Quy hoạch toàn phương và bất đẳng thức biến phân affine trong không gian định chuẩn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------ NGUYỄN VĂN TÂN QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨNChuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số:

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN VĂN TÂN

QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG

VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 8 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Dương Thị Việt An

THÁI NGUYÊN - 2021

Mục lục

1.1 Tập lồi đa diện suy rộng 7

1.2 Bài toán quy hoạch toàn phương 9

1.3 Bất đẳng thức biến phân affine 15

1.4 Một số kết quả bổ trợ 17

2 Điều kiện tối ưu cho lớp bài toán quy hoạch toàn phương và bất đẳng thức biến phân affine trên không gian định chuẩn 20 2.1 Điều kiện tối ưu bậc nhất cho bài toán quy hoạch toàn phương trên không gian định chuẩn 20

2.2 Điều kiện tối ưu bậc nhất và cấu trúc tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân affine trên không gian định chuẩn 24

|x| giá trị tuyệt đối của x

||x|| chuẩn của véctơ x

N (¯x; Ω) nón pháp tuyến theo nghĩa giải tích lồi của Ω tại x¯

⟨x∗, x⟩ giá trị của phiếm hàm x∗ tại x

Im A tập ảnh của toán tử tuyến tính A

Ker A hạt nhân của toán tử tuyến tính A

L⊥ linh hóa tử của tập L ⊂ X

cl(A) bao đóng của A

N (x) họ các lân cận của x

f∗ hàm liên hợp của hàm f

∇f (x) đạo hàm Fréchet của hàm f tại x

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô, tập thể cán bộ Khoa Toán

- Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, Ban lãnh đạo vàcác đồng nghiệp trường Trung học phổ thông Uông Bí, tỉnh Quảng Ninh,cùng các bạn học viên lớp cao học Toán K12A3, đã không chỉ trang bị chotôi những kiến thức bổ ích mà còn luôn giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợitrong quá trình tôi học tập tại trường

Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè người thân là những ngườiluôn ủng hộ, động viên tôi vượt qua những khó khăn để tôi hoàn thànhtốt luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2021

Người thực hiện

Nguyễn Văn Tân

Mở đầu

Bài toán quy hoạch toán học trong các không gian vô hạn chiều đã đượcnghiên cứu từ giữa thế kỉ trước, bắt đầu với mô hình bài toán quy hoạchtuyến tính vô hạn chiều Nhiều bài toán tối ưu trong các không gian hàm,

có cấu trúc phức tạp, như bài toán điều khiển tối ưu và bài toán biến phân

có thể đưa về bài toán quy hoạch toán học trong không gian vô hạn chiều

Bài toán quy hoạch toàn phương là một bài toán quy hoạch phi tuyếnđơn giản nhất Đó là bài toán tìm cực tiểu của một hàm bậc hai với cácràng buộc tuyến tính Nếu dạng toàn phương xác định dương hay nửa xácđịnh dương thì ta có bài toán quy hoạch toàn phương lồi Nếu dạng toànphương không xác định thì khi đó ta có bài toán quy hoạch toàn phươngkhông lồi

Quy hoạch toàn phương là một bộ phận đặc biệt của quy hoạch toánhọc và có nhiều ứng dụng trong lý thuyết cũng như thực tế Trong vònghơn nửa thế kỉ nay, quy hoạch toàn phương được phát triển mạnh mẽ vàthu hút sự quan tâm nghiên cứu của các nhà toán học cả về các vấn đềđịnh tính cũng như các thuật toán hữu hiệu để giải các bài toán này.Bất đẳng thức biến phân (Variational Inequality) là một mô hình toánhọc quan trọng, được ứng dụng rộng rãi trong lý thuyết tối ưu, lý thuyếtđiều khiển, lý thuyết bài toán cân bằng, cân bằng mạng, cân bằng kinh

tế, lý thuyết trò chơi, phương trình vật lý toán, cơ học

Bất đẳng thức biến phân affine (Affine Variational Inequality) là mộttrường hợp đặc biệt của bất đẳng thức biến phân Tuy là lớp bài toán bấtđẳng thức biến phân đơn giản nhất, nhưng bất đẳng thức biến phân affine

là một trong những lớp bài toán có cấu trúc đặc thù Nghiên cứu bất đẳngthức biến phân affine làm sáng tỏ nhiều vấn đề của bất đẳng thức biếnphân tổng quát.

Giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng của một không gianEuclide hữu hạn chiều được gọi là một tập lồi đa diện Tập lồi đa diện

có các tính chất rất đáng chú ý và được sử dụng rộng rãi trong lý thuyết

và ứng dụng, đặc biệt trong giải tích lồi và tối ưu hoá Theo Bonnans vàShapiro [2, Definition 2.195], chúng ta gọi một tập con trong một khônggian định chuẩn là một tập lồi đa diện suy rộng nếu nó là giao của một sốhữu hạn các nửa không gian đóng và một không gian con affine đóng củakhông gian định chuẩn đó Nếu không gian con affine có thể chọn là toàn

bộ không gian thì tập lồi đa diện suy rộng được gọi là một tập lồi đa diện.Khái niệm tập lồi đa diện suy rộng cho phép chúng ta nghiên cứu bài toánquy hoạch toàn phương dưới ràng buộc tuyến tính và bài toán bất đẳngthức biến phân affine trong không gian định chuẩn

Sau khi được học về Lý thuyết tối ưu và các kiến thức liên quan, vớimong muốn tìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, các kiến thức

mở rộng và ứng dụng của những kiến thức này, chúng tôi chọn đề tài luậnvăn: “Quy hoạch toàn phương và Bất đẳng thức biến phân affinetrong không gian định chuẩn”

Luận văn này có mục đích tìm hiểu, trình bày lại các kết quả chính vềđiều kiện tối ưu, cấu trúc tập nghiệm của lớp các bài toán quy hoạch toànphương và bài toán bất đẳng thức biến phân affine trong không gian địnhchuẩn Trong luận văn có một số ví dụ (Ví dụ 1.2), và một số đoạn chứngminh chi tiết cho các định lý (Định lý 2.1, Định lý 2.5) là mới

Nội dung luận văn được viết trong hai chương

Chương 1 “Kiến thức chuẩn bị” trình bày những kiến thức cơ bản

về tập lồi đa diện suy rộng và các kết quả bổ trợ phục vụ cho việc chứngminh ở chương sau

Chương 2 “Điều kiện tối ưu cho lớp bài toán quy hoạch toànphương và bất đẳng thức biến phân trên không gian định chuẩn”

trình bày chi tiết các điều kiện tối ưu cho lớp bài toán quy hoạch toànphương suy rộng, cấu trúc tập nghiệm và điều kiện tối ưu cho lớp bài toánbất đẳng thức biến phân affine trong không gian định chuẩn Nội dung củachương được biên dịch và trình bày lại một cách có hệ thống các kết quảtrong bài báo [6] của các tác giả Nguyen Dong Yen và Xiaoqi Yang đăngtrên tạp chí Jornal of Optimization Theory and Application năm 2018.

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Từ giờ đến cuối luận văn, nếu không đề cập đến, chúng ta qui ước X làkhông gian định chuẩn trên không gian các số thực và X∗ là không gianđối ngẫu của X Ký hiệu ⟨x∗, x⟩ là giá trị của phiếm hàm tuyến tính liêntục x∗ ∈ X∗ tại x ∈ X

Định nghĩa 1.1 Cho A là một tập con của X

(i) Tập A được gọi là lồi nếu

∀x, y ∈ A, ∀λ ∈ (0, 1) ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ A

Quy ước: Tập ∅ là tập lồi

(ii) Tập A được gọi là affine nếu

nửa không gian đóng, tức là tồn tại x∗i ∈ X∗ và αi ∈ R, i = 1, , m

thỏa mãn

K = {x ∈ X : ⟨x∗i, x⟩ ≤ αi, i = 1, , m} (1.1)Định nghĩa 1.3 (Xem [2, p 133]) Tập K ⊂ X được gọi là một tập lồi

