Luận văn thạc sỹ một thuật toán tự thích nghi giải bài toán chấp nhận tách trong không gian banach

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ THẮM MỘT THUẬT TỐN TỰ THÍCH NGHI GIẢI BÀI TỐN CHẤP NHẬN TÁCH TRONG KHƠNG GIAN BANACH Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trương Minh Tuyên TS Phạm Hồng Trường THÁI NGUYÊN - 2022 ii Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Trương Minh Tuyên, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu để hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, thầy giáo, giáo khoa Tốn – Tin, trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên tận tình giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Trường Nhân dịp này, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới người thân gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, khích lệ, tạo điều kiện giúp đỡ tơi q trình học tập nghiên cứu iii Mục lục Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu viết tắt v Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach p-lồi không gian Banach trơn 1.1.1 Không gian Banach phản xạ 1.1.2 Sự hội tụ yếu không gian Banach 1.1.3 Hàm lồi số tính chất 1.1.4 Không gian Banach p-lồi 1.1.5 Không gian Banach trơn 12 1.2 Ánh xạ đối ngẫu 14 1.3 Khoảng cách Bregman phép chiếu Bregman 17 1.3.1 Khoảng cách Bregman 17 1.3.2 Phép chiếu Bregman 19 1.4 Bài toán chấp nhận tách 22 1.5 Một số bổ đề bổ trợ 26 Chương Một thuật toán tự thích nghi cho tốn chấp nhận tách 28 2.1 Phát biểu toán 28 2.2 Thuật toán hội tụ 28 iv 2.3 Ví dụ số minh họa 41 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 v Một số ký hiệu viết tắt E không gian Banach E∗ không gian đối ngẫu E R tập hợp số thực ∩ phép giao inf M cận tập hợp số M sup M cận tập hợp số M max M số lớn tập hợp số M M số nhỏ tập hợp số M argminx∈X F (x) tập điểm cực tiểu hàm F X ∅ tập rỗng ∀x với x dom(A) miền hữu hiệu toán tử A I tốn tử đồng Lp (Ω) khơng gian hàm khả tích bậc p Ω lp khơng gian dãy số khả tổng bậc p lim sup xn giới hạn dãy số {xn } lim inf xn giới hạn dãy số {xn } xn → x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 x n ⇀ x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 n→∞ n→∞ vi Jp ánh xạ đối ngẫu δE (ε) mô đun lồi không gian Banach E ρE (τ ) mô đun trơn không gian Banach E F ix(T ) F (T ) tập điểm bất động ánh xạ T intM phần tập hợp M err sai số cho trước PC phép mêtric lên C projfC phép chiếu Bregman lên C iC hàm tập lồi C Mở đầu Cho C Q tập lồi, đóng khác rỗng không gian Hilbert H1 H2 , tương ứng Cho T : H1 −→ H2 tốn tử tuyến tính bị chặn Bài tốn chấp nhận tách (SFP) có dạng sau: Tìm phần tử x∗ ∈ C cho T x∗ ∈ Q (0.1) Dạng tổng quát Bài toán (0.1) toán (0.2), toán phát biểu sau: Cho