Một số khái niệm
Định nghĩa 1.1 Giả sử X là một không gian tuyến tính trên trường K
(thực hoặc phức) Ánh xạ p : X → R được gọi là một chuẩn trên X, kí hiệu k.k, nếu k.k thoả mãn các điều kiện sau:
(i) kxk ≥ 0 với mọi x∈ X; và kxk = 0 khi và chỉ khi x= 0,
(ii) )kαxk = |α| kxk với mọi x ∈ X và α ∈ R,
(iii) kx+yk = kxk+kyk với mọi x, y ∈ X.
Khi đó (X,k.k) được gọi là một không gian tuyến tính định chuẩn. Định nghĩa 1.2 Giả sử (X,k.k) là một không gian tuyến tính định chuẩn Khi đó ánh xạ d:X × X
→7→ R d(x,y)=kx−yk là một mêtric Ta gọi d là mêtric sinh bởi từ chuẩn hay chuẩn cảm sinh
3 mêtricd trên X Như vậy không gian tuyến tính định chuẩn là một không gian mêtric.
Không gian tuyến tính định chuẩn(X,k.k) đầy đủ với mêtric được sinh từ chuẩn thì X được gọi là không gian Banach. Định nghĩa 1.3 Không gian BanachE được gọi là không gian phản xạ, nếu với mọi phần tử x ∗∗ của không gian liên hợp thứ hai E ∗∗ của E, đều tồn tại phần tử x ∈ E sao cho x ∗ (x) = x ∗∗ (x ∗ ) với mọi x ∗ ∈ E ∗
Mệnh đề 1.1 [4] Cho E là một không gian Banach Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:
(i) E là không gian phản xạ.
(ii) Mọi dãy bị chặn trong E, đều có một dãy con hội tụ yếu. Định nghĩa 1.4 Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọi x, y ∈ E, x 6= y mà kxk = 1, kyk = 1 ta có x+y 2
Chú ý 1.1 Định nghĩa 1.4 còn có thể phát biểu dưới các dạng tương đương sau: Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọi x, y ∈
SE thoả mãn kx+yk
2 = 1, suy ra x= y hoặc với mọi x, y ∈ SE và x6= y ta có k(tx+ (1−t)y)k < 1 với mọi t ∈(0; 1), trong đó
SE =x ∈ X : kyk = 1. Định nghĩa 1.5 Không gian Banach E được gọi là lồi đều nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ(ε) > 0 sao cho với mọi x, y ∈ E mà kxk = 1,kyk 1,kx−yk ≥ε ta luôn có x+y 2
Dễ thấy rằng nếu E là một không gian Banach lồi đều thì nó là không gian Banach lồi chặt Tuy nhiên điều ngược lại không đúng.
Mệnh đề 1.2 Mọi không gian Banach lồi đều bất kì là không gian phản xạ. Định nghĩa 1.6 Không gian Banach E được gọi là trơn nếu với mỗi x∈ SE tồn tại duy nhất fx ∈ E ∗ sao cho hx, fxi = kxk và kfxk = 1. Định lí 1.1 Cho E là một không gian Banach Khi đó ta có các khẳng định sau: a) Nếu E ∗ là không gian lồi chặt thì E là không gian trơn. b) Nếu E ∗ là không gian trơn thì E là không gian lồi chặt. Định nghĩa 1.7 Mô đun trơn của không gian Banach E là hàm số xác định bởi ρE(τ) = sup
2 −1 (kx+yk+kx−yk)−1 : kxk = 1,kyk = τ Định nghĩa 1.8 Không gian Banach E được gọi là trơn đều nếu τlim→0 pE(τ) τ = 0.
Ví dụ 1.1 Mọi không gian Hilbert và không gian l p (1 < p < +∞) đều là không gian Banach lồi đều và trơn đều. Định nghĩa 1.9 Cho E là không gian tuyến tính định chuẩn, chuẩn trên
E được gọi là khả vi Gâteaux tại điểm x0 ∈ SE nếu với mỗi y ∈ SE, tồn tại giới hạn d dt(kx0 +tyk)t=0 = lim t→0 kx0 +tyk − kx0k t (1.4) Định nghĩa 1.10 Cho E là không gian tuyến tính định chuẩn Khi đó: a) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Gâteaux nếu nó khả vi Gâteaux tại mọi x∈ S E b) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Gâteaux đều nếu với mọi y ∈ S E giới hạn (1.4) tồn tại đều với mọi x ∈S E c) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Fréchet nếu với mọi x ∈SE, giới hạn (1.4) tồn tại đều với mọi y ∈ SE. d) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Fréchet đều nếu giới hạn (1.4) tồn tại đều với mọi x, y ∈ SE.
Chú ý 1.2 Mọi không gian Banach thực trơn đều là phản xạ và có chuẩn khả vi Gâteaux đều. Định nghĩa 1.11 Cho E là một không gian Banach và E ∗ là không gian đối ngẫu của nó Để cho đơn giản, chuẩn của E và E ∗ là được kí hiệu bởi k.k Chúng tôi sử dụng hx, x ∗ i thay cho x ∗ (x) với x ∗ ∈ E ∗ và x ∈ E. Ánh xạ J :E → 2 E ∗ thoả mãn điều kiện
J (x) = {x ∗ ∈ E ∗ : hx, x ∗ i = kxk kx ∗ k;kx ∗ k =kxk}, được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E.
Chú ý 1.3 Trong không gian Hilbert, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc trùng với ánh xạ đồng nhất I.