đa diện suy rộng (generalized polyhedral convex) nếu tồn tại x∗i ∈ X∗,

αi ∈ R, i = 1, 2, , m, và một không gian affine đóng L ⊂ X, sao cho

K = x ∈ X | x ∈ L, ⟨x∗i, x⟩ ≤ αi, i = 1, , m (1.2)Nếu K có biểu diễn(1.2) với L = X thì chúng ta gọi K là một tập lồi

đa diện

Từ Định nghĩa 1.3 chúng ta thấy ngay rằng mọi tập lồi đa diện suyrộng là đóng Chú ý rằng, trong không gian hữu hạn chiều, tập K là lồi

đa diện suy rộng khi và chỉ khi nó là lồi đa diện

Nếu L ⊂ X và L = a + L0, với L0 là không gian con đóng của X, khi

đó tập linh hóa tử của tập L là

L⊥ := {x∗ ∈ X∗ | ⟨x∗, u⟩ = 0, ∀u ∈ L0}

NếuLmột không gian con affine đóng củaX, thì theo [2, Remark 2.196],tồn tại một toàn ánh tuyến tính liên tục A từ X vào một không gian Ba-nach Y và một véctơ y ∈ Y thỏa mãn

L =x ∈ X | Ax = y

Do đó, người ta có thể viết lại (1.2) dưới dạng

K =x ∈ X | Ax = y, ⟨x∗i, x⟩ ≤ αi, i = 1, , p (1.3)Đặt I = {1, , m} và I(¯x) := {i ∈ I : ⟨x∗i, ¯x⟩ = αi}

Định lý biểu diễn dưới đây cho tập lồi đa diện suy rộng là rất quantrọng đối với các chứng minh tiếp theo của chúng ta

Định lý 1.1 (Xem [5, Theorem 2.7]) Một tập khác rỗng D ⊂ X là lồi

đa diện suy rộng khi và chỉ khi tồn tại u1, , uk ∈ X, v1, , vℓ ∈ X, và

một không gian tuyến tính đóng X0 ⊂ X thỏa mãn

µjvj | λi ≥ 0, ∀i = 1, , k,

kXi=1

λi = 1, µj ≥ 0, ∀j = 1, , ℓ

)

+ X0

Đầu tiên, chúng tôi nhắc lại khái niệm về dạng toàn phương và một sốtính chất của dạng toàn phương khả vi Fréchet Nội dung của mục đượctham khảo từ cuốn sách [2] và bài báo [6]

Ta nói rằng hàm ψ : X × X → R là song tuyến tính khi và chỉ khi

với mọi x ∈ X thì ψ(., x) và ψ(x, ) là các hàm tuyến tính Một hàm songtuyến tính ψ được gọi là đối xứng khi và chỉ khi ψ(x, y) = ψ(y, x) vớimọi x, y ∈ X Ta gọi hàm f : X → R là một dạng toàn phương khi và

chỉ khi có một hàm song tuyến tính đối xứng ψ : X × X → R thỏa mãn

Trong trường hợp X là không gian Hilbert thì mọi dạng toàn phươngđều có biểu diễn

f (x) = 1

2⟨Ax, x⟩,

với A là toán tử tuyến tính liên tục từ X vào X và A∗ = A

Ví dụ 1.2 Cho X là không gian Hilbert, với mọi x ∈ X ta có f (x) =1

2||x||2 = 1

2⟨x, x⟩là một dạng toàn phương không âm, ở đây A = I là toán

tử đơn vị

Ví dụ 1.3 Cho X = R2, với mọi x = (x1, x2) ∈ R2 ta có f (x) = x21 − x2

2 trong Ví dụ 1.3

là dạng toàn phương không lồi

Tiếp theo ta nhắc lại định nghĩa hàm khả vi Gâteaux và khả vi Fréchet.Định nghĩa 1.4 (Xem [2, Definition 2.44]) (i) Ánh xạ f : X → Y đượcgọi là có đạo hàm theo hướng tại điểm x ∈ X theo hướng h ∈ X nếugiới hạn

