Byrne [4] ựng dửng bi toĂn chĐp nhên tĂch vo giÊi bi toĂnphửc hỗi v tĂi tÔo hẳnh Ênh y tá.. Thổng quacĂc vẵ dử số trong lắnh vỹc tĂi tÔo hẳnh Ênh, dÂy lp 0.3 Â cÊi thiằn Ăngk hiằu suĐt c
CĂc khĂi niằm v kát quÊ cỡ bÊn
Khổng gian R n = {x = (x 1 , x 2 , , x n ) : x i ∈ R, i = 1, , n} l khổng gian v²ctỡ vợi ph²p cởng v ph²p nhƠn vổ hữợng cho bði
Cho x = (x 1 , , x n ), y = (y 1 , , y n ) ∈ R n Tẵch vổ hữợng cừa x v y trong khổng gian R n ữủc ành nghắa bði
5 ành nghắa 1.1 [1] Têp C ⊂ R n ữủc gồi l mởt têp lỗi náu λx+ (1−λ)y ∈C, vợi mồi x, y ∈C, mồi λ ∈[0,1].
Têp tĐt cÊ cĂc iºm z = λx+ (1−λ)y vợi λ ∈[0,1] gồi l oÔn th¯ng nối xv y; ữủc kẵ hiằu l [x, y] Khi õ, mởt têp l têp lỗi náu nõ chựa trồn oÔn th¯ng nối hai iºm bĐt kẳ thuởc nõ.
Vẵ dử 1.1 (i)TêpC ={x ∈R n : ∥x∥ ≤2}l têp lỗi Thêt vêy, lĐy x, y ∈R n v λ∈[0,1] Ta câ ∥x∥ ≤ 2 v ∥y∥ ≤ 2 Suy ra
C n ={x ∈R n : c(ω n ) ≤ ⟨p n , ω n −x⟩} l têp lỗi Thêt vêy, lĐy x, y∈ C n v λ ∈[0,1] ta cõ c(ω n )≤ ⟨p n , ω n −x⟩ v c(ω n ) ≤ ⟨p n , ω n −y⟩.
Do õ, λx+ (1−λ)y ∈C, vêy C n l têp lỗi. ành nghắa 1.2 [1] H m f : C → [−∞; +∞] xĂc ành trản mởt têp lỗi
C ⊆ R n ữủc gồi l h m lỗi trản C náu vợi mồi x, y ∈ C v mồi λ ∈ [0,1] ta câ f(λx+ (1−λ)y) ≤λf(x) + (1−λ)f(y).
Vẵ dử 1.2 H m f(x) = a∥x∥ l h m lỗi vợi x ∈ R n , a ≥ 0 Thêt vêy, lĐy x, y ∈R n v λ ∈[0,1], f(λx+ (1−λ)y) =a.∥λx+ (1−λ)y∥ ≤ a.λ∥x∥+a.(1−λ)∥y∥
Tiáp theo l ành nghắa dữợi vi phƠn cừa h m lỗi. ành nghắa 1.3 [1] Cho f : R n → (−∞; +∞] l mởt h m lỗi v x ∈ domf (tực l , f(x) < +∞) Mởt v²ctỡ p ∈ R n ữủc gồi l mởt dữợi gradient cừa h m f tÔi x náu
Têp tĐt cÊ cĂc dữợi gradient cừa h m f tÔi x ữủc gồi l dữợi vi phƠn cừa f tÔi x v kẵ hiằu l ∂f(x) H m f ữủc gồi l khÊ dữợi vi phƠn tÔi x náu
∥p∥ ≤ 1} Thêt vêy, lĐy bĐt kẳ p ∈ ∂f(0), ta cõ ⟨p, x − 0⟩ ≤ f(x) − f(0),
∀x ∈ R n Suy ra ⟨p, x⟩ ≤ ∥x∥, ∀x ∈ R n Chồn x = p thẳ ⟨p, p⟩ ≤ ∥p∥, suy ra
∥p∥ ≤ 1, tực p∈B Suy ra ∂f(0) ⊂ B Ngữủc lÔi, lĐy p∈R n sao cho ∥p∥ ≤1, tùc l p∈B Ta câ
Suy ra p∈∂f(0) Do õ, B ⊂ ∂f(0) Vêy ∂f(0) =B. ành nghắa 1.4 [17] Mởt Ănh xÔ T : R n → R n ữủc gồi l
(i) khổng giÂn náu ∥Tx− Ty∥ ≤ ∥x−y∥, vợi mồi x, y ∈R n ;
(ii) khổng giÂn vỳng náu
Mằnh ã 1.1 [2] Cho Ănh xÔT : C → R n Khi õ, cĂc kh¯ng ành sau tữỡng ÷ìng:
(i) T l Ănh xÔ khổng giÂn vỳng;
(ii) I − T l Ănh xÔ khổng giÂn vỳng;
(iii) Vợi mồi x∈R n v y ∈R n , ta cõ
Chùng minh (i) ⇔(ii) do (1.1), thay T bði (I − T).
+∥T x− Ty∥ 2 −2⟨x−y,Tx− Ty⟩ (1.2) Thay (1.2) v o (1.1), ta thu ữủc
+ 2⟨x−y,Tx− Ty⟩. iãu n y tữỡng ữỡng vợi
Ph²p chiáu trong khổng gian R n
ành nghắa 1.5 [17] Cho C l têp con lỗi, õng khĂc rộng cừa R n H m khoÊng cĂch liản kát vợi têp C xĂc ành bði d(x;C) = inf{∥x−w∥: w∈ C}.
Vợi mội x∈R n , toĂn tỷ P C : R n → C thọa mÂn
P C (x) ={w∈ C : ∥x−w∥=d(x;C)}. ữủc gồi l ph²p chiáu mảtric tứ R n lản C.
Sau Ơy l mởt số tẵnh chĐt quan trồng cừa ph²p chiáu.
Mằnh ã 1.2 [2] Cho C l têp con lỗi, khĂc rộng cừa R n v x∈ R n Khi õ, p=P C (x) khi v ch¿ khi p∈ C v
Chựng minh Chop=P C (x) v λ ∈[0,1] Vẳ C l têp lỗi nản vợi bĐt kẳy ∈ C, ta câ p+λ(y−p) ∈C Suy ra,
Ngữủc lÔi, giÊ sỷ (1.3) úng Vợi bĐt kẳ y ∈C, ta cõ
Mằnh ã 1.3 [2] ChoC l mởt têp con khĂc rộng, lỗi, õng cừa R n Khi õ, vợi mồi x, y ∈R n , ta cõ Ănh giĂ sau
⟨x−y, P C (x)−P C (y)⟩ ≥ ∥P C (x)−P C (y)∥ 2 Chựng minh Theo Mằnh ã 1.2, ta cõ
⟨P C (x)−P C (y), y−P C (y)⟩ ≤ 0 (1.5) Cổng thực (1.4) tữỡng ữỡng vợi
⟨P C (x)−P C (y), P C (x)−x⟩ ≤0 (1.6) Cởng cĂc vá cừa (1.5) v (1.6) ta thu ữủc
Mằnh ã 1.4 [2] Cho C l têp con lỗi õng, khĂc rộng cừa R n Khi õ, ph²p chiáu P C l Ănh xÔ khổng giÂn vỳng.
Chựng minh iãu n y ữủc suy ra tứ Mằnh ã 1.3 v Mằnh ã 1.1.
Chú ỵ 1.1 VẳP C l Ănh xÔ khổng giÂn vỳng nản I−P C cụng l Ănh xÔ khổng giÂn vỳng theo Mằnh ã 1.1.
Thuêt toĂn CQ giÊi b i toĂn chĐp nhên tĂch
B i toĂn chĐp nhên tĂch, kẵ hiằu l (SFP), ữủc phĂt biºu nhữ sau:
Tẳm x∈C sao cho Ax ∈Q, trong õ, A: R n → R m l toĂn tỷ tuyán tẵnh bà ch°n, C ⊆ R n v Q ⊆ R m l cĂc têp lỗi õng, khĂc rộng Kẵ hiằu S l têp nghiằm cừa b i toĂn chĐp nhên t¡ch.
Thuêt toĂn CQ ữủc ã xuĐt bði Byrne [4] giÊi b i toĂn chĐp nhên tĂch nhữ sau:
Thuêt toĂn 1.1 LĐy x 0 tũy ỵ Cho k = 0,1, x k+1 =P C (x k +γA T (P Q −I)Ax k ), trong õ γ ∈ (0,2/L) v L l giĂ trà riảng lợn nhĐt cừa ma trên A T A.