Ci , i = 1, 2, , N Qj , j = 1, 2, , M tập lồi đóng H1 H2 tương ứng −1 Tìm phần tử x∗ ∈ S = ∩N (∩M i=1 Ci ∩ T j=1 Qj ) ̸= ∅ (0.2) Mơ hình tốn (SFP) lần giới thiệu nghiên cứu Y Censor T Elfving [7] cho mơ hình tốn ngược Bài tốn đóng vai trị quan trọng khơi phục hình ảnh Y học, điều khiển cường độ xạ trị điều trị bệnh ung thư, khôi phục tín hiệu (xem [4], [5]) hay áp dụng cho việc giải toán cân kinh tế, lý thuyết trị chơi Cho đến Bài tốn (0.2) không gian Banach chủ đề thu hút nhiều người làm tốn ngồi nước quan tâm nghiên cứu Gần đây, có số tác giả đề cập đến việc nghiên cứu tìm phương pháp lặp tìm nghiệm chung Bài toán (0.1) hay (0.2) lớp toán liên quan khác (bài toán cân bằng, toán điểm bất động, bất đẳng thức biến phân ) Mục đích luận văn trình bày lại kết Pongsakorn S Tuyen T.M tài liệu [19] thuật tốn tự thích nghi giải Bài tốn (0.2) khơng gian Banach Nội dung luận văn chia làm hai chương chính: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, luận văn đề cập đến số vấn đề không gian Banach phản xạ, hội tụ yếu không gian Banach, không gian p-lồi đều, trơn đều; ánh xạ đối ngẫu; khoảng cách Bregman, phép chiếu Bregman; toán chấp nhận tách số bổ đề bổ trợ sử dụng Chương luận văn Chương Một thuật tốn tự thích nghi cho tốn chấp nhận tách Trong chương luận văn tập trung trình bày lại cách chi tiết kết Pongsakorn S Tuyen T.M tài liệu [19] thuật tốn tự thích nghi xấp xỉ nghiệm tốn chấp nhận tách đa tập hợp khơng gian Banach p-lồi trơn Chương Kiến thức chuẩn bị Chương bao gồm mục Mục 1.1 trình bày số tính chất không gian phản xạ, không gian Banach lồi đều, trơn Mục 1.2 giới thiệu ánh xạ đối ngẫu Mục 1.3 đề cập đến khoảng cách Bregman phép chiếu Bregman Mục 1.4 trình bày toán chấp nhận tách số phương pháp giải Mục 1.5 giới thiệu số bổ đề bổ trợ sử dụng đến chứng minh hội tụ thuật toán Chương Nội dung chương tham khảo tài liệu [1, 11, 13] 1.1 1.1.1 Không gian Banach p-lồi không gian Banach trơn Không gian Banach phản xạ Cho X khơng gian tuyến tính định chuẩn X ∗ khơng gian đối ngẫu Để cho đơn giản thuận tiện hơn, thống sử dụng kí hiệu ∥.∥ để chuẩn X X ∗ ; giá trị phiếm hàm tuyến tính x∗ ∈ X ∗ điểm x ∈ X ký hiệu ⟨x, x∗ ⟩ Định nghĩa 1.1.1 Không gian Banach E gọi phản xạ với x∗∗ ∈ E ∗∗ , tồn x ∈ E cho ⟨x, x∗ ⟩ = ⟨x∗ , x∗∗ ⟩, với x∗ ∈ E ∗ Ví dụ 1.1.2 Mọi khơng gian tuyến tính định chuẩn hữu hạn chiều, không gian lp hay Lp (Ω), với < p < ∞, không gian phản xạ (xem [1]) Chú ý 1.1.3 Các tính chất khơng gian Banach phản xạ tìm thấy tài liệu tham khảo [1] i) Nếu khơng gian Banach X đồng phơi tuyến tính với khơng gian phản xạ Y , X không gian phản xạ; ii) Mọi không gian đóng khơng gian phản xạ khơng gian phản xạ; iii) Không gian Banach E phản xạ khơng