Luận văn thạc sĩ phương trình toán tử ngẫu nhiên

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Tran Th% Kim Thanh PHƯƠNG TRÌNH TỐN TU NGAU NHIÊN Chuyên ngành: Lý thuyet xác suat thong kê tốn HQc Mã so: 60.46.15 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Ngưịi hưóng dan khoa HQc: GS.TSKH.Đ¾ng Hùng Thang i Mnc lnc Chương Ma đau Kien thÉc chuan b% 1.1 Các khái ni¾m .ban 1.2 Toán tE ngau nhiên điem bat đ®ng ngau nhiên Các ket qua ve sE ton tai điem bat đ®ng lài Chương giai cua phương trình tốn tE ngau nhiên 2.1 11 SE ton tai điem bat đ®ng ngau nhiên cua tốn tE ngau nhiên Phương trình tốn tE ngau nhiên 2.2 .19 11 19 Phương trình tốn tu ngau nhiên 2.2.1 .22 2.2.2 Phương trình tốn tu ngau nhiên có nhieu Áp dnng phương pháp l¾p đe tìm điem bat Chương đ®ng giai phương trình tốn tE ngau nhiên 29 3.1.Quy trình l¾p ngau nhiên 29 3.2 SE hđi tn cua thuắt toỏn lắp 31 Áp dnng phương phỏp lắp e tỡm iem bat đng 3.3 v giai phương trình tốn tE ngau nhiên 39 Tài li¾u tham khao 58 Ket luắn 58 Me AU %nh lớ iem bat đng cna Banach đoi vói ánh xa co khơng gian mêtric đn m®t ket qua kinh đien cna Tốn HQc Sau Banach, lý thuyet điem bat đ®ng m®t nhung van đe thu hút sn quan tâm nghiên cúu cna nhieu nhà Tốn HQc the giói tù có úng dung r®ng rãi nhieu lĩnh vnc khác như: Giai tích, Phương trình vi tích phân, Lý thuyet toi ưu, Các bao hàm thúc vi phõn, Vắt lớ, Viắc nghiờn cỳu iem bat đng so cho lý thuyet phương trình tốn tu ngau nhiên Các cơng trình ve điem bat đ®ng cho ánh xa co ngau nhiên cna O.Hans A.Spacek nhung năm 1950 sn khoi đau cho hưóng nghiên cúu Các viet đ¾c sac cna A T Bharucha - Ried năm 1976 thnc sn bưóc tien nhay vQT cho mang lý thuyet phương trình tốn tu ngau nhiên Ngày nay, phương trình tốn tu ngau nhiên tro thành trung tâm nghiên cúu cna Giai tích phi tuyen Lý thuyet xác suat Đen nay, the giói có nhieu cơng trình nghiên cúu rat phong phú ve phương trình tốn tu ngau nhiên cho nhieu kieu tốn tu nhieu loai khơng gian khác nhau, tù cho thay sn ton tai điem bat đ®ng ngau nhiên cna tốn tu đơn tr% đa tr% Vói mong muon tìm hieu m®t cách chi tiet h¾ thong ve hưóng lý thuyet này, tơi lna cHQN đe tài: Phương trình tốn tE ngau nhiên dưói sn hưóng dan cna GS TSKH Đ¾ng Hùng Thang Lu¾n văn cna tơi gom chương Chương 1: trình bày kien thúc chuan b% bao gom khỏi niắm oc su dung v mđt so ket qua khơng chúng minh khác Chương 2: trình bày ket qua ve sn ton tai điem bat đ®ng giai phương trình tốn tu ngau nhiên e đây, chúng tơi nghiên cúu