Sx=x+γA T (P Q −I)Ax, v T x = P C (Sx) º ỡn giÊn, kẵ hiằu P C Sx thay cho P C (Sx) Khi õ, x k+1 trong thuêt toĂn CQ s³ trð th nh x k+1 = T x k º chựng minh sỹ hởi tử cừa thuêt toĂn CQ, ta cƯn mằnh ã bờ trủ sau ¥y.
Mằnh ã 1.5 [4] iºm c ∈ C l iºm bĐt ởng cừa Ănh xÔ T : C → C, tực l T c= c, náu v ch¿ náu c l m cỹc tiºu h m ∥P Q Ac− Ac∥ vợi mồi c ∈C.
Chựng minh GiÊ sỷcl m cỹc tiºu h m∥P Q Ac−Ac∥vợi mồic ∈C Ta chựng minh c l iºm bĐt ởng cừa Ănh xÔ T.
Do tẵnh chĐt cừa ph²p chiáu, ta cõ
∥P Q Ac− Ac∥ ≤ ∥P Q Ac− Ac∥ ≤ ∥q− Ac∥, vợi mồi c ∈C v q ∈Q Chồn q = P Q Ac, ta cõ
LÔi do tẵnh chĐt cừa ph²p chiáu, ta nhên ữủc
Suy ra c l m cỹc tiºu h m ∥c−Sc∥ vợi mồi c∈C, tực l c =P C Sc=T c. B¥y gií gi£ sû T c =c, hay c=P C Sc, suy ra
Cởng hai vá cừa hai bĐt ¯ng thực trản ta thu ữủc
⟨P Q Ac−Ac, P Q Ac− Ac≥ ∥P Q Ac− Ac∥ 2
Sỷ dửng BĐt ¯ng thực Cauchy, ta cõ
∥P Q Ac− Ac∥ ≥ ∥P Q Ac− Ac∥, tực l c l m cỹc tiºu h m ∥P Q Ac− Ac∥, vợi mồi c ∈C. °tF l têp (cõ thº rộng) tĐt cÊ cĂc iºmc ∈Cm tÔi õ h m∥P Q Ac−Ac∥ Ôt giĂ trà nhọ nhĐt trản C Sỹ hởi tử cừa thuêt toĂn CQ ữủc cho bði ành lþ sau ¥y. ành lỵ 1.1 [4] GiÊ sỷ F khĂc rộng Khi õ, dÂy {x k } sinh bði Thuêt toĂn 1.1 hởi tử tợi mởt iºm thuởc F, vợi mồi iºm ban Ưu x 0 bĐt kẳ.
Chựng minh Cho F l têp khĂc rộng v c ∈ F Khi õ, c =P C Sc v
Bián ời vá phÊi cừa ¯ng thực trản ta nhên ữủc
∥Sc−Sx k ∥ 2 =∥c−x k ∥ 2 + 2γ⟨Ac− Ax k , P Q Ac−P Q Ax k +Ax k − Ac⟩
≤ ∥c−x k ∥ 2 −2γ∥Ac− Ax k ∥ 2 + 2γ⟨Ac− Ax k , P Q Ac−P Q Ax k ⟩ +γ 2 L∥(P Q −I)Ac−(P Q −I)Ax k ∥ 2 Thay
−2⟨Ac− Ax k , P Q Ac−P Q Ax k ⟩+∥Ac− Ax k ∥ 2 v o biºu thực trản, ta thu ữủc
+γ 2 L(∥P Q Ac−P Q Ax k ∥ 2 − ⟨Ac− Ax k , P Q Ac−P Q Ax k ⟩) + (2γ−γ 2 L)⟨Ac− Ax k , P Q Ac−P Q Ax k ⟩.
