(Luận văn) xấp xỉ hàm đa điều hòa dưới bởi hàm green đa cực

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM VŨ KHẮC NGHỊ lu an n va to gh tn XẤP XỈ HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƢỚI p ie BỞI HÀM GREEN ĐA CỰC d oa nl w va an lu ll u nf LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2018 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM VŨ KHẮC NGHỊ lu an n va XẤP XỈ HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƢỚI tn to BỞI HÀM GREEN ĐA CỰC ie gh Ngành: Tốn giải tích p Mã số: 8.46.01.02 d oa nl w an lu ll u nf va LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2018 n va ac th si LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các kết nêu Luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực Luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn Luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, ngày 11 tháng năm 2018 lu Tác giả an n va tn to p ie gh Vũ Khắc Nghị d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th i si LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin trân trọng kính gửi đến PGS.TS Phạm Hiến Bằng, người thầy hết lịng học trị, lịng biết ơn chân thành sâu sắc Thầy người động viên, giúp đỡ, bảo tận tình trình giảng dạy q trình hướng dẫn để em hoàn thành tốt luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến quý thầy, khoa Tốn trường Đại học Sư phạm Thái Ngun; thầy, khoa Tốn trường Đại học Sư phạm Hà Nội thầy, cô Viện Tốn học Việt Nam tận tình lu giảng dạy để em có kiến thức quý báu làm hành trang an trình học tập nghiên cứu sau va n Xin chân thành cảm ơn thầy, thuộc phịng Đào tạo trường Đại học tn to Sư phạm Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi cho em thủ tục hành ie gh suốt q trình học tập trường p Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám Hiệu, đặc biệt nl w thầy, tổ Tốn, trường THPT Phú Bình, tỉnh Thái Nguyên tạo d oa điều kiện thuận lợi để em yên tâm hoàn thành tốt luận văn an lu Lời cuối cùng, không quên gửi lời biết ơn sâu sắc đến gia đình va lời tri ân đến tất bạn bè tôi, người bên động viên ll u nf giúp vượt qua khó khăn q trình thực luận văn oi m z at nh Vũ Khắc Nghị z m co l gm @ an Lu n va ac th ii si MỤC LỤC i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu Chƣơng Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm đa điều hòa 1.2 Hàm đa điều hòa cực đại 1.3 Hàm cực trị tương đối 1.4 Toán tử Monge-Ampère phức 1.5 Nguyên lý so sánh Bedford Taylor 1.6 Hàm Green đa phức 12 Chƣơng Xấp xỉ hàm đa điều hòa dƣới hàm Green đa cực 19 lu Lời cam đoan an n va ie gh tn to 19 p 2.1 Xấp xỉ condenser hàm chỉnh hình 27 nl w 2.2 Xấp xỉ condenser hàm Green d oa 2.3 Xấp xỉ hàm đa điều hòa hàm Green đa cực an lu 34 38 u nf va Kết luận Tài liệu tham khảo 39 ll oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th iii si MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết đa vị dùng để nghiên cứu hàm đa điều hịa giải tích phức nhiều biến có nhiều ứng dụng quan trọng lý thuyết vị giải tích phức biến, lý thuyết nhiều biến thiếu nhiều phương pháp sử dụng trường hợp cổ điển Tuy nhiên, nhiều kết đẹp đẽ lý thuyết vị chưa chứng minh không lý thuyết đa vị Chẳng hạn, định lý biểu diễn Riesz phát biểu rằng, thứ nhất, hàm điều hòa miền tốt D tổng lu hàm điều hòa với giá trị biên hàm điều hòa Thứ hai, an n va hàm điều hòa u với giá trị biên giới hạn tổ hợp tn to tuyến tính với hệ số dương hàm Green L1(D) Do đó, định gh lý quan trọng cho mơ tả đầy đủ hàm Phát biểu thứ p ie không xảy hàm đa điều hòa hàm điều hòa w thay hàm đa điều hòa Đối với phát biểu thứ hai ta gặp oa nl số trở ngại Đầu tiên, lý thuyết vị tổ hợp tuyến tính hàm d Green với hệ số dương điều hịa ngồi cực Trong lý thuyết đa lu va an vị có tương tự hàm Green giới thiệu V P cực, tổng u hàm Green ll oi m cực đại, tức là, (dd cg )n u nf Zahariuta [8] gọi hàm Green đa cực Chúng hàm z at nh đa cực (dd cu )n , nói chung, khơng cực Trong [6], Poletsky chứng minh L1(D) , hàm Green đa cực trù mật nón z gm @ hàm đa điều hòa với giá trị biên Trường hợp đặc biệt định lý xấp xỉ hàm cực trị tương đối tập compact đa l m co qui K Zahariuta [8] tồn xấp xỉ với hội tụ K Trong [9] Zahariuta Skiba tồn xấp xỉ n an Lu Vấn đề tồn xấp xỉ nhiều biến đặt Zahariuta (xem n va ac th si [8]) Gần đây, Aytuna, Rashkovskii Zahariuta chứng minh điều cho cặp miền Reinhardt (xem [2]) Theo hướng nghiên cứu chúng tơi chọn: “Xấp xỉ hàm đa điều hịa hàm Green đa cực” đề tài nghiên cứu Đề tài có ý nghĩa thời sự, nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tốn xấp xỉ hàm đa điều hịa hàm Green đa cực lu an 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu va n + Trình bày số tính chất kết sở lý thuyết đa vị to gh tn + Trình bày số kết xấp xỉ hàm đa điều hòa hàm p ie Green đa cực nl w Phƣơng pháp nghiên cứu d oa Sử dụng phương pháp lý thuyết đa vị phức an lu Bố cục luận văn u nf va Nội dung luận văn gồm 39 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo, viết chủ yếu ll oi m dựa vào tài liệu [1] [6] z at nh Chương 1: Trình bày số tính chất kết sở lý thuyết đa vị: hàm đa điều hòa dưới, hàm đa điều hòa cực đại, hàm cực trị z gm @ tương đối, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh Bedford Taylor, hàm Green đa phức l m co Chương 2: Là nội dung luận văn, trình bày lại chi tiết số an Lu kết Poletsky xấp xỉ hàm đa điều hòa hàm Green đa cực Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt n va ac th si CHƢƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hòa dƣới Định nghĩa 1.1.1 Cho n tập mở hàm nửa liên tục không trùng với liên thông a n b u : , thành phần Hàm u gọi đa điều hòa với u(a , hàm b) điều hòa trùng lu an :a b n va thành phần tập hợp Sau vài tính chất hàm đa điều hịa dưới: p ie gh tn to Kí hