Luận văn phương pháp đạo hàm trong một số dạng toán về hàm hợp của hàm số một biến (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————– * ——————— NGUYỄN VĂN VIÊN PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM TRONG MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ HÀM HỢP CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN Chuyên ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 8460113 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ XUÂN DŨNG THANH HÓA, 2021 Luận văn hoàn thành Trường Đại học Hồng Đức Người hướng dẫn: TS Lê Xuân Dũng Phản biện 1: GS TSKH Nguyễn Văn Mậu Phản biện 2: TS Đỗ Văn Lợi Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ khoa học Tại: Trường Đại học Hồng Đức Vào hồi: 10 45 ngày 15 tháng năm 2021 Có thể tìm hiểu luận văn Thư viện trường Đại học Hồng Đức, môn Giải tích & PPGD Tốn - trường Đại học Hồng Đức MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Trong chương trình tốn trung học phổ thơng, nội dung đạo hàm ứng dụng đạo hàm có vị trí đặc biệt quan trọng Phương pháp công cụ "mạnh" để giải hầu hết toán hàm số đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng Ưu điểm phương pháp hiệu dễ sử dụng giải toán liên quan đến chiều biến thiên, cực trị, giá trị lớn - nhỏ hàm hợp biến Các toán đạo hàm ứng dụng đạo hàm hàm hợp hàm số biến có nhiều dạng khác nhau, đặc biệt năm gần hình thức thi trắc nghiệm toán sử dụng rộng rãi kì thi tốt nghiệp tuyển sinh đại học, cao đẳng tốn liên quan đến hàm hợp hàm số biến ngày phong phú thu hút nhiều thầy cô giáo em học sinh quan tâm Với lòng đam mê mong muốn xây dựng hệ thống lý thuyết chặt chẽ đưa phương pháp vận dụng hiệu để giải dạng toán hàm hợp hàm số biến thơng dụng chương trình tốn trung học phổ thông chọn đề tài: “Phương pháp đạo hàm số dạng toán hàm hợp hàm số biến” Hệ thống tập đề tài sưu tầm biên soạn lại dựa nguồn tài liệu [5, 6, 7] Mục tiêu nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài nghiên cứu tìm hiểu phương pháp đạo hàm giải toán chiều biến thiên, cực trị giá trị lớn nhất, nhỏ hàm hợp biến Bên cạnh tác giả cịn giới thiệu thêm phương pháp lập bảng biến thiên rút gọn giải toán hàm hợp nhiều độc giả quan tâm, số tác giả giới thiệu như: Thủy Đinh Ngọc, Hoàng Trọng Sơn Đặc biệt tập trình bày hình thức trắc nghiệm Đối tượng nghiên cứu Đạo hàm hàm hợp biến Một số toán liên qua đến phương pháp đạo hàm chương trình tốn trung học phổ thơng hàm số đồng biến, nghịch biến; cực trị hàm số; giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số Phạm vi nghiên cứu Giới hạn đạo hàm hàm số biến Phương pháp nghiên cứu • Đọc tài liệu, seminar mơn, nhóm hướng dẫn người hướng dẫn khoa học Sử dụng phương pháp, kỹ thuật, kết giải tích • Sử dụng phương pháp tìm hiểu lý thuyết; đọc; dịch nghiên cứu tài liệu; phân tích; suy luận logic tổng hợp tài liệu liên quan đến đề tài Ý nghĩa luận văn Luận văn tổng hợp trình bày cách chọn lọc, chi tiết, có hệ thống ứng dụng đạo hàm Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương • Chương Kiến thức chuẩn bị Nội dung chương nhắc lại số định nghĩa, định lí giới hạn dãy số; giới hạn hàm số; đạo hàm; đạo hàm hàm hợp; hàm số đồng biến, nghịch biến; cực trị hàm số; giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số số ví dụ minh họa Phần cuối chương tác giả trình bày tóm tắt hai phương pháp giải tập hàm hợp biến • Chương Áp dụng phương pháp đạo hàm giải toán hàm hợp Nội dung chương tác giả giới thiệu hệ thống tập áp dụng phương pháp đạo hàm giải toán hàm số đồng biến, nghịch biến; cực trị hàm số giá trị lớn nhỏ hàm số, tập trình bày hình thức trắc nghiệm Sau nội dung cụ thể chương Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Giới hạn dãy số Định nghĩa 1.1.1 ([2]) Ta nói dãy số (un ) có giới hạn n dần tới dương vô cực, |un | nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở Kí hiệu lim un = hay un → n → +∞ n→∞ Như vậy, (un ) có giới hạn n → +∞ un gần được, miễn n đủ lớn Định nghĩa 1.1.2 ([2]) Ta nói dãy (vn ) có giới hạn số ℓ (hay dần tới ℓ) n → +∞ , lim (vn − ℓ) = Kí hiệu lim = ℓ hay → ℓ n → +∞ n→∞ n→∞ Định nghĩa 1.1.3 ([1]) Ta nói dãy số thực (un ) có giới hạn ℓ ∈ R n dần đến vô cực, viết lim un = ℓ un → l n → ∞ , với số dương ε cho n→∞ trước bất kì, tồn số nguyên dương N cho (∀n ∈ N∗ )n ⩾ N ⇒ |un − ℓ| < ε 1.2 Giới hạn hàm số Định nghĩa 1.2.1 ([2]) Cho khoảng K chứa điểm x0 hàm số y = f (x) xác định K K \ {x0 } Ta nói hàm số y = f (x) có giới hạn số L x dần tới x0 với dãy số (xn ) bất kì, xn ∈ K \ {x0 } xn → x0 , ta có f (xn ) → L Kí hiệu lim f (x) = L hay f (x) → L xn → x0 x→x0 Định nghĩa 1.2.2 ([2]) Giả sử X tập hợp số thực X ⊂ R, x0 ∈ R điểm tụ X, f hàm số xác định X Ta nói số thực ℓ giới hạn hàm số f x dần đến x0 (hoặc điểm x0 ) viết: lim f (x) = ℓ f (x) → ℓ x→x0 x → x0 với số dương ε cho trước bất kì, tồn số dương δ cho (∀x ∈ R)0 < |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − ℓ| < ε 1.3 Đạo hàm Định nghĩa 1.3.1 ( [2]) Cho hàm số y = f (x) xác định khoảng (a, b) f (x) − f (x0 ) x0 ∈ (a, b), tồn giới hạn (hữu hạn) lim giới hạn gọi x→x0 x − x0 đạo hàm hàm số y = f (x) điểm x0 kí hiệu f ′ (x0 ) (hoặc y ′ (x0 ) ), tức f (x) − f (x0 ) △x→x0 x − x0 f ′ (x0 ) = lim Chú ý 1.3.2 ([2]) Đại lượng △x = x − x0 gọi số gia đối số x0 Đại lượng △y = f (x) − f (x0 ) = f (x0 + △x) − f (x0 ) gọi số gia tương ứng △y hàm số Như f ′ (x0 ) = lim △x→0 △x Định lý 1.3.3 ([1]) Nếu hàm