Do ph²p chiáu l Ănh xÔ khổng giÂn nản ta cõ
∥P Q Ac−P Q Ax k ∥ 2 − ⟨Ac− Ax k , P Q Ac−P Q Ax k ⟩ ≤0. p dửng BĐt ¯ng thực Cauchy v tẵnh khổng giÂn cừa ph²p chiáu P Q ta cõ
⟨Ac− Ax k , P Q Ac−P Q Ax k ⟩ ≤ ∥Ac− Ax k ∥ 2 Vẳ γ ∈(0,2/L) nản 2γ−γ 2 L ≥0, suy ra
∥c−x k ∥ 2 − ∥c−x k+1 ∥ 2 ≥ γ 2 L(⟨Ac− Ax k , P Q Ac−P Q Ax k ⟩ − ∥P Q Ac−P Q Ax k ∥ 2 )
+ (2γ −γ 2 L)(∥Ac− Ax k ∥ 2 − ⟨Ac− Ax k , P Q Ac−P Q Ax k ⟩)
Tứ Ơy ta nhên ữủc dÂy {∥c−x k ∥ 2 } l dÂy giÊm (vẳ dÂy {x k } bà ch°n).
{⟨Ac− Ax k , P Q Ac−P Q Ax k ⟩ − ∥P Q Ac−P Q Ax k ∥ 2 } →0 v
{∥Ac− Ax k ∥ 2 − ⟨Ac− Ax k , P Q Ac−P Q Ax k ⟩} → 0, vẳ cÊ hai dÂy n y ãu khổng Ơm.
GiÊ sỷ x ∗ l mởt iºm tử bĐt kẳ cừa dÂy {x k } Khi õ, ta cõ
⟨Ac− Ax ∗ , P Q Ac−P Q Ax ∗ ⟩=∥P Q Ac−P Q Ax ∗ ∥ 2 v
⟨Ac− Ax ∗ , P Q Ac−P Q Ax ∗ ⟩=∥Ac− Ax ∗ ∥ 2 Suy ra
∥P Q Ac− Ac∥ =∥P Q Ax ∗ − Ax ∗ ∥, tực l x ∗ ∈ F Thay c bði x ∗ , ta thu ữủc dÂy {∥x ∗ −x k ∥} l dÂy giÊm; v nõ cõ dÂy con hởi tử án 0, vẳ vêy to n bở dÂy n y hởi tử án 0 ành lỵ ữủc chùng minh.
Vẵ dử 1.4 Tẳm nghiằm cừa b i toĂn chĐp nhên tĂch (SFP) vợi
LĐy γ = 0.0052, khi õ cĂc iãu kiằn cừa ành lỵ 1.1 thọa mÂn.
Thỹc hiằn tẵnh toĂn Thuêt toĂn 1.1 bơng cĂch lĐy iºm ban Ưux 0 = [0; 0.5; 1; 1; 1] v bơng MATLAB R2009, chúng tổi thu ữủc nghiằm xĐp x¿ x = [0.0000; 0.0000; 0.0000; 0.0000; 0.5537] vợi sai số 2.1575.10 −13
Chồn C =C 1 ìC 2 ì .ìC 10 , C i = [0,5] v Q=Q 1 ìQ 2 ì .ìQ 10 , vợi
LĐy γ = 1.9215e−004, khi õ cĂc iãu kiằn cừa ành lỵ 1.1 thọa mÂn.
Thỹc hiằn tẵnh toĂn Thuêt toĂn 1.1 bơng cĂch lĐy iºm ban Ưu x 0 = [1; 0.5; 0; 1; 1; 2; 0.3; 0.7; 1; 1]v bơng MATLAB R2009, chúng tổi thu ữủc nghiằm xĐp x¿ x= [0.0000; 0.0000; 0.0000; 0.0000; 0.0000; 0.0000; 0.0000; 0.0000; 0.0000; 0.6430] vợi sai số 5.9503.10 −12
Chồn C =C 1 ìC 2 ì .ìC 20 , C i = [0,5] v Q=Q 1 ìQ 2 ì .ìQ 20 , vợi
Q i = [0,8], i = 1, ,20 Ma trên A cởt 1 án cởt 8,
Khi õ cĂc iãu kiằn cừa ành lỵ 1.1 thọa mÂn.