nghi¾m cna phương trình tốn tu ngau nhiên tőng qt phương trình tốn tu ngau nhiên có nhieu khơng gian Banach tách đưoc Chương 3: trình by phng phỏp lắp e tỡm iem bat đng v giai phương trình tốn tu ngau nhiên Chúng tơi giói thi¾u hai sơ đo l¾p tőng quát đe giai phương trình tốn tu ngau nhiên, sơ đo l¾p Mann sơ đo l¾p Ishikawa Sau đó, chúng tơi trỡnh by ieu kiắn can v n cho sn hđi tu cna sơ đo l¾p ngau nhiên đe tìm điem bat đng cna phng trỡnh toỏn tu tiắm cắn tna - không giãn không gian Banach Tù nhung lý thuyet trên, chúng tơi nghiên cúu moi quan h¾ giua iem bat đng ngau nhiờn(o õy dóy lắp oc xõy dnng h®i tu ve điem bat đ®ng ngau nhiên) nghi¾m cna phương trình tốn tu ngau nhiên Lu¾n văn đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan cna GS TSKH Đ¾ng Hùng Thang Tơi xin bày to lịng biet ơn sâu sac chân thành tói GS TSKH Đ¾ng Hùng Thang, Thay quan tâm hưóng dan đ®ng viên tơi q trình tơi hồn thành lu¾n văn Tơi xin bày to lịng biet ơn sâu sac tói thay, giáo khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, trưịng Đai hQc Khoa HQc tn nhiên ln quan tâm tao đieu ki¾n thu¾n loi cho tơi q trình HQc t¾p nghiên cúu tai trưịng Tơi xin chân thành cam ơn thành viên seminar Toán tu ngau nhiên GS TSKH Đ¾ng Hùng Thang chn trì giúp tơi nhieu kinh nghi¾m HQc t¾p nghiên cúu khoa hoc Tơi xin gui lịi cam ơn đen cap lãnh đao, đong nghi¾p trưịng ĐH Kinh te - Ky thu¾t cơng nghi¾p, gia đình ngưịi thân tao đieu ki¾n cho tơi hồn thành lu¾n văn Cuoi cùng, tơi rat mong nh¾n đưoc ý kien đóng góp q báu cna thay, giáo ban HQc viên đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Tơi xin chân thành cam ơn ! Hà N®i, ngày 02 tháng 12 năm 2011 Tác gia Tran Th% Kim Thanh Chương Kien thÉc chuan b% Chương ny trớch dan nhung khỏi niắm c ban v mđt so ket qua (không chúng minh) không gian Banach mà su dung chương sau 1.1 Các khái ni¾m ban Đ%nh nghĩa 1.1.1 Cho Ω t¾p khác ∅ đưoc GQI khơng gian mau GQI A σ - đai so t¾p cna Ω Moi phan tu cna σ - đai so A oc GQI l mđt o oc Bđ hai (Ω, A) GQI m®t khơng gian đo Ánh xa P : A → [0, 1] đưoc GQI đ® đo S Σ xác suat neu thoa mãn P(∅) = 0, P(Ω) = P( ∞n=1 An ) = T ∞ P(A ) vói MQI A ∈ A cho An Am = ∅, m ƒ= n n n n=1 Vói moi A ∈ A, P(A) đưoc GQI xỏc suat cna A Bđ ba (, A, P) GQI không gian xác suat Đ%nh nghĩa 1.1.2 Không gian Banach X GQI thoa mãn đieu ki¾n Opial neu m®t dãy {xn} X h®i tu yeu đen x ∈ X x ƒ= y thì: lim infn ǁ xn − y ǁ> lim infn ǁ xn − x ǁ Đ%nh nghĩa 1.1.3 Không gian Banach X đưoc GQI loi đeu neu