Mệnh đề 1.3 [4] Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn, J là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của nó Khi đó,
(i) J là một ánh xạ lẻ, tức là J(−x) = −J (x),∀x∈ E;
(ii)J là thần nhất dương, tức là J(λx) = λJ(x),∀x ∈E,∀λ > 0;
(iii) J bị chặn, tức là nếu D là một tập con bị chặn của E thì J(D) là một tập hợp bị chặn trong E ∗ ;
(iv) Nếu E ∗ là lồi chặt thì J là đơn trị;
(v) J là đơn trị và liên tục đều trên mỗi tập con bị chặn của E khi và chỉ khi E là không gian Banach trơn đều.
Chú ý 1.4 Trong trường hợp ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc là đơn trị thì ta kí hiệu nó bởi j.
Nhắc lại rằng không gian Banach E được cho là
(i) lồi đều, nếu với mỗi ε ∈ (0,2], bất đẳng thức kxk ≤ 1,kyk ≤ 1, và kx−yk ≥ ε dẫn đến tồn tại δ = δ(ε) ≥ 0 sao cho k(x+y)/2k ≤ 1−δ; (ii) lồi chặt, nếu cho x, y ∈ S1(0) với x 6= y, thì k(1−λ)x+λyk < 1, ∀λ ∈ (0,1). Đã biết rằng không gian Banach lồi đều E phản xạ và lồi chặt; nếu chuẩn của E là chuẩn Gâteaux đều, thì J là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục đều trên tập giới nội của E; và nếu E là trơn, thì ánh xạ đối ngẫu là ánh xạ đơn trị Tiếp theo, chúng tôi trình bày lại ánh xạ đơn trị chuẩn tắc bằng j. Định nghĩa 1.12 Cho C là một tập con khác rỗng, lồi và đóng trong không gian Banach E, ánh xạ F : C → E
(i) F được gọi là đơn điệu trên C nếu với mọi x, y ∈ C ta luôn có hF x−F y, x−yi > 0 (1.5)
(ii) F được gọi là đơn điệu chặt trên C nếu dấu "=" trong (1.5) xảy ra khi và chỉ khi x = y;
(iii) F được gọi là j- đơn điệu nếu với mọi x, y ∈ C , tồn tại j(x−y) ∈
(iv) F được gọi là η- đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại η >0 sao cho với mọi x, y ∈ C ta luôn có hF x−F y, x−yi ≥ ηkx−yk 2
Chú ý 1.5 Trong không gian Hilbert khái niệm ánh xạ đơn điệu và ánh xạ j- đơn điệu trùng nhau. Định nghĩa 1.13 ChoE là một không gian Banach, ánh xạ T :D(T) →
E được gọi là không giãn nếu kT(x)−T(y)k ≤ kx−yk,∀x, y ∈D(T)
Phần tử x ∈ D(T) được gọi là điểm bất động của T nếu x = T x Tập các điểm bất động của T thường được kí hiệu là F ix(T) hay F(T).
Chú ý 1.6 Nếu E là không gian lồi chặt và tập các điểm bất động của
T khác rỗng thì nó là một tập con lồi và đóng của E.
Ví dụ 1.2 Cho E = R 2 với chuẩn được xác định bởi k(a, b)k = max{|a|,|b|} với mọi x = (a, b) ∈ R 2
Xét ánh xạ T :R 2 → R 2 xác định bởi
T (a, b) = (|b|, b) với mọi x = (a, b) ∈ R 2 Suy ra T là ánh xạ không giãn với F ix(T) = {(1,1),(1,−1)}. Định nghĩa 1.14 Cho F : C → C là ánh xạ xác định trên không gian Banach E Ánh xạ F được gọi là L- liên tục Lipschitz nếu tồn tại L > 0 sao cho kF(x)−F(y)k ≤Lkx−yk, ∀x, y ∈ C (1.6)
Nhận xét 1.1 Nếu (1.6) đúng với L = 1 thì ánh xạ F là ánh xạ không giãn còn nếu (1.6) đúng với 0 ≤ L 1.
Thật vậy, vì hF x−F y, j(x−y)i = (1−a 0 )kx−yk 2
= kx−yk 2 − 1 a 0 ka 0 x−a 0 yk 2 = kx−yk 2 − 1 a 0 kf x−f yk 2
≤ kx−yk 2 −γk(I −F)x−(I −F)yk 2 , γ ∈ [0,1) là một số cố định Rõ ràng, η+γ > 1 cho η = 1−a 0 và một số cố định γ ∈ (a 0 ,1).
Bổ đề 1.1 [3] Cho E là không gian Banach trơn thực và F : E → E là một ánh xạ η- đơn điệu mạnh và γ- giả co chặt với η+γ >1 Thì, chúng ta có:
(i) với mỗi t ∈ (0,1), I −tF là một ánh xạ co với hằng số co 1−λτ, ở đó τ = 1− r1−η γ (ii) Khi t = 1, I −F cũng là hằng số co τ1 r1−η γ
Bổ đề 1.2 [3] Cho E là không gian Banach trơn thực Thì, bất đẳng thức sau sẽ thỏa mãn kx+yk 2 ≤ kxk 2 + 2hy, j(x+y)i, ∀x, y ∈ E.
Bổ đề 1.3 [3] Cho {a k } là một dãy các số thực không âm thỏa mãn các điều kện sau a k+1 ≤ (1−b k )a k +b k c k +d k , ở đó {b k },{c k } và {d k } là dãy số thực sao cho
Bổ đề 1.4 [3] Cho {x k } và {w k } là các dãy giới nội trong không gian Banach E sao cho x k+1 = h k x k + (1− h k )w k với k ≥ 1, ở đó {h k } thỏa mãn điều kiện
Giả thiết rằng k→∞lim sup(kw k+1 −w k k − kx k+1 −x k k
Ví dụ 1.5 Cho a >˜ 1 và f là một ánh xạ ˜a- đồng bức trên E, tức là, hf x−f y, j(x−y)i ≥ ˜akf x−f yk 2 , ∀x, y ∈ E.
