Phương pháp quán tính luân phiên tìm nghiệm của bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu

Trang 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCNGHIÊM THỊ THỦYPHƯƠNG PHÁP QN TÍNH LN PHIÊNTÌM NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾNPHÂN GIẢ ĐƠN ĐIỆUChuyên ngành: Toán ứng dụngMã số: 8460112LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌCHướng dẫn 1: TS Nguyễn Song HàHướng dẫn 2: TS Đinh Diệu Hằng

THÁI NGUYÊN - 2023

LỜI CẢM ƠNLuận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học, Đại học TháiNguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Song Hà và TS.Đinh Diệu Hằng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới thầy cô,những người đã tận tình hướng dẫn tác giả trong quá trình nghiên cứu luậnvăn này.

Để hoàn thành luận văn thạc sĩ một cách hoàn chỉnh, bên cạnh sự nỗ lực

cố gắng của bản thân còn có sự hướng dẫn nhiệt tình của quý thầy cô cũngnhư sự động viên ủng hộ của gia đình và bạn bè trong suốt thời gian học tậpnghiên cứu và thực hiện luận văn thạc sĩ

Với tình cảm chân thành, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến toàn thể quý thầygiáo, cô giáo trong Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán-Tin và bộphận sau đại học trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã tậntình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo mọi điều kiện thuậtlợi nhất cho tác giả trong suốt quá trình học tập nghiên cứu và cho đến khithực hiện đề tài luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn đến Ban giám hiệu Trường THPT BắcĐông Quan, huyện Đông Hưng, tỉnh Thái Bình và các đồng nghiệp đã tạođiều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu

Tác giả xin dành tất cả sự yêu thương và lời cảm ơn vô hạn tới gia đình vàngười thân luôn là người động viên mạnh mẽ giúp tác giả thực hiện luận văn.Xin chân thành cảm ơn!

Tác giảNghiêm Thị Thủy

Trang bìa phụ i

Chương 1 Một vài nội dung cơ bản trên không gian Hilbert

1.1 Tập đóng, tập mở và tập lồi 3

1.2 Một số đẳng thức và bất đẳng thức thông dụng 8

1.3 Phép chiếu trên tập đóng lồi 10

1.4 Ánh xạ đơn điệu và liên tục yếu theo dãy 13

Chương 2 Phương pháp quán tính luân phiên tìm nghiệm của bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu 19 2.1 Bất đẳng thức biến phân 19

2.2 Phương pháp quán tính luân phiên (AIM) 26

2.3 Kết quả thử nghiệm số 36

H Không gian Hilbert thực

Rn Không gian thực n chiều

⟨u, v⟩ Tích vô hướng của hai véctơ u và v

∥u∥ Chuẩn của véctơ u

PC(u) Phép chiếu mêtric phần tử u lên tập C

∇φ(u) Gradient của ánh xạ φ tại u

xn → ¯x Dãy {xn} hội tụ mạnh đến ¯x khi n → +∞

xn ⇀ ¯x Dãy {xn} hội tụ yếu đến ¯x khi n → +∞

(VIP) Bài toán bất đẳng thức biến phân

Ω(F,C) Tập nghiệm của bài toán (VIP) với ánh xạ giá F

và miền ràng buộc CAIM Phương pháp quán tính luân phiên

2.1 Kết quả tính toán với θ = 0.001 37

2.2 Kết quả tính toán với θ = 1 37

2.3 Bảng tương quan với sai số cho trước TOL=10−5 38

2.4 Bảng tương quan với sai số cho trước TOL=10−3 39

Bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) trong không gian vô hạn chiềuđược nhà toán học người Italia là Stampacchia và đồng sự đưa ra vào nhữngnăm đầu thập niên 60 thế kỉ XX, khi nghiên cứu về bài toán biên tự do [1, 5, 9].Vấn đề tìm lời giải của (VIP) là bài toán trọng tâm trong lý thuyết tối ưuhóa và nhiều ứng dụng của nó đã được nghiên cứu bởi nhiều nhà Toán họclớn trên thế giới như Kinderlehrer và Stampacchia (1980), Glowinski và cộng

sự (1981), Aubin và Ekeland (1984), Baiocchi và Capelo (1984), Khobotov(1989), Marcotte (1991), Konnov (2001), (xem [1, 5, 9] cùng tài liệu dẫn).Phương pháp đơn giản nhất để giải bài toán (VIP) là phương pháp chiếugradient Phương pháp này chỉ thực hiện một phép chiếu trên miền ràngbuộc Tuy nhiên, sự hội tụ của phương pháp này lại yêu cầu ánh xạ giá phải

là đơn điệu mạnh hoặc ngược đơn điệu mạnh Để loại bỏ giả thiết khá mạnhnày, Korpelevich (1976) đã đề xuất phương pháp đạo hàm tăng cường (EGM)

để giải các bài toán về điểm yên ngựa, phương pháp này sau đó đã được mởrộng cho bài toán (VIP) Sự hội tụ của phương pháp (EGM) chỉ yêu cầu ánh

xạ giá là đơn điệu (thậm chí là giả đơn điệu) và L-liên tục Lipschitz (xem [1]cùng tài liệu dẫn)

Kể từ đó, nhiều tác giả đã đề xuất các phiên bản cải tiến của thuật toán(EGM) Chẳng hạn, các nghiên cứu của Solodov và Svaiter (1999), Tseng(2000), Nadezhkina và Takahashi (2006), Mainge (2008) Ceng và cộng sự(2010), Censor và cộng sự (2011, 2012), Malitsky và cộng sự (2015), Hieu(2016, 2017, 2018, 2020), Thong (2017, 2018, 2020), (xem [1, 4, 7, 9] cùngtài liệu dẫn) Nổi bật hơn cả là công trình nghiên cứu của Cencor và cộng

sự [4] đã giới thiệu một biến thể của thuật toán (EGM), được gọi là phươngpháp dưới đạo hàm-đạo hàm tăng cường (SEGM), giải bài toán (VIP) trongkhông gian Hilbert Trong phương pháp này, họ đã thay thế phép chiếu thứhai trong phương pháp (EGM) bằng một phép chiếu lên nửa không gian được

cấu trúc đặc biệt Đây là một cải tiến đáng kể, vì phép chiếu trên một nửakhông gian vốn đã rõ ràng.

