Luận văn xấp xỉ bằng toán tử tựa chiếu trong không gian besov (tt)

1 Mở đầu Lý chọn đề tài Lý thuyết xấp xỉ nghiên cứu phương pháp thay lượng thông tin vô hạn hàm số lượng thông tin hữu hạn gần Ngày nay, xấp xỉ khơng lĩnh vực có ý nghĩa lý thuyết sâu sắc mà gắn liền với ứng dụng thực tế lĩnh vực khác tính tốn khoa học, xử lý tín hiệu Trong lý thuyết xấp xỉ cổ điển, công cụ xấp xỉ đa thức hàm hữu tỉ, phương pháp xấp xỉ thường tuyến tính Trong lý thuyết xấp xỉ đại, ngồi cơng cụ phương pháp quen thuộc, cịn có cơng cụ splines, sóng nhỏ, tốn tử phương pháp xấp xỉ phi tuyến ngày đóng vai trị quan trọng Xấp xỉ tốn tử tựa nội suy nói chung tốn tử tựa chiếu nói riêng nhận nhiều quan tâm nhà toán học [1], [3], [7], [8], [11] Một sơ đồ tựa nội suy mô tả sau Giả sử (φi )i∈I họ phần tử khơng gian Banach F, I tập số đếm (λi )i∈I họ phiếm hàm liên tục F Toán tử tựa nội suy kết hợp với (λi )i∈I (φi )i∈I tốn tử tuyến tính Q cho Q f := ∑ λi ( f )φi , f ∈ F i∈I Khi φi0 (s) spline biến, toán tử tựa nội suy giới thiệu Boor Fix [3] sơ đồ hệ xấp xỉ spline Sơ đồ tương tự nghiên cứu Lyche Schumaker [13] Đối với xấp xỉ L p , Boor [1] đề xuất sơ đồ xấp xỉ sử dụng phép chiếu tuyến tính sinh phiếm hàm đối ngẫu Ý tưởng Boor nghiên cứu Jia Lei [8] áp dụng không gian bất biến chuyển Hơn nữa, Lei, Jia Cheney [12] nghiên cứu xấp xỉ với khơng gian bất biến chuyển theo hướng tốn tử tích phân Đối với xấp xỉ L2 , Jetter Zhou [7] nghiên cứu phương pháp chiếu thu bậc xấp xỉ tối ưu µ Đối với xấp xỉ tốn tử tựa chiếu khơng gian Besov B p,q , µ > 0, ≤ p, q ≤ ∞ tóm tắt sau Giả sử I tập số đếm Với (φi )i∈I họ hàm số L p (Rs ), (φei )i∈I họ hàm số L pe(Rs ), 1p + 1pe = Toán tử tựa chiếu cho D E Q f = ∑ f , φei φi , f ∈ L p (Rs ) i∈I Với h > 0, ký hiệu σh toán tử cho σh f (x) := f ( hx ), x ∈ Rs Đặt Qh := σh Qσ Với số điều kiện hàm số φi φei (i ∈ I), Kết sau h thiết lập: Nếu < µ < ν < k, Qg = g với đa thức bậc nhỏ k − 1, đánh giá sau | f − Qh f |Bµp,q ≤ Chν−µ | f |Bµp,q , f ∈ Bµp,q (Rs ) với h > 0, C số không phụ thuộc h f Với mong muốn nghiên cứu xấp xỉ toán tử tựa chiếu chúng tơi chọn vấn đề "Xấp xỉ tốn tử tựa chiếu không gian Besov" làm đề tài nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Đánh giá sai số xấp xỉ toán tử tựa chiếu khơng gian Besov Nhiệm vụ đề tài Ngồi việc tổng hợp kiến thức phục vụ cho việc trình bày nội dung luận văn, luận văn cịn tính trù mật tốn tử tựa khơng gian Besov 3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận văn nghiên cứu tốn tử tựa chiếu khơng gian Besov Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Luận văn tài liệu tham khảo bổ ích cho học