Thuật toán cq kiểu halpern quán tính giải bài toán chấp nhận tác trong không gian hllbert

Thuªt to¡n v sü hëi tö.. Ph¦n cuèi còng cõa ch÷ìng tr¼nh b y mët sè bê · bê trñ dòng cho ch÷ìng sau.. Nëi dung cõa ch÷ìng ÷ñc tham kh£o... Cho C l tªp con lçi âng, kh¡c réng cõa khæng gi

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC

NG×ÍI H×ÎNG DˆN KHOA HÅC:

TS NGUY™N THÀ THANH HUY—N

Th¡i Nguy¶n, 11/2023

Möc löc

1.1 Mët sè kh¡i ni»m cì b£n 6

1.2 Ph²p chi¸u m¶tric 10

1.3 B i to¡n ch§p nhªn t¡ch 12

1.4 Mët sè bê · bê trñ 13

2 Thuªt to¡n CQ kiºu Halpern qu¡n t½nh gi£i b i to¡n ch§p nhªn t¡ch trong khæng gian Hilbert 20 2.1 Thuªt to¡n v  sü hëi tö 20

2.2 V½ dö sè minh håa cho thuªt to¡n 29

i

Líi nâi ¦u

Cho C v  Q t÷ìng ùng l  c¡c tªp con lçi, âng, kh¡c réng trong khæng gian

T¼m z ∈ C sao cho Az ∈ Q

N¸u b i to¡n câ nghi»m, k½ hi»u tªp nghi»m cõa b i to¡n (SFP) l  S, tùc l 

S = {z ∈ C : Az ∈ Q}

Mæ h¼nh gèc cõa b i to¡n (SFP) ÷ñc giîi thi»u bði Censor v  Elfving [4] cho

mæ h¼nh b i to¡n ng÷ñc, sau â ÷ñc ùng döng trong b i to¡n khæi phöc dúli»u v  i·u khiºn c÷íng ë x¤ trà trong i·u trà ung th÷ V¼ vªy, b i to¡n ch§pnhªn t¡ch thu hót ÷ñc r§t nhi·u nh  khoa håc trong v  ngo i n÷îc quan t¥mnghi¶n cùu Nhi·u thuªt to¡n ÷ñc ph¡t triºn º gi£i b i to¡n ch§p nhªn t¡ch

v  c¡c b i to¡n tèi ÷u li¶n quan ¸n b i to¡n ch§p nhªn t¡ch, ch¯ng h¤n, xem[3, 6, 8, 11, 12] v  c¡c t i li»u tham kh£o trong â Ph÷ìng ph¡p cê iºn gi£i

Q t÷ìng ùng Hìn núa, trong mët v i ùng döng kh¡c, C v  Q câ thº l  c¡c tªpmùc cõa c¡c h m lçi ÷ñc cho nh÷ sau:

1

Yang [13] · xu§t thuªt to¡n CQ nîi läng vîi sü hëi tö y¸u nh÷ sau:

Qn = {y ∈ H2 : q(Azn) ≤ ⟨ξn, Azn − y⟩} v  ξn ∈ ∂q(Azn) Vîi hn(z) cho nh÷

v o ∥A∥ n¶n khâ t½nh to¡n trong thüc t¸ Do â, nhi·u nh  khoa håc ¢ x¥ydüng c¡c ë d i b÷îc m  khæng phö thuëc v o chu©n ∥A∥ Sau â, Lopez v c¡c cëng sü [7] nghi¶n cùu sü hëi tö m¤nh cõa thuªt to¡n (0.2) b¬ng c¡ch sûdöng ph÷ìng ph¡p kiºu Halpern:

vîi τn = ρn h n (z n )

∥∇h n (zn)∥ 2, u ∈ H1 l  v²c tì ng¨u nhi¶n, inf ρn(4 − ρn) > 0 v  h m

nîi läng qu¡n t½nh nh÷ sau:

∇hn(un) = A∗(I − PQn)Aun, νn = max{1, ∥∇fn(un)∥}, υ = ζn

νn,D¢y {ηn ⊂ [0, ηn]} vîi

trong khæng gian Hilbert

K¸t hñp k¾ thuªt qu¡n t½nh v  l°p kiºu Halpern, c¡c t¡c gi£ Xiaojun Ma v Hongwei Liu [11] · xu§t thuªt to¡n CQ kiºu Harpern qu¡n t½nh gi£i b i to¡nch§p nhªn t¡ch nh÷ sau:

Luªn v«n tªp trung tr¼nh b y thuªt to¡n CQ kiºu Halpern qu¡n t½nh gi£i

b i to¡n ch§p nhªn t¡ch tr¶n cì sð åc hiºu v  tr¼nh b y l¤i mët c¡ch câ h»

Trong ch÷ìng 2, chóng tæi tr¼nh b y thuªt to¡n CQ kiºu Halpern qu¡n t½nhgi£i b i to¡n ch§p nhªn t¡ch Nëi dung cõa ch÷ìng n y ÷ñc tham kh£o ch½nhtrong t i li»u [11].