(ii) Ta nói rằng f là khả vi Gâteaux tại x nếu f khả vi theo hướng tại

x và đạo hàm theo hướng f′(x, h) là toán tử tuyến tính liên tục theo h

Từ định nghĩa trên ta thấy mọi hàm khả vi Gâteaux thì khả vi theohướng nhưng chiều ngược lại không đúng.

Ví dụ 1.5 Cho hàm f :R2 →R được xác định bởi

với mọi x = (x1, x2) ∈ R2 Ta thấy rõ ràng hàm f không liên tục tại

¯

x = (0, 0) Với mọi h = (h1, h2) ∈ R2 ta có đạo hàm theo hướng tại x¯

được tính như sau



1 + 1

th2

nếu h2 ̸= 0

Nhận xét 1.1 Từ định nghĩa ta thấy nếu f khả vi Fréchet tại x thì f

khả vi Gâteaux tại điểm đó Ngược lại nếu f khả vi Gâteaux trên một tậpcon mở S ⊂ X và đạo hàm Gâteaux tương ứng f′(x, ) là liên tục trên S,thì khi đó f khả vi Fréchet tại x

Nhận xét 1.2 Trong trường hợp f là hàm nhận giá trị thực (tức là

Y = R) thì đạo hàm của hàm f được kí hiệu là ∇f (·)

Mệnh đề dưới đây cho ta mối quan hệ về tính khả vi Fréchet của dạngtoàn phương và tính liên tục của hàm song tuyến tính tương ứng

Mệnh đề 1.2 (Xem [6, Proposition 2.1]) Cho ψ là hàm song tuyến tínhđối xứng tương ứng với dạng toàn phương f được xác định trên không gianđịnh chuẩn X Khi đó các khẳng định sau đây tương đương:

(a) f khả vi Fréchet tại một điểm x ∈ X;¯

(b) ψ liên tục tại (0, 0) ∈ X × X;

(c) Có một hằng sốβ ≥ 0 sao cho |ψ(x, y)| ≤ β∥x∥∥y∥ với mọi x, y ∈ X;(d) ψ liên tục tại mọi điểm (u, v) ∈ X × X;

(e) f khả vi Fréchet tại mọi điểm u ∈ X

Nếu một trong các tính chất trên được thỏa mãn thì đạo hàm Fréchet của

f tại mọi điểm u ∈ X được tính bằng công thức ∇f (u) = 2ψ(u, )

Chứng minh (a) =⇒ (b): Giả sử khẳng định (a) đúng, khi đó f liên tụctại x ∈ X¯ Để chứng minh tính chất (b), lấy bất kỳ hai dãy véctơ xk và yktrong X hội tụ về 0, ta cần chứng minh rằng ψ(xk, yk) → 0 khi k → ∞.Với mỗi k, từ (1.4) ta có

Thật vậy, vì f khả vi Fréchet tại điểmx¯, nó cũng khả vi Gâteaux tại điểm

(b) =⇒ (c): Giả sử ψ liên tục tại (0, 0) ∈ X × X Khi đó tồn tại δ > 0

thỏa mãn |ψ(u, v)| ≤ 1 với mọi u, v ∈ X với ∥u∥ ≤ δ và ∥v∥ ≤ δ Chotrước x, y ∈ X \ {0} bất kỳ, ta có