δX(ε) > 0, ∀ε > đó: δX(ε) = inf{1 − ǁx+yǁ :ǁ x ǁ=ǁ y ǁ= 1, ǁ x − y ǁ= ε} đưoc gQI môđun loi cna không gian X Chúng ta can bő đe sau đe chi tính chat đ¾c trưng cna khơng gian Banach loi đeu Bo đe 1.1.4 Cho p > r > hai so thnc co đ%nh, không gian Banach X GQI loi đeu chi ton tai hàm loi, tăng ch¾t, liên tuc g: [0, ∞) → [0, ∞) vói g(0) = cho ∀x, y ∈ B(0, r), λ ∈ [0, 1] wp (λ) = λ · (1 − λ)p + λp · (1 − λ) : ǁ λx + (1 − λ)y ǁp≤ λ ǁ x ǁp +(1 − λ) ǁ y ǁp −wp(λ)g(ǁ x − y ǁ) Bo đe 1.1.5 Gia thiet rang X không gian Banach loi đeu, < p ≤ λn ≤ q < 1∀n = 1, 2, · · · {xn}, {yn} hai dãy không gian X cho r ≥ 0: lim supn→∞ ǁ xn ǁ≤ r; lim supn→∞ ǁ yn ǁ≤ r; limn→∞ limn→∞ ǁ λnxn + (1 − λn)yn ǁ= r; ǁ xn − yn ǁ= Bo đe 1.1.6 Cho dãy so không âm {αn}, {βn} {γn} thoa mãn: αn+1 ≤ (1 + γn )αn + βn ∀n = 1, 2, 3, Σ βn∞< ∞, γ < ∞ thìnn=1 Σ∞ n=1 1) Ton tai limn→∞ αn 2) Hơn nua neu lim infn→∞ αn = limn→∞ αn = 1.2 Tốn tE ngau nhiên điem bat đ®ng ngau nhiên Cho F t¾p khác ∅ khơng gian Banach tách đưoc X Đ%nh nghĩa 1.2.1 Ánh xa T : Ω × F → F đưoc GQI toán tu ngau nhiên neu moi x ∈ F , T( , x) đo đưoc Ánh xa T : Ω × F → F đưoc GQI toán tu liên tnc neu ∀ω ∈ Ω, ánh xa T (ω, ) : F → F liên tuc Ký hi¾u n lan l¾p lai cna T: T (ω, T (ω, T (ω, , T (ω, x))) T n (ω, x), ánh xa ngau nhiên I : Ω × F → F xác đ%nh boi I(x, ω) = x T = I Đ%nh nghĩa 1.2.2 Toán tu ngau nhiên T : Ω × F → F đưoc GQI a) toán tu ngau nhiên k(ω) - co neu ∀x, y ∈ F ω ∈ Ω ta có ǁ T (ω, x) − T (ω, y) ǁ≤ k(ω) ǁ x − y ǁ k : Ω → [0, 1] ánh xa đo đưoc Neu k(ω) = 1∀ω ∈ Ω T đưoc GQI tốn tu ngau nhiên khơng giãn b) tốn tu ngau nhiên co neu ∀x, y ∈ F ω ∈ Ω ta có ǁ T (ω, x) − T (ω, y) ǁǁ x − y ǁ vói moi ω ∈ Ω d) tốn tu ngau nhiên tna - khơng giãn neu G(ω) = {x ∈ F : x = T (ω, x)} = ∅, ω ∈ Ω, bat kỳ x ∈ F, y ∈ G(ω), ta có ǁ T (ω, x) − y ǁ≤ǁ x − y ǁ vói moi ω ∈ Ω e) tốn tu ngau nhiên ti¾m c¾n co neu ∃x0 ∈ F limǁxǁ→∞ sup x∈ F ǁT (ω,x)−T (ω,x0)ǁ ǁx−x0ǁ < f) toán tu ngau nhiờn tiắm cắn khụng gión neu {kn}(phu thuđc ) [1, ∞) vói limn→∞ kn = n ∈ N cho ∀x, y ∈ F, ∀ω ∈ Ω ǁ Tn(ω, x) − Tn(ω, y) ǁ≤ kn ǁ x − y ǁ Lay kn = n = ta có khái ni¾m tốn tu ngau nhiên khơng giãn g) tốn tu ngau nhiên ti¾m c¾n tna - khơng giãn neu vói moi ω ∈ Ω : G(ω) = {x ∈ F : x = T (ω, x)} ƒ= ∅ ∃{kn} (phu thu®c ω) [0, ∞) vói limn→∞ kn = n ∈ N cho x ∈ F y ∈ G(ω) ǁ Tn(ω, x) − y ǁ≤ (1 + kn) ǁ x − y ǁ ∀ω ∈ Ω h) toán tu ngau nhiên liên tnc đu neu dãy {xn} F h®i tu yeu đen x0 kéo theo {T (ω, xn)} h®i tu manh tói T (ω, x0) vói moi ω ∈ Ω {αn }, {βn }, {γn } [0, 1] GQI ξ0 bien ngau nhiên F - giá tr % bat kỳ Dãy bien ngau nhiên {ξn }, {ηn }, {ζn } xác đ%nh sau: ζn(ω) = γnTn(ω, ξn(ω)) + (1 − γn)ξn(ω) ηn(ω) = βnTn(ω, ζn(ω)) + (1 − βn)ξn(ω) ξn+1(ω) = αnTn(ω, ηn(ω)) + (1 − αn)ξn(ω) vói moi ω ∈ Ω, n = 1, 2, Neu < lim infnαn ≤ lim supnαn < vói moi ω ∈ Ω limn→∞ ǁ T n (ω, ηn(ω)) − ξn(ω) ǁ= Chúng minh Tù Đ%nh ⇒ sn ton tai điem bat đ®ng 1.2 lý ngau điem bat đ®ng Vì nhiên cna T GQI ξ : F b% ch¾n Ω → F nên cHQN so r > cho F ⊆ B(0, r) Vói bat kỳ so thnc p > 1, 1.1dùng Bő đe ta có bat thúc sau ǁ ζn(ω) − ξ(ω) ǁp =ǁ γnTn(ω, ξn(ω)) + (1 − γn)ξn(ω) − ξ(ω) ǁp =ǁ γn(Tn(ω, ξn(ω)) − ξ(ω)) + (1 − γn)(ξn(ω) − ξ(ω)) ǁp ≤ γn ǁ T n (ω, ξn(ω)) −T n (ω, ξ(ω)) ǁp +(1 −γ n ) ǁ ξn(ω) −ξ(ω) ǁp − wp(γn)g(ǁ Tn(ω, ξn(ω)) − ξn(ω) ǁ) ≤ γn ǁ T n (ω, ξn(ω)) −T n (ω, ξ(ω)) ǁp +(1 −γ n ) ǁ ξn(ω) −ξ(ω) ǁp ≤ γn(kn(ω))p ǁ ξn(ω) − ξ(ω) ǁp +(1 − γn) ǁ ξn(ω) − ξ(ω) ǁp ≤ (1 + γn(kn(ω))p − γn) ǁ ξn(ω) − ξ(ω) ǁp Ta có ǁ ηn( ω) − ξ( ω) ǁp= ǁ βnT n (ω , ζn( ω)) + (1 − βn) ξn( ω) − ξ( ω) ǁp =ǁ βn( Tn(ω, ζn(ω)) − ξ(ω)) + (1 − βn)(ξn(ω) − ξ(ω)) ǁp ≤ βn ǁ Tn(ω, ζn(ω)) − ξ(ω) ǁp +(1 − βn) ǁ ξn(ω) − ξ(ω) ǁp − wp(βn)g(ǁ T n (ω, ζn(ω)) − ξn(ω) ǁ) ≤ βn(kn(ω))p ǁ ζn(ω) − ξ(ω) ǁp +(1 − βn) ǁ ξn(ω) − ξ(ω) ǁp − wp(βn)g(ǁ T n (ω, ζn(ω)) − ξn(ω) ǁ) Do ǁ ξn+1(ω) − ξ(ω) ǁp =ǁ αnTn(ω, ηn(ω)) + (1 − αn)(ξn(ω) − ξ(ω)) ǁp = ǁ αn(Tn(ω, ηn(ω) − ξ(ω)) + (1 − αn)(ξn(ω) − ξ(ω)) ǁ p ≤ αn ǁ Tn(ω, ηn(ω)) − ξ(ω) ǁp +(1 − αn) ǁ ξn(ω) − ξ(ω) ǁp − wp(αn)g(ǁ Tn(ω, ηn(ω)) − ξn(ω) ǁ) ≤ αn(kn(ω))p[βn(kn(ω))p ǁ ζn(ω)) − ξ(ω) ǁp + (1 − βn) ǁ ξn(ω) − ξ(ω) ǁp −wp(βn)g(ǁ T n (ω, ζn(ω)) − ξn(ω) ǁ)] + (1 − αn) ǁ ξn(ω) − ξ(ω) ǁp −wp(αn)g(ǁ T n (ω, ηn(ω)) − ξn(ω) ǁ) ≤ αn(kn(ω))pβn(kn(ω))p(1 + γn(kn(ω))p − γn) ǁ ξn(ω) − ξ(ω) ǁp + αn(kn(ω))p(1 − βn) ǁ ξn(ω) − ξ(ω) ǁp −αn(kn(ω))pwp(βn)g(ǁ T n (ω, ζn(ω)) − ξn(ω) ǁ) + (1 − αn) ǁ ξn(ω) − ξ(ω) ǁp −wp(αn)g(ǁ Tn(ω, ηn(ω)) − ξn(ω) ǁ) =ǁ ξn(ω)−ξ(ω) ǁp +[αnβnγn((kn(ω))p)2+αnβn(kn(ω))p+αn] ((kn(ω))p − 1) ǁ ξn(ω) − ξ(ω) ǁp −αnwp(βn)g(ǁ Tn(ω, ζn(ω)) − ξn(ω) ǁ ) − wp(αn)g(ǁ Tn(ω, ηn(ω)) − ξn(ω) ǁ)(16) Tù sn h®i tu cna dãy {kn(ω)} vói moi ω ∈ Ω tính b% ch¾n cna F kéo theo ∃M > cho (((kn(ω))p)2 + ((kn(ω))p + 1) ǁ ξn(ω) − ξ(ω) ǁp≤ M Vì v¾y ta có wp(αn)g(ǁ Tn(ω, ηn(ω)) − ξn(ω) ǁ) ≤ǁ ξn(ω) − ξ(ω) ǁp − ǁ ξn+1(ω) − ξ(ω) ǁp +M ((kn(ω))p − 1) (17) Lai có αnwp(βn)g(ǁ Tn(ω, ζn(ω)) − ξn(ω) ǁ) ≤ǁ ξn(ω) − ξ(ω) ǁp − ǁ ξn+1(ω) − ξ(ω) ǁp +M ((kn(ω))p − 1) (18) Vì < lim infnαn ≤ lim supnαn < nên ta có the tìm so thnc δ > so nguyên N0 cho αn(1 − αn)p + αp (1 − αn) ≥ δ > vói moi n > N0, mà wnp(αn) ≥ δ > Tù (17), ta thu đưoc n m Σ n=Nm g(ǁ T (ω, ηn(ω)) − ξn(ω) ǁ) n ≤Σ n=N wp(αn)g(ǁ T (ω, ηn(ω)) − ξn(ω) ǁ) 0 p ≤ǁ ξN0 (ω) − ξ(ω) ǁ m p − ǁ ξm+1 (ω) − ξ(ω) ǁ p + M n=N ((kn(ω)) − 1) ∀m ≥ N0(19) Áp dung đ%nh lý giá tr% trung bình Lagrange, ta có cơng thúc sau: − ≤ ptp−1(t − 1) vói t ≥ (20) Vì Σ∞n=1 (kn (ω) − 1) < ∞ nên áp dung (20) ta có Σ∞n=1 ((kn (ω))p − 1) < ∞ vói moi ω ∈ Ω Tù (18) ta có Σ∞n=N0 g(ǁ T (ω, ηn (ω)) −ξn (ω) ǁ) < ∞ m → ∞ n nên limn→∞ g(ǁ T n (ω, ηn(ω)) − ξn(ω) ǁ) = vói moi ω ∈ Ω Vì g tăng ch¾t liên tuc tai vói g(0) = nên limn→∞ ǁ Tn(ω, ηn(ω)) − ξn(ω) ǁ= vói moi ω ∈ Ω Chú ý 3.3.7 Neu ta cHQN dãy so thnc {αn }, {βn } cho < lim infn βn ≤ lim supn βn < lim infn αn > dùng đoi so giong (16) ta thu đưoc limn→∞ ǁ Tn(ω, ζn(ω)) − ξn(ω) ǁ= vói moi ω ∈ Ω Đ%nh lí 3.3.8 Cho F t¾p khác ∅, compăc, b% ch¾n loi không gian Banach loi đeu, tách đưoc X GQI T : Ω × F →F tốn tu ngau nhiên ti¾m c¾n khơng giãn liên tuc đn vói dãy ánh xa đo đưoc kn : Ω → [1, ∞] thoa mãnΣ∞n=1 (kn (ω) − 1) < ∞ vói moi ω ∈ Ω GQI ξ0 bien ngau nhiên F - giá tr% bat kỳ Dãy bien ngau nhiên {ξn}, {ηn}, {ζn} đưoc xác đ%nh sau: ζn(ω) = γnTn(ω, ξn(ω)) + (1 − γn)ξn(ω) ηn(ω) = βnTn(ω, ζn(ω)) + (1 − βn)ξn(ω) ξn+1(ω) = αnTn(ω, ηn(ω)) + (1 − αn)ξn(ω) vói moi ω ∈ Ω, n = 1, 2, dãy so thnc {αn}, {βn}, {γn} [0, 1] thoa mãn < lim infnαn ≤ lim supnαn < < lim infnβn ≤ lim supnβn < Khi đó, dãy {ξn}, {ηn}, {ζn} h®i tu đen điem bat đ®ng ngau nhiên cna T Chúng minh GQI ξ : Ω → F điem bat đ®ng ngau nhiên cna T Tù (17) ta có ǁ ξn+1 (ω) − ξ(ω) ǁp ≤ǁ ξn (ω) − ξ(ω) ǁp +M ((kn (ω))p − 1) Theo (20) Σ∞n=1 (kn (ω) − 1) < ∞ ta lai có Σ∞n=1 ((kn (ω))p − 1) < ∞ vói moi ω ∈ Ω Do ∃ limn→∞ ǁ 3.2 ξn(ω) − ξ(ω) ǁ Áp dung đ%nh lý ta có vói moi ω ∈ Ω + limn→∞ ǁ T n (ω, ζn(ω)) − ξn(ω) ǁ= + limn→∞ ǁ T n (ω, ηn(ω)) − ξn(ω) ǁ= Ta xét ǁ Tn(ω, ξn(ω)) − ξn(ω) ǁ ≤ kn(ω) ǁ ξn(ω) − ηn(ω) ǁ + ǁ Tn(ω, ηn(ω)) − ξn(ω) ǁ ≤ kn(ω)βn ǁ T n (ω, ζn(ω)) −ξn(ω) ǁ + ǁ T n (ω, ηn(ω)) −ξn(ω) ǁ → n → ∞ Do ǁ ξn+1(ω) − Tn(ω, ξn+1(ω)) ǁ ≤ǁ ξn+1(ω) − ξn(ω) ǁ + ǁ Tn(ω, ξn+1(ω)) − Tn(ω, ξn(ω)) ǁ + ǁ Tn(ω, ξn(ω)) − ξn(ω) ǁ ≤ǁ ξn+1(ω) − ξn(ω) ǁ +kn(ω) ǁ ξn+1(ω) − ξn(ω) ǁ + ǁ Tn(ω, ξn(ω)) − ξn(ω) ǁ ≤ αn(1 + kn(ω)) ǁ Tn(ω, ηn(ω)) − ξn(ω) ǁ + ǁ Tn(ω, ξn(ω)) − ξn(ω) ǁ −→ n → ∞ Ta có ǁ ξn+1(ω) − T (ω, ξn+1(ω)) ǁ ≤ǁ ξn+1(ω) − Tn+1(ω, ξn+1(ω)) ǁ + ǁ T (ω, ξn+1(ω)) − Tn+1(ω, ξn+1(ω)) ǁ ≤ǁ ξn+1(ω) − Tn+1(ω, ξn+1(ω)) ǁ + k1(ω) ǁ ξn+1(ω) − Tn(ω, ξn+1(ω)) ǁ −→ n → ∞ Do limn→∞ ǁ T (ω, ξn(ω)) − ξn(ω) ǁ= vói