số f có đạo hàm điểm x0 f (x0 + h) = f (x0 ) + f ′ (x0 )h + 0(h) h → 0, tức f (x0 + h) = f (x0 ) + f ′ (x0 )h + h0(1) h → Công thức trường hợp h = Định lý 1.3.4 ([1]) Giả sử hàm số u v có đạo hàm (hữu hạn) điểm x0 Khi hàm số u + v, uv, cu (c ∈ R số) có đạo hàm điểm x0 a) (u + v)′ (x0 ) = u′ (x0 ) + v ′ (x0 ), b) (uv)′ (x0 ) = u′ (x0 )v(x0 ) + u(x0 )v ′ (x0 ), c) (cu)′ (x0 ) = cu′ (x0 ), d) Nếu v(x0 ) ̸= hàm số  u ′ v u có đạo hàm điểm x0 v v(x0 )u′ (x0 ) − u(x0 )v ′ (x0 ) (x0 ) = [v(x0 )]2 Để cho gọn, ta viết công thức dạng a) (u + v)′ = u′ + v ′ , b) (uv)′ = u′ v + uv ′ , c) (cu)′ = cu′ ,  u ′ vu′ − uv ′ d) = v v2 * Mở rộng khái niệm đạo hàm Giả sử hàm số f xác định khoảng (a, b), x0 ∈ f (x) − f (x0 ) (a, b) Nếu lim = +∞ ta nói đạo hàm hàm số f điểm x→x0 x − x0 x0 +∞ kí hiệu f ′ (x0 ) = +∞; f ′ (x0 ) = −∞ định nghĩa tương tự 1.4 Đạo hàm hàm hợp Định lý 1.4.1 ([1]) Nếu hàm số f : (a, b) → (c, d) có đạo hàm điểm x0 ∈ (a, b) hàm số g = (c, d) → R có đạo hàm điểm u0 = f (x0 ) hàm số hợp h = g · f : (a, b) → R có đạo hàm điểm x0 h′ (x0 ) = g ′ (f (x0 )) · f ′ (x0 ) Nhận xét 1.4.2 Trong Sách giáo khoa lớp 11 [2] Định lý 1.4.1 phát biểu dạng tóm tắt sau: Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm x u′x hàm số y = f (u) có đạo hàm u yu′ hàm hợp y = f (g(x)) có đạo hàm x yx′ = u′x yu′ Hệ 1.4.3 ([1]) Nếu hàm số f : (a, b) → (c, d) có đạo hàm khoảng (a, b) hàm số g = (c, d) → R có đạo hàm khoảng (c, d) hàm số hợp h = g · f có đạo hàm khoảng (a, b) h′ = (g · f )′ = (g ′ · f )f ′ 1.5 Hàm số đồng biến, nghịch biến Trong mục này, luận văn kí hiệu K khoảng đoạn nửa khoảng, ta có định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến sau Định nghĩa 1.5.1 ([3]) Giả sử hàm số y = f (x) xác định K Ta nói Hàm số y = f (x) đồng biến (tăng) K với cặp x1 ; x2 thuộc K mà x1 nhỏ x2 f (x1 ) nhỏ f (x2 ) , tức x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) Hàm số y = f (x) nghịch biến (giảm) K với cặp x1 ; x2 thuộc K mà x1 nhỏ x2 f (x1 ) lớn f (x2 ) , tức x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) Định lý 1.5.2 ([3]) Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm K a) Nếu f ′ (x) > với x thuộc K hàm số f (x) đồng biến K b) Nếu f ′ (x) < với x thuộc K hàm số f (x) nghịch biến K Chú ý 1.5.3 ([3]) Nếu f ′ (x) = 0, ∀x ∈ K f (x) không đổi K Định lý 1.5.4 ([3]) Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm K a) Nếu f ′ (x) ⩾ với x thuộc K f ′ (x) = hữu hạn điểm K hàm số f (x) đồng biến K b) Nếu f ′ (x) ⩽ với x thuộc K f ′ (x) = hữu hạn điểm K hàm số f (x) nghịch biến K 1.6 Cực trị hàm số Định nghĩa 1.6.1 ([3]) Cho hàm số y = f (x) xác định liên tục khoảng (a, b) (có thể a −∞; b +∞ ) điểm x ∈ (a, b) a) Nếu