Gần đây, nhiều tác giả (chẳng hạn, Dong (2016), Gibali và Hieu (2019),Thong và Hieu (2018), Cholamjiak (2020), ) đã xem xét các thuật toánkiểu quán tính có nguồn gốc từ phiên bản rời rạc của hệ thống động lực tiêután bậc hai (phần tài liệu dẫn trong [7]) Đó là quá trình tăng gia tốc cáctính chất hội tụ Tuy nhiên, một đặc điểm chung của loại phương pháp đó làtính đơn điệu Fejér (đối với dãy chuẩn của phần tử xấp xỉ thứ n và nghiệm)

bị mất và điều này góp phần làm cho các phương pháp đó đôi khi không hội

tụ nhanh hơn các phương pháp không có quán tính Để khắc phục vấn đềtrên, một số tác giả đã sử dụng phương pháp quán tính luân phiên, được giớithiệu gần đây trong nghiên cứu của Mu và Peng [6] Phương pháp này đã chothấy hiệu suất được cải thiện khá rõ Chi tiết có thể xem trong công bố củaIutzeler và Malick (2018), Iutzeler và Hendrickx (2019) hay Shehu và Iyiola(2020) (xem tài liệu dẫn trong [7])

Mục đích chính của luận văn là trình bày lại một kết quả mới đề xuất bởiOgbuisi Ferdinard và đồng sự công bố năm 2022 [7] theo hướng như vậy Cụthể, luận văn sẽ trình bày phương pháp quán tính luân phiên tìm một nghiệmcủa bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu Đồng thời, xây dựng các ví dụ số

cụ thể nhằm minh họa thêm cho các kết quả lí thuyết

Với mục tiêu như vậy, luận văn gồm mở đầu, hai chương, kết luận và tàiliệu tham khảo Chương 1 dùng để hệ thống lại những kiến thức cơ sở trênkhông gian Hilbert thực nhằm phục vụ cho việc trình bày nội dung chính ởphần sau Chương 2 dành để trình bày nội dung về chủ đề nêu trên Bên cạnh

đó, chúng tôi sẽ xây dựng và chi tiết hóa các thử nghiệm số nhằm làm rõ hơncác vấn đề lí thuyết mà luận văn đề cập

Một vài nội dung cơ bản trên không gian Hilbert thực

Trong chương này, chúng tôi hệ thống lại một số kiến thức cơ bản phục

vụ cho việc trình bày các nội dung chính ở phần sau của luận văn Cấu trúccủa chương được chia thành bốn phần: Mục 1.1 chúng tôi trình bày vài kháiniệm và tính chất cốt yếu về tập đóng, mở và lồi Mục 1.2 dành để nhắc lạimột số đẳng thức và bất đẳng thức thông dụng trên không gian Hilbert thực.Khái niệm và các tính chất thường dùng về phép chiếu mêtric được cụ thểhóa trong Mục 1.3 Phần cuối chương, Mục 1.4 dùng để giới thiệu về ánh xạloại đơn điệu cùng một số lớp ánh xạ liên tục

1.1 Tập đóng, tập mở và tập lồi

Trước hết, chúng tôi nhắc lại các khái niệm về sự hội tụ mạnh và hội tụyếu cùng mối quan hệ giữa chúng Để tránh trong các phát biểu lặp lại nhiềulần, chúng tôi luôn giả thiết H là không gian Hilbert thực

Định nghĩa 1.1 Dãy {xn} ⊂ H được gọi là hội tụ mạnh đến ¯x ∈ H khi ntiến ra +∞ nếu với mọi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho

∥xn− ¯x∥ < ε, ∀n ≥ n0,

(tức là, lim

n→+∞∥xn− ¯x∥ = 0) Khi đó, ta viết xn → ¯x

Định nghĩa 1.2 Dãy {xn} ⊂ H được gọi là hội tụ yếu đến ¯x ∈ H khi n tiến

ra +∞ nếu với mọi ε > 0 và y ∈ H, tồn tại n0 ∈ N sao cho

|⟨xn− ¯x, y⟩| < ε, ∀n ≥ n0

(nghĩa là, lim

n→+∞⟨xn, y⟩ = ⟨¯x, y⟩, ∀y ∈ H) Khi ấy, ta kí hiệu xn ⇀ ¯x

Nhận xét 1.1 Nếu xn → ¯x thì xn ⇀ ¯x

Nhận xét 1.2 Một dãy hội tụ yếu không nhất thiết hội tụ mạnh Chẳnghạn, trên không gian H = L2[0, 1] các hàm số (liên tục) bình phương khảtích, tức là

Z 1 0

x2(t)dt < ∞, ∀x = x(t) ∈ L2[0, 1],thì dãy

xn := xn(t) = sin(nπt)

là dãy có tính chất như vậy Điều đó được suy ra từ thực tế rằng

∥xn∥2 =

Z 1 0

x2n(t)dt =

Z 1 0

sin2(nπt)dt

=

Z 1 0

1 − cos(2nπt)

= 12



t − sin(2nπt)

2nπ



Z 1 0

xn(t)y(t)dt

=