viên cao học tốn giải tích người bắt đầu tiếp cận lý thuyết xấp xỉ thông qua việc xấp xỉ hàm toán tử tựa chiếu khơng gian Besov Cấu trúc luận văn Ngồi lời cảm ơn, mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo luận văn chia thành hai chương Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày kiến thức làm cho chương bao gồm định nghĩa không gian L p , không gian Sobolev, không gian Besov số bổ đề cho định lý chương Chương : Xấp xỉ toán tử tựa chiếu khơng gian Besov Trong chương này, trình bày nội dung luận văn bao gồm: định nghĩa tính chất tốn tử tựa chiếu, xấp xỉ tốn tử tựa chiếu khơng gian Sobolev xấp xỉ toán tử tựa chiếu không gian Besov 4 Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức sử dụng Chương :không gian L p , không gian Sobolev, không gian Besov đa thức xấp xỉ địa phương, định nghĩa tính chất mơ đun trơn Kiến thức chương tham khảo tổng hợp từ tài liệu [4], [11] 1.1 Một số ký hiệu định nghĩa Trước hết, giới thiệu vài ký hiệu N, Z, R ký hiệu tập só tự nhiên, số nguyên, số thực Định nghĩa 1.1.1 [4] Với số hàm giá trị phức đo (theo nghĩa Lebesgue) tập đo E Rs , đặt  1   p  R  k f k p (E) := | f (x)| p dx , ≤ p < ∞, E    k f k p (E) := esssup| f (x)|, p = ∞ x∈E Khi E = Rs , viết k f k p thay k f k p (Rs ) Với ≤ p ≤ ∞, không gian L p (E) không gian Banach tất hàm f cho k f k p (E) < ∞ 5 Chúng ta cần hai bất đẳng thức sau không gian L p (E) a) Bất đẳng thức Holder : Với p, pe ∞, Z 1 + = 1, ta có p pe | f (x)||g(x)|dx k f k p (E)kgk pe(E), ∀ f ∈ L p (E), g ∈ L pe(E) (1.1) E b) Bất đẳng thức Minkowski : Nếu g(·), f (·, ·) hàm không âm, đo F E × F tương ứng "Z Z "Z #1/p  #1/p Z p g(y) f (x, y)dy E dx F f p (x, y)dx g(y) F dy (1.2) E Đặt N0 := N ∪ {0} Một phần tử Ns0 gọi đa số Độ lớn đa số µ = (µ1 , , µs ) ∈ Ns0 cho |µ| := µ1 + + µs Với µ = (µ1 , , µs ) ∈ Ns0 x = (x1 , , xs ) ∈ Rs , ký hiệu µ xµ := x1 xsµs Hàm x 7→ xµ (x ∈ Rs ) gọi đơn thức bậc |µ| Một đa thức tổ hợp tuyến tính đơn thức Bậc đa thức g = ∑µ cµ xµ ký hiệu  degg := max |µ| : cµ 6= , ký hiệu ∏k không gian tuyến tính hàm bậc nhỏ k Cho vecto y = (y1 , , ys ) ∈ Rs với chuẩn |y| := max1≤ j≤s |y j | Ký hiệu Dy toán tử vi phân cho Dy f (x) := lim t→0 f (x + ty) − f (x) , t x ∈ Rs Đặt e1 , , es vecto đơn vị Rs Với i = 1, , s viết D j µ µ thay cho De j Với đa số µ = (µ1 , , µs ) ký hiệu Dµ := D1 Ds s Định nghĩa 1.1.2 [4] Với tập đo E ⊂ Rs , ký hiệu k k f kk,p (E) := ∑ | f | j,p(E) với | f | j,p(E) := ∑ j=0 kDµ f k p (E) |µ|= j Khi E = Rs , không cần viết E Với ≤ p ≤ ∞, không gian Sobolev Wpk (Rs ) bao gồm tất hàm f ∈ L p (Rs ) cho k f kk,p < ∞ 6 Định nghĩa 1.1.3 [11] Với