Luận văn thạc sĩ phương pháp hệ động lực giải phương trình toán tử

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN TRAN BÍCH NGOC PHƯƠNG PHÁP Hfi Đ®NG LUC GIAI PHƯƠNG TRÌNH TỐN TU LU¾N VĂN THAC SY KHOA HOC HÀ N®I - 2014 TRAN BÍCH NGOC PHƯƠNG PHÁP Hfi Đ®NG LUC GIAI PHƯƠNG TRÌNH TỐN TU Chun ngành: Tốn úng dung Mã so: 60460112 LU¾N VĂN THAC SY KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: GS.TSKH PHAM KỲ ANH HÀ N®I - 2014 Mnc lnc Lài cam ơn iv Ma đau 1 M®t so kien thÉc chuan b% 1.1 Phő cna tốn tu tuyen tính giói n®i(muc 2.3.2 trang 44-48 cna [5])1 1.2 Đ%nh lý ánh xa phő (muc 2.3.4 trang 49, 50 cna [5]) 1.3 Đ%nh lý phő cho toán tu tn liên hop (muc 2.3.5 trang 50, 51 cna [5])7 1.4 Đao hàm Fréchet 1.5 Bài tốn đ¾t chinh tốn đ¾t khơng chinh (xem [1]) 10 1.6 Phương pháp hi¾u chinh bien phân(muc 2.2 trang 30-40 cna [4]) 12 Phng phỏp hắ đng lEc v bi toỏn khụng chinh 18 2.1 Phng phỏp hắ đng lnc tốn đ¾t khơng chinh tuyen tính18 2.1.1 Phng phỏp hắ đng lnc(muc 2.6 trang 52-56 cna [4]) 18 2.1.2 Phương trình vói tốn tu b% ch¾n(muc 4.1 trang 75-83 cna [4]) 21 2.1.3 Trưịng hop du li¾u b% nhieu 23 2.2 Phương pháp hắ đng lnc giai hắ so tuyen tớnh ieu ki¾n xau(xem [3]) .29 2.2.1 Xây dnng cơng thúc l¾p 29 2.2.2 Thu nghi¾m so .30 2.2.3 Ví du giai so 34 ii MUC LUC 2.2.4 So sánh phương pháp hắ đng lnc vúi mđt so phng phỏp lắp khỏc 36 Phng phỏp hắ đng lEc cho phng trỡnh vỏi tốn tE có tính chat đ¾c bi¾t 42 3.1 Phương phỏp hắ đng lnc cho phng trỡnh vúi toỏn tu đơn đi¾u(muc 6.1 trang 109-114 cna [4]) 42 3.1.1 Ket qua bő tro 42 3.1.2 Phương pháp hắ đng lnc 47 3.1.3 Trưịng hop du li¾u b% nhieu 51 3.2 Phng phỏp hắ đng lnc cho phương trình vói tốn tu trơn 53 3.2.1 Phương pháp hắ đng lnc (muc 7.1 trang 121-124 cna [4])53 3.2.2 Trưịng hop du li¾u b% nhieu (muc 7.2 trang 125, 126 cna [4]) 56 3.2.3 Nghi¾m l¾p (muc 7.3 trang 127-129 cna [4]) 57 Ket lu¾n 60 Tài li¾u tham khao 61 iii Lài cam ơn Lu¾n văn đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan t¾n tình cna GS.TSKH Pham Kỳ Anh Thay dành nhieu thòi gian hưóng dan giai đáp thac mac cna tơi suot q trình làm lu¾n văn Tơi muon muon gui lòi cam ơn sâu sac đen ngưòi thay đáng kính cna Qua đây, tơi xin gui tói thay cơng tác tai Khoa Tốn-Cơ-Tin HQ c, Trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên, Đai thay tham gia giang day khóa Cao HQ c vói cơng lao day thịi gian chúng tơi HQ c Quoc gia Hà N®i, 2011 - 2013 lòi cam ơn chân thành đoi HQc t¾p tai trưịng Tơi xin gui lịi cam ơn chân thành tói gia đình, ban bè, nhung ngưịi ln cő vũ, đ®ng viên tơi q trình suot q trình hQc t¾p làm lu¾n văn Hà N®i, ngày tháng năm 2014 HQc viên Tran Bích NGQC iv Li núi au Luắn trỡnh by mđt húng tiep c¾n chung đen phương trình tốn tu F (u) = 0, (0.1) F ánh xa khơng nhat thiet tuyen tính khơng gian Hilbert H Đe giai phương trình (0.1), tìm m®t ánh xa phi tuyen Φ(t, u) cho toán Cauchy u˙ = Φ(t, u), u(0) = u0, có nghi¾m tồn cuc nhat, túc nghi¾m ton tai vói (0.2) MQI t ≥ có giói han u(∞) thoa mãn lim ||u(∞) − u(t)|| = 0, t→ ∞ nua, giói han nghi¾m cna phương trình (0.1) F (u(∞)) = Các đieu ki¾n có the tóm lưoc sau ∃!u(t) ∀t ≥ 0, ∃u(∞), F (u()) = (0.3) Phng phỏp hắ đng lnc (DSM) giai phương trình (0.1) tìm m®t ánh xa (t, u) v mđt ieu kiắn ban au u0 cho nghi¾m cna tốn (0.2) thoa mãn đieu kiắn (0.3) Khi ú u() l mđt nghiắm cna bi tốn (0.1) Pham vi úng dung cna DSM rat r®ng DSM có the áp dung cho nhieu lóp tốn khác nhau: Các tốn đ¾t chinh đ%a phương theo nghĩa tốn tu F thoa mãn đieu ki¾n (j) v Lài nói đau sup u∈B(u0,R) ||F (u)|| ≤ Mj(R), ≤ j ≤ 2, vi (0.4) MUC LUC ||[F J (u)]−1 || ≤ m(R) (0.5) sup u∈B(u0,R) Các tốn đ¾t khơng chinh tuyen tính Bài tốn đ¾t khơng chinh vói tốn tu đơn đi¾u, thoa mãn đieu ki¾n (0.4) Lóp tốn đ¾t không chinh cho F (y) = f, f J (y) ƒ= thoa mãn đieu ki¾n (0.4) Bài tốn đ¾t khơng chinh vói tốn tu F đơn đi¾u, liên tuc xác đ%nh H Neu F = L + g, L tốn tu tuyen tính, đóng, vói mien xác đ%nh trù m¾t, g toán tu phi tuyen thoa mãn (0.4) Khi có the giai phương trình F (u) = f bang phương pháp DSM, vói đieu ki¾n phương trình cú nghiắm, v ton tai L1 giúi nđi Hn nua sup u∈B(u0,R) ||[I + L−1 g J (u)]−1 || ≤ m(R) Nh vắy phng phỏp hắ đng lnc cú the áp dung cho phương trình vói tốn tu khơng giói n®i DSM có the su dung đe chúng minh ket qua lý thuyet Ví du ta có the chúng minh bang DSM rang m®t ánh xa F : H → H tồn ánh, neu vói (0.4), đieu ki¾n sau đưoc thoa mãn ||[F J (u)]−1 || ≤ m(R), sup (0.6) u∈B(u0,R) R = ∞ m(R) Có the su dung DSM đe giai tốn (0.1) mà khơng can tìm ngh%ch đao cna sup R> F J (u) Neu có gia thiet (0.6) tốn (0.1) giai đưoc Khi DSM u˙ = −QF (u),  u(0) = u0; Q(0) = Q0, Q = −T Q + ˙ ∗ A , (0.1) t → ∞, đieu ki¾n (0.3) đưoc thoa hđi tu túi mđt nghiắm cna bi toỏn món, hàm tốn tu Q nghi¾m cna toán Cauchy = −T Q + A∗ , Q˙ Q(0) = Q0, vi A = F J (u), T = A∗ A vói A∗ tốn tu liên hop cna A DSM có the giai tốn đ¾t khơng chinh (0.1) khơng gian Banach Gia su F : X → X m®t tốn tu kha vi liên tuc không gian Banach X ||A−1 ε || ≤ c , < ε < ε0 , ε c hang so, A = F J (u), Aε = A + εI vói ε hang so dương ε0 > so nho tùy ý, co đ%nh Khi có the su dung DSM giai phương trình F (u) + εu = 10 DSM có the xây dnng sơ đo lắp hđi tu cho viắc giai phng trỡnh (0.1) Xột m®t rịi rac cna (0.2)   un+1 = un + hnΦ(tn,  un), u0 = U0,  t =t +h n+1 Gia su sơ đo (0.7) h®i tu: n n lim un = u(∞ ) n→∞ Khi (0.7) l s o lắp hđi tu cho phng trỡnh (0.1) F (u(∞)) = (0.7) Bang kí hi¾u A ∈ B(X, Y ) Tốn tu tuyen tính liên tuc đưa khơng gian tuyen tính đ%nh chuan X vào khơng gian tuyen tính đ%nh chuan Y ρ(A) T¾p giai thúc cna A σ(A) Phő cna A σe(A) Phő riêng cna A rσ(A) Bán kính phő cna A σa(A) T¾p giá tr% riêng xap xi cna A w(A) Mien tính tốn cna A rw(A) Bán kính tính tốn cna A ∗ A Toán tu liên hop cna A B(X) Khơng gian tốn tu tuyen tính liên tuc đưa X vào J f (x, h) Đao hàm Fréchet df (x, h) Vi phân Fréchet N (A) Không gian không điem cna A R(A) Mien giá tr% cna A K T¾p so thnc ho¾c phúc K(A) So đieu ki¾n cna ma tr¾n A viii 6 6 6 6 6 6 6 lo c ... the giai phương trình F (u) = f bang phương pháp DSM, vói đieu ki¾n phương trình có nghi¾m, ton tai L−1 giói n®i Hơn nua sup u∈B(u0,R) ||[I + L−1 g J (u)]−1 || ≤ m(R) Như v¾y phương pháp h¾ đ®ng... phương trình ǁAua,δ − fδ ǁ = ǁATa−1 A∗ fδ − fδ ǁ = cδ, (1.13) c ∈ (1, 2), phương trình cna a = a(δ), vói c hang so ta gia thiet ǁfδǁ > cδ Ta chúng minh đưoc ket qua sau Đ%nh lý 1.6.2 Phương trình. .. (2.13) oi vúi a cú mđt nghiắm aδ nhat tδ tìm đưoc nhat tù phương trình aδ = a(t) Phương trình có nghi¾m nhat a(t) đơn đi¾u Đ%nh lý 2.1.4 Phương trình (2.12) có nghi¾m nhat t = tδ lim tδ =∞ δ→0 Phan