Luận văn gần đúng eikonal cho bài toán tán xạ năng lượng cao của hạt trong lý thuyết lượng tử (tt)

BỘ ĐÀO TẠO BỘGIÁO GIÁODỤC DỤCVÀ ĐÀO TẠO UBNDTỈNH TỈNHTHANH THANHHÓA HÓA UBND TRƯỜNGĐẠI ĐẠIHỌC HỌCHỒNG HỒNGĐỨC ĐỨC TRƯỜNG LÊĐĂNG ĐĂNGHỒ HỒ LÊ GẦN ĐÚNG EIKONAL CHO BÀI TOÁN XẠ NĂNG PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG NĂNGTÁN LƯỢNG CAO TRONG CAO CƠ HỌC TỬ VÀLÝ CƠTHUYẾT HỌC LƯỢNG TỬTỬ LƯỢNG CỦALƯỢNG HẠT TRONG LƯỢNG TƯƠNG ĐỐI TÍNH Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết vật lý tốn TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SỸ VẬT LÝ Mã số: 60.44.01.03 Mã số: 60.44.01.03 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SỸ VẬT LÝ Giáo viên hướng dẫn khoa học: TS Lê Thị Hải Yến Thanh Hóa- 2016 Thanh Hóa- 2016 Luận văn hồn thành Trường Đại học Hồng Đức Người hướng dẫn: TS Lê Thị Hải Yến Phản biện 1: PGS TS Nguyễn Quang Học Phản biện 2: PGS TS Phạm Thúc Tuyền Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ khoa học Tại: Trường Đại học Hồng Đức Vào hồi: 10 30 ngày 18 tháng năm 2016 Có thể tìm hiểu luận văn Thư viện trường Đại học Hồng Đức, Bộ môn: Vật lý Trường Đại học Hồng Đức MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Glauber đưa gần lượng cao – gần eikonal xét tốn tán xạ hạt nhanh ngồi học lượng tử Kết thu biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ cho góc tán xạ nhỏ (xung lượng truyền nhỏ tán xạ hai hạt) Biểu diễn eikonal (hay gọi biểu diễn Glauber) cho biên độ tán xạ sử dụng rộng rãi để phân tích số liệu thực nghiệm trình tán xạ hạt ngồi vùng lượng cao với góc tán xạ nhỏ [17] Để lý thuyết Glauber áp dụng cho q trình tán xạ với góc tán xạ lớn (hay xung lượng truyền lớn tán xạ hai hạt), Saxon Schiff [30], Wu [35] đưa cách tính số hạng bổ cho cơng thức Glauber cho biên độ tán xạ Các nỗ lực đáng kể theo hướng nhiều tác giả nghiên cứu Công thức phổ biến đề xuất công thức Sugar Blankenbecler (S–B) [31], dựa khai triển toán tử xung lượng đổi theo vector không viết T–ma trận chuỗi nhiễu loạn eikonal thu bậc không Gần Các số hạng bổ dẫn xuất Saxon Schiff [30] Wu [35] cho số hạng bậc Đặc điểm cơng thức S–B ta thức tính số hạng bổ bậc gần Trên thực tế, Wallace [36] tính bổ tới bậc ba theo cách gần giống với Sugar Blankenbecler [31] Nỗ lực nhằm phát triển công thức Andrianov [6] Ishihara [20] (A–I) tiến hành trường hợp toán chiều Họ T–ma trận trường hợp chiều mơ tả dạng số hạng hàm truyền trước sau Ishihara áp dụng công thức ông cho tán xạ phi tương đối tính [21] Tuy nhiên, ứng dụng ơng khơng tổng qt khơng dễ để phát triển cơng thức A–I cho trường hợp tương đối tính Mục đích luận văn Mục đích Luận văn Thạc sỹ dành cho việc nghiên cứu bổ cho lý thuyết Glauber cho biên độ tán xạ hạt khơng có spin dựa sở phương trình phi tương đối tính tương đối tính cho hạt trường ngồi, cụ thể phương trình Schrodinger phương trình Klein-Gordon Phương pháp nghiên cứu Dựa phân tích hàm Green (hay hàm truyền) hạt thành phần, mà chúng tương ứng với hiệu ứng truyền theo hướng trước, sau ngang, đồng thời thu T-ma trận tương ứng để từ tính toán biểu diễn biên độ tán xạ hạt khơng có spin trường ngồi cho hai trường hợp học lượng tử học lượng tử tương đối tính Đối tượng phạm vi nghiên cứu Sử dụng phép gần eikonal để nghiên cứu trình tán xạ cho hạt khơng có spin hay tán xạ hai