gian liên hợp E ∗ không gian phản xạ 1.1.2 Sự hội tụ yếu không gian Banach Định nghĩa 1.1.4 Dãy {xn } khơng gian tuyến tính định chuẩn E gọi hội tụ yếu phần tử x ∈ E ký hiệu xn ⇀ x, lim ⟨xn , x∗ ⟩ = ⟨x, x∗ ⟩, n→∞ với x∗ ∈ X ∗ Nhận xét 1.1.5 Nếu dãy {xn } hội tụ mạnh x, tức ∥xn − x∥ → 0, dãy {xn } hội tụ yếu x Tuy nhiên, điều ngược lại không Chẳng hạn, xét không gian Hilbert l2 , dãy {en } xác định en = (0, , 0, , 0, ), vị trí thứ n với n ≥ 1, hội tụ yếu không (xem [1]), không hội tụ mạnh khơng (vì ∥en ∥ = với n ≥ 1) Mệnh đề 1.1.6 Cho E khơng gian tuyến tính định chuẩn, dãy {xn } ⊂ E hội tụ yếu x ∈ E Khi đó, dãy {xn } bị chặn Chứng minh Với n ≥ 1, xét dãy phiếm hàm {Hxn } ⊂ E ∗∗ xác định ⟨x∗ , Hxn ⟩ = ⟨xn , x∗ ⟩ với x∗ ∈ E ∗ Khi đó, với x∗ ∈ E ∗ , ta có ⟨x∗ , Hxn ⟩ = ⟨xn , x∗ ⟩ → ⟨x, x∗ ⟩ 24 Nếu γ ∈  0, ∥T ∥2  dãy {xn } xác định x1 ∈ E
xn+1 = (1 − αn )xn + αn PC I − γT ∗ (I − PQ )T xn , hội tụ yếu nghiệm toán (SFP) Năm 2006, Xu [21] đưa thuật toán mở rộng phương pháp CQ cho Bài toán (MSSFP) Trước hết ông chứng minh hội tụ phương pháp lặp Picard cho Bài toán (MSSFP)   Định lý 1.4.3 [21] Nếu γ ∈ 0, với βj > với j = 1, 2, , M L PM L = ∥T ∥2 j=1 βj , dãy {xn } xác định x1 ∈ E xn+1 = PCN (I − γ M X ∗ βj T (I − PQj )T PC1 (I − γ j=1 M X βj T ∗ (I − PQj )T )xn j=1 hội tụ yếu nghiệm Bài toán (MSSFP) Xu xây dựng chứng minh hội tụ phương pháp lặp song song phương pháp lặp xoay vòng cho Bài toán (MSSFP) dạng đây:   với βj > với j = 1, 2, , M , Định lý 1.4.4 [21] Nếu γ ∈ 0, L PN PM L = ∥T ∥2 j=1 βj λi > thỏa mãn i=1 λi = 1, dãy {xn } xác định x1 ∈ E xn+1 = N X λi PCi (I − γ i=1 M X βj T ∗ (I − PQj )T )xn j=1 hội tụ yếu nghiệm Bài toán (MSSFP)   Định lý 1.4.5 [21] Nếu γ ∈ 0, với βj > với j = 1, 2, , M L PM L = ∥T ∥2 j=1 βj , dãy {xn } xác định x1 ∈ E xn+1 = PC[n+1] (I − γ M X βj T ∗ (I − PQj )T )xn j=1 hội tụ yếu nghiệm Bài toán (MSSFP) 25 Khi E F không gian Banach p-lồi trơn đều, năm 2014, Wang [23] đưa cải tiến cho thuật toán Schopfer [18] chứng minh định lý hội tụ mạnh giải toán (MSSFP) Với n ∈ N, Wang xác định dãy ánh xạ {Tn }   ΠC (x) ≤ i(n) ≤ N, i(n) Tn (x) =  Jq∗ [Jp (x) − tn A∗ Jp (I − PQi(n)−N )A(x)] N + ≤ i(n) ≤ N + M, i : N → {1, 2, , N } ánh xạ điều khiển xoay vòng xác định i(n) = n mod (N + M ) + tn thỏa mãn điều kiện < t ≤ tn ≤  q Cq ∥A∥q 1/(q−1) , (1.21) với Cq xác định Mệnh đề 1.2.5 Wang đề xuất thuật toán sau: Với phần tử ban đầu x0 = x¯, xác định dãy {xn }    yn = Tn (xn )      Dn = {w ∈ E : ∆p (yn , w) ≤ ∆p (xn , w)}   En = {w ∈ E : ⟨xn − w, Jp (¯ x) − Jp (xn )⟩ ≥ 0}      x x), n+1 = ΠDn ∩En (¯ (1.22) ∆p khoảng cách Bregman tương ứng với hàm số f (x) = ∥x∥p , ΠC p phép chiếu Bregman Jp ánh xạ đối ngẫu Sự hội tụ mạnh phương pháp