tồn số h > cho f (x) < f (x0 ) với x ∈ (x0 − h, x0 + h) x ̸= x0 ta nói hàm số f (x) đạt cực đại x0 b) Nếu tồn số h > cho f (x) > f (x0 ) với x ∈ (x0 − h, x0 + h) x ̸= x0 ta nói hàm số f (x) đạt cực đại x0 Chú ý 1.6.2 ([3]) • Nếu hàm số f (x) đạt cực đại (cực tiểu) x0 x0 gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) hàm số; f (x0 ) gọi giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) hàm số, kí hiệu fCĐ (fCT ) , điểm M (x0 , f (x0 )) gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) đồ thị hàm số • Các điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) gọi cực đại (cực tiểu) gọi chung cực trị hàm số • Dễ dàng chứng minh rằng, hàm số y = f (x) có đạo hàm khoảng (a, b) đạt cực đại cực tiểu f ′ (x0 ) = Định lý 1.6.3 ([3]) Giả sử hàm số y = f (x) liên tục khoảng K = (x0 −h, x0 +h) có đạo hàm K K \ {x0 } , với h > a) Nếu f ′ (x0 ) > khoảng (x0 − h, x0 ) f ′ (x0 ) < khoảng (x0 , x0 + h) x0 điểm cực đại hàm số f (x) b) Nếu f ′ (x0 ) < khoảng (x0 − h, x0 ) f ′ (x0 ) > khoảng (x0 , x0 + h) x0 điểm cực tiểu hàm số f (x) 1.7 Giá trị lớn - Giá trị nhỏ hàm số Giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số y = f (x) định nghĩa cách tường minh sau Định nghĩa 1.7.1 ([3]) Cho hàm số y = f (x) xác định tập D a) Số M gọi giá trị lớn hàm số y = f (x) tập D f (x) ⩽ M với x thuộc D tồn x0 ∈ D cho f (x0 ) = M Kí hiệu M = max f (x) D b) Số m gọi giá trị nhỏ hàm số y = f (x) tập D f (x) ⩾ m với x thuộc D tồn x0 ∈ D cho f (x0 ) = m Kí hiệu m = f (x) D Định lý 1.7.2 ([3]) Mọi hàm số liên tục đoạn có giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn Quy tắc 1.7.3 ([3]) Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số liên tục đoạn ta làm sau: • Tìm điểm x1 ; x2 ; ; xn khoảng (a, b), f ′ (x) = f ′ (x) khơng xác định • Tính f (a); f (x1 ); f (x2 ); ; f (xn ); f (b) • Tìm số lớn M số nhỏ m số Ta có M = max f (x); m = f (x) [a,b] 1.8 [a,b] Một số phương pháp thường sử dụng giải toán hàm hợp Cho hàm hợp g = f (u(x)) có đạo hàm khoảng (a, b) Trong mục trình bày hai phương pháp thường sử dụng giải tốn hàm hợp phương pháp xét dấu đạo hàm hàm hợp từ lập bảng biến thiên chi tiết (gọi chung phương pháp xét dấu đạo hàm) phương pháp lập bảng biến thiên rút gọn Nội dung phương pháp sau 1.8.1 Phương pháp xét dấu đạo hàm • Bước 1: Tìm tập xác định hàm g = f (u(x)) , giả sử ta tập xác định D = (a1 ; a2 ) ∪ (a2 ; a3 ) ∪ ∪ (an−1 ; an ) Ở a1 ≡ −∞; an ≡ +∞ • Bước 2: Tính đạo hàm fx′ = u′x fu′ • Bước 3: Xét dấu u′ (x) f ′ (u), từ xét dấu fx′ • Bước 4: Lập bảng biến thiên (nếu cần thiết) x u′ (x) fu′ fx′ f (u) • Bước 5: Xác định dấu fx′ từ bảng biến thiên ta giải yêu cầu đặt toán kết luận 1.8.2 Phương pháp lập bảng biến