Thỹc hiằn tẵnh toĂn Thuêt toĂn 1.1 bơng cĂch lĐy iºm ban Ưu x 0 = [1; 1; 0.5; 1; 0.75; 2; 0.5; 0.5; 1; 1; 0; 1; 1.5; 1; 0; 0; 2; 0.3; 0.5; 0.8] v bơng MATLAB R2009, chúng tổi thu ữủc nghiằm xĐp x¿ x=[2.1638; 2.1906; 2.2240; 2.2507; 2.2373; 2.2907; 2.3308; 2.3442; 2.3642; 2.4310;2.4110; 2.4711; 2.4577; 2.4777; 2.5111; 2.5512; 2.6113; 2.6113; 2.6514; 0.2271] vợi sai số 2.0667.10 −13
Mởt số bờ ã bờ trủ
Bờ ã 1.1 [17] ChoC l têp con lỗi õng, khĂc rộng cừa R n v iºm x∈ R n X²t h m f(x) = 1 2 ∥(I −P Q )Ax∥ 2 , khi â
(i) h m f lỗi v khÊ dữợi vi phƠn.
(ii) gradient cừa f tÔi x ữủc xĂc ành bði ∇f(x) =A T (I −PQ)Ax.
Phữỡng phĂp quĂn tẵnh nợi lọng giÊi b i toĂn chĐp nhên tĂch
Chữỡng n y chúng tổi trẳnh b y phữỡng phĂp quĂn tẵnh nợi lọng giÊi b i toĂn chĐp nhên tĂch Nởi dung chẵnh ữủc tham khÊo trong t i liằu [17].
X²t b i toĂn chĐp nhên tĂch vợi têp C v Q l cĂc têp mực cừa cĂc h m lỗi cho bði
Q:= {x ∈R m : q(x) ≤ 0}, trong õ c: R n →R v q : R m → R l cĂc h m lỗi Khi õ, c v q khÊ dữợi vi phƠn trản C v Q, tữỡng ựng, v c v q bà ch°n trản cĂc têp bà ch°n.
Q n := {y ∈R m :q(Aω n )≤ ⟨q n ,Aω n −y⟩} vợi p n ∈ ∂c(ω n ) v q n ∈ ∂q(Aω n ), tữỡng ựng Ta thĐy C n ⊃ C v Q n ⊃ Q vợi mồi n Vẳ C n v Q n l hai nỷa khổng gian nản cĂc ph²p chiáu lản cĂc têp n y
20 Â cõ cổng thực tữớng minh, do õ dạ tẵnh toĂn hỡn.
Thuêt toĂn 2.1 Phữỡng phĂp CQ nợi lọng vợi bữợc ngoÔi suy quĂn tẵnh. Bữợc 1: Cho trữợc γ > 0, l∈ (0,1), à∈ (0,1), chồn tham số θ n sao cho
Bữợc 3: Tẵnh x n =P C n (ω n −τ n ∇f n (ω n )), trong õ τ n =γl m n vợi m n l số nguyản khổng Ơm nhọ nhĐt m sao cho τ n ∥∇f n (ω n )− ∇f n (x n )∥ ≤ à∥ω n −x n ∥.
Sỹ hởi tử
GiÊ sỷ têp nghiằm cừa b i toĂn chĐp nhên tĂch khĂc rộng Sau Ơy l mởt bờ ã quan trồng º chựng minh sỹ hởi tử cừa Thuêt toĂn 2.1.
Bờ ã 2.1 [17] GiÊ sỷ têp nghiằm cừa b i toĂn chĐp nhên tĂch khĂc rộng, tực l , S ̸= ∅ v {x n } l mởt dÂy bĐt kẳ sinh bði Thuêt toĂn 2.1 Khi õ dÂy {x 2n } l dÂy ỡn iằu Fej²r ối vợi têp S, tực l ∥x 2n+2 −z∥ ≤ ∥x 2n −z∥,
Do I −P Q 2n+1 l Ănh xÔ khổng giÂn vỳng v ∇f 2n+1 (z) = 0 nản ta cõ
Do tẵnh chĐt cừa ph²p chiáu v x 2n+1 ∈ C 2n+1 , ta cõ
Sỷ dửng Ănh giĂ tữỡng tỹ (2.5) ta cõ
Tiáp theo l ành lỵ hởi tử cừa Thuêt toĂn 2.1. ành lỵ 2.1 [17] GiÊ sỷ têp nghiằmS ̸=∅ v dÂy {x n }l mởt dÂy bĐt kẳ sinh bði Thuêt toĂn 2.1 Khi õ, dÂy {x n } hởi tử tợi mởt iºm trong S.