lặp (1.22) cho định lý đây: Định lý 1.4.6 Dãy {xn } xác định thuật toán (1.22) hội tụ mạnh hình chiếu Bregman ΠS x¯ x¯ lên tập nghiệm S Alsulami Takahashi [3] đề suất thuật tốn để tìm nghiệm tốn SFP không gian Hilbert vào không gian Banach trơn, phản xạ, lồi chặt Chính xác hơn, họ chứng minh định lý 26 Định lý 1.4.7 Cho H không gian Hilbert E không gian Banach trơn, phản xạ, lồi chặt Cho JE ánh xạ đối ngẫu E Cho C Q tập lồi, đóng khác rỗng H E, tương ứng Cho PC PQ phép chiếu mêtric từ H lên C E lên Q, tương ứng Cho A : H → E tốn tử tuyến tính bị chặn với toán tử liên hợp A∗ cho A ̸= Giả sử tập nghiệm Ω Bài toán (SFP) khác rỗng Cho {un } dãy H cho un → u Với x1 ∈ H, cho {xn } dãy xác định xn+1 = βn xn + (1 − βn )(αn un + (1 − αn )PC (xn − τ A∗ JE (I − PQ )Axn )), ∀n ≥ 1, (1.23) {αn } ⊂ (0, 1) {βn } ⊂ (0, 1) thỏa mãn điều kiện: P∞ (i) limn→∞ αn = n=1 αn = ∞; (ii) < a ≤ βn ≤ b < với a, b ∈ (0, 1); (iii) < τ ∥A∥2 < 2, với τ > Khi {xn } hội tụ mạnh x∗ ∈ Ω, x∗ = PΩ u 1.5 Một số bổ đề bổ trợ Trong mục này, luận văn đề cập đến số bổ đề bổ trợ cần sử dụng đến chứng minh hội tụ thuật toán giới thiệu Chương Bổ đề 1.5.1 [17] Cho E không gian Banach trơn, lồi Giả sử x ∈ E, {Dp (x, xn )} bị chặn, {xn } bị chặn Bổ đề 1.5.2 [16] Cho E không gian Banach trơn, lồi Giả sử {xn } {yn } hai dãy E Khi limn→∞ Dp (xn , yn ) = limn→∞ ∥xn − yn ∥ = Bổ đề 1.5.3 [14] Cho {an } {cn } hai dãy số thực không âm thỏa mãn an+1 ≤ (1 − δn )an + bn + cn , ∀n ≥ 1, {δn } dãy số (0, 1) {bn } dãy số thực Giả sử P∞ n=1 cn < ∞ Khi đó, ta có khẳng định đây: 27 (i) Nếu (ii) Nếu bn δn ≤ M với M ≥ đó, dãy {an } bị chặn P∞ n=1 δn = ∞ lim supn→∞ δbnn ≤ 0, limn→∞ an = Bổ đề 1.5.4 [15] Cho {Γn } dãy số thực không âm, không giảm theo nghĩa tồn dãy {Γnk } {Γn } thỏa mãn Γnk < Γnk +1 với k ∈ N Với n ≥ n0 , xác định dãy số nguyên {τ (n)} sau: τ (n) = max{n0 ≤ k ≤ n : Γk < Γk+1 } Khi đó, ta có khẳng định sau: (i) τ (n) → ∞ n → ∞; (ii) max{Γτ (n) , Γn } ≤ Γτ (n)+1 với n ≥ n0 28 Chương Một thuật tốn tự thích nghi cho tốn chấp nhận tách Trong chương luận văn tập trung trình bày thuật tốn lặp tự thích nghi tìm nghiệm tốn chấp nhận tách đa tập hợp không gian Banach từ tài liệu tham khảo [19] 2.1 Phát biểu toán Cho E F hai không gian Banach p-lồi trơn Cho Ci , i = 1, 2, , M Qj , j = 1, 2, , N tập lồi, đóng khác rỗng E F , tương ứng Cho A : E → F toán tử tuyến tính bị chặn với tốn tử liên hợp A∗ : F ∗ → E ∗ Xét toán chấp nhận tách đa tập hợp (MSSFP): ∗ Tìm x ∈ M \ ∗ Ci cho Ax ∈ i=1 Ta ký hiệu Ω := 2.2 T M i=1 Ci  ∩ A−1 N \ Qj (2.1) j=1 T N j=1 Qj  tập nghiệm Bài toán (2.1) Thuật toán hội tụ Trong phần này, luận văn đề cập đến thuật tốn tự thích nghi đề suất Pongsakorn Tuyen tài liệu [19] Từ đây, ta ký