Luªn v«n n y ÷ñc thüc hi»n t¤i tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡iNguy¶n v  ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS Nguy¹n Thà Thanh Huy·n.Tæi xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh v  s¥u s­c tîi Cæ, ng÷íi ¢ d nhnhi·u thíi gian h÷îng d¨n, tªn t¼nh ch¿ b£o cho tæi trong qu¡ tr¼nh thüc hi»n

· t i n y

Tæi xin tr¥n trång c£m ìn Ban gi¡m hi»u tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤ihåc Th¡i Nguy¶n, Ban chõ nhi»m khoa To¡n - Tin còng c¡c th¦y cæ ¢ thamgia gi£ng d¤y v  t¤o måi i·u ki»n tèt nh§t º tæi håc tªp v  nghi¶n cùu

çng thíi, tæi xin gûi líi c£m ìn tîi gia ¼nh th¥n y¶u, c£m ìn c¡c b¤n v 

çng nghi»p ¢ luæn ëng vi¶n kh½ch l» tæi trong suèt qu¡ tr¼nh thüc hi»n ·

t i Sau còng, tæi xin k½nh chóc to n thº th¦y cæ tr÷íng ¤i håc Khoa håc

-¤i håc Th¡i Nguy¶n thªt dçi d o sùc khäe º ti¸p töc sù m»nh cao quþ trong

sü nghi»p trçng ng÷íi Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn

5

Ch֓ng 1

Mët sè ki¸n thùc chu©n bà

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m cì b£n v· khænggian Hilbert, tªp lçi, h m lçi, d÷îi vi ph¥n cõa h m lçi; tr¼nh b y v· ph²p chi¸um¶tric; v· b i to¡n ch§p nhªn t¡ch Ph¦n cuèi còng cõa ch÷ìng tr¼nh b y mët

sè bê · bê trñ dòng cho ch÷ìng sau Nëi dung cõa ch÷ìng ÷ñc tham kh£o

M»nh · 1.2 (B§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz) Cho H l  khæng gian Hilbertthüc Khi â, b§t ¯ng thùc sau óng vîi måi x, y ∈ H:

∥y∥2|⟨x, y⟩|2 ≤ ∥y∥4∥x∥2

N¸u ∥y∥ = 0 th¼ b§t ¯ng thùc luæn óng N¸u ∥y∥ ̸= 0 th¼ chia c£ hai v¸ cho

{⟨y, xk⟩} hëi tö ¸n ⟨y, x⟩, tùc l 

Chó þ 1.1 D¢y hëi tö y¸u câ mët sè t½nh ch§t sau:

â

ành ngh¾a 1.2 Cho H l  khæng gian Hilbert thüc Tªp C ⊂ H ÷ñc gåi l tªp lçi n¸u µx + (1 − µ)y ∈ C vîi måi x, y ∈ C v  µ ∈ [0, 1]

V½ dö 1.1 H¼nh c¦u l  mët tªp lçi

ành ngh¾a 1.3 Cho H l  khæng gian Hilbert thüc v  f : H → [−∞, +∞]

H m f ÷ñc gåi l  lçi n¸u

Suy ra

Hay

Gi£ sû H l  khæng gian Hilbert thüc

ành ngh¾a 1.4 Cho f : H → R l  h m lçi V²ctì g ∈ H ÷ñc gåi l  d÷îigradient cõa h m f t¤i x n¸u

Tªp t§t c£ c¡c d÷îi gradient cõa f t¤i x ÷ñc gåi l  d÷îi vi ph¥n cõa f t¤i x

v  k½ hi»u l  ∂f(x), tùc l :

H m f ÷ñc gåi l  kh£ d÷îi vi ph¥n t¤i x n¸u ∂f(x) ̸= ∅.