thiên rút gọn • Bước : Tìm tập xác định hàm g = f (u(x)), giả sử ta tập xác định D = (a1 ; a2 ) ∪ (a2 ; a3 ) ∪ ∪ (an−1 ; an ) Ở a1 ≡ −∞; an ≡ +∞ • Bước : Xét biến thiên u = u(x) hàm y = f (x) (bước làm gộp bước đơn giản) • Bước : Lập bảng biến thiên rút gọn tổng hợp xét tương quan [x; u(x)] [u; g = f (u)] Bảng thường có dịng dạng sau a1 x u = u(x) u1 g(u2 ) b2 bk b1 g(b2 ) g = f (u(x)) a2 u2 g(b1 ) an−1 un−1 an un g(un ) g(bk ) −∞ Cụ thể thành phần bảng biến thiên sau: Dòng : Xác định điểm biên tập xác định điểm cực trị hàm u = u(x), xếp điểm theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải, chẳng hạn a1 < a2 < < an−1 < an Dòng : Điền giá trị ui = u(ai ) với (i = 1, , n) Trên khoảng (ui ; ui+1 ), (i = 1, , n − 1) cần bổ sung điểm f (x) không xác định điểm cực trị b1 ; b2 ; ; bk hàm y = f (x) Trên khoảng (ui ; ui+1 ), (i = 1, , n − 1) cần xếp điểm ui ; bk theo thứ tự chẳng hạn u1 < b1 < b2 < < bk < ui+1 ui > b1 > b2 > > bk > ui+1 Dòng : Xét chiều biến thiên hàn số g = f (u(x)) dựa vào bảng biến thiên hàm y = f (x) cách hốn đổi: u đóng vai trị x; f (u) đóng vai trị f (x) Sau hồn thiện bảng biến thiên hàm hợp g = f (u(x)) ta thấy hình dạng đồ thị • Bước : Dùng bảng biến thiên hàm hợp g = f (u(x)) giải yêu cầu đặt toán kết luận Bài tập 2.1.6 Cho hàm số y = f (x) Đồ thị hàm số y = f ′ (x) hình bên Hỏi hàm số g(x) = f (x2 ) đồng biến khoảng khoảng sau? A (−∞; −1) B (−1; +∞) C (−1; 0) D (0; 1) y y = f ′ (x) −1 x O Bài tập 2.1.7 Cho hàm số y = f (x) Hàm số y = f ′ (x) có đồ thị hình vẽ y −1 y = f ′ (x) x O Hàm số y = f (x2 ) có khoảng nghịch biến A B C Bài tập 2.1.8 Cho hàm số y = f (x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e, đồ thị hình bên đồ thị hàm số y = f ′ (x) Xét hàm số g(x) = f (x2 − 2) Mệnh đề sai? A Hàm số g(x) nghịch biến khoảng (−∞; −2) B Hàm số g(x) đồng biến khoảng (2; +∞) D y O −1 y = f ′ (x) x −2 −4 C Hàm số g(x) nghịch biến khoảng (−1; 0) D Hàm số g(x) nghịch biến khoảng (0; 2) Bài tập 2.1.9 Cho hàm số y = f (x) Đồ thị hàm số y = f ′ (x) hình bên y −4 O −1 y = f ′ (x) 2x Hỏi hàm số g(x) = f (x2 − 5) có khoảng nghịch biến? A B C D 11 Bài tập 2.1.10 Cho hàm số y = f (x) Đồ thị y = f ′ (x) hình bên Hỏi hàm số g(x) = f (1 − x2 ) nghịch biến khoảng khoảng sau? A (1; 2) B (0; +∞) C (−2; −1) D (−1; 1) y y = f ′ (x) O x Bài tập 2.1.11 Cho hàm số y = f (x) Biết hàm số y = f ′ (x) có đồ thị hình vẽ bên y y = f ′ (x) x O −6 −1 Hàm số y = f (3 − x2 ) đồng biến khoảng A (0; 1) B (−1; 0) C (2; 3) D (−2; −1) Bài tập 2.1.12 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm R Đường cong hình vẽ đồ thị hàm số y = f ′ (x) y y = f ′ (x) −1 O x Xét hàm số g(x) = f (3 − x2 ) Mệnh đề đúng? A Hàm số g(x) đồng