Dễ dàng thấy rằng f là một ánh xạ co với hằng số 1 ˜ a ∈ (0,1), và do đó, F :=I −f là một ánh xạ η- đơn điệu mạnh với η = 1− 1 ˜ a Hơn nữa, hF x−F y, j(x−y)i =kx−yk 2 − hf x−f y, j(x−y)i
≤ kx−yk 2 −γk(I −F)x−(I −F)yk 2 , bất kì γ ∈ (0,˜a] Lấy số bất kì γ ∈
, chúng ta có F là một ánh xạ γ- giả co chặt với η +γ > 1. Định nghĩa 1.16 Ánh xạ QC : E → C được gọi là phép co rút không giãn theo tia từ E lên C nếu QC thoả mãn:
(i) QC là phép co rút trên C, tức là Q 2 C = QC;
(ii) Q C là ánh xạ không giãn;
(iii) Q C là ánh xạ theo tia, tức là với mọi 0 < t < ∞
Tập C được gọi là tập co rút không giãn theo tia nếu tồn tại phép co rút không giãn theo tia QC từ E lên C.
Bổ đề 1.5 [4] Mọi tập con C lồi đóng của không gian Banach lồi đều E đều là tập co rút của E, tức là tồn tại phép co rút từ E lên C.
Bổ đề 1.6 [5] Cho C là tập con khác rỗng, lồi, đóng của không gian Banach trơn E và Q C : E → C là phép co rút từ E lên C Khi đó, các phát biểu sau là tương đương:
(i) Q C là ánh xạ không giãn theo tia.
Chú ý 1.7 (i) Khi E là không gian Hilbert H, ánh xạ QC chính là phép chiếu mêtric PC từ H lên C.
(ii) NếuC là tập con khác rỗng, lồi đóng của không gianH thì phép chiếu mêtric PC : H → C là phép co rút không giãn theo tia từ H lên C Tuy nhiên điều này không còn đúng trong không gian Banach.
Từ Bổ đề 1.6 ta có kết quả quan trọng sau về mối quan hệ của bất đẳng thức biến phân (1.1) với bài toán điểm bất động trong không gianBanach trơn.
Một số phương pháp cơ bản tìm điểm bất động
Ta biết rằng tập điểm bất động của ánh xạ không giãn T trên không gian Banach lồi chặt E nếu khác rỗng thì là một tập lồi và đóng Do đó, bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Banach E là một trường hợp đặc biệt của bài toán chấp nhận lồi:" Tìm một phần tử thuộc giao khác rỗng của một họ hữu hạn hay vô hạn các tập con lồi và đóng {C i } i∈I của không gian HilbertH hay không gian Banach E" Bài toán này có nhiều ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực khoa học khác nhau như: Xử lí ảnh, khôi phục tín hiệu, vật lý, y học, Sau đây, chúng tôi xin giới thiệu một số phương pháp cơ bản tìm điểm bất động.
Năm 1953, Mann [3-xem trích dẫn] đã nghiên cứu và đề xuất phương pháp lặp x n+1 = α n x n + (1−α n )T(x n ), x 1 ∈ C, n ≥ 1, (1.8) và gọi là dãy lặp Mann chuẩn tắc Ông đã chứng minh rằng, nếu dãy{α n } được chọn sao cho
X n=1 α n (1−α n ) =∞ thì dãy {x n } thì sẽ hội tụ yếu về một điểm bất động của ánh xạ T, ở đây
T : C → C là một ánh xạ không giãn từ tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert H vào chính nó Tuy nhiên, trong trường hợp H là một không gian Hilbert vô hạn chiều thì dãy lặp (1.8) chỉ hội tụ yếu mà không hội tụ mạnh.
Nhận xét 1.2 Trong trường hợp α n = α ∈ (0; 1) với mọi n thì phương pháp lặp Mann (1.8) trở thành phương pháp lặp Kranoselskii.
Reich [3- xem trích dẫn] đã mở rộng kết quả của Mann trong trường hợp T : C → C từ một tập con khác rỗng, lồi, đóng của một không gian Banach lồi đều với chuẩn khả vi Fréchet và ông cũng đã chứng minh được rằng nếu dãy {α n } được chọn sao cho
X n=1 αn(1−αn) =∞ thì dãy {xn} sẽ hội tụ yếu về một điểm bất động của ánh xạ T.
Tiếp theo, chúng tôi đề cập đến phương pháp lặp của Halpern được đề xuất năm 1967 dạng x n+1 = α n u+ (1−α n )T (x n ), n ≥ 0, (1.9) trong đó u, x0 ∈ C,{α n } ⊂ (0,1) và T là một ánh xạ không giãn từ tập con lồi đóng C của không gian Hilbert H vào C Ông đã chứng minh nếu αn = n −α , α ∈ (0,1) thì dãy {xn} xác định bởi (1.9) sẽ hội tụ về một điểm bất động của T.
Năm 1977, Lions [7] đã chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy {xn} về một điểm bất động của T trong không gian Hilbert nếu dãy số {α n } thoả mãn các điều kiện sau:
Tuy nhiên, với các kết quả của Halpern và Lions thì dãy chính tắc αn = 1 n+ 1 lại bị loại trừ Năm 1992, Wittmann đã mở rộng kết quả của Halpern và giải quyết được vấn đề trên Ông đã chỉ ra rằng nếu dãy số {αn} thoả mãn các điều kiện (C1),(C2) và điều kiện
|αn+1−αn| 0 với mọi r>0, thì dãy lặp (1.13) hội tụ mạnh về một phần tử x ∗ ∈F ix(T).