moi ω ∈ Ω (21) Vì T tốn tu ngau nhiên liên tuc đn {ξn(ω)} dãy b% ch¾n nên ton tai dãy {ξnk (ω)}sao cho {T (ω, ξnk (ω))} h®i tu vói moi ω ∈ Ω Ket hop vói (21) suy {ξnk (ω)}h®i tu, gia su ξnk (ω) → q(ω) Tù tính liên tuc cna T suy T (ω, q(ω)) = q(ω) vói moiω ∈ Ω Dãy q : Ω → F giói han điem cna dãy ánh xa {ξn(ω)} đo đưoc nên đo đưoc, q điem bat đ®ng cna T Vì ∃ limn→∞ ǁ ξn (ω) − q(ω) ǁ limn→∞ ǁ ξnk (ω) − q(ω) ǁ= vói moi ω ∈ Ω nên limn→∞ ǁ ξn(ω) − q(ω) ǁ= Lai có ǁ ηn(ω) − ξn(ω) ǁ= βn ǁ T n (ω, ζn(ω)) − ξn(ω) ǁ−→ 0; ǁ ζn(ω) − ξn(ω) ǁ= γn ǁ T n (ω, ξn(ω)) − ξn(ω) ǁ−→ n → ∞ Do đó: limn→∞ ηn(ω) = q(ω) limn→∞ ζn(ω) = q(ω) vói moi ω ∈ Ω Đ%nh lí 3.3.9 Cho F t¾p khác ∅, compăc loi không gian Banach loi đeu, tách đưoc X GQI T : Ω × F → F tốn tu ngau nhiên ti¾m c¾n khơng giãn liên tuc đn vói dãy ánh xa đo đưoc kn : Ω → [1, ∞] thoa mãnΣ∞n=1 (kn (ω) − 1) < ∞ vói moi ω ∈ Ω GQI ξ0 bien ngau nhiên F - giá tr% bat kỳ Dãy bien ngau nhiên {ξn }, {ηn } đưoc xác đ%nh sau: ηn(ω) = βnTn(ω, ξn(ω)) + (1 − βn)ξn(ω) ξn+1(ω) = αnTn(ω, ηn(ω)) + (1 − αn)ξn(ω) vói moi ω ∈ Ω, n = 1, 2, · · · dãy so thnc {αn}, {βn}, {γn} [0, 1] thoa mãn < lim infnαn ≤ lim supnαn < lim supnβn < Khi đó, dãy {ξn} {ηn} h®i tu đen điem bat đ®ng ngau nhiên cna T Chúng minh Tù Đ%nh lý 3.2 suy ǁ Tn(ω, ηn(ω))−ξn(ω) ǁ= vói moi ω ∈ Ω Ta có ǁ ξn(ω) − ηn(ω) ǁ =ǁ βn(Tn(ω, ξn(ω)) − ξn(ω)) ǁ ≤ βn[ǁ Tn(ω, ξn(ω)) − Tn(ω, ηn(ω)) ǁ + ǁ Tn(ω, ηn(ω)) − ηn(ω) ǁ] ≤ βn[kn(ω) ǁ ξn(ω) − ηn(ω) ǁ + ǁ Tn(ω, ηn(ω)) − ηn(ω) ǁ Do (1 − βnkn(ω)) ǁ ξn(ω) − ηn(ω) ǁ≤ βn ǁ T n (ω, ηn(ω)) − ηn(ω) ǁ Vì limn→∞ kn(ω) = lim supnβn < nên limn→∞ ǁ ξn(ω) − ηn(ω) ǁ= Lai có ǁ Tn(ω, ξn(ω)) − ξn(ω) ǁ ≤ǁ Tn(ω, ξn(ω)) − Tn(ω, ηn(ω)) ǁ + ǁ Tn(ω, ηn(ω)) − ξn(ω) ǁ ≤ kn(ω) ǁ ξn(ω) − ηn(ω) ǁ + ǁ T n (ω, ηn(ω)) − ξn(ω) ǁ suy limn→∞ ǁ T n (ω, ξn(ω)) −ξ n (ω) ǁ= vói moi ω ∈ Ω Tương tn Đ%nh lý 3.2.7, ta có: limn→∞ ηn(ω) = q(ω) limn→∞ ζn(ω) = q(ω) vói moi ω ∈ Ω q điem bat đ®ng cna T Chú ý 3.3.10 Cho βn = 0, Đ%nh lý 3.3 rút GQN sn h®i tu cna quy trình Mann sau: Cho F t¾p khác ∅, b% ch¾n loi đóng không gian Banach loi đeu, tách đưoc X GQI T : Ω × F → F tốn tu ngau nhiên ti¾m c¾n khơng giãn liên tuc đn vói dãy ánh xa đo đưoc kn : Ω → [1, ∞] thoa mãn Σ∞n=1 (kn (ω) − 1) < ∞ vói moi ω ∈ Ω GQI ξ0 bien ngau nhiên F - giá tr% bat kỳ Dãy bien ngau nhiên {ξn} đưoc xác đ%nh sau ξn+1(ω) = αnTn(ω, ξn(ω)) + (1 − αn)ξn(ω) vói moi ω ∈ Ω, n = 1, 2, · · · dãy so thnc {αn} [0, 1] thoa mãn < lim infnαn ≤ lim supnαn < Khi đó, dãy {ξn} h®i tu đen