hiệu JpE JqE ∗ ánh xạ đối ngẫu E không gian đối ngẫu E ∗ , tương ứng, < q ≤ ≤ p < ∞ với p + q = 29 Định lý 2.2.1 Cho E không gian Banach p-lồi trơn F không gian Banach phản xạ, lồi chặt trơn Cho Ci , i = 1, 2, , M Qj , j = 1, 2, , N tập lồi, đóng khác rỗng E F , tương ứng Cho A : E → F tốn tử tuyến tính bị chặn A∗ : F ∗ → E ∗ toán tử liên hợp A Giả sử tập nghiệm Ω Bài toán (2.1) khác rỗng Cho {un } dãy E cho un → u Với x1 ∈ E, cho {xn } dãy                 xác định ∗ vn,1 = JqE (JpE (xn ) − τn,1 ∇f (xn )), ∗ vn,2 = JqE (JpE (vn,1 ) − τn,2 ∇f (vn,1 )), (2.2) ∗   vn,N = JqE (JpE (vn,N −1 ) − τn,N ∇f (vn,N −1 )),     PM  ∗   yn = JqE (an,0 JpE (vn,N ) + i=1 an,i JpE (ΠCi vn,N )),       xn+1 = J E ∗ (βn J E (xn ) + (1 − βn )(αn J E (un ) + (1 − αn )J E (yn ))), q p p p {αn } ⊂ (0, 1), {an,i }M i=1 ⊂ (0, 1), {βn } ⊂ [0, 1), f (vn,j ) = p ∥(I − PQj+1 )Avn,j ∥p với j = 1, 2, , N − f (xn ) = p1 ∥(I − PQ1 )Axn ∥p với cỡ bước τn,1 τn,j , j = 1, 2, , N − xác định sau   ρn f p−1 (xn ) , f (x ) ̸= 0; n ∥∇f (xn )∥p τn,1 =  0, trường hợp khác (2.3)   (2.4) τn,j+1 = ρn f p−1 (vn,j ) ∥∇f (vn,j )∥p , f (vn,j ) ̸= 0;  0, trường hợp khác,
q−1 Giả sử điều kiện sau đúng: tương ứng, {ρn } ⊂ 0, ( pq cq ) (C1) limn→∞ αn =  (C2) lim inf n→∞ ρn p − (C3) PM i=0 an,i P∞ n=1 αn q−1 ρn cq q  = ∞; > 0; = lim inf n→∞ an,i > với i = 1, 2, , M ; 30 (C4) lim supn→∞ βn < Khi dãy {xn } hội tụ mạnh x∗ = ΠΩ u, ΠΩ phép chiếu Bregman từ E lên Ω Chứng minh Với j = 1, 2, , N − 1, ý ∇f (vn,j ) = A∗ JpF (I − TM PQj+1 )Avn,j (xem Mệnh đề 5.7 [12]) Lấy z ∈ Ω, tức là, z ∈ i=1 Ci TN Az ∈ j=1 Qj Khi đó, với j = 1, 2, , N − 1, từ Mệnh đề 1.3.3 b), ta có ∥vn,j − z∥∥∇f (vn,j )∥ ≥ ⟨vn,j − z, ∇f (vn,j )⟩ = ⟨vn,j − z, A∗ JpE (I − PQj+1 )Avn,j ⟩ = ⟨Avn,j − Az, JpE (I − PQj+1 )Avn,j ⟩ ≥ ⟨Avn,j − Az, JpE (I − PQj+1 )Avn,j ⟩ + ⟨Az − PQj+1 Avn,j , JpE (I − PQj+1 )Avn,j ⟩ = ⟨Avn,j − PQj+1 Avn,j , JpE (I − PQj+1 )Avn,j ⟩ = ∥(I − PQj+1 )Avn,j ∥p = pf (vn,j ) (2.5) Ta thấy ∥∇f (vn,j )∥ > 0, f (vn,j ) ̸= Điều suy ∥∇f (vn,j )∥ = ̸ với j = 1, 2, , N − Do đó, τn,j+1 hoàn toàn xác định Bằng lập luận tương tự, ta thấy dãy τn,1 hoàn toàn xác định Với j = 1, 2, , N − 1, từ Mệnh đề 1.2.5 (2.5) suy ∗ Dp (z, vn,j+1 ) = Dp (z, JqE (JpE (vn,j ) − τn,j+1 ∇f (vn,j ))) = Vp (z, JpE (vn,j ) − τn,j+1 ∇f (vn,j )) ∥z∥p − ⟨z, JpE (vn,j )⟩ + τn,j+1 ⟨z, ∇f (vn,j )⟩ p + ∥JpE (vn,j ) − τn,j+1 ∇f (vn,j )∥q q ∥z∥p − ⟨z, JpE (vn,j )⟩ + τn,j+1 ⟨z, ∇f (vn,j )⟩ ≤ p + ∥JpE (vn,j )∥q − τn,j+1 ⟨vn,j , ∇f (vn,j )⟩ q q cq τn,j+1 ∥∇f (vn,j )∥q + q = 31 ∥z∥p = − ⟨z, JpE (vn,j )⟩ + ∥vn,j ∥p − τn,j+1 ⟨vn,j − z, ∇f (vn,j )⟩ p q q cq τn,j+1 ∥∇f (vn,j )∥q + q q cq τn,j+1 = Dp (z, vn,j ) − τn,j+1 pf (vn,j ) + ∥∇f (vn,j )∥q q q p ρn cq f p (vn,j ) ρn pf (vn,j ) + = Dp (z, vn,j ) − ∥∇f (vn,j )∥p q ∥∇f (vn,j )∥p  ρq−1 cq  f p (vn,j ) = Dp (z, vn,j ) − ρn p − n (2.6) q ∥∇f (vn,j )∥p Tương tự, ta có Dp (z, vn,1 ) ≤ Dp (z, xn ) − ρn   f p (x ) ρq−1 n n cq p− q ∥∇f (xn )∥p (2.7) Từ (2.6) (2.7) ta nhận Dp (z, vn,N ) ≤ Dp (z, vn,N −1 ) − ρn  ρnq−1 cq  f p (vn,N −1 ) p− q ∥∇f (vn,N −1 )∥p ρnq−1 cq  f p (vn,1 ) − ≤ Dp (z, vn,1 ) − ρn p − q ∥∇f (vn,1 )∥p   f p (v ρq−1 n,N −1 ) n cq − ρn p − q ∥∇f (vn,N −1 )∥p   f p (x )  ρq−1 ρnq−1 cq  f p (vn,1 ) n n cq ≤ Dp (z, xn ) − ρn p − − ρn p − q ∥∇f (xn )∥p q ∥∇f (vn,1 )∥p  f p (v  ρq−1 n,N −1 ) n cq − − ρn p − q ∥∇f (vn,N −1 )∥p N −1  h f p (x ) X f p (vn,j ) i ρq−1 n n cq + (2.8) = Dp (z, xn ) − ρn p − q ∥∇f (xn )∥p j=1 ∥∇f (vn,j )∥p  Từ (1.20) (2.8), ta thấy Dp (z, yn ) = ∗ Dp (z, JqE (an,0 JpE (vn,N ) + M X an,i JpE (ΠCi vn,N ))) i=1 ≤ an,0 Dp (z, vn,N ) + M X i=1 an,i Dp (z, ΠCi vn,N ) 32 ≤ an,0 Dp (z, vn,N ) + M X an,i Dp (z, vn,N ) − = Dp (z, vn,N ) − an,i Dp (ΠCi vn,N , vn,N ) i=1 i=1 M X M X an,i Dp (ΠCi vn,N , vn,N ) i=1 ≤ Dp (z, xn ) − ρn − M X  N −1 X f p (vn,j ) i ρq−1 cq h f p (xn ) p− n + q ∥∇f (xn )∥p j=1 ∥∇f (vn,j )∥p an,i Dp (ΠCi vn,N , vn,N ), (2.9) i=1 điều với giả thiết dãy {ρn }, suy Dp (z, yn ) ≤ Dp (z, xn ) Đặt wn = JqE (αn JpE (un ) + (1 − αn )JpE (yn )) với n ≥ 1, ta có ∗ ∗ Dp (z, wn ) = Dp (z, JqE (αn JpE (un ) + (1 − αn )JpE (yn ))) ≤ αn Dp (z, un ) + (1 − αn )Dp (z, yn ) ≤ αn Dp (z, un ) + (1 − αn )Dp (z, xn ) Điều suy ∗ Dp (z, xn+1 ) = Dp (z, JqE (βn JpE (xn ) + (1 − βn )JpE (wn ))) ≤ βn Dp (z, xn ) + (1 − βn )Dp (z, wn ) ≤ βn Dp (z, xn ) + (1 − βn )(αn Dp (z, un ) + (1 − αn )Dp (z, xn )) = (1 − (1 − βn )αn )Dp (z, xn ) + (1 − βn )αn Dp (z, un ) Vì {un } bị chặn, nên {Dp (z, un )} bị chặn Bằng quy nặp, dễ dangf dãy {Dp (z, xn )} bị chặn Do đó, từ Bổ đề 1.5.3, ta có dãy {xn } bị chặn, dãy {vn,j } {yn } với j = 1, 2, , N − bị chặn Đặt x∗ = ΠΩ u Từ (1.16) (2.9), ta có Dp (x∗ , wn ) = Dp (x∗ , JqE (αn JpE (un ) + (1 − αn )JpE (yn ))) ∗ 33 = Vp (x∗ , αn JpE (un ) + (1 − αn )JpE (yn )) ≤ Vp (x∗ , αn JpE (un ) + (1 − αn )JpE (yn ) − αn (JpE (un ) − JpE (x∗ )) + αn ⟨wn − x∗ , JpE (un ) − JpE (x∗ )⟩ = Vp (x∗ , αn JpE (x∗ ) + (1 − αn )JpE (yn )) + αn ⟨wn − x∗ , JpE (un ) − JpE (x∗ )⟩ = αn Dp (x∗ , x∗ ) + (1 − αn )Dp (x∗ , yn ) + αn ⟨wn − x∗ , JpE (un ) − JpE (x∗ )⟩ n ∗ ≤ (1 − αn ) Dp (x , xn ) − ρn − M X i=1  N −1 X f p (vn,j ) i ρnq−1 cq h f p (xn ) p− + q ∥∇f (xn )∥p j=1 ∥∇f (vn,j )∥p o an,i Dp (ΠCi vn,N , vn,N ) + αn ⟨wn − x∗ , JpE (un ) − JpE (x∗ )⟩ Điều suy Dp (x∗ , xn+1 ) ≤ βn Dp (x∗ , xn ) + (1 − βn )Dp (x∗ , wn ) ≤ (1 − (1 − βn )αn )Dp (x∗ , xn ) − (1 − αn )(1 − βn )ρn − (1 − αn )(1 − βn )  N −1 X f p (vn,j ) i