y = (y1 , , ys ) ∈ Rs , ký hiệu ∇y toán tử sai phân bậc cho ∇1y f := f − f (· − y) Với số k ≥ 2, toán tử sai phân bậc k ký hiệu ∇ky cho ∇ky := ∇y (∇k−1 y ) Mô đun trơn bậc k f L p (Rs ) định nghĩa ωk ( f , h) p := sup k∇ky f k p , h ≥ 0, k = 1, |y|≤h Đặc biệt, ω( f , h) p := ω1 ( f , h) p mô đun liên tục f L p (Rs ) µ Định nghĩa 1.1.4 [11] Với µ > ≤ p, q ≤ ∞, không gian Besov B p,q = µ B p,q (Rs ) tập hợp hàm f ∈ L p (Rs ) cho nửa chuẩn sau hữu hạn  R  ∞ [t −µ ωm ( f ,t) p ]q dt
q , t | f |Bµp,q := sup t −µ ω ( f ,t) , t>0 m p với ≤ q < ∞ với q = ∞ µ m số ngun dương lớn µ chuẩn khơng gian B p,q k f kBµp,q := k f kL p + | f |Bµp,q Dễ dàng chứng minh   q
 ∑ j∈Z jm ωm ( f , 2− j ) p q | f |Bµp,q  sup 2 jm ωm ( f , 2− j ) p , j∈Z với ≤ q < ∞ với q = ∞ µ µ Từ nửa chuẩn tương đương này, có | f |Bµp,∞ ≤ C| f |Bµp,q B p,q ⊂ B p,∞ Với hàm đo f Rs , tồn tập mở lớn G Rs cho f triệt tiêu hầu khắp G Phần bù G Rs gọi giá f , ký hiệu supp f , supp f tập compact Rs ta nói f có giá compact Ký hiệu C(Rs ) không gian tất hàm liên tục Rs Với số nguyên không âm k, ký hiệu Ck (Rs ) không gian tuyến tính hàm f ∈ C(Rs ) cho Dµ f ∈ C(Rs ) với |µ| ≤ k Ngoài ra, ký hiệu Cck (Rs ) khơng gian tuyến tính tất hàm Ck (Rs ) với giá compact 7 1.2 Một số bổ đề Mục này, chúng tơi trình bày số bổ đề dùng chương Bổ đề so sánh chuẩn sai phân bậc k không gian L p (Rs ) với vi phân k hàm f ∈ Wpk (Rs ) Bổ đề 1.2.1 [11] Giả sử u vecto Rs Khi với ≤ p ≤ ∞ có bất đẳng thức sau: k∇ku f k p ≤ kDku f k p ∀ f ∈ Wpk (Rs ) (1.3) Với c ∈ Rs a > 0, ký hiệu Ea (c) lập phương c + [−a; a]s Khi đó, từ (1.3) ta có k∇ku f k p (Ea (c)) ≤ kDku f k p (Ea+kb (c)) ∀ f ∈ Wpk (Rs ), ≤ p ≤ ∞ |u| ≤ b (1.4) R Cho ψ phần tử Cck (Rs ) cho ψ(x)dx = Với h > 0, đặt Aψ,h toán tử tuyến tính L p
Z Aψ,h f (x) := (Rs ) Rs (1 ≤ p ≤ ∞) cho ( f − ∇ku f )(x)ψh (u)du, f ∈ Ł p (Rs ), x ∈ Rs , (1.5) Rs · ψ( ) ψh := sh Nếu khơng có sợ nhầm lẫn ψ, viết Ah thay h Aψ,h Bổ đề sau đánh giá sai số xấp xỉ hàm f tốn tử Ah khơng gian L p thông qua môđun trơn bậc k f Bổ đề 1.2.2 [11] Giả sử f ∈ L p (Rs ) với ≤ p < ∞ f ∈ C(Rs ) với p = ∞ Khi hai bất đẳng thức sau với h > k f − Ah f k p ≤ Cωk ( f , h) p , (1.6) ωk ( f , h) p , hk C số không phụ thuộc h f kAh f kk,p ≤ C (1.7) Chú ý k f − ∇ku f = m−1 ∑ (−1) m=1   k f (· − mu) m Do đó, k   k f (x − mhu)ψ(u)du, Aψ,h f (x) = ∑ (−1)m−1 m m=1 x ∈ Rs Vì ψ ∈ Cck (Rs ) nên suy Aψ,h f ∈ Ck (Rs ) Xấp xỉ địa phương đa thức đại số khoảng nghiên cứu Whitney [4] Kết Whitney mở rộng Johnen Scherer [4] cho miền bị chặn Rs Bổ đề sau đưa sơ đồ chi tiết xấp xỉ đa thức lập phương Bổ đề 1.2.3 [11] Giả sử f ∈ Wpk (Rs ) với k ∈ N ≤ p ≤ ∞ Với c ∈ Rs h > 0, tồn đa thức g ∈ Πk−1 cho | f − g| j,p (c + [−h, h]s ) ≤ Chk− j | f |k,p (c + [−2h, 2h]s ), C số khơng phụ thuộc h f ≤ j < k, (1.8) Chương Xấp xỉ toán tử tựa chiếu không gian Besov Trong chương này, trình bày xấp xỉ tốn tử tựa chiếu không gian Besov Nội dung cụ thể : Định nghĩa tính chất tốn tử tựa chiếu; Xấp xỉ tốn tử tựa chiếu khơng gian Sobolev; Xấp xỉ toán tử tựa chiếu không gian Besov Kiến thức chương tham khảo tổng hợp từ tài liệu [9], [11] 2.1 Toán tử tựa chiếu Giả sử ≤ p ≤ ∞ 1p + 1pe = Đặt (φi )i∈I họ hàm L p (Rs ),   φei họ hàm L pe(Rs ) Với φei cảm sinh hàm λi sau i∈I E Z e λi ( f ) := f , φi := D Rs f (x)φei (x)dx, f ∈ L p (Rs ) Khi đó, có D E Q f = ∑ f , φei φi , i∈I f ∈ L p (Rs ) (2.1) 10 Toán tử Q gọi toán tử tựa chiếu Giả sử tồn số M > cho kφi k p ≤ M kφei k pe ≤ M với i ∈ I Đặt (ci )i∈I dãy điểm Rs với tính chất tồn số tự nhiên N cho với lập phương α + [0, 1]s (α ∈ Zs ) chứa nhiều N điểm ci Giả sử tồn số K cho, với i ∈ I, φi φei có giá lập phương ci + [−K, K]s Với giả thiết dễ dàng chứng minh Q toán tử bị chặn L p (Rs ) Hơn nữa, với hàm f khả tích địa phương Rs , Q f xác định Với h > 0, ký hiệu σh toán tử cho σh f (x) := f ( hx ), x ∈ Rs Đặt Qh := σh Qσ Khi h D Qh ( f ) = ∑ f , h i∈I · E − ps x φ ( ) h φi ( ) x ∈ R s h h − pse e (2.2) Hiển nhiên, kQh k p = kQk p 2.2 Xấp xỉ toán tử tựa chiếu khơng gian Sobolev Cho Q tốn tử tựa chiếu định nghĩa (2.1) Với h > 0, đặt Qh toán tử tựa chiếu cho (2.2) Trong mục nghiên cứu xấp xỉ toán tử tựa chiếu không gian Sobolev Giả sử với i ∈ I, hàm φi φei có giá ci + [−K; K]s , (ci )i∈I dãy điểm Rs với tính chất lập phương α + [0, 1]s (α ∈ Zs ) chứa nhiều N điểm ci Khi σh (φi ) σh (φei ) có giá EKh (ci h) Định lý 2.2.1 [11] Cho j k hai số nguyên cho ≤ j < k Giả sử tồn số M > cho kφi k j,p ≤ M kφei k pe ≤ M với i ∈ I, ≤ p, pe ≤ ∞ 1p + 1pe = Nếu Qg = g với g ∈ Πk−1 | f − Qh f | j,p ≤ Chk− j | f |k,p ∀ f ∈ Wpk (Rs ), C số không phụ thuộc f h Định lý sau suy từ Định lý 2.2.1 (2.3) 11 Định lý 2.2.2 [11] Giả sử f ∈ L p (Rs ) với ≤ p < ∞ f ∈ C(Rs ) với p = ∞ Nếu Qg = g với g ∈ Πk−1 , tồn số C > cho ∀ f ∈ Wpk (Rs ) k f − Qh f k p ≤ Cωk ( f , h) p (2.4) 2.3 Đánh giá môđun trơn Để nghiên cứu xấp xỉ tốn tử tựa chiếu khơng gian Besov, cần vài đánh giá môđun trơn Với v > 0, không gian Besov Bvp,∞ (Rs ) không gian Lipschitz suy rộng Lip∗ (v, L p (Rs )) Khi đó, ωk (φ ,t) ≤ t v |φ |Bvp,∞ với < v < k t > Bổ đề sau chứng minh [9] Bổ đề 2.3.1 [9] Cho (φ )i∈I họ hàm số L p (Rs ) cho kφi kBvp,∞ ≤ M với i ∈ I Đặt Ei := supp φi χi hàm Rs cho χi = x ∈ Ei χi = x ∈ / Ei Nếu ∑ χi (x) ≤ A, ∀x ∈ Rs , k số nguyên i∈I lớn v, 1− 1p ωk (∑ bi φi ,t) p ≤ ((k + 1)A) !1 p ∑ |bi| p Mt v ∀t > i∈I i∈I Cho φ hàm xác định Rs Với k ∈ N, h > 0, u ∈ Rs , có k ∇ku (σh φ )(x) =       k x − mu k ∇ φ = σ φ (x), (−1) u h ∑ h m h m=0 m x ∈ Rs s Suy ∇ku (σh φ ) p = h p k∇ku φ k p Do h s −p h σh φ Bvp,q = h−v |φ |Bvp,q (2.5) Bổ đề sau đưa đánh giá môđun trơn, kết cần mục Bổ đề 2.3.2 [11] Giả sử < v < k, ≤ p ≤ ∞ 1p + 1pe = Gọi Q toán tử tựa chiếu cho (2.1), gọi Qh := σh Qσ cho (2.2) Giả h sử tồn số M > cho kφi kBv ≤ M kφei k pe ≤ Mvới i ∈ I p,∞ 12 Cho f ∈ L p (Rs ) với ≤ p < ∞ f ∈ C(Rs ) với p = ∞ Nếu Qg = g với g ∈ Πk−1 ωk (Qh f ,t) p ≤ Cωk ( f , h) p  t v h , < t ≤ h, (2.6) C số không phụ thuộc f , t h 2.4 Xấp xỉ không gian Besov Trong mục này, giả sử k ∈ N, < µ < v < k ≤ p, q ≤ ∞ Với Q toán tử tựa chiếu cho (2.1), với h > toán tử Qh := σh Qσ h cho (2.2) Giả sử tồn số M > cho kφi kBvp,∞ ≤ M kφei k pe ≤ M với i ∈ I Cho f hàm Bvp,q (Rs ) Nếu Qg = g với g ∈ Πk−1 theo Định lý 2.2.2 ta có k f − Qh f k p ≤ C1 ωk ( f , h) p Nhưng ωk ( f , h) p ≤ hv | f |Bvp,∞ ≤ C2 hv | f |Bvp,q Do k f − Qh f k p ≤ Chv | f |Bvp,q Định lý sau đánh giá xấp xỉ f Qh f không gian Besov Định lý 2.4.1 [11] Nếu Qg = g với g ∈ Πk−1 | f − Qh f |Bµp,q ≤ Chv−µ | f |Bvp,q ∀ f ∈ Bvp,q (Rs ), C số khơng phụ thuộc h f Định lý sau đưa kết tính trù mật tốn tử tựa chiếu µ Định lý 2.4.2 [11] Giả sử f ∈ B p,q (Rs ), < µ < k, ≤ p ≤ ∞ ≤ q < ∞ Nếu Qg = g với g ∈ Πk−1 , lim |Qh f − f |Bµp,q = h→0 Định lý không q = ∞ Ví dụ sau rõ điều Ví dụ 2.4.3 Cho φ (x) := max {1 − |x|, 0} với x ∈ R, φe(x) := − 6x với < x < φe(x) := với x ∈ R \ (0, 1) Với ≤ p < ∞, có φ ∈ Bvp,∞ với 13 µ v := + 1p φe(x) ∈ B p,∞ với µ := 1p Với i ∈ Z, đặt φi (x) := φ (x − i) φei (x) := φe(x − i), x ∈ R D E e Khi φi , φi = δi j , i, j ∈ Z, δi j ký hiệu dấu Kronecker: δi j = với i = j δi j = với i 6= j Xét toán tử tựa chiếu Q cho D E e Q f := ∑ f , φi φi , i∈Z f hàm khả tích R Chúng ta có Qφi = φi với i ∈ Z Vậy Q toán tử tựa chiếu Với đa thức g ∈ Π1 , g biểu diễn thành g = ∑ g(i)φi Do Qg = g với g ∈ Π1 i∈Z Với h > 0, đặt Qh f := ∑ D E f , h−1 σh φei σh φi i∈Z Với f hàm cho f (x) := với < x < f (x) := với x ∈ R \ (0, 1) Khi f ∈ B p,∞ với µ = 1p e e x Với D i < vàEx > 0, có σh φi (x) = φ ( h − i) = Vì f có giá [0, 1] nên f , h−1 σh φei = với i < Giả sử < h < 12 Với i = i = 1, µ có D f , h−1 σh φei = h E Z1 x φe( − i)dx = h Zh −i Z1 φe(y)dy = −i (4 − 6y)dy = Với i ≥ x < h, có σh φi (x) = φ ( hx − i) = Do đó, x x Qh f (x) = φ ( ) + φ ( − 1) với x < h h h Suy x x Qh f (x) = Qh f (x − h) = φ ( − 1) = với < x < h h h Do đó, x ∇h (Qh f − f ) (x) = − với < x < h h 14 Với ≤ p < ∞, thu  Zh   x k∇h (Qh f − f )k p ≥  h  1p 1 dx = (p + 1)− p h p Cuối cùng, với µ = 1p , có |Qh f − f |Bµp,∞ ≥ 1 hp k∇h (Qh f − f )k p ≥ (p + 1)− p 15 Kết luận Luận văn nghiên cứu xấp xỉ đa thức toán tử tựa chiếu không gian Besov Kết đạt là: Đánh giá sai số việc xấp xỉ tốn tử tựa chiếu khơng gian Besov µ Cho khơng gian Besov B p,q , µ > 0, ≤ p, q ≤ ∞ Giả sử I tập số đếm Với (φi )i∈I họ hàm số L p (Rs ), (φei )i∈I họ hàm số L pe(Rs ), 1p + 1pe = Tốn tử tựa chiếu cho Qf = ∑ D E e f , φi φi , f ∈ L p (Rs ) i∈I Với h > 0, ký hiệu σh toán tử cho σh f (x) := f ( hx ), x ∈ Rs Đặt Qh := σh Qσ h Khi ta có đánh giá sau: Nếu < µ < ν < k, Qg = g với đa thức bậc nhỏ k − 1, đánh giá sau | f − Qh f |Bµp,q ≤ Chν−µ | f |Bµp,q , f ∈ Bµp,q (Rs ) với h > 0, C số không phụ thuộc h f Chứng minh tính trù mật tốn tử tựa chiếu khơng gian Besov; đề xuất phản ví dụ trường hợp q = ∞ Nội dung nghiên cứu là: Mở rộng kết có không gia Besov tổng quát hơn, không gian d BΩ p,θ (G )(không gian định nghĩa [5]) 16 Tài liệu tham khảo [1] C de Boor (1976), Splines as linear combinations of B-splines, Academic Press, New York, pp - 47 [2] C de Boor, R DeVore, A Ron (1994) , "Approximation from shiftinvariant subspaces of L2 (Rd )", Trans Amer Math Soc 341, 787-806 [3] C de Boor and G Fix (1973), "Spline approximation by quasiinterpolants", J Approx Theory 8, 19-45 [4] R A DeVore and G G Lorentz (1993), Constructive Approximation, Springer-Verlag, Berlin [5] Dinh Dung (2015), "Sampling and Cubature on Sparse Grids Based on a B-spline Quasi-Interpolation", Foundations of Computational Mathematics, 300-340 [6] R F Gariepy and W P Ziemer (1994), "Modern Real Analysis", PWS Publishing Company, Boston [7] K Jetter and D X Zhou (1995), "Order of linear approximation from shift-invariant spaces", Constr Approx 11 , 423-438 [8] R Q Jia and J J Lei (1993), " Approximation by multiinteger translates of functions having global support", J Approx Theory 72, 2-23 [9] R Q Jia (2004), "Approximation with scaled shift-invariant spaces by means of quasi-projection operators", J Approx Theory 131, 30–46 [10] R Q Jia (2006), " Bessel sequences in Sobolev spaces", Applied and Computational Harmonic Analysis 20, 298–311 17 [11] R Q Jia (2010), "Approximation by quasi- projection operators in Besov spaces", Journal of Approximation Theory 162, 186-200 [12] J J Lei, R Q Jia and E W Cheney (1997), "Approximation from shiftinvariant spaces by integral operators", SIAM J Math Anal 28, 481-498 [13] T Lyche and L L Schumaker (1975)," Local spline approximation methods", J Approx Theory 15, 294-325