điem bat đng ngau nhiờn cna T Trong trũng hop dóy lắp hđi tu en nghiắm cna phng trỡnh toỏn tu ngau nhiên, ta thay đưoc moi quan h¾ giua tìm điem bat đ®ng ngau nhiên giai phương trình tốn tu ngau nhiên Trưóc het, ta nghiên cúu đ%nh lý sau Đ%nh lí 3.3.11 Cho X khơng gian Hilbert tách đưoc T ánh xa ngau nhiên liên tuc X, đơn đi¾u manh ton tai bien ngau nhiên nh¾n giá tr% thnc dương m(ω) cho ∀x1, x2 ∈ X ta có (T (ω, x1) − T (ω, x2), x1 − x2) ≥ m(ω) ǁ x1 − x2 ǁ2 T toán tu ngau nhiên Lipschitz túc ton tai bien ngau nhiên nh¾n giá tr% thnc dương M (ω) cho ∀x1, x2 ∈ X ta có ǁ T (ω, x1) − T (ω, x2) ǁ≤ M (ω) ǁ x1 − x2 ǁ Khi đó, dãy bien ngau {xn} xác đ%nh boi xn+1 = xn−α[T (, xn) ] hđi tu en nghiắm nhat cna phương trình ngau nhiên T (ω, x) = η(ω) (22) vói x0(ω) bien ngau nhiên X - giá tr %, η ∈ LX(Ω) α bien ngau nhiên nh¾n giá tr% thnc cho 0 < α(ω) < 2m(ω) M 2(ω) Chúng minh Sn ton tai nghi¾m nhat cna phương trình ngau nhiên (22) đưoc suy tù Đ%nh lý 2.2.4 Ta đ%nh nghĩa ánh xa ngau nhiên Tα(ω, x) = x − α[T (ω, x) − η(ω)] Khi Tα(ω, x1) − Tα(ω, x2) = x1 − x2 − α[T (ω, x1) − Tα(ω, x2)] ǁ −Tα(ω, x1) − Tα(ω, x2) ǁ2= =ǁ x1 − x2 ǁ2 −2α(T (ω, x1) − T (ω, x2), x1 − x2) + α2 ǁ −T (ω, x1) − T (ω, x2) ǁ2 ≤ [1 − 2αm(ω) + α2M 2(ω)] ǁ x1 − x2 ǁ2= k2(ω) ǁ x1 − x2 ǁ2 vói k2(ω) = − 2αm(ω) + α2M 2(ω) Vì < α(ω) < 2m(ω) M nên k(ω) < Vì Tα tốn tu ngau nhiên co nên2(ω) Tα có điem bat đ®ng ngau nhiên nhat ξ dãy bien ngau nhiên {xn(ω)} xác đ%nh boi xn+1(ω) = Tα(ω, xn(ω)) = xn(ω) −α(ω)[T (ω, xn(ω))− η(ω)]h®i tu đen ξ x0(ω) bien ngau nhiên X - giá tr% tùy ý Tù thúc Tα(ω, ξ(ω) = ξ(ω) ta có T (ω, ξ(ω)) = η(ω) đieu chi rang ξ(ω) nghi¾m cna phương trình T (ω, x) = η(ω) Nh¾n xét Xét phương trình tốn tu ngau nhiên T (ω, ξ(ω)) = η(ω) (*) Ta đ¾t Φ(ω, x) = x − T (ω, x) − η(ω) Vói ξ nghi¾m cna phương trình (*), ta có Φ(ω, ξ(ω)) = ξ(ω) − T (ω, ξ(ω)) − η(ω) Do Φ(ω, ξ(ω)) = ξ(ω) hay ξ điem bat đ®ng ngau nhiên cna tốn tu Φ V¾y ta có the đưa vi¾c giai phương trình tốn tu ngau nhiên T (ω, x) = η(ω) ve tìm điem bat đ®ng ngau nhiên cna tốn tu ngau nhiên Φ(ω, x) = x − T (ω, x) − η(ω) KET LU¾N Lu¾n văn "Phương trình tốn tE" cna tơi trình bày đưoc nhung ket qua sau: ã Nghiờn cỳu ieu kiắn ton tai iem bat đng ngau nhiờn cna toỏn tu ngau nhiờn ã Đưa đieu ki¾n đn đe phương trình tốn tu ngau nhiờn cú nghiắm ã Nghiờn cỳu thuắt toỏn (Phng phỏp lắp) e tỡm iem bat đng v giai phng trình tốn tu ngau nhiên Tù nhung ket qua đó, nhung hưóng nghiên cúu tiep theo có the đưoc phát trien nh sau: ã a