Chựng minh Theo Bờ ã 2.1, ta cõ lim n→∞∥x 2n −z∥ tỗn tÔi v iãu n y suy ra dÂy {x 2n } bà ch°n Hỡn nỳa, tứ (2.10) ta cõ n→∞lim ∥(I −P Q 2n )Ax 2n ∥= 0 (2.11) v n→∞lim ∥x 2n −x 2n ∥= 0 (2.12) Vẳ (I −P Q 2n ) l Ănh xÔ khổng giÂn nản
Tứ (2.11), (2.12) v (2.13) ta nhên ữủc n→∞lim ∥(I −P Q 2n )Ax 2n ∥= 0 (2.14) T÷ìng tü (2.14) ta câ n→∞lim ∥(I −P Q 2n+1 )Ax 2n+1 ∥= 0 (2.15) Vẳ ∂q l têp bà ch°n trản mởt têp bà ch°n nản lĐy δ > 0sao cho ∥q 2n ∥ ≤ δ Vẳ
P Q 2n Ax 2n ∈ Q 2n , tứ Thuêt toĂn 2.1 ta cõ q(Ax 2n ) ≤ ⟨q 2n ,Ax 2n −P Q 2n Ax 2n ⟩
Vẳ dÂy {x 2n } bà ch°n nản tỗn tÔi dÂy con {x 2n j } ⊂ {x 2n } sao cho
{x 2n j } →x ∗ ∈R k Do tẵnh liản tửc cừa dữợi vi phƠn v (2.16), suy ra q(x ∗ )≤ lim inf n→∞q(Ax 2n j ) ≤ 0.
Vẳ x 2n j ∈ C 2n j nản c(ω 2n j ) +⟨p 2n j , x 2n j −ω 2n j ⟩ ≤0, trong õ p 2n j ∈ ∂c(x 2n j ) Do tẵnh bà ch°n cừa {p 2n j } v (2.17), ta nhên ữủc c(x 2n j ) =c(ω 2n j ) ≤ ⟨p 2n j , ω 2n j −x 2n j +1 ⟩
Do tẵnh liản tửc cừa c, x 2n j → x ∗ , v tứ (2.18) ta cõ c(x ∗ ) ≤ lim inf j→∞c(x 2n j ) ≤0.
Tiáp theo, chúng ta chựng minh dÂy l´ {x 2n j } hởi tử tợi x ∗ Chú ỵ rơng, vẳ n→∞lim ∥x 2n −x ∗ ∥tỗn tÔi v lim j→∞∥x 2n j −x ∗ ∥= 0, ta nhên ữủc lim n→∞∥x 2n −x ∗ ∥= 0.
Do â, x ∗ l duy nh§t. ¡nh gi¡ t÷ìng tü (2.1)-(2.5), ta câ
Vẵ dử số
PhƯn n y trẳnh b y vẵ dử thỹc tá vã ựng dửng cừa b i toĂn chĐp nhên tĂch trong xỷ lỵ tẵn hiằu Vẵ dử ữủc tham khÊo trong [17].
X²t b i to¡n LASSO câ d¤ng min{1
2∥Ax−b∥ 2 2 : x∈R n , ∥x∥ 1 ≤t}, (2.20) trong õ, A ∈ R mìn , m < n, b ∈ R m v t > 0 B i toĂn n y tẳm mởt nghiằm thữa ữủc ựng dửng trong xỷ lỵ tẵn hiằu °tC := {x : ∥x∥ 1 ≤t}v Q={b}, thẳ b i toĂn cỹc tiºu (2.20) cõ thº ữa vã dÔng b i toĂn chĐp nhên tĂch. LĐy c(x) =∥x∥ 1 −t v kẵ hiằu têp mực C n bði
Q n = Q={b}, tực l {Ax n } hởi tử án b.
Chồn cĂc tham số γ = 1, l = à = 0.5 v A l ma trên ữủc sinh ngău nhiản cõ phƠn phối chuân trong R 120ì512 Vợi cĂch chồn h m c(x) nhữ trản thẳ dữợi vi ph¥n ∂c t¤i x∈ R n l
Khi õ, ph²p chiáu cừa x∈ R n lản C n ữủc tẵnh bði cổng thực:
Kẵ hiằu Alg [10] l thuêt toĂn trong [10], Alg [19] l thuêt toĂn trong [19] v Alg 2.1 l Thuêt toĂn 2.1; K l số và trẵ khĂc 0 trong nghiằm, CPU times l thới gian chÔy thuêt toĂn; Err l sai số ữủc tẵnh bði ∥x n+1 −x n ∥.