ành lþ 1.1 Vîi måi x ∈ H, tªp d÷îi vi ph¥n ∂f(x) cõa h m f : H → R lçi,li¶n töc l  mët tªp lçi, bà ch°n, âng y¸u v  kh¡c réng

V½ dö 1.3 D÷îi vi ph¥n cõa h m chu©n ∥.∥ câ d¤ng

ành ngh¾a 1.5 H m f : H → R ÷ñc gåi l  h m nûa li¶n töc d÷îi t¤i iºm

x0 ∈ H n¸u vîi méi ϵ > 0, tçn t¤i δ > 0 sao cho

Ti¸p theo l  ành ngh¾a h m nûa li¶n töc d÷îi y¸u

ành ngh¾a 1.6 H m f : H → R ÷ñc gåi l  h m nûa li¶n töc d÷îi y¸u t¤i

X²t t¤i x0 = 0, ta luæn câ f(x0) − ϵ < f (x), ∀x ∈ R v  ∥x − 0∥ < δ Suy ra f

li¶n töc d÷îi, do â nûa li¶n töc d÷îi y¸u

gåi l  ph²p chi¸u m¶tric (l¶n C).

M»nh · 1.3 Cho C ⊆ H l  mët tªp con lçi, âng, kh¡c réng Khi â, vîi

Chùng minh ¦u ti¶n ta chùng minh kh¯ng ành óng vîi x = 0 °t d :=

chia th nh 3 ph¦n

k0 ≥ 0 sao cho ∥uk∥ ≤ d2+ ϵ/4 vîi måi k ≥ k0 L§y k, l ≥ k0 V¼ C l  tªp lçi

2uk+12ul ∈ C Do â, 1

∥uk− ul∥2 = 2∥uk∥2+ 2∥ul∥2− ∥uk + ul∥2

Do â, u = PC0

u′ ∈ C with ∥u′∥ = d Do C lçi n¶n 1

∥u − u′∥2 = 2∥u∥2+ 2∥u′∥2− ∥u + u′∥ = 2d2+ 2d2 − 4d2 = 0,

tçn t¤i v  x¡c ành duy nh§t Do â, tø ành ngh¾a cõa h¼nh chi¸u m¶tric tacâ

Bê · 1.1 Cho C l  tªp con lçi âng, kh¡c réng cõa khæng gian Hilbert thüc

3 ∥PC(x) − PC(y)∥2 ≤ ⟨x − y, PC(x) − PC(y)⟩ vîi måi x, y ∈ H;

1.3 B i to¡n ch§p nhªn t¡ch

Cho C v  Q l  c¡c tªp con lçi âng, kh¡c réng trong khæng gian Hilbert

i·u khiºn c÷íng ë x¤ trà trong i·u trà ung th÷ Nhi·u thuªt to¡n ÷ñc ·xu§t bði c¡c nh  khoa håc º gi£i b i to¡n ch§p nhªn t¡ch

Thuªt to¡n ¦u ti¶n câ thº kº ¸n º gi£i b i to¡n ch§p nhªn t¡ch l  thuªtto¡n CQ cõa t¡c gi£ Byrne [3]

Thuªt to¡n CQ cõa Byrne ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau:

V½ dö 1.6 T¼m nghi»m cõa b i to¡n ch§p nhªn t¡ch (SFP) vîi

L§y τ = 0.0027, khi â c¡c i·u ki»n cõa ành lþ 1.2 thäa m¢n.

Sû döng ph¦n m·m MATLAB R2009, chóng tæi l§y iºm ban ¦u

l  εk = 12∥Axk − PQAxk∥2 < 10−4, chóng tæi thu ÷ñc nghi»m x§p x¿

1.4 Mët sè bê · bê trñ

Bê · 1.2 Cho H l  khæng gian Hilbert thüc Vîi måi x, y, z ∈ H,

2 ∥x + y∥2 ≤ ∥x∥2+ 2⟨y, x + y⟩

2∥x − y∥2+ 12∥x − z∥2− 12∥y − z∥2.Chùng minh 1 Ta câ, vîi måi x, y, z ∈ H,

+ (1 − λ)2∥y∥2+ +λ(1 − λ)h∥x∥2− 2⟨x, y⟩ + ∥y∥2i

2 Ta câ

¥m, {tn}, {ρn}, {κn} l  3 d¢y sè thüc sao cho

n→∞sn = 0

Chùng minh X²t hai tr÷íng hñp

sn > sn+1 vîi måi n ≥ i) Trong tr÷íng hñp n y, d¢y {sn} hëi tö, v  tø (1.11)suy ra

i·u ki»n 3, ta câ lim sup

ra sν(n) ≤ sν(n)+1 vîi måi n > n0 Hìn núa,

sn ≤ sν(n)+1, ∀n > n0 (1.6)

¥m, {tn}, {ρn} l  2 d¢y sè thüc sao cho

Khi â, lim

n→∞sn = 0

Bê · 1.5 [8] Cho {an}, {ιn} v  {bn} l  c¡c d¢y c¡c sè khæng ¥m thäa m¢n:

1 h l  h m lçi v  kh£ vi;

Bê · 1.7 [12] Gi£ sû h m h(x) x¡c ành nh÷ trong Bê · 1.6 v  τ > 0,

z∗ = PC(z∗− τ ∇h(z∗)) = PC(z∗− τ A∗(I − PQ)Az∗);

τ A∗(I − PQ)Az∗ = 0 Suy ra

(I − τ A∗(I − PQ)A)z∗ = z∗

z∗ = PC(z∗− τ ∇h(z∗)) = PC(z∗− τ A∗(I − PQ)Az∗)

Ch֓ng 2

Thuªt to¡n CQ kiºu Halpern qu¡n t½nh gi£i b i to¡n ch§p nhªn t¡ch trong khæng gian Hilbert

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y thuªt to¡n CQ kiºu Halpern qu¡nt½nh gi£i b i to¡n ch§p nhªn t¡ch trong khæng gian Hilbert v  v½ dö sè minhhåa cho thuªt to¡n Nëi dung cõa ch÷ìng ÷ñc tham kh£o ch½nh trong t i li»u[11]

2.1 Thuªt to¡n v  sü hëi tö

k½ hi»u ωω(xn) l  tªp ω-giîi h¤n y¸u cõa d¢y {xn}, tùc l 

n=1

n→∞αn = 0

20

(A3) C¡c tªp C, Q, Cn, Qn, h m hn v  gradient ∇hn ÷ñc cho nh÷ sau:

(2.3)

ωn = PCn(ωn− τn∇hn(ωn)) Suy ra ωn ∈ Cn Tø Bê · 1.7 þ 2 ta câ Aωn ∈ Qn

lim

∥A ∗ A∥, τ1} > 0,

∥∇hn(ωn)∥2 = ⟨∇hn(ωn), ∇hn(ωn)⟩

= ⟨A∗(I − PQn)Aωn, A∗(I − PQn)Aωn⟩

= ⟨(I − PQn)Aωn, AA∗(I − PQn)Aωn⟩

≤ ∥A∗A∥⟨(I − PQn)Aωn, (I − PQn)Aωn⟩

≤ ∥A∗A∥ ∥(I − PQn)Aωn∥2

∥A ∗ A∥, τko ≥minn∥Aδ∗ A∥, τ1o Vªy d¢y {τn} câ cªn d÷îi l  minn δ

∥A ∗ A∥, τ1o Tø (2.2), ta câ

τn+1 ≤ anτn+ bn

p döng Bê · 1.5, suy ra lim

n→∞τn = τ V¼ d¢y {τn} câ

∥A ∗ A∥, τ1o n¶n τ > 0

ành lþ sau £m b£o sü hëi tö cõa Thuªt to¡n 2.1

ành lþ 2.1 [11] Gi£ sû c¡c i·u ki»n (A1)-(A3) thäa m¢n Khi â, d¢y

S cõa b i to¡n (SFP)

Chùng minh Chùng minh ành lþ ÷ñc chia th nh bèn ph¦n

Tø cæng thùc (2.4), vîi måi n ≥ N, ta câ

Thù ba, do (2.1), (2.4), Bê · 1.2, vîi måi n ≥ N ta câ

∥xn+1 − z∥2 ≤ (1 − αn)∥ωn − z∥2 + 2(1 − αn)τn(ρ − 2)hn(ωn)

− (1 − αn)∥zn− ωn+ τn∇hn(ωn)∥2+ 2αn⟨u − z, xn+1− z⟩

≤ (1 − αn)∥xn− z∥2+ ϑn∥xn − xn−1∥2+

i·u n y suy ra

lim

B¥y gií ta chùng minh ωω(xni) ⊂ S L§y tòy þ z∗ ∈ ωω(xni) V¼ d¢y {xn i} l 

gi£ thi¸t (A2), (2.1), (2.3), cho i → ∞ suy ra

trong â ξnij ∈ ∂q(Aωn

ij) Do t½nh bà ch°n cõa d÷îi vi ph¥n ∂q, ta câ d¢y ξnij

bà ch°n Sû döng (2.14), (2.16) ta thu ÷ñc:

q(Aωnij) ≤ ∥ξnij∥∥Aωnij − PQni

Tø t½nh nûa li¶n töc d÷îi y¸u cõa q, suy ra

q(Az∗) ≤ lim inf

j→∞q(Aωnij) ≤ 0

≤ αni∥u − ωni∥ + (1 − αni)∥zni − ωni∥

≤ αni∥u − ωni∥ + (1 − αni)∥zni − ωni + τni∇hni(ωni)∥+ (1 − αni)τni∥∇hni(ωni)∥

≤ αni∥u − ωni∥ + (1 − αni)∥zni − ωni + τni∇hni(ωni)∥+ (1 − αni)τni∥A∗∥∥(I − PQni)Aωni∥