(c) =⇒ (d): Giả sử khẳng định (c) đúng với một vài β ≥ 0 và (u, v) ∈

X × X tùy ý cho trước, ta cần chỉ ra ψ liên tục tại (u, v) Với bất kỳ

(d) =⇒ (e): Giả sử (d) đúng và u ∈ X là một véctơ bất kỳ Theo đó,

ψ(u, ) là hàm tuyến tính liên tục vàψ liên tục tại điểm(0, 0) Theo chứngminh trên, tồn tại β > 0 sao cho |ψ(x, y)| ≤ β∥x∥∥y∥ với mọi x, y ∈ X.Vì

f (u + h) = f (u) + 2ψ(u, h) + ψ(h, h)

và ψ(h, h) = o(∥h∥) vì ψ(h, h) ≤ β∥h∥2, do đó ta có thể khẳng định hàm

f khả vi Fréchet tại điểm u và ∇f (u) = 2ψ(u, )

Tính chất (e)hiển nhiên suy ra tính chất (a) nên định lý đã được chứngminh.

Nhận xét 1.3 Cho f là dạng toàn phương trên X với ψ tương ứng làhàm song tuyến tính đối xứng Giả sử f khả vi Fréchet tại một điểm thuộc

X Thì khi đó theo mệnh đề trên hàm f khả vi tại mọi điểm trên X Hơnnữa, tồn tại hằng số β > 0 thỏa mãn điều kiện (c) Khi đó, công thức

M x := 2ψ(x, ) kí hiệu một toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào X∗ Đặt

∥M x∥ ≤ 2β∥x∥ với mọi x ∈ X hay viết tắt ∥M ∥ ≤ 2β Ta nhận thấy mỗidạng toàn phương khả vi trên X sinh ra duy nhất một toán tử tuyến tính

bị chặn M : X → X∗ Ta gọi M là toán tử tuyến tính bị chặn liên kết với

f Tính đối xứng của ψ cho ta điều kiện sau

⟨M x, y⟩ = ⟨M y, x⟩ ∀x, y ∈ X (1.7)

Từ Mệnh đề 1.2, một câu hỏi tự nhiên nảy sinh là: Trong một khônggian định chuẩn vô hạn chiều, có dạng toàn phương nào không liên tụckhông? Để trả lời câu hỏi này chúng ta cần sử dụng cấu trúc sau

Giả sử rằng X là không gian định chuẩn vô hạn chiều Đặt {eτ : τ ∈ T }

là một cơ sở đại số của X, ∥eτ∥ = 1 với mọi τ ∈ T Ta chọn một dãy cáctập con đếm được T0 = {τk : k ∈ R+} của T, trong đó R+ kí hiệu chotập các số thực không âm Đặt φ(eτk) = k với mọi k ∈ R+ và φ(eτ) = ατ

với mọi τ /∈ T0, trong đó các số ατ ∈ R được chọn tùy ý Mỗi véctơ

x ∈ X được biểu diễn duy nhất dưới dạng x = P

f (x) := ψ(x, x) = φ(x)2 không liên tục

Định nghĩa 1.6 Nếu f là một dạng toàn phương khả vi Fréchet trên

X, q ∈ X∗ là một véctơ cho trước và K ⊂ X là tập lồi đa diện thì bài toán

min{f (x) + ⟨q, x⟩ : x ∈ K} (1.8)được gọi là bài toán quy hoạch toàn phương (quadratic programming prob-lem) hay quy hoạch toàn phương (quadratic program)

Ví dụ 1.6 Cho X = R2, với mọi x = (x1, x2) ∈ R2 ta có bài toán quyhoạch toàn phương sau đây

min{x21 − x22 : 1 ≤ x1 ≤ 3, 1 ≤ x2 ≤ 3}

Định nghĩa 1.7 Nếu f là một dạng toàn phương khả vi Fréchet trên

X, q ∈ X∗ là một véctơ cho trước và K ⊂ X là tập lồi đa diện suyrộng thì bài toán (1.8) được gọi là bài toán quy hoạch toàn phương suyrộng (generalized quadratic programming problem) hay quy hoạch toànphương suy rộng (generalized quadratic program)