hạt khơng có spin vùng na ng lu ợng cao hạm vi nghiên cứu bao gồm uá trình tán xạ cho hạt khơng có spin co học lu ợng tử, co học lu ợng tử tu o ng đối tính l thuyết tru ờng lu ợng tử Ý nghĩa khoa học thực tiễn luận văn Mặc dù cơng thức Sugar Blankenbecler (S–B) [31] cho q trình tán xạ với góc tán xạ lớn có ưu điểm đáng kể, chứa hàm truyền Green hạt gần theo hướng phía trước Và đó, chưa tính đến hiệu ứng truyền theo hướng sau hướng ngang, hàm Green hạt xác bao gồm tất hiệu ứng Ở đây, ta xây dựng cơng thức xét hiệu ứng riêng biệt (hướng trước, hướng sau hướng ngang) So với phương pháp trước cách tiếp cận tổng t sử dụng hai trường hợp tán xạ học lượng tử phi tương đối tính tương đối tính Ưu điểm việc phân tách ba hiệu ứng kể nghiên cứu vấn đề tán xạ lượng cao cách chi tiết, ví dụ, gần Fresnel, chéo hoá, Bố cục Luận văn Cấu trúc Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận, tài liệu tham khảo số phụ lục Chương Tán xạ học lượng tử phi tương đối tính Trong chương xuất phát từ phương trình Schrodinger cho hạt ngồi ta tìm phương trình cho hàm truyền Green hạt tương ứng cho hạt ua phương trình Lippman– Schwinger sau ta xác định T-ma trận cho toán tán xạ Mục 1.1 giới thiệu vắn tắt việc tìm hàm Green hạt từ phương trình Schrodinger sau dẫn đến T-ma trận hiểu mô tả dịch chuyển biến đổi hạt đầu thành hạt cuối Mục 1.2 tiến hành phân chia hàm truyền Green hạt theo hiệu ứng trước, sau ngang trình tán xạ tương ứng với hàm truyền hạt, phản hạt động ngang Nghiên cứu hiệu ứng trước sau trình tán xạ tiến hành hình thức luận Andrianov Ishihara mục 1.2.1 Trong mục 1.2.2 nghiên cứu gần Fresnel với hiệu ứng trước ngang Chương Tán xạ học lượng tử tương đối tính hương pháp phân tách hàm truyền Green hạt sử dụng T-ma trận tổng qt hóa cho tốn tán xạ hạt mà thỏa mãn phương trình Klein – Gordon Trong mục 2.1 2.2, giới thiệu cách phát triển phương trình Klein-Gordon phương trình Dirac học lượng tử tương đối tính từ phương trình Schrodinger Đồng thời giới thiệu hàm Green tương ứng với phương trình Klein-Gordon Mục 2.3 xác định cơng thức gần Andrianov-Ishihara học lượng tử tương đối tính dựa phương pháp phân tích hàm Green hạt Chương Tán xạ hai hạt lý thuyết trường lượng tử.Trong mục 3.1 chúng tơi giới thiệu cách tìm biên độ tán xạ hai hạt qua hàm Green trường ngồi qua việc lấy trung bình trường ngồi tích phân phiếm hàm Mục 3.2 vận dụng kết thu cho toán tán xạ QED mơ hình Nghiên cứu liên hệ tán xạ hai kênh s kênh u mục 3.2 Phần kết luận hệ thống lại kết thu Luận văn Trong luận văn này, sử dụng hệ đơn vị nguyên tử metric giả Euclide (metric Feynman) Chương TÁN XẠ THẾ TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Trong chương này, xuất phát từ phương trình Schrodinger cho hạt ngồi ta tìm phương trình cho hàm truyền Green tương ứng cho hạt qua phương trình Lippman– Schwinger sau ta xác định T-ma trận cho toán tán xạ Hàm truyền Green hạt dựa khai triển eikonal phân tách theo hướng phía trước, phía sau hướng ngang Từ đó, ta quan tâm đến hàm truyền theo hướng trước sau, bỏ qua thành phần ngang ta có gần Andrianov-Ishihara Nếu ta uan tâm đến hiệu ứng theo hướng trước hướng ngang ta thu gần Fresnel Gần Fresnel gần sử dụng để xem xét tán xạ hạt với hai số hạng hai thành phần vng góc (tương tự tán xạ Fresnel) 1.1 Cơng thức tốn tử, T–ma