Suy ra z∗ ∈ C Do â, z∗ ∈ S V¼ z∗ ∈ ωω(xni) l  tòy þ n¶n ωω(xni) ⊂ S Do

Ta câ v²ctì 0 ∈ A(C)∩Q n¶n A(C)∩Q ̸= ∅ Do â, i·u ki»n (A1) thäa m¢n.

(n + 1)1.1+ 1, bn = 0, ςn = 1

nhi¶n Khi â c¡c i·u ki»n (A2), (A3) thäa m¢n

Thuªt to¡n 2.1 (K½ hi»u trong b£ng l  Al.2.1) ÷ñc so s¡nh vîi thuªt to¡n cõaGibali (k½ hi»u l  G1) trong [5] v  thuªt to¡n cõa Suantai (k½ hi»u l  S1) trong[10]

k¸t qu£ ÷ñc t½nh to¡n b¬ng ph¦n m·m MATLAB R2017 ÷ñc cho trong b£ngsau Ta th§y Thuªt to¡n 2.1 câ thíi gian ch¤y ng­n hìn v  câ sè b÷îc l°p ½thìn so vîi Thuªt to¡n G1 cõa Gibali v  Thuªt to¡n S1 cõa Suantai

(n,m) Iter.(G1) Time(G1) Iter.(S1) Time(S1) Iter.(Al.2.1) Time(Al.2.1)

K¸t luªn

Luªn v«n ¢ thu ÷ñc c¡c k¸t qu£ sau:

1) Tr¼nh b y l¤i mët sè kh¡i ni»m v  k¸t qu£ cì b£n nh÷ khæng gian Hilbert,tªp lçi, h m lçi, d÷îi vi ph¥n cõa h m lçi, h m nûa li¶n töc d÷îi

2) Tr¼nh b y ph²p chi¸u m¶tric trong khæng gian Hilbert

3) Tr¼nh b y b i to¡n ch§p nhªn t¡ch v  mët v½ dö sè ÷ñc t½nh to¡n b¬ngMATLAB gi£i b i to¡n ch§p nhªn t¡ch b¬ng thuªt to¡n CQ

4) Tr¼nh b y mët sè bê · bê trñ

5) Tr¼nh b y l¤i mët c¡ch chi ti¸t thuªt to¡n CQ kiºu Halpern qu¡n t½nhgi£i b i to¡n ch§p nhªn t¡ch trong khæng gian Hilbert

6) Tr¼nh b y sü hëi tö cõa thuªt to¡n v  v½ dö sè minh håa cho thuªt to¡n

31

T i li»u tham kh£o

Breg-[6] He, S., Yang, C (2013), Solving the variational inequality problem defined

on intersection of finite level sets , Abstract and Applied Analysis, Article

ID 942315, 8 pages

32

[7] Lâpez, G., Mart½n-M¡rquez, V., Wang, F., Xu, H.-K (2012), Solving thesplit feasibility problem without prior knowledge of matrix norms, InverseProblems, 28, pp 18.

[8] Osilike, M.O., Aniagbosor, S.C (2000), Weak and strong convergence orems for fixed points of asymptotically nonexpansive mappings, Mathe-matical and Computer Modelling , 32, 11811191

the-[9] Sahu, D.R., Cho, Y.J., Dong, Q.L., Kashyap,M.R., Li, X.H (2020), tialrelaxed CQ algorithmsfor solving a split feasibility problem in Hilbertspaces, Numerical Algorithms, 87, 10751095

Iner-[10] Suantai, S., Pholasa, N., Cholamjiak, P (2018), The modified inertialrelaxed CQ algorithm for solving the split feasibility problems, Journal

of Industrial and Management Optimization, 23, 15951615

[11] Ma X., Liu H (2022),  An inertial Halpern-type CQ algorithm for solvingsplit feasibility problems in Hilbert spaces, Journal of Applied Mathemat-ics and Computing, 68, 16991717

[12] Xu, H.K.(2010), Iterative methods for solving the split feasibility ininfinite-dimensional Hilbert spaces, Inverse Problems, 26, 105018

[13] Yang, Q (2005),  On variable-step relaxed projection algorithm for ational inequalities, Journal of Mathematical Analysis and Applications,

vari-302, 166179