Thuật toán cq kiểu halpern quán tính giải bài toán chấp nhận tác trong không gian hllbert

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC  o0o  L– THÆNG SÙ THUŠT TON CQ KIšU HALPERN QUN TNH GIƒI B€I TON CH‡P NHŠN TCH TRONG KHÆNG GIAN HILBERT THI NGUY–N, 11/2023 „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC  o0o  L– THÆNG SÙ THUŠT TON CQ KIšU HALPERN QUN TNH GIƒI B€I TON CH‡P NHŠN TCH TRONG KHÆNG GIAN HILBERT LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC Chuy¶n ng nh: To¡n ùng döng M¢ sè: 8 46 01 12 NG×ÍI H×ÎNG DˆN KHOA HÅC: TS NGUY™N THÀ THANH HUY—N Th¡i Nguy¶n, 11/2023 Möc löc Líi nâi ¦u 1 1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà 6 1.1 Mët sè kh¡i ni»m cì b£n 6 1.2 Ph²p chi¸u m¶tric 10 1.3 B i to¡n ch§p nhªn t¡ch 12 1.4 Mët sè bê · bê trñ 13 2 Thuªt to¡n CQ kiºu Halpern qu¡n t½nh gi£i b i to¡n ch§p nhªn t¡ch trong khæng gian Hilbert 20 2.1 Thuªt to¡n v sü hëi tö 20 2.2 V½ dö sè minh håa cho thuªt to¡n 29 K¸t luªn 31 i Líi nâi ¦u Cho C v Q t÷ìng ùng l c¡c tªp con lçi, âng, kh¡c réng trong khæng gian Hilbert thüc H1 v H2 v A : H1 → H2 l to¡n tû tuy¸n t½nh bà ch°n vîi to¡n tû li¶n hñp A∗ B i to¡n ch§p nhªn t¡ch (SFP) câ d¤ng: T¼m z ∈ C sao cho Az ∈ Q N¸u b i to¡n câ nghi»m, k½ hi»u tªp nghi»m cõa b i to¡n (SFP) l S, tùc l S = {z ∈ C : Az ∈ Q} Mæ h¼nh gèc cõa b i to¡n (SFP) ÷ñc giîi thi»u bði Censor v Elfving [4] cho mæ h¼nh b i to¡n ng÷ñc, sau â ÷ñc ùng döng trong b i to¡n khæi phöc dú li»u v i·u khiºn c÷íng ë x¤ trà trong i·u trà ung th÷ V¼ vªy, b i to¡n ch§p nhªn t¡ch thu hót ÷ñc r§t nhi·u nh khoa håc trong v ngo i n÷îc quan t¥m nghi¶n cùu Nhi·u thuªt to¡n ÷ñc ph¡t triºn º gi£i b i to¡n ch§p nhªn t¡ch v c¡c b i to¡n tèi ÷u li¶n quan ¸n b i to¡n ch§p nhªn t¡ch, ch¯ng h¤n, xem [3, 6, 8, 11, 12] v c¡c t i li»u tham kh£o trong â Ph÷ìng ph¡p cê iºn gi£i b i to¡n (SFP) l thuªt to¡n CQ cõa Byrne [3], vîi z1 cho tr÷îc, zn+1 = PC(zn − τ A∗(I − PQ)Azn), ∀n ≥ 1, (0.1) trong â, τ ∈ (0, ∥A∥2 2 ), trong â PC v PQ l c¡c ph²p chi¸u l¶n c¡c tªp C v Q t÷ìng ùng Hìn núa, trong mët v i ùng döng kh¡c, C v Q câ thº l c¡c tªp mùc cõa c¡c h m lçi ÷ñc cho nh÷ sau: C = {z ∈ H1 : c(z) ≤ 0}, Q = {y ∈ H2 : q(y) ≤ 0}, 1 trong â c : H1 → R v q : H2 → R l 2 kh£ d÷îi vi ph¥n tr¶n H1 c¡c h m lçi v v H2 t÷ìng ùng Trong tr÷íng hñp n y, thuªt to¡n (0.1) khâ thüc hi»n ÷ñc v¼ c¡c ph²p chi¸u PC v PQ t½nh to¡n g°p nhi·u khâ kh«n º tr¡nh i·u n y, Yang [13] · xu§t thuªt to¡n CQ nîi läng vîi sü hëi tö y¸u nh÷ sau: zn+1 = PCn)(zn − τn∇hn(zn)), (0.2) trong â τn ∈ (0, ∥A∥2 2 ), Cn = {z ∈ H1 : c(zn) ≤ ⟨ϵn, zn − z⟩} vîi ϵn ∈ ∂c(zn), n ≥ 1, hn(x) = 1∥(I − PQn)Ax∥2, 2 Qn = {y ∈ H2 : q(Azn) ≤ ⟨ξn, Azn − y⟩} v ξn ∈ ∂q(Azn) Vîi hn(z) cho nh÷ tr¶n, ta câ ∇hn(z) = A∗(I − PQn)Az Ta th§y C ⊂ Cn, Q ⊂ Qn Hìn núa, c¡c ph²p chi¸u l¶n c¡c nûa khæng gian Cn v Qn l thüc hi»n ÷ñc n¶n thuªt to¡n CQ nîi läng câ thº t½nh to¡n ÷ñc Tuy nhi¶n, ë d i b÷îc τn v¨n phö thuëc v o ∥A∥ n¶n khâ t½nh to¡n trong thüc t¸ Do â, nhi·u nh khoa håc ¢ x¥y düng c¡c ë d i b÷îc m khæng phö thuëc v o chu©n ∥A∥ Sau â, Lopez v c¡c cëng sü [7] nghi¶n cùu sü hëi tö m¤nh cõa thuªt to¡n (0.2) b¬ng c¡ch sû döng ph÷ìng ph¡p kiºu Halpern: zn+1 = αnu + (1 − αn)PCn(zn − τn∇hn(zn)), (0.3) vîi τn = ∥∇hn(zn)∥2 ρnhn(zn) , u ∈ H1 l v²c tì ng¨u nhi¶n, inf ρn(4 − ρn) > 0 v h m hn(z) x¡c ành nh÷ tr¶n Khi â, d¢y {zn} sinh bði thuªt to¡n (0.3) hëi tö m¤nh tîi PS u vîi i·u ki»n lim αn = 0 v n=1 ∞ αn = ∞ n→∞ Kÿ thuªt ngo¤i suy qu¡n t½nh ÷ñc · xu§t bði Alvarez v Attouch º c£i thi»n tèc ë hëi tö cõa thuªt to¡n iºm g¦n k· n«m 2001 G¦n ¥y, mët sè t¡c gi£ sû döng kÿ thuªt n y º t«ng tèc ë cho c¡c thuªt to¡n CQ nîi läng gi£i b i to¡n (SFP) Ch¯ng h¤n, Sahu v c¡c cëng sü trong [9] · xu§t thuªt to¡n CQ 3 nîi läng qu¡n t½nh nh÷ sau:   un = xn + ηn(xn − xn−1)  xn+1 = PCn(un − υn∇hn(un)) trong â, η ∈ [0, 1) v ∇hn(un) = A∗(I − PQn)Aun, νn = max{1, ∥∇fn(un)∥}, υ = ζn , νn D¢y {ηn ⊂ [0, ηn]} vîi 1 ηn = min{η, max{n2∥xn − xn−1∥2, n2∥xn − xn−1∥} } lim ζn = 0, ζn = ∞ n→∞ n→∞ Sahu ¢ chùng minh d¢y {xn} sinh bði thuªt to¡n tr¶n hëi tö y¸u ¸n nghi»m trong khæng gian Hilbert K¸t hñp k¾ thuªt qu¡n t½nh v l°p kiºu Halpern, c¡c t¡c gi£ Xiaojun Ma v Hongwei Liu [11] · xu§t thuªt to¡n CQ kiºu Harpern qu¡n t½nh gi£i b i to¡n ch§p nhªn t¡ch nh÷ sau: wn = xn + ϑn(xn − xn−1), zn = PCn(ωn − τn∇hn(ωn)), xn+1 = αnu + (1 − αn)zn, trong â  2δhn(ωn) , anτn + bn , n¸u ∇hn(ωn)̸ = 0, ∥∇hn(ωn)∥2 min τn+1 = anτn + bn, n¸u ng÷ñc l¤i Luªn v«n tªp trung tr¼nh b y thuªt to¡n CQ kiºu Halpern qu¡n t½nh gi£i b i to¡n ch§p nhªn t¡ch tr¶n cì sð åc hiºu v tr¼nh b y l¤i mët c¡ch câ h» 4 thèng k¸t qu£ cõa Xiaojun Ma v Hongwei Liu [11] Luªn v«n ÷ñc vi¸t trong hai ch÷ìng gçm nhúng nëi dung sau: Trong ch÷ìng 1, chóng tæi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m cì b£n nh÷ khæng gian Hilbert, tªp lçi, h m lçi, h m nûa li¶n töc d÷îi, ph²p chi¸u trong khæng gian Hilbert, b i to¡n ch§p nhªn t¡ch Ph¦n cuèi ch÷ìng, chóng tæi tr¼nh b y mët sè bê · bê trñ phöc vö cho Ch÷ìng 2 Nëi dung cõa ch÷ìng n y ÷ñc tham kh£o ch½nh trong t i li»u [1, 2, 3, 6, 8, 11, 12] Trong ch÷ìng 2, chóng tæi tr¼nh b y thuªt to¡n CQ kiºu Halpern qu¡n t½nh gi£i b i to¡n ch§p nhªn t¡ch Nëi dung cõa ch÷ìng n y ÷ñc tham kh£o ch½nh trong t i li»u [11] Luªn v«n n y ÷ñc thüc hi»n t¤i tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n v ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS Nguy¹n Thà Thanh Huy·n Tæi xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh v s¥u s­c tîi Cæ, ng÷íi ¢ d nh nhi·u thíi gian