• Sự kết hợp các phương pháp
Tiếp theo, Kim và Xu [3- xem trích dẫn] đưa ra một kết hợp giữa phương pháp Krasnosel’skii- Mann và phương pháp Halpern như sau x k+1 = t k u+ (1−t k )((1−β k )x k +β k T x k ), k ≥ 1, (1.14) và chứng minh hội tụ mạnh của phương pháp này với điều kiện:
|β k+1 −βk| < ∞, và những điều kiện thêm nên βk Ngoài ra, Yao [3- xem trích dẫn] và một số trong đưa ra phương pháp lặp Krasnosel’skii- Mann cải biên x k+1 = (1−β k )I +β k T
(1−t k )x k , k ≥ 1, (1.15) và chứng minh rằng nếu Q ≡ H, F ix(T) 6= ∅,các tham số t k và β k thỏa mãn, tương ứng, điều kiện (t) và
(β) βk ∈ [a, b] ⊂ (0,1) với mọi k ≥ 1, thì dãy {x k }, sinh bởi (1.15), hội tụ mạnh tới một điểm bất động bởi
T Shehu [3- xem trích dẫn] mở rộng kết quả này từ không gian Hilbert
H tới không gian Banach lồi đều E, có chuẩn khả vi Gâteaux đều Chúng ta biết cả hai phương pháp (1.8) và (1.11) nói chung chỉ hội tụ yếu Rõ ràng, (1.11) tổng quát hơn (1.8) Nhưng các nghiên cứu chỉ tập trung lên phương pháp (1.8) với lý do (1.8) đơn giản hơn (1.11) và đó là định lý hội tụ đúng cho (1.8) có thể dẫn đến một định lý hội tụ cho (1.11) với điều kiện {β k } thỏa mãn một số điều kiện thích hợp Tuy nhiên, phương pháp (1.11) có tính riêng của nó Cụ thể là, phương pháp (1.8) có thể không hội tụ trong khi phương pháp (1.11) có thể hội tụ cho một ánh xạ Lipschitz trong không gian Hilbert Reich [3- xem trích dẫn] chỉ ra rằng nếu E là một không gian Banach lồi đều, có chuẩn khả vi Fréchet và nếu dãy{βk} trong (1.8) thỏa mãn điều kiện
Bài toán bất đẳng thức biến phân và phương pháp đường dốc nhất
Bài toán bất đẳng thức biến phân
Cho E là không gian Banach và j :E → E ∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị của E Ánh xạ F :E → E là đơn trị Bài toán bất đẳng thức biến phân j- đơn điệu, ký hiệu là V I ∗ (F, C), được phát biểu như sau: Tìm x 0 ∈ C thoả mãn hF x 0 , j(x−x 0 )i ≥ 0,∀x ∈C (1.19) Trong không gian Hilbert H, bất đẳng thức biến phân V I ∗ (F, C) trở thành bất đẳng thức biến phân cổ điển CV I(F, C).
Mệnh đề 1.4 Cho C là tập con khác rỗng, lồi, đóng của không gian Banach trơn E Khi đó bất đẳng thức biến phân (1.1) tương đương với phương trình điểm bất động: p ∗ = Q C (I −λF)p ∗ , λ >0, tức là V I ∗ (F, C) = F ix(QC (I −λF)).
Theo Bổ đề 1.6 ta có p ∗ ∈ F ix(Q C (I −λF)) khi và chỉ khi h(p ∗ −λF p ∗ )−p ∗ , j(x−p ∗ )i ≤ 0 ⇔ h−λF p ∗ , j(x−p ∗ )i ≤ 0 với mọi x∈ C và λ >0 Do λ >0 nên ta suy ra x0 ∈ V I ∗ (F, C).
Mệnh đề được chứng minh.
Do sự tương đương của bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach trơn với bài toán điểm bất động mà nhiều phương pháp giải bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach cũng được xây dựng dựa vào phương pháp xấp xỉ điểm bất động.
Phương pháp đường dốc nhất lai ghép
Phương pháp dốc nhất là phương pháp gradient đơn giản nhất để tối ưu hoá Ai cũng biết rằng các tìm kiếm đường chính xác dọc theo mỗi hướng xuống dốc nhất có thể hội tụ rất chậm Barzilar và Borwein đã trình bày một phương pháp gradient kích thước bước hai điểm, thường được gọi là phương pháp gradient Barzilar- Borwein (hoặc phương pháp
BB) Phương pháp này chứng minh sự hội tụ siêu tuyến tính đối với bậc hai lồi trong không gian hai chiều và thực hiện khá tốt đối với các bài toán chiều cao Phương pháp BB không đơn điệu, do đó không dễ dàng được tổng quát hoá cho các hàm phi tuyến tổng quát trừ khi áp dụng một số kĩ thuật phi đơn điệu nhất định Do đó, rất mong muốn tìm ra các công thức kích thước bước cho phép hội tụ nhanh và sở hữu thuộc tính đơn điệu Phương pháp dốc nhất có thể bắt nguồn từ Cauchy (1847), là phương pháp đơn giản nhất để tối ưu hoá không bị ràng buộc: x∈Rmin n f(x) ở đó f (x) là hàm vi phân trong R n Phương pháp này có dạng xk+1 = xk +αk(−gk), ở đó g k = g(x k ) _ (x k ) là vectơ gradient của f(x) tại điểm x k lặp lại và α k > 0 là kích thước bước Vì hướng nghiên cứu trong phương pháp là hướng ngược lại với hướng gradient, nó là hướng xuống dốc nhất cục bộ Về phương diện cục bộ là hướng xuống dốc nhất, là hướng tốt nhất theo nghĩa là nó làm giảm hàm mục tiêu nhiều nhất có thể Kích thước bước αk có thể thu được bằng cách tìm kiếm theo dòng chính xác: α ∗ k = argmin{f (x k +α(−g k ))}, hoặc theo một số điều kiện tìm kiếm theo dòng, chẳng hạn như điều kiện Goldstein hoặc điều kiện Wolfe (xem Fletcher, 1987) Dễ dàng thấy rằng phương pháp dốc nhất luôn hội tụ.