nhung ieu kiắn am bao m®t tốn tu ngau nhiên có điem bat đ®ng ngau nhiên, áp dung cho nhieu loai toán tu nhieu khơng gian khác • Tìm kiem úng dung cna lý thuyet điem bat đ®ng ngau nhiên phương trình tốn tu ngau nhiên Cuoi cùng, tơi rat mong nh¾n đưoc ý kien đóng góp q báu cna thay, cô giáo ban HQc viên đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Tơi xin chân thành cam ơn ! Hà N®i, ngày 02 tháng 12 năm 2011 Tác gia Tran Th% Kim Thanh Tài li¾u tham khao TIENG VIfiT [1]Nguyen Viet Phú, Nguyen Duy Tien (2004), " Cơ sá lý thuyet xác suat.", Nhà xuat ban HQc Quoc gia H Nđi [2]ắng Hựng Thang (2006), " Q trình ngau nhiên tính tốn ngau nhiên.", Nhà xuat ban Đai HQc Quoc gia Hà N®i [3]Nguyen Duy Tien (2001), " Các mơ hình xác suat úng dnng phan III: Giai tích ngau nhiên.", Nhà xuat ban Đai HQc Quoc gia Hà N®i [4]Nguyen Duy Tien, Đ¾ng Hùng Thang (2001), " Các mơ hình xác suat úng dnng phan II: Quá trình dùng úng dnng.", Nhà xuat ban Đai HQc Quoc gia Hà Nđi [5]Nguyen Duy Tien, V Viắt Yờn (2000), " Lý thuyet xác suat.", Nhà xuat ban Giáo duc TIENG ANH [6]Abbas M (2005), " Solution of random operator equations and inclusions.", Ph.D thesis, National College of Business Administration and Economics, Parkistan [7]Anh T.N (2010), " Random fixed points of probabilis- tic contractions and applications to random equations.", Vietnam J Math 38(2), pp 227- 235 [8]Anh T.N (2010), " Common random fixed points of random equations.", Submitted [9]Anh T.N (2011), " Random equations and cations to general random fixed point appli- theorems.", New Zealand J Math [10] Beg I., Abbas M (2004), " Iterative procedures for solu- tions of random operator equations in Banach spaces.", J Math.Anal Appl , pp.1- 21 [11] Bharucha Reid A T (1976), " Fixed point theorems in prob- abilistic analysis.", Bull Amer Math Soc 82(5), pp 641- 657 [12] Thang D.H, Anh T.N (2009), " Some Results on random equations.", Vietnam J Math 38(1), pp 35- 44 ... 2: trình bày ket qua ve sn ton tai điem bat đ®ng giai phương trình tốn tu ngau nhiên e đây, chúng tơi nghiên cúu nghi¾m cna phương trình tốn tu ngau nhiên tőng qt phương trình tốn tu ngau nhiên. .. Phương trình tốn tE ngau nhiên 2.2 .19 11 19 Phương trình tốn tu ngau nhiên 2.2.1 .22 2.2.2 Phương trình tốn tu ngau nhiên có... L0X(Ω), phương trình ngau nhiên T (ω, x) + k(ω)x = η(ω) có nghi¾m nhat Bây giị ta xét m®t vài ví du ve phương trình tích phân ngau nhiên Ví dn 2.2.10 Xét phương trình tích phân ngau nhiên ∫ K(ω,