trận Xuất phát từ phương trình Schrodinger học lượng tử cho hạt trường ngồi có dạng: (1.1) đó, dương, khối lượng hạt, Hamiltonian hạt tự do, lượng hương trình (1.1) viết lại (1.2) ta có phương trình hàm Green tương ứng có dạng (1.3) Hàm Green (hay gọi hàm truyền) nghiệm phương trình có dạng (1.4) Hay ta có hàm Green tổng qt (1.5) Từ ta nhận phương trình Lippman–Schwinger (1.6) Ta biểu diễn cơng thức thông qua việc sử dụng hàm Green, (1.7) Ta thấy rằng, phương trình Lipman-Schingwer hiểu lời giải hình thức phương trình Schrodinger có chứa hàm truyền Green Giải phương trình Lippman–Schwinger cách hình thức cho ta hàm sóng dạng, (1.8) Ta giải phương trình Lippman–Schwinger phương pháp lặp ta có, (1.9) Khi đó, tổng số hạng ngoặc tất khả để hạt đạt đến trạng thái tán xạ cuối Ta định nghĩa T–ma trận, ta hiểu T–ma trận mơ tả chuyển đổi hàm sóng ban đầu thành hàm sóng cuối, (1.10) Từ ta có, (1.11) hay tương đương, (1.12) Công thức (1.12) T-ma trận diễn tả liên hệ hàm Green hạt biểu diễn dạng chuỗi nhiễu loạn theo ngoài, gần bậc ta có, (1.13) 1.2 Tán xạ học lượng tử Ma trận tán xạ thoả mãn phương trình với T–ma trận cho gần bậc theo ngồi (1.14) hay (1.15) trường hàm Green tổng hạt viết sau (1.16) Chúng ta tiến hành phân tích hàm truyền theo hướng phía trước, phía sau, hướng ngang cách sử dụng khai triển eikonal hàm Green hạt Các thành phần hàm truyền tương ứng với hàm truyền hạt, phản hạt thành phần động ngang Để phân tích hàm truyền Green, , khai triển ta thay toán tử xung lượng vector đơn vị không thứ nguyên Ta chiếu lên sau, (1.17) với (1.18) và, (1.19) Khi đó, hàm truyền theo hướng phía trước tương ứng với, (1.20) Và hàm truyền theo hướng phía sau là, (1.21) với vận tốc dọc theo hướng , (1.22) Hàm truyền dọc theo chứa hiệu ứng tán xạ theo hướng trước sau trường Mặt khác, tương ứng với thành phần nằm ngang, trực giao với , động Khi cho trước hướng , giá trị tuyệt đối xác định từ yêu cầu ( , xung lượng ban đầu cuối, tương ứng) g(+), G(+) g(-), G(-) z' z z z' Hình 1.1 Mơ tả hình học hàm truyền theo hướng trước , tương ứng với hướng vector phần nằm ngang, trực giao với Hướng , hướng sau tương ứng với thành 1.2.1 Gần Andrianov Ishihara Trong gần ta loại bỏ hiệu ứng tán xạ theo hướng ngang, giữ lại tán xạ theo hướng trước sau Tức là, ta thay hàm T–ma trận , phương trình (1.18), ta thu T–ma trận gần phân tách theo Andrianov Ishihara thành tương đương với, (1.23) Ta nhận được, cho trường hợp (1.24) cho trường hợp (1.25) đó, hàm Green hạt có dạng cơng thức (1.20) (1.21) (1.26) (1.27) Như biểu diễn phương trình (1.20-1.21), hàm Green tổng hạt ta uan tâm đến hiệu ứng tán xạ trước sau.Toán tử biểu diễn hiệu ứng chuyển động qua lại trường ngồi Ở ta có biên độ tán xạ cho trường hợp xác định, (1.28) với xung lượng trung bình, (1.29) vận tốc dọc theo T–ma trận viết dạng, (1.30) phân tách thành, (1.31) với, (1.32) với toán tử biểu diễn chuyển động qua lại trường , (1.33) Khi biên độ tán xạ hạt trường ngồi Vcó dạng, Ta thu biểu thức cho biên độ tán xạ, (1.34) , theo góc tán xạ (góc , trục song song với ), vận tốc dọc ta định nghĩa hàm số pha eikonal, (1.35) 1.2.2 Gần Fresnel Trong phần trước, ta giữ lại hiệu ứng tán xạ phía trước phía sau , bỏ qua hiệu ứng tán xạ ngang , bỏ qua Trong mục này, ta bỏ giữ lại và , ta thu gần Fresnel