Khi F :E →E là ánh xạL- liên tục Lipschitz vàη- đơn điệu mạnh thì ánh xạ QC (I −λF), với λ ∈
L 2 là ánh xạ co Khi đó, theo Nguyên lý ánh xạ co Banach, dãy lặp Picard xác định bởi xn+1 = QC (I −λF)xn hội tụ mạnh về điểm p ∗ là nghiệm bất đẳng thức biến phân (1.1).
Trong trường hợp F = 5ϕ, trong đó ϕ : H → R∪ {∞} là hàm lồi khả vi Gâteaux thì bất đẳng thức biến phân cổ điển CV I(F, C) chính là điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu lồiminϕ(x) x∈C
, trên tập C và khi đó dãy lặp Picard được viết dưới dạng xn+1 =PC(I −λn 5ϕ)xn còn được gọi là phương pháp chiếu gradient Tuy nhiên việc thực hiện phép chiếu mêtric PC từ H lên tập con lồi đóng C của H là không dễ dàng do sự phức tạp của cấu trúc tập C Khó khăn này cũng tương tự như khi thực hiện phép co rút không giãn theo tia QC từ E lên một tập con lồi đóng C bất kỳ của E Mặt khác, để ý rằng bản thân ánh xạ chiếu mêtric P C là một ánh xạ không giãn có F ix(P C ) =C.
Rõ ràng, khi C ≡ E (T ≡ I, ánh xạ trên E), (1.1) thực sự là phương trình toán tử F x = 0 Để tìm nghiệm của ánh xạ η- đơn điệu mạnh và ánh xạ liên tục Lipschitz F, miền xác định của nó là toàn bộ không gian Banach E, chúng ta có thể sử dụng phương pháp đường dốc nhất, x 1 ∈ E bất kì và x k+1 = (I −tkF)x k , k ≥ 1, (1.20) ở đó t k thỏa mãn điều kiện (t) : tk ∈(0,1), lim k→∞tk = 0 và
Khi E là một không gian trơn đều hoặc không gian Banach lồi chặt với chuẩn khả vi Gâteaux đều, là sự kết hợp của phương pháp dường dốc nhất với phương pháp Krasnoselskii- Mann để giải quyết một lớp phương trình biến phân với ánh xạ j- đơn điệu mạnh và ánh xạ γ- giả co chặt
F, đã được đưa ra trong [3] Dựa theo kết quả [3], phương pháp lặp hiện nghiên cứu trong bài báo này, là x k+1 = (I −t k F)T k x k , k ≥ 1, (1.21) ở đó T k xác định trong phương pháp Ishikawa: x k+1 =T k x k , T k = (1−βk)I +βkT (1−αk)I +αkT
Chúng ta sẽ chứng minh một kết quả hội tụ mạnh cho (1.21) dưới các điều kiện cho trước được trình bày ở chương sau.
Khi F = 5ϕ thì dãy lặp (1.3) hội tụ mạnh về điểm p∗ là điểm cực tiểu của hàm ϕ(x) trên tập ràng buộc
F ix(Ti) Kết quả này đã đượcDeutsch và Yamada công bố năm 1998 Ưu điểm của phương pháp lai ghép đường dốc là không cần thực hiện phép chiếu lên tập ràng buộc C của bất đẳng thức biến phân mà thay vào đó là dạng đóng của họ các ánh xạ mà tập điểm bất động chung của họ ánh xạ đó là tập chấp nhận được của bài toán.
Cho đến nay, phương pháp lai ghép đường dốc đã được nhiều tác giả cải tiến theo hướng giảm nhẹ các điều kiện đặt lên dãy tham số λ n hoặc mở rộng cho bài toán bất đẳng thức biến phân trong những trường hợp phức tạp hơn, chẳng hạn như khi tập ràng buộc C là tập điểm bất động chung của một họ vô hạn các ánh xạ không giãn, của một nửa nhóm ánh xạ không giãn.
Trong luận văn này, chúng tôi quan tâm đến phương pháp Ishikawa đường dốc nhất cho một họ ánh xạ không giãn để giải lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach.
Bổ đề 1.7 [3] Cho F là một η- đơn điệu mạnh và ánh xạ γ- giả co chặt trên không gian Banach trơn đều hoặc phản xạ thực và lồi chặt E, có chuẩn Gâteaux đều, sao cho η +γ > 1 và cho T là một ánh xạ không giãn E với C := F ix(T) 6= ∅ Thì, mọi dãy giới nội {x k } trong E với k→∞lim kx k −T x k k = 0, chúng ta có k→∞lim suphF p ∗ , j(p ∗ −x k )i ≤ 0, (1.23) ở đó p ∗ là nghiệm duy nhất của (1.1).
Chương 1 là chương có tính chất chuẩn bị, chúng tôi đã đề cập đến các vấn đề: không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian phản xạ, khái niệm về chuẩn khả vi Gâteaux, chuẩn khả vi Fréchet; một số phương pháp cơ bản tìm điểm bất động; phát biểu bài toán bất đẳng thức biến phân, điều kiện cho sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Các vấn đề nêu trên dùng để trình bày các kết quả chủ yếu trong chương tiếp theo.