h÷îng d¨n, tªn t¼nh ch¿ b£o cho tæi trong qu¡ tr¼nh thüc hi»n · t i n y Tæi xin tr¥n trång c£m ìn Ban gi¡m hi»u tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n, Ban chõ nhi»m khoa To¡n - Tin còng c¡c th¦y cæ ¢ tham gia gi£ng d¤y v t¤o måi i·u ki»n tèt nh§t º tæi håc tªp v nghi¶n cùu çng thíi, tæi xin gûi líi c£m ìn tîi gia ¼nh th¥n y¶u, c£m ìn c¡c b¤n v çng nghi»p ¢ luæn ëng vi¶n kh½ch l» tæi trong suèt qu¡ tr¼nh thüc hi»n · t i Sau còng, tæi xin k½nh chóc to n thº th¦y cæ tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n thªt dçi d o sùc khäe º ti¸p töc sù m»nh cao quþ trong sü nghi»p trçng ng÷íi Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn Danh möc kþ hi»u H khæng gian Hilbert thüc H1 khæng gian Hilbert thüc H2 khæng gian Hilbert thüc A∗ to¡n tû li¶n hñp cõa to¡n tû A AT ma trªn chuyºn và cõa ma trªn A PC Ph²p chi¸u m¶tric l¶n tªp C (SF P ) B i to¡n ch§p nhªn t¡ch S Tªp nghi»m cõa b i to¡n ch§p nhªn t¡ch ∥x∥ chu©n cõa v²ctì x ⟨x, y⟩ t½ch væ h÷îng cõa hai v²ctì x v y xn → x d¢y xn hëi tö tîi x xn ⇀ x d¢y xn hëi tö y¸u tîi x ∇f (x) gradient cõa h m f (x) t¤i x ∂f (x) d÷îi vi ph¥n cõa h m f (x) t¤i x 5 Ch÷ìng 1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m cì b£n v· khæng gian Hilbert, tªp lçi, h m lçi, d÷îi vi ph¥n cõa h m lçi; tr¼nh b y v· ph²p chi¸u m¶tric; v· b i to¡n ch§p nhªn t¡ch Ph¦n cuèi còng cõa ch÷ìng tr¼nh b y mët sè bê · bê trñ dòng cho ch÷ìng sau Nëi dung cõa ch÷ìng ÷ñc tham kh£o tø c¡c t i li»u [1, 2, 3, 6, 8, 11, 12] 1.1 Mët sè kh¡i ni»m cì b£n Cho H l khæng gian Hilbert thüc vîi t½ch væ h÷îng ⟨., ⟩ v chu©n ∥.∥ = ⟨., ⟩ Sau ¥y l c¡c t½nh ch§t cõa t½ch væ h÷îng M»nh · 1.1 Vîi x, y, z ∈ H v λ ∈ R, ta câ: 1 ⟨x, x⟩ ≥ 0 v ⟨x, x⟩ = 0 n¸u v ch¿ n¸u x = 0 2 ⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩ 3 ⟨λx, y⟩ = λ⟨y, x⟩ 4 ⟨x, y + z⟩ = ⟨x, y⟩ + ⟨x, z⟩ 6 7 M»nh · 1.2 (B§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz) Cho H l khæng gian Hilbert thüc Khi â, b§t ¯ng thùc sau óng vîi måi x, y ∈ H : |⟨x, y⟩| ≤ ∥x∥∥y∥ Chùng minh °t α = ⟨y, y⟩ v ζ = −⟨x, y⟩ Ta câ 0 ≤ ⟨αx + ζy, αx + ζy⟩ = α2⟨x, x⟩ + 2ζα⟨x, y⟩ + ζ2⟨y, y⟩ Chó þ α = ∥y∥2, ta câ 0 ≤ ∥y∥4∥x∥2 − 2∥y∥2|⟨x, y⟩|2 + ∥y∥2|⟨x, y⟩|2 Suy ra ∥y∥2|⟨x, y⟩|2 ≤ ∥y∥4∥x∥2 N¸u ∥y∥ = 0 th¼ b§t ¯ng thùc luæn óng N¸u ∥y∦ = 0 th¼ chia c£ hai v¸ cho ∥y∥2 v l§y c«n bªc hai, ta thu ÷ñc i·u ph£i chùng minh ành ngh¾a 1.1 Gi£ sû H l khæng gian Hilbert thüc D¢y {xk} trong H ÷ñc gåi l hëi tö y¸u ¸n x ∈ H , k½ hi»u l xk ⇀ x, n¸u vîi måi y ∈ H , d¢y {⟨y, xk⟩} hëi tö ¸n ⟨y, x⟩, tùc l lim ⟨y, xk⟩ = ⟨y, x⟩ k→∞ D¢y {xk} trong H ÷ñc gåi l hëi tö m¤nh ¸n x ∈ H , k½ hi»u l xk → x, n¸u lim ∥xk − x∥ = 0 k→∞ Chó þ 1.1 D¢y hëi tö y¸u câ mët sè t½nh ch§t sau: 1 Mët d¢y hëi tö y¸u {xk} ⊆ H câ ch½nh x¡c mët giîi h¤n y¸u