Theo Nhận xét 1.3 ở trên, mỗi dạng toàn phương f khả vi trên X

sinh ra duy nhất một toán tử tuyến tính, đối xứng, bị chặn M sao cho

f (x) = 12⟨M x, x⟩ Do vậy để thuận tiện, từ nay về sau ta xét bài toánquy hoạch toàn phương (tương ứng, bài toán quy hoạch toàn phương suyrộng) có dạng như sau:

với K là tập lồi đa diện (tương ứng, tập lồi đa diện suy rộng)

Trong mục này, chúng tôi trình bày các định nghĩa về bất đẳng thứcbiến phân affine và bất đẳng thức biến phân affine suy rộng

Định nghĩa 1.8 Cho ∆ ⊂ X là tập lồi, đóng, khác rỗng và ánh xạ

F : ∆ → X∗ là đơn trị Bất đẳng thức biến phân (Variational Inequality

- viết tắt là VI) được xác định bởi toán tử F và tập ∆ là bài toán:

Tìm x ∈ ∆¯ thoả mãn ⟨F (¯x), y − ¯x⟩ ≥ 0 ∀y ∈ ∆ (1.10)Chú ý 1.1 Theo quy tắc Fermat suy rộng, nếu x¯ là nghiệm của bài toántối ưu

min{f (x) : x ∈ ∆},

trong đó f : Ω → R xác định trên tập mở Ω chứa ∆, khả vi Fréchet hoặckhả vi Gâteaux tại x¯, thì

⟨∇f (¯x), y − ¯x⟩ ≥ 0 ∀y ∈ ∆, (1.11)trong đó∇f (¯x) là đạo hàm Fréchet hoặc đạo hàm Gâteaux của f tạix¯ Tathấy rằng nếu f khả vi Fréchet hoặc khả vi Gâteaux tại mọi điểm thuộc

∆ thì x ∈ ∆¯ thoả mãn (1.11) khi và chỉ khi x¯ là một nghiệm của bài toánbất đẳng thức biến phân (1.10), ở đó F (x) := ∇f (x) với mọi x ∈ ∆

Định nghĩa 1.9 NếuM : X → X∗ là toán tử tuyến tính bị chặn, q ∈ X∗

là một véctơ và K ⊂ X là tập lồi đa diện, khi đó bài toán tìm một véctơ

¯

x ∈ K thỏa mãn

⟨M ¯x + q, x − ¯x⟩ ≥ 0 ∀x ∈ K (1.12)được gọi là bất đẳng thức biến phân affine (Affine Variational Inequality -viết tắt là AVI) được xác định bởi tập dữ liệu {M, q, K}

Định nghĩa 1.10 Nếu M : X → X∗ là một toán tử tuyến tính bị chặn,

q ∈ X∗ là một véctơ và K ⊂ X là một tập lồi đa diện suy rộng thì bàitoán tìm một véctơ x ∈ K¯ thỏa mãn (1.12) được gọi là bất đẳng thức biếnphân affine suy rộng (generalized Affine Variational Inequality - viết tắt

là g-AVI) được xác định bởi tập dữ liệu {M, q, K}

Chú ý 1.2 Trong trường hợp X = Rn, bài toán g-AVI trở thành AVI.Trường hợp này đã được nghiên cứu chuyên sâu bởi rất nhiều tác giả Nếuthêm điều kiện K là một phần tám đường tròn không âm R+ trong Rn thì(1.12) là một bài toán bù tuyến tính và có thể viết lại dưới dạng

M ¯x + q ≥ 0, x ≥ 0,¯ ⟨M ¯x + q, ¯x⟩ = 0

Định nghĩa 1.11 Nếu⟨M x, y⟩ = ⟨M y, x⟩với mọi cặp(x, y)thuộcX ×X

thì chúng ta nói rằng bất đẳng thức biến phân affine suy rộng có tính đốixứng, với K là một tập lồi đa diện suy rộng