Phương pháp lặp Ishikawa đường dốc nhất cho một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach
Chương này gồm 3 mục: Trong mục 2.1, chúng tôi trình bày phương pháp lặp Ishikawa đường dốc nhất cho một ánh xạ không giãn trong không gian Banach; Mục 2.2, dành cho việc mở rộng cho trường hợp C là giao các tập điểm bất động của một họ vô hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Banach Cuối chương là mục 2.3, chúng tôi đưa ra một số ví dụ minh hoạ cho phương pháp đã chỉ ra Nội dung chương này được lấy từ tài liệu [3].
2.1 Phương pháp lặp Ishikawa đường dốc nhất cho một ánh xạ không giãn
Xét bài toán bất đẳng thức biến phân (1.1) trong trường hợp
C = F ix(T), tức là: tìm một điểm p ∗ ∈ E sao cho p∗ ∈ C : hF p∗, j(p∗ −p)i ≤ 0 ∀p ∈ C = F ix(T), (2.1) ở đây T là một ánh xạ không giãn trên E và F ix(T) 6= ∅, F là một ánh xạ j- đơn điệu mạnh và ánh xạ γ- giả co chặt trên E Chúng tôi đưa ra
20 một cải biên hội tụ mạnh cho phương pháp Ishikawa Đó là sự kết hợp của phương pháp lặp Ishikawa và phương pháp đường dốc nhất Dựa theo kết quả của [3], phương pháp lặp được nghiên cứu trong luận văn là: x k+1 = (I−tkF)T k x k ; T k = (1−βk)I+βkT (1−αk)I+αkT
Chúng ta sẽ chứng minh một kết quả hội tụ mạnh cho (2.2) dưới các điều kiện:
(β): β k ∈[a, b]⊂ (0,1) với mọi k ≥ 1. Định lí 2.1 Cho E, F và T như Bổ đề 1.7 Giả thiết rằng tk, βk và αk thỏa mãn các điều kiện tương ứng
(β) βk ∈ [a, b]⊂ (0,1) với mọi k ≥ 1, và (α) αk ∈ [0, a] với mọi k ≥ 1 và αk → 0 khi k → ∞.
Thì, dãy {x k } sinh bởi (1.21) với T k trong (1.22), hội tụ mạnh tới p ∗ , giải (1.1).
Vì T k p = p với mỗi điểm p ∈ F ix(T) và k ≥ 1, bởi Bổ đề 1.1, kx k+1 −pk = k(1−t k F)T k x k −(1−t k F)T k p−t k F pk
≤ (1−t k τ)kx k −pk+ t k τkF pk τ ≤ max {kx 1 −pk,kF p k τ }.
Vì vậy, {x k } giới nội Do đó, các dãy {T x k }, {T x k+1 }, {T k x k },{T k+1 x k },{F T k x k } và {T y k } ở đó y k = (1−αk)x k +αkT x k
Không làm mất tính tổng quát, ta giả thiết rằng chúng giới nội bởi hằng số M1 Tiếp theo, dễ dàng nhìn thấy x k+1 =t k (I −F)T k x k + (1−t k )T k x k
Rõ ràng, từ điều kiện (t) và (β) chúng ta có
Tiếp theo, có thể viết rằng t k+1 (I −F)T k+1 x k+1
≤ kx k+1 −x k k+ ˜ck, ở đó ˜c k là tổng các thành phần còn lại, theo điều kiện (t), (β) và (α), ˜ c k → 0 khi k → ∞ Vì vậy, k→∞lim sup kw k+1 −w k k − kx k+1 −x k k
Theo Bổ đề 1.4, k→∞lim kx k −w k k = 0 (2.4)
Từ chú ý (2.3) và (2.4),ta có: k→∞lim kx k+1 −x k k = lim k→∞(1−h k )kx k −w k k = 0 (2.5)
Phương pháp lặp Ishikawa đường dốc nhất cho một họ ánh xạ không giãn trong không gian Banach
ánh xạ không giãn trong không gian Banach
Tiếp theo, chúng ta xét trường hợp C = \ i≥1
F ix(Ti) 6= ∅, ở đó {T i } là một họ vô hạn các ánh xạ không giãn trên E Trong trường hợp này, T k được xác định bởi :
, (2.13) ở đó {W k } là một dãy, thỏa mãn các điều kiện
(i) Đặt W x := lim k→∞W k x với bất kì x ∈ E và nếu \ i≥1
F ix(T i ) 6= ∅ thì chúng ta có F ix(W) = \ i≥1
(ii) lim k→∞sup x∈B kW k x−W xk = 0, với bất kì tập bị chặn B. Định lí 2.3 Cho E, F, t k , β k và α k như trong Định lý 2.1 Cho {T i } là một họ vô hạn các ánh xạ không giãn trênE sao choC = \ i≥1
Thì, một dãy bất kì (2.2) và (2.13), hội tụ mạnh đến p ∗ trong (1.1).
Như cách chứng minh cho Định lý 2.1, dãy {x k }, sinh bởi (2.2) và (2.13), giới nội Do đó, tồn tại hằng số dươngM 2 sao cho dãy{x k },{T k x k },{T k+1 x k }, {F T k x k }, {W k x k } và {W k+1 x k } hội tụ tới S(0, M2).