biến (−∞; 1) B Hàm số g(x) đồng biến (0; 3) C Hàm số g(x) nghịch biến (−1; +∞) D Hàm số g(x) đồng biến (−∞; −2) (0; 2) Bài tập 2.1.13 Cho hàm số y = f (x) Đồ thị hàm số y = f ′ (x) hình bên Hàm số g(x) = f (x3 ) đồng biến khoảng khoảng sau? A (−∞; −1) B (−1; 1) C (1;+∞) D (0; 1) 12 y y = f ′ (x) −1 O x Bài tập 2.1.14 Cho hàm số y = f (x) Hàm số y = f ′ (x) có đồ thị hình bên Hàm số y = f (x − x2 ) nghịch biến khoảng?     A − ; +∞ B − ; +∞     ; +∞ D C −∞; 2 y O Bài tập 2.1.15 Cho hàm số y = f (x) Hàm số y = f ′ (x) có đồ thị hình bên Hàm số y = f (1 + 2x − x2 ) đồng biến khoảng đây? A (−∞; 1) B (1; +∞) C (0; 1) D (1; 2) Bài tập 2.1.16 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′ (x) R đồ thị hàm số f ′ (x) hình vẽ bên Hàm số g(x) = f (x2 − 2x − 1) đồng biến khoảng đây? A (−∞; 1) B (1; +∞) C (0; 2) D (−1; 0) y = f ′ (x) y x y = f ′ (x) O x y −1 O y = f ′ (x) x −2 −4 Bài tập 2.1.17 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm hàm số f ′ (x) R Biết hàm số y = f ′ (x − 2) + có đồ thị hình vẽ bên y y = f ′ (x − 2) + O −1 x Hàm số f (x) nghịch biến khoảng nào?  ; D (2; +∞) A (−∞; 2) B (−1; 1) C 2 Bài tập 2.1.18 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm hàm số f ′ (x) R Biết hàm số y = f ′ (x − 2) − có đồ thị hình vẽ bên  13 y −1 O −3 y = f ′ (x − 2) − x −2 Hàm số f (x) nghịch biến khoảng nào? A (−3; −1), (1; 3) B (−1; 1), (3; 5) C (−∞; −2), (0, 2) D (−5; −3), (−1; 1) Bài tập 2.1.19 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liêm tục R Bảng biến thiên hàm số y = f ′ (x) cho hình vẽ x −1 f ′ (x) −1 x + x nghịch biến khoảng Hàm số y = f − A (2; 4) B (0; 2) C (−2; 0)  D (−4; −2) Bài tập 2.1.20 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hàm số y = f ′ (x) hình vẽ y −3 −1 O − x −1 −3 y = f ′ (x) −5 x2 Hàm số y = f (1 − x) + − x nghịch biến khoảng   B (−2; 0) C (−3; 1) A −1; 14 D (1; 3) Bài tập 2.1.21 Cho hàm số y = f (x) Đồ thị hàm số y = f ′ (x) hình bên f (−2) = f (2) = Hàm số g(x) = [f (3 − x)]2 nghịch biến khoảng khoảng sau? A (−2; −1) y O −2 x y = f ′ (x) B .(1; 2) C (2; 5) D (5; +∞) Bài tập 2.1.22 Cho hàm số y = f (x) Đồ thị hàm số y = f ′ (x) hình bên y y = f ′ (x) −1 O x Hàm số g(x) = f (|3 − x|) đồng biến khoảng khoảng sau? A (−∞; −1) B (−1; 2) C (2; 3) D (4; 7) Bài tập 2.1.23 Cho hàm số y = f (x) Đồ thị hàm số y = f ′ (x) hình bên y y = f ′ (x) −1 x O √ Hàm số g(x) = f ( x2 + 2x + 2) nghịch biến khoảng khoảng sau? √ √ √ B (−∞; 1) C (1; 2 − 1) D (2 − 1; +∞) A (−∞; −1 − 2) Bài tập 2.1.24 Cho hàm số y = f (x) Đồ thị hàm số y = f ′ (x) hình bên y y = f ′ (x) O Hàm số g(x) = f đây? A (-∞;−1) √ B x2  + 2x + − −∞;  √ x2 C x + 2x +  15   ; +∞ đồng biến khoảng sau D (−1;+∞) 2.2 Bài