BÊng tẵnh toĂn ữủc cĂc tĂc giÊ trong [17] tẵnh v cho kát quÊ nhữ sau:
K Thuêt toĂn CPU-times(s) H m mửc tiảu Error
Tứ bÊng số liằu trản, ta thĐy Thuêt toĂn 2.1 cho thĐy thới gian tẵnh toĂn nhanh hỡn vợi sai số thĐp hỡn so vợi hai thuêt toĂn cỏn lÔi.
Luên vôn  thu ữủc cĂc kát quÊ sau:
1) Trẳnh b y lÔi mởt số khĂi niằm v kát quÊ cỡ bÊn vã têp lỗi, h m lỗi, dữợi vi phƠn cừa h m lỗi.
2) Trẳnh b y ph²p chiáu trong khổng gian R n
3) Trẳnh b y b i toĂn chĐp nhên tĂch v thuêt toĂn CQ giÊi b i toĂn chĐp nhên tĂch.
4) ữa ra vẵ dử số giÊi b i toĂn chĐp nhên tĂch bơng thuêt toĂn CQ dỹa trản phƯn mãm MATLAB.
5) Trẳnh b y lÔi mởt cĂch chi tiát phữỡng phĂp quĂn tẵnh nợi lọng giÊi b i toĂn chĐp nhên tĂch.
6) Trẳnh b y sỹ hởi tử cừa thuêt toĂn n y v mởt vẵ dử số minh hồa cho thuêt toĂn.
[1] TrƯn Vụ Thiằu, Nguyạn Thà Thu Thừy, GiĂo trẳnh tối ữu phi tuyán, Nh xuĐt bÊn Ôi hồc Quốc Gia H Nởi, 2011.
[2] Bauschke H H., Combettes P L (2010), Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces, Springer.
[3] Bertsekas (2003), Convex Analysis and Optimization, Athena Scientific, Belmont, Massachusetts.
[4] Byrne C (2002), Iterative oblique projection onto convex sets and the split feasibility problems, Inverse Prob., 18, 441-453.
[5] Censor Y., Elfving T (1994), A multiprojections algorithm using Breg- man projections in a product spaces, Numer Algorithms, 8, 221-239.
[6] Censor, Y., Elfving, T., Kopf, N., Bortfeld, T (2005), The multiple-sets split feasibility problem and its applications for inverse problems, Inverse Prob., 21, 20712084.
[7] Censor Y., Gibali A., Reich S (2012), Algorithms for the split variational inequality problem, Numer Algorithms, 59, pp 301-323.
[8] Dang, Y.-Z., Sun, J., Zhang, S (2019), Double projection algorithms for solving the split feasibility problems, J Ind Manag Optim., 15(1), pp. 20232034.
[9] Dong, Q.L., Tang, Y.C., Cho, Y.J., Rassias, ThM (2018), Optimal choice of the step length of the projection and contraction methods for solving the split feasibility problem, J Global Optim, 71, pp 341360.
[10] Gibali, A., Liu, L.-W., Tang, Y.-C (2018), Note on the modified relax- ation CQ algorithm for the split feasibility problem, Optim Lett., 12, pp. 817830.
[11] Lõpez, G., Martẵn-MĂrquez, V., Wang, F., Xu, H.-K (2012), Solving the split feasibility problem without prior knowledge of matrix norms, Inverse Problems, 28, pp 18.
[12] Moudafi A., Thakur B S (2014), Solving proximal split feasibility prob- lems without prior knowledge of operator norms, Optim Lett., 8, pp. 2099-2110.
[13] Mu, Z., Peng, Y (2015), A note on the inertial proximal point method, Stat Optim Inf Comput , 3, pp 241248.
[14] Nesterov, Y (1983), A method for solving the convex programming prob- lem with convergence rate O(1/k2), Dokl Akad Nauk SSSR, 2269, pp. 543547.
[15] Polyak, B.T (1964), Some methods of speeding up the convergence of iteration methods, U.S.S.R Comput Math Math Phys., 4, pp 1-17.
[16] Reich S., Tuyen T M (2021), Projection Algorithms for Solving theSplit Feasibility Problem with Multiple Output Sets, J Optim Theory and App., 190, pp 861878.