Hơn nữa, chúng ta có đẳng thức (2.3) với hk = tk(I −F)T k , y k = (1−αk)x k +αkW k x k và w k = t k (I −F)T k x k
. Để đánh giá giá trị của chuẩn kw k+1 −w k k, ta cần giá trị kT k+1 x−T k xk cho mỗi x ∈ S(0, M2) Đặt y˜ k = (1− αk)x+αkW k x Dễ dàng kiểm tra được rằng y˜ k ∈ S(0, M2) và W k y˜ k ∈ S(0, M2) với mỗi x ∈ S(0, M2) Do đó kT k+1 x−T k xk = k(1−βk+1)x+βk+1W k+1 y˜ k+1 −((1−βk)x+βkW k y˜ k )k
+|β k+1 −βk|kW k y˜ k k, Ở đó ky˜ k+1 −y˜ k k ≤ |α k+1 −α k |kxk+α k+1 kW k+1 x−W k xk+|α k+1 −α k |M 2
Từ điều kiện (β) và (α), ta suy ra tồn tại dãy con {k m } của {k} sao cho β k m → β 0 khi m → ∞ Do đó, |β k m +1 − β k m | → 0 và |α k m +1 −α k m | → 0 khi m→ ∞ Bây giờ, thay x và k trong (2.14) bởi x k m và km, tương ứng và sử dụng điều kiện (ii) với B = S(0, M2) cho W k m , ta nhận được m→∞lim kT k m +1 x k m −T k m x k m k = 0.
Xét dãy số x k m +1 = hk m x k m + (1−hk m )w k m , (2.15) ở đó hk m = (1−tk m)(1−βk m) và w k m = tk m (I −F)T k m x k m
Vì vậy, như chứng minh Định lý 2.1, kw k m +1 −w k m k ≤ tk m +1(1−τ1)
≤ kx k m +1 −x k m k +c k m , c k m → 0 khi m → ∞ Hơn nữa, chúng ta có đẳng thức (2.4) với k thay bằng km, chẳng hạn, kx k m −w k m k → 0, và do đó, theo Bổ đề 1.4 và (2.15), chúng ta đưa ra kx k m +1 −x k m k → 0, kết hợp với kx k m +1 −T k m x k m k ≤ tk m M1 → 0 khi m→ ∞ tức là m→∞lim kx k m −T k m x k m k = 0 (2.16) Bây giờ, chúng ta chứng minh m→∞lim kx k m −W k m x k m k = 0 (2.17)
Với mục đích đó, chúng ta chứng minh rằng lim m→∞kx k m −W k m y k m k = 0, ở đó điểm y k m = (1−αk m )x k m +αk m W k m x k m
Vì x k m −T k m x k m =βk m (x k m −W k m y k m ), và kết hợp với điều kiện (β), kx k m −W k m y k m k ≤ kx k m −T k m x k m k a , Điều này cùng với (2.16) suy ra giới hạn lim m→∞kx k m −W k m y k m k = 0, Mặt khác, kx k m −W k m x k m k ≤ kx k m −W k m y k m k+kW k m y k m −W k m x k m k
= kx k m −W k m y k m k+α k m kx k m −W k m x k m k ta nhận được bất đẳng thứckx k m −W k m x k m k ≤ kx k m −W k m y k m k
1−a , từ giới hạn lim m→∞kx k m −W k m y k m k = 0,, chúng ta nhận được (2.17).
Bây giờ, từ (2.17), cùng với bất đẳng thức, kx k m −W x k m k ≤ kx k m −W k m x k m k+ sup x∈S(0,M 2 ) kW k m x−W xk, và một lần nữa điều kiện (ii) choW k m , chúng ta có lim m→∞kx k m −W x k m k 0 Như chứng minh Định lý 2.1, dãy {x k m } hội tụ mạnh tới p ∗ trong (2.1) khi m→ ∞ Bằng lập luận tương tự, mọi dãy con hội tụ {x k } hội tụ tới p ∗ Vì điểm p ∗ trong (2.1) là duy nhất, mọi dãy {x k } hội tụ tới p ∗ Điều này kết thúc phần chứng minh.
Chú ý 2.5 Tất cả chú ý 1-3 vẫn có giá trị, khi T k được xác định bởi (2.13).
Chú ý 2.6 Lấy α k = 0 trong (2.2) và (2.13), chúng ta nhận được phương pháp Krasnoselskii- Mann đường dốc nhất và mở rộng của nó cho một họ vô hạn ánh xạ không giãn T i trong E, đó là phương pháp x k+1 = (I −t k F)((1−β k )I +β k W k )x k , k ≥ 1, và nó tương đương với y k+1 = (1−βk)I +βkW k
(xem, chú ý 1) ThayF trong (2.18) bởi(1−a 0 )I, chúng ta đưa ra phương pháp y k+1 = (1−βk)I +βkW k
(1−t 0 k )y k , k ≥ 1, sự hội tụ mạnh của phương pháp này đã được chứng minh trong không gian Banach trơn đều và lồi đều với các điều kiện (t), (β),
X k=1 k→∞lim sup x∈B kW k+1 x−W k xk = 0 và (i) trong định nghĩa củaW k Marino và Muglia [3- xem trích dẫn] thay
(ii) trong định nghĩa của W k bởi lim k→∞kW k+1 x−W k xk = 0 với mọi x ∈B và kết hợp phương pháp đường dấp nhất với phương pháp Krasnosel’skii- Mann, đã nghiên cứu phương trình x k+1 = βkx k + (1−βk)(I −tkD)W k x k và x k+1 = β k (I −t k D)x k + (1−β k )W k x k , k ≥ 1, (2.19) trong không gian Hilbert H, ở đó D là ánh xạ η- liên tục và L- Lipschitz đơn điệu Sự hội tụ mạnh của (2.19) có được từ điều kiện (t) thoả mãn k→∞lim
|βk−βk+1| β k+1 = 0 và thêm điều kiện trong việc xây dựngW k từ việc đưa ra họ {Ti} Chúng ta chú ý rằng ỏnh xạ V k = T 1 0 ã ã ãT k 0 ở đú T i 0 = γiI + (1−γi)Ti với γi ∈ (0,∞) sao cho
X i=1 γ i T i ˜ γk với γ˜ k = γ 1 +ã ã ã+γ k cũng thỏa món điều kiện (i) và (ii) trong định nghĩa của W k ([3]- xem trích dẫn [3]-[6]). Trong ([3]- xem trích dẫn [3]), tác giả đã đề xuất phương pháp này, x k+1 = (1−βk)x k +βkS k (I −tkF)x k và x k+1 = (1−β k )S k x k +β k (I −t k F)x k , hội tụ mạnh trong không gian Banach lồi chặt với chuẩn Gâteaux khả vi dưới điều kiện (t) và (β).