toán cực trị hàm số Bài tập 2.2.1 Cho hàm số y = f (x) Biết f (x) có đạo hàm f ′ (x) hàm số y = f ′ (x) có đồ thị hình vẽ y O y = f ′ (x) x Hàm số g(x) = f (x − 1) đạt cực đại điểm đây? A x = B x = C x = D x = Bài tập 2.2.2 Hàm số y = f (x) liên tục R, biết đồ thị hàm số y = f ′ (x) hình vẽ bên Tìm số cực trị hàm số g(x) = f (x + 1)? A B C D y y = f ′ (x) Bài tập 2.2.3 Cho hàm số f (x) có đồ thị f ′ (x) hình vẽ Khi hàm số y = f (x − 2018) có điểm cực trị? A B C D Bài tập 2.2.4 Cho hàm số f (x) xác định R có đồ thị hàm số f ′ (x) hình vẽ bên Hàm số f (x + 2018) có điểm cực trị? A B C D Bài tập 2.2.5 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm R đồ thị hàm số y = f ′ (x) hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm số g(x) = f (x − 2017) − 2018x + 2019 A B C D 16 x O y y = f ′ (x) x O y y = f ′ (x) x O y y = f ′ (x) −1 O x Bài tập 2.2.6 Cho hàm số y = f (x) đồ thị hình bên đồ thị đạo hàm f ′ (x) Tìm số điểm cực trị hàm số g(x) = f (x2 − 3) A B C D y y = f ′ (x) −2 −1 O x Bài tập 2.2.7 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm R có bảng biến thiên đạo hàm f ′ (x) sau x g′ −∞ −2 − + +∞ + − Hỏi hàm số g(x) = f (x2 − 2x) có điểm cực tiểu? A B C D Bài tập 2.2.8 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm R đồ thị hàm số y = f ′ (x) hình vẽ bên Hỏi hàm số g(x) = f (−x2 + 3x) có điểm cực đại? A B C D Bài tập 2.2.9 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′ (x) R đồ thị hàm số f ′ (x) hình vẽ Xét hàm số g(x) = f (x2 −2x−1) Mệnh đề sau đúng? A Hàm số có sáu cực trị B Hàm số có năm cực trị C Hàm số có bốn cực trị D Hàm số có ba cực trị Bài tập 2.2.10 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm R đồ thị f ′ (x) hình bên Hàm số g(x) = f (|x|) + 2018 có điểm cực trị A B C D 17 y y = f ′ (x) 2 x O −2 y −1 O y = f ′ (x) x −2 −4 y y = f ′ (x) O x Bài tập 2.2.11 Cho hàm số bậc bốn y = f (x) Đồ thị hình bên đồ thị đạo hàm f ′ (x) y y = f ′ (x) −1 x O √ Hàm số g(x) = f ( x2 + 2x + 2) có điểm cực trị? A B C D Bài tập 2.2.12 Cho hàm số bậc bốn y = f (x) Biết f (x) có đạo hàm f ′ (x) hàm số y = f ′ (x) có đồ thị hình vẽ y = f ′ (x) y O x Đặt g(x) = f (x + 1) Kết luận sau đúng? A Hàm số g(x) có hai điểm cực trị B Hàm số g(x) đồng biến khoảng (1; 3) C Hàm số g(x)nghịch biến khoảng (2; 4) D Hàm số g(x)có hai điểm cực đại điểm cực tiểu Bài tập 2.2.13 Cho đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ bên Khi phát biểu hàm số g(x) = f (x + 1) − phát biểu sau A Hàm số g(x) đồng biến khoảng (−∞; 1) B Hàm số g(x) nghịch biến khoảng (−1; 1) y O y = f ′ (x) x −3 C Hàm số g(x) đạt cực đại x = D Đồ thị hàm số g(x) cắt trục hoành điểm phân biệt Bài tập 2.2.14 Cho hàm số y = f (x) số