Bỏ qua hiệu ứng cơng thức (1.17) ta có (1.36) Khi ta viết Ta có biểu thức hình thức cho biên độ tán xạ Fresnel hạt (1.37) cho (1.38) cho trong cho thay T toán tử thứ tự thời gian cho , Chương TÁN XẠ THẾ TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ TƯƠNG ĐỐI TÍNH Trong chương xét tán xạ hạt trường ngồi học lượng tử tương đối tính Trong học lương tử tương đối tính, hạt có vận tốc gần với vận tốc ánh sáng, hay xác có lượng so sánh với lượng ứng với khối lượng nghỉ hạt Ở chúng tơi xét tốn tán xạ hạt khơng spin trường ngồi Trong học lượng tử ta xuất phát từ phương trình Schrodinger trường ngồi, cách tương tự, với tốn xuất phát từ phương trình Klein–Gordon trường ngồi xây dựng công thức A–I học lượng tử tương đối tính 2.1 Phương trình Klein-Gordon hạt trường học lượng tử tương đối tính hương trình Klein–Gordon cho hạt tự khơng có spin (2.1) với , (2.2) đó, m khối lượng nghỉ hạt hương trình Klein–Gordon trường ngồi lúc là, (2.3) đó, A trường ngồi Ta có phương trình tương ứng hàm Green hạt trường ngồi có dạng (2.4) Với hàm Green tồn phần hạt là, (2.5) thức tốn tử năng-xung lượng tọa độ bốn chiều thoả mãn hệ 10 2.2 Phương trình Dirac trường ngồi học lượng tử tương đối tính Khi xét phương trình chuyển động cho hạt tự có spin 1/2 học lượng tử tương đối tính ta xét phương trình Dirac, (2.6) hương trình Dirac phương trình đạo hàm riêng cấp theo tất tọa độ không thời gian khác với dạng phương trình Klein-Gordon theo tất tọa độ khơng thời gian, phương trình Schrodinger phương trình đạo hàm riêng cấp hai theo tọa độ không gian cấp theo thời gian Khi xét toán tán xạ trường ngồi cho hạt có spin 1/2 ta có phương trình Dirac trường ngồi, (2.7) hương trình hàm Green tương ứng (2.8) Khi đó, hàm Green tồn phần hạt có biểu thức là, (2.9) 2.3 Công thức A–I học lượng tử tương đối tính Trong mục này, xây dựng công thức A–I học lượng tử tương đối tính cho trường hợp phương trình Klein–Gordon trường Từ hàm Green toàn phần hạt thu từ phương trình hàm Green tương ứng với phương trình Klein-Gordon (2.5), chiếu cho trước tiến hành khai triển thành phần lên vector bốn chiều tương đối tính cho cơng thức (2.10) (2.11) Phân tích theo 11 hoặc, Các hàm truyền tương đối tính trước sau cho bởi, (2.12) Ta có cơng thức tính biên độ tán xạ, Ở ta sử dụng sử dụng ký hiệu vector bốn chiều Ta có biên độ tán xạ cho trường hợp ( 2.13) , thừa số Lorentz, , trục dọc theo ta định nghĩa (2.14) Chương TÁN XẠ HAI HẠT TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ Trong mục này, chúng tơi giới thiệu cách tìm biên độ tán xạ hai hạt qua hàm Green trường ngồi qua việc lấy trung bình trường ngồi tích phân phiếm hàm Vận dụng kết thu cho tốn tán xạ QED mơ hình Như ứng dụng kết Chương 1, chúng tơi nghiên cứu tốn tán xạ chéo hoá kênh s–u cho biên độ eikonal.Bài toán xuất phát từ phụ thuộc hàm truyền vào xung lượng 12 3.1 Biên độ tán xạ hai hạt trường ngồi Chúng tơi xem xét hạt khơng spin, có khối lượng m, trải qua va chạm đàn hồi, với lực truyền hạt không spin, khối lượng μ Tổng tất giản đồ “thang” Feynmann Hình 3.1 dẫn đến yếu tố T–ma trận1 (3.1 ) trongđó G(A) hàm Green cho hạt không spin trường ngồi vơ hướng A: (3.2) trongđó P x tốn tử 4–chiều khơng giao hốn thỏa mãn Và biểu diễn trao đổi boson trung gian, (3.3) T–ma trận Hình 3.1 Lớp giản đồ thang