinonexpansive mappings”, J Math Anal Appl., 43, pp 459-497 [17] Tran D Q., Muu L D., Nguyen V H (2008), “Extragradient algorithms extended to equilibrium problems”, Optimization, 57, pp 749776 [18] Tran Viet Anh, Le Dung Muu (2018), “Quasi-Nonexpansive Mappings Involving Pseudomonotone Bifunctions on Convex Sets”, Journal of Convex Analysis, 25(4), pp 1-xx [19] Rockafellar T R (1970), Convex Analysis, Princeton University Press 48 [20] Vuong P T., Strodiot J J., Nguyen V H (2012), “Extragradient methods and linesearch algorithms for solving Ky Fan inequalities and fixed point problems”, J Optim Theory Appl., 155, pp 605-627 [21] Wang Y J., XIU N H., Zhang J Z (2003), “Modied extragradient method for variational inequalities and verication of solution existence”, J Optim Theory Appl., 119, pp 167-183 [22] Nguyen Văn Hien, Lê Dũng Mưu, Nguyen Huu Đien (2015), Nh¾p mơn Giai tích loi úng dnng, Nhà xuat ban Đai HQc Quoc Gia Hà N®i [23] Nguyen Hồng, Lê Văn Hap (1997), Giáo trình Giai tích hàm, Trung tâm đào tao tù xa, Đai HQc Hue ... LIPSCHITZ VÀ BÀI TOÁN BAT ĐANG THÚC BIEN PHÂN 26 2.1 Đ%nh nghĩa cna ánh xa tna -không giãn trờn mđt loi .26 2.2 nh xa tna-khụng gión ΦF vói tốn V IP (C, F ) 27 VE ÁNH XA TUA-KHÔNG GIÃN KHÔNG ĐIEU... dưói vi phân, vv Phan tiep theo, lu¾n văn trình bày khái ni¾m ve tính đơn đi¾u, kieu-Lipschitz cho song hàm, tốn tu chieu, bat thúc bien phân, ánh xa nua-đóng ánh xa tna -không giãn không gian... MQI GQI không giãn x, y ∈ C Ánh xa tna -không giãn ([1]) C neu ǁT (x) − pǁ ≤ ǁx − x ∈ C vói MQI điem bat đ®ng p cna T bat cú T có m®t điem bat đ®ng Rõ ràng, vói MQI ánh xa (tốn tu) khơng giãn có