ρnq−1 cq h f p (xn ) p− + q ∥∇f (xn )∥p j=1 ∥∇f (vn,j )∥p M X an,i Dp (ΠCi vn,N , vn,N ) i=1 + αn (1 − βn )⟨wn − x∗ , JpE (un ) − JpE (u)⟩ + αn (1 − βn )⟨wn − x∗ , JpE (u) − JpE (x∗ )⟩ (2.10) Đặt Γn = Dp (x∗ , xn ) với n ≥ Từ (2.10), ta có (1 − αn )(1 − βn )ρn  N −1 X f p (vn,j ) i ρq−1 cq h f p (xn ) + p− n q ∥∇f (xn )∥p j=1 ∥∇f (vn,j )∥p + (1 − αn )(1 − βn ) M X an,i Dp (ΠCi vn,N , vn,N ) i=1 ≤ Γn − Γn+1 + αn (1 − βn )⟨wn − x∗ , JpE (un ) − JpE (u)⟩ + αn (1 − βn )⟨wn − x∗ , JpE (u) − JpE (x∗ )⟩ Bây giờ, ta Γn → n → ∞ cách xét hai trường hợp sau: (2.11) 34 Trường hợp Giả sử tồn n0 ∈ N cho Γn+1 ≤ Γn với n ≥ n0 Khi đó, ta có Γn − Γn+1 → Từ giả thiết, ta nhận N −1 X f p (vn,j ) i f p (xn ) lim + =0 n→∞ ∥∇f (xn )∥p ∥∇f (vn,j )∥p j=1 h lim n→∞ M X an,i Dp (ΠCi vn,N , vn,N ) = i=1 Vì {∥∇f (xn )∥p } {∥∇f (vn,j )∥p } với j = 1, 2, , N − dãy bị chặn, ta có lim f (xn ) = lim ∥(I − PQ1 )Axn ∥ = n→∞ n→∞ (2.12) lim f (vn,j ) = lim ∥(I − PQj+1 )Avn,j ∥ = với j = 1, 2, , N − (2.13) n→∞ n→∞ Hơn nữa, ta có lim Dp (ΠCi vn,N , vn,N ) = với i = 1, 2, , M n→∞ (2.14) Dp (yn , vn,N ) ≤ an,0 Dp (vn,N , vn,N ) + M X an,i Dp (ΠCi vn,N , vn,N ) i=1 (2.15) → Từ Bổ đề 1.5.2, ta có lim ∥vn,N − ΠCi vn,N ∥ = với i = 1, 2, , M (2.16) lim ∥yn − vn,N ∥ = (2.17) n→∞ n→∞ 35 Từ (2.13), ta thấy ∥JpE (vn,j+1 ) − JpE (vn,j )∥ = τn,j+1 ∥∇f (vn,j )∥ ≤ τn,j+1 ∥A∗ ∥∥(I − PQj+1 )Avn,j ∥p−1 → (2.18) với j = 1, 2, , N − Bằng cách tương tự ta thu ∥JpE (vn,1 ) − JpE (xn )∥ = τn,1 ∥∇f (xn )∥ ≤ τn,1 ∥A∗ ∥∥(I − PQ1 )Axn ∥p−1 → (2.19) Vì JqE liên tục tập bị chặn E ∗ , nên ta có ∗ lim ∥vn,j+1 − vn,j ∥ = với j = 1, 2, , N − (2.20) lim ∥vn,1 − xn ∥ = (2.21) n→∞ n→∞ Từ (2.20) (2.21), ta nhận ∥yn − xn ∥ ≤ ∥yn − vn,N ∥ + ∥vn,N − vn,N −1 ∥ + + ∥vn,1 − xn ∥ (2.22) → Từ đó, ta có ∥xn − vn,N ∥ ≤ ∥xn − yn ∥ + ∥yn − vn,N ∥ → (2.23) Từ (2.22), ta nhận Dp (wn , xn ) ≤ αn Dp (un , xn ) + (1 − αn )Dp (yn , xn ) → (2.24) lim ∥xn − wn ∥ = n→∞ (2.25) 36 Vì dãy {xn } bị chặn, khơng tổng qt, ta giả sử tồn dãy {xnk } {xn } cho xnk ⇀ v ∈ E k → ∞ Khi đó, dãy {vnk ,N } {vn,N } thỏa mãn vnk ,N ⇀ v ∈ E k → ∞ Tiếp theo, ta v ∈ Ω Từ Mệnh đề 1.3.3 b) (2.16), ta có Dp (v, ΠCi v) ≤ ⟨v − ΠCi v, JpE (v) − JpE (ΠCi v)⟩ = ⟨v − vnk ,N , JpE (v) − JpE (ΠCi v)⟩ + ⟨vnk ,N − ΠCi vnk ,N , JpE (v) − JpE (ΠCi v)⟩ + ⟨ΠCi vnk ,N − ΠCi v, JpE (v) − JpE (ΠCi v)⟩ ≤ ⟨v − vnk ,N , JpE (v) − JpE (ΠCi v)⟩ + ⟨vnk ,N − ΠCi vnk ,N , JpE (v) − JpE (ΠCi v)⟩ → Điều suy v ∈ Ci với i = 1, 2, , M v ∈ (2.23), với j = 1, 2, , N − 1, ta có TM i=1 Ci Từ (2.20) ∥xn − vn,j ∥ ≤ ∥xn − vn,N ∥ + ∥vn,N − vn,N −1 ∥ + + ∥vn,j+1 − vn,j ∥ → (2.26) Vì xnk ⇀ v, ta có vnk ,j ⇀ v k → ∞ Với j = 1, 2, , N − 1, ý ∥Av − PQj+1 Av∥p = ⟨Av − PQj+1 Av, JpF (Av − PQj+1 Av)⟩ = ⟨Av − Avnk ,j , JpF (Av − PQj+1 Av)⟩ + ⟨Avnk ,j − PQj+1 Avnk ,j , JpF (Av − PQj+1 Av)⟩ + ⟨PQj+1 Avnk ,j − PQj+1 Av, JpF (Av − PQj+1 Av)⟩ ≤ ⟨Av − Avnk ,j , JpF (Av − PQj+1 Av)⟩ + ⟨Avnk ,j − PQj+1 Avnk ,j , JpF (Av − PQj+1 Av)⟩ (2.27) Từ tính liên tục A, ta có Avnk ,j ⇀ Av Avnk ,j −PQj+1 vnk ,j → Cho k → ∞ (2.27), ta nhận ∥Av −PQj+1 Av∥ = với j = 1, 2, , N −1 Bằng cách tương tự, ta nhận ∥Av − PQ1 Av∥ = Do đó, ta có Av ∈ Qj với TN j = 1, 2, , N Av ∈ j=1 Qj Suy ra, v ∈ Ω 37 Tiếp theo, ta lim sup⟨wn − x∗ , JpE (u) − JpE (x∗ )⟩ ≤ 0, n→∞ Để thu bất đẳng thức này, ta chọn dãy {wnk } {wn } cho lim sup⟨wn − x∗ , JpE (u) − JpE (x∗ )⟩ = lim ⟨wnk − x∗ , JpE (u) − JpE (x∗ )⟩ k→∞ n→∞ Vì xnk ⇀ v (2.25), ta có wnk ⇀ v Khi lim sup⟨wn − x∗ , JpE (u) − JpE (x∗ )⟩ = ⟨v − x∗ , JpE (u) − JpE (x∗ )⟩ ≤ (2.28) n→∞ Vì un → u, nên limn→∞ ⟨wn − x∗ , JpE (un ) − JpE (u)⟩ = Điều với (2.10) (2.28), sử dụng Bổ đề 1.5.3 suy Γn → n → ∞ Do đó, xn → x∗ n → ∞ Trường hợp Giả sử tồn dãy {Γni } {Γn } cho Γni < Γni +1 với i ∈ N Khi đó, từ Bổ đề 1.5.4, ta xác định dãy số nguyên {τ (n)} với n ≥ n0 τ (n) = max{k ≤ n : Γk < Γk+1 } Ngoài ra, {τ (n)} dãy không giảm thỏa mãn τ (n) → ∞ n → ∞ Γτ (n) ≤ Γτ (n)+1 với n ≥ n0 Từ (2.11), ta nhận thấy lim ∥(I − PQ1 )Axτ (n) ∥ = 0, n→∞ lim ∥(I − PQj+1 )Avτ (n),j ∥ = với j = 1, 2, , N − n→∞ lim ∥vτ (n),N − ΠCi vτ (n),N ∥ = với i = 1, 2, , M n→∞ Bằng lập luận tương tự Trường hợp 1, ta nhận lim sup⟨wτ (n) − x∗ , JpE (u) − JpE (x∗ )⟩ ≤ n→∞ 38 Cũng từ (2.10) giả thiết đặt lên {ατ (n) } {βτ (n) }, ta có Γτ (n) ≤ ⟨wτ (n) − x∗ , JpE (uτ (n) ) − JpE (u)⟩ + ⟨wτ (n) − x∗ , JpE (u) − JpE (x∗ )⟩ (2.29) Do lim supn→∞ Γτ (n) ≤ limn→∞ Γτ (n) = Lại từ (2.10), ta thu Γτ (n)+1 − Γτ (n) ≤ ατ (n) (1 − βτ (n) )⟨wτ (n) − x∗ , JpE (uτ (n) ) − JpE (u)⟩ +ατ (n) (1 − βτ (n) )⟨wτ (n) − x∗ , JpE (u) − JpE (x∗ )⟩ → (2.30) Điều với (2.29), suy limn→∞ Γτ (n)+1 = Do đó, ta có ≤ Γn ≤ max{Γτ (n) , Γn } ≤ Γτ (n)+1 → 0, suy Dp (x∗ , xn ) → Vì vậy, xn → x∗ ∈ Ω Định lý chứng minh Khi βn = với n ≥ 1, ta thu phương pháp lặp kiểu Halpern hệ Hệ 2.2.2 Cho E không gian Banach p-lồi trơn cho F không gian Banach phản xạ, lồi chặt trơn Cho Ci , i = 1, 2, , M Qj , j = 1, 2, , N tập lồi, đóng khác rỗng E F , tương ứng Cho A : E → F tốn tử tuyến tính bị chặn A∗ : F ∗ → E ∗ toán tử liên hợp A Giả sử tập nghiệm Ω Bài toán (2.1) khác rỗng Cho {un } dãy E cho un → u Với x1 ∈ E, cho {xn } dãy xác định   E∗  (JpE (xn ) − τn,1 ∇f (xn )), v = J  n,1 q     ∗   vn,2 = JqE (JpE (vn,1 ) − τn,2 ∇f (vn,1 )),       ∗   vn,N = JqE (JpE (vn,N −1 ) − τn,N ∇f (vn,N −1 )),     PM  ∗   yn = JqE (an,0 JpE (vn,N ) + i=1 an,i JpE (ΠCi vn,N )),       xn+1 = J E ∗ (αn J E (un ) + (1 − αn )J E (yn )), ∀n ≥ 1, q p p (2.31)