Chú ý 2.7 Li ([3]- xem trích dẫn [22]) cũng nghiên cứu phương pháp (1.18) ở đó T k được xác định trong (2.13) với ánh xạ W k của Shimoji và Takahashi’s ([3]- xem trích dẫn [30]) Katchang và Kumam ([3]- xem trích dẫn [19 ])đề xuất phương pháp, x k+1 = tkγf(x k ) + (I −tkA)T k x k , k ≥ 1, là sự thay đổi của (1.18), và chứng minh được rằng nó hội tụ trong không gian Banach với ánh xạ liên tục yếu j dưới các điều kiện (t), lim k→∞βk = 0 và lim k→∞α k = 0, ở đó A là một ánh xạ giới nội mạnh trên E và γ là một hằng số dương.
Một số ví dụ minh hoạ
Ví dụ 2.1 Cho họ ánh xạ không giãn Ti
F ix(T i ) = {0} và lim k→∞T k x = Ix cho mỗi x ∈ R 1 Vì vậy, điều kiện (i) trong việc xác định W k không thỏa mãn, do F ix(I) R 1
Ví dụ 2.2 Cho họ ánh xạ {Ti = PC i }, khi đó PC i là phép chiếu metric của H = E 2 , là một không gian Euclid Xét tập hợp Ci = {x = (x1, x2) ∈
H : a i ≤ x 2 ≤ b i } với a i = 1− 1 i+ 1 và b i = 2 + 1 i+ 1 với mọi i≥ 1, thỏa mãn điều kiện (i) và (ii) trong việc xác định của W k
Trong trường hợp này, chúng ta có C ∞
C i ={x∈ E 2 : 1 ≤ x 2 ≤ 2} và chúng ta có thể đưa W k = Tk cho mọi k ≥ 1.
Lấy u = (1.0; 0.0), chúng ta giải bài toán (1.1) p∗ = (1.0; 1.0) Các kết quả tính toán theo phương pháp (2.11) và T k trong (2.13) với điểm xuất phát x 1 = (2.5; 2.5), t k = 1 k+ 1, β k = 0,2 + 1 k+ 1 và α k = 1 k+ 1 được đưa ra trong Bảng 2.1. k x k+1 1 x k+1 2 k x k+1 1 x k+1 2
Bảng 2.1: Kết quả tính toán bởi (2.11) và (2.13) với W k = T k
Ví dụ 2.3 Cho họ ánh xạ {Ti = PC i}, khi đó PC i là phép chiếu metric của H = E 2 , là một không gian Euclid Xét tập hợp Ci = {x = (x1, x2) ∈
H : ai ≤ x2 ≤ bi} với ai = 1 + 1 i+ 1 và bi = 2 + 1 i+ 1 với mọi i≥ 1, thỏa mãn điều kiện (i) và (ii) trong việc xác định của W k
Trong trường hợp này, chúng ta có C = {x ∈ E 2 : 1.5 ≤ x2 ≤ 2} và p ∗ = (1.0; 1.5) Hơn nữa, điều kiện (i) trong việc xác định của W k cho Tk, chẳng hạn W k =Tk, không thỏa mãn Để tính toán theo (2.11), chúng ta sử dụng W k = S k trong (2.13) ở đó S k được xác định trong chú ý 6 với γ i = 1 i(i+ 1) Các kết quả tính toán được đưa ra trong Bảng 2.2. k x k+1 1 x k+1 2 k x k+1 1 x k+1 2
Bảng 2.2: Kết quả tính toán bởi (2.11) và (2.13) với W k = S k
Các kết quả số chỉ ra tính hữu hiệu của phương pháp.
Chương này, chúng tôi đề cập đến phương pháp lặp Ishikawa đường dốc nhất để tìm điểm bất động cho một họ ánh xạ không giãn trong không gian Banach Cụ thể là chúng tôi thu được sự hội tụ mạnh của dãy lặp tới p ∗ với các điều kiện kèm theo Trong trường hợp đặc biệt, α k = 0 chúng ta nhận được phương pháp Krasnoselskii-Mann đường dốc nhất.Điều đó cho thấy sự mở rộng và tối ưu của phương pháp Ishikawa đường dốc nhất Cuối cùng, chúng tôi đưa ra một số kết quả minh hoạ cho việc giải bài toán tìm điểm bất động một họ ánh xạ không giãn trong không gian Banach
Luận văn đã nghiên cứu và trình bày lại có hệ thống một số vấn đề cơ bản sau đây:
Hệ thống lại một số kiến thức về không gian định chuẩn, không gian Banach, ánh xạ trong không gian Banach, một số kiên thức về phép chiếu mêtric.
Trình bày một số phương pháp cơ bản tìm điểm bất động như phương pháp lặp Mann, phương pháp lặp Halpern, phương pháp lặp Ishikawa.
Nghiên cứu giải bài toán bất đẳng thức biến phân bằng phương pháp đường dốc nhất lai ghép.
Chỉ ra sự tối ưu hoá trong việc sử dụng phương pháp đường dốc nhất lai ghép Đó là phương pháp Ishikawa đường dốc nhất cho một họ ánh xạ không giãn trong không gian Banach và đã được chứng minh chi tiết. Đưa ra ví dụ số minh hoạ cho nội dung đã đề cập trong luận văn.