Feynman lý thuyết nhiễu loạn biểu diễn yếu tố T–ma trận với D(x) toán tử, Công thức (3.1) rút từ công thức rút gon cho yếu tố ma trận tán xa hai hat với Trong hình thức luân Bogoliubov hàm hàm Green hạt trường A với xung lương đầu xung lượng cuối lấy gần eikonal, K hiểu lấy trung bình phiếm hàm theo trường ngồi A cho tích hai hàm Green hat 13 (3.4) 3.2 Giản đồ chéo hố Chúng tơi xem xét q trình hai hạt vô hướng khối lượng m tán xạ đàn hồi cách trao đổi meson vô hướng khối lượng μ với Lagrangian tương tác, (3.5) Biên độ eikonal cho tổng tất giản đồ thang tổng uát cho bởi, (3.6 ) đó, biểu thị quỹ đạo Để thu mối liên hệ xác chéo hoá s–u, phải thay phương trình (3.3) chứa hàm truyền sau hàm truyền trước Biên độ thay mà ta gọi A–I biên độ thỏa mãn mối liên hệ chéo hoá s–u phương trình (3.18) Biên độ A–I dường trội lượng cao kênh s kênh u Mặt khác, biên độ eikonal trội lượng cao kênh s biên độ chéo hoá s–u không kênh u KẾT LUẬN Trong Luận văn này, nghiên cứu tán xạ theo hướng trước, sau ngang dựa phương pháp gần eikonal Theo phương pháp này, ta thu công thức eikonal cho biên độ tán xạ với góc tán xạ lớn (hay xung lượng truyền lớn), việc phân tách hàm Green hạt thành ba phần, tương ứng với với hiệu ứng truyền theo hướng, trước sau ngang Những kết thu luận văn bao gồm: Việc phân tách hàm truyền Green theo hướng trước, sau ngang tương ứng với hàm truyền hạt, phản hạt thành phần động ngang Thu công thức Glauber cho biên tán xạ dựa vào hiệu ứng trước sau – gọi gần Andrianov Ishihara Cơng thức tìm 14 tổng uát Ishihara, thực tế nguyên tắc ta lấy hướng cho Tìm cơng thức Glauber cho biên độ tán xạ dựa vào hiệu ứng trước ngang – gọi gần Frenel Công thức thu phù hợp tốt với công thức thu Gottfried [18] Công thức Glauber cho biên độ tán xạ thu không cho trường hợp góc tán xạ nhỏ mà cịn cho góc tán xạ lớn lý thuyết lượng tử (bao gồm học lượng tử phi tương đối tính học lượng tử tương đối tính (tán xạ trường ngồi) lý thuyết trường lượng tử (tán xạ hạt)) Tài liệu tham khảo I Tiếng Việt Nguyễn Ngọc Giao (1999), Lý thuyết hấp dẫn, NXB ĐHQG TPHCM Nguyễn Ngọc Giao (1999), Hạt bản, ĐHKH Tự Nhiên T HCM Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, NXB ĐHQG Hà Nội Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, NXB ĐHQG Hà Nội II Tiếng Anh Andrianov A A (1973), “Impact parameterr Rrepresentations from the point of view of the Poincare group”, Teor Mat Fiz 17, pp 407421 [(1973), Soviet Phys Theor Math Phys 17, pp 1234-1249] Andrianov A A (1974), “Eikonal perturbation theory of one dimensional quantum mechanics”, Yad Fiz 20, pp 589-601 [(1975), Soviet J Nucl Phys 20, pp 316-328] Andrianov A A (1976), “The impact parameter dynamics in quantum theory at large scattering”, Yad Fiz 22, pp 385-400 [(1976), Soviet J Nucl Phys 22, pp 198-214] 15 Andrianov A A (1977), “Dynamical impact parameter in quantum theory”, Teo Mat Fiz 33, pp 337-353 [(1978), Theor Math Phys 30, pp 1058-1068] Andrianov A A (1980), “Quantization of Impact Coordinates for the Fixed Energy of Colliding Particles”, Vestn Leningr Univ., Fiz 6, pp 103-105 (in Russian) 10 Abarbanel H D I and Itzykson C (1969), “Relativistic Eikonal Expansion”, Phys Rev Letters 23, pp 53-56 11 Barbashov B M and Pervushin V N (1970), “Quasiclassical approximation in quantum-field