y = f ′ (x) hình bên Xét hàm số có đạo hàm liên tục R đồ thị hàm g(x) = f (x2 − 3) mệnh đề sau: 18 (I) Hàm số g(x) có điểm cực trị (II) Hàm số g(x) đạt cực tiểu x = (III) Hàm số g(x) đạt cực đại x = (IV) Hàm số g(x) đồng biến khoảng (−2; 0) (V) Hàm số g(x) nghịch biến khoảng (−1; 1) Có mệnh đề mệnh đề trên? A B y = f ′ (x) y O −2 x −4 C Bài tập 2.2.15 Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục R có f (−2) < đồ thị hàm số f ′ (x) hình vẽ bên Khẳng định sau khẳng định sai? A Hàm số y = |f (1 − x2018 )| nghịch biến khoảng (−∞; −2) B Hàm số y = |f (1 − x2018 )| có hai cực tiểu C Hàm số y = |f (1 − x2018 )| có hai cực đại cực tiểu D y O −2 x D Hàm số y = |f (1 − x2018 )| đồng biến khoảng (2; +∞) 2.3 Bài toán giá trị lớn - Giá trị nhỏ hàm số Bài tập 2.3.1 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ x hàm số y = f đoạn [0; 2] Khi 2 M + m A B C D y y = f ′ (x) 2 O x −2 Bài tập 2.3.2 Cho hàm số y = f (x) liên tục R có M m lầnlượt  giá trị lớn 4x nhất, giá trị nhỏ hàm số đoạn [0; 2] Hàm số y = f có tổng x2 + giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ A M + m B 2M + m C M + 2m D 2M + 2m 19 Bài tập 2.3.3 Cho hàm số y = f (x) liên tục R có đồ thị hình vẽ bên Gọi M m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số g(x) = f [2(sin4 x + cos4 x)] Tổng M + m A B C D y Bài tập 2.3.4 Cho hàm số y = f (x) liên tục R có đồ thị hình vẽ bên Xét hàm số g(x) = f (2x3 + x − 1) + m Tìm m để max g(x) = −10 [0;1] A m = C m = −13 O y −1 O −1 B m = −12 D m = x x Bài tập 2.3.5 Cho hàm số y = f (x) liên tục R có bảng biến thiên dạng x −∞ f ′ (x) + −2 0 - +∞ + + +∞ f (x) −4 −∞ Hàm số y = f (2 sin x) đạt giá trị lớn nhỏ M m Mệnh đề đúng? A m = −2M B M = 2m C M + m = D M + m = Bài tập 2.3.6 Cho hàm số y = f (x) liên tục R có bảng biến thiên sau x f ′ (x) f (x) −∞ + −1 − −∞ + 21 +∞ − −∞ Gọi M,  m lấnlượt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f (x − 2x) −3 ; Tìm khẳng định sai khẳng định sau đoạn 2 M >2 C M − m > D M + m > A M.m > 10 B m 20 2.4 Một số tập mức độ khó Trong mục cuối này, luận văn trình bày số tập trắc nghiệm sử dụng hai phương pháp giải toán hàm hợp Bài tập 2.4.1 (Chuyên KHTN Hà Nội Lần 3, 2020) Cho hàm số y = f (x) Hàm số y = f ′ (x) có đồ thị hình vẽ y −1 y = f ′ (x) x O Hàm số y = f (x2 − 1) có điểm cực trị? A B C Bài tập 2.4.2 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm R có đồ thị đường cong hình vẽ Đặt g(x) = 3f (f (x)) + Số điểm cực trị hàm số g(x) A B C 10 D D y −1 O Bài tập 2.4.3 Cho hàm số bậc bốn y = f (x) có đồ thị hình vẽ Số điểm cực trị hàm số g(x) = f (x3 − 3x + 1) A B C D 11 x y O x Bài tập 2.4.4 Cho hàm số y = f (x) liên tục R có đồ thị hình vẽ y 3 O −1 −2 x −4 21