theory with a static nucleon”, Soviet Phys Theor Math Phys 3, pp 537-541 12 Barbashov B M., Kuleshov S P., Matveev V A and Sisakyan A N., Tavkhelidze A N (1970), “Eikonal approximation in quantumfield theory”, Teor Mat.Fiz 3, pp.342-352 [Soviet Phys Theor Math Phys 3, pp 555-562] 13 Barbashov B M and Nesterenko V V (1970), “Approximation of the propagators of virtual particles and the high-energy behavior of Feynman diagrams”, Soviet Phys Theor Math Phys 4, pp 841 14 Bui Duy Q (1975), “High-energy potential scattering of Dirac particles”, Phys Rev D11, pp 1635-1638 15 Chen T W and Hoock D W (1975), “Backward potential scatterings at high energy”, Phys Rev D12, pp 1765-1771 16 Frahn W E and Schurmann B (1974), “High-energy approximations to nuclear scattering”, ibid 84, pp 147-164 17 Glauber R J (1958), Lectures in Theoretical Physics (Interscence Pulishers, Inc., New York, pp 315-414 18 Gottfried K (1971), “Fresnel diffraction in deuterium”, Ann of Phys 66, pp 868-883 16 19 Harnad J P (1975), “The eikonal approximation and E(2) invariance”, Ann of Phys 91, pp 413-414 20 Ishihara T (1975), “Potential Scattering in One Dimension”, Prog Theor Phys 54, pp 1106-1114 21 Ishihara T (1976), “Potential Scattering in Three DimensionBackscattering and Fresnel Effects”, Prog Theor Phys 56, pp 1521-1534 22 Joachain C J and Quigg C (1974), “Multiple scattering expansions in several particle dynamics”, Rev Mod Phys 46, pp 279-324 23 Kujawski E (1971), “Validity of Eikonal - Type Approximations for Potential Scattering”, Phys Rev D4, pp 2573-2577; (1972), Ann of Phys 74, pp 567-594 24 Levy M and Sucher J (1969), “Eikonal Approximation in Quantum Field Theory”, Phys Rev 186, pp 1656-1670 25 Matsuki T (1976), “Symmetric Eikonal Expansion”, Prog Theor Phys 55, pp 751-760 26 Matsuki T (1976), Eikonal Approximation: Backward and Transverse Effects, Prog Theor Phys 56, pp 897-907 27 Nguyen Suan Han, Pervushin V.N (1976), “High Energy Scattering of Particles with Anomalous Magnetic Moment in Quantum Field Theory”, Journal of Theor And Math.Phys, vol.29 (2), pp.1003– 1011 28 Obu M (1973), “Linked Cluster Decomposition of an S MatrixGeneralization of the Eikonal Approximation”, Prog Theor Phys 50, pp 147-167 29 Pervushin V N (1971), “Eikonal representation for the amplitudes of scattering of Dirac particles by an arbitrary potential”, Teor Mat Fiz 9, pp 264-272 [(1971), Soviet Phys Theor Math Phys 4, pp 1127-1133] 17 30 Saxon D S and Schiff L I (1957), “Theory of high-energy potential scattering”, Nouvo Cim 6, pp 613-619 31 Sugar R L and Blankenbecler R (1969), “Eikonal Expansion”, Phys Rev 183, pp 1387-1396 32 Tikochinsky Y (1969), “Validity of the high energy approximation for medium energies”, Phys Letters 29B, pp 270-271 33 Tobocman W and Pauli M (1973), “Comparison of Approximate Methods for Multiple Scattering in High-Energy Collisions”, Phys Rev D5, pp 2088-2101 34 Group-Vall, A.N et al (2009), “Spatial description of the particle production region in elastic and quasi-elastic processes on the SO(mu)(2.1)”, Phys Part Nucl 40, pp 1030-1058 35 Wallace S J (1971), “Eikonal Expansion”, Phys Rev Letters 27, pp 622-625; (1973), Ann of Phys 78, pp 190-257 36 Wu T T (1957), “High-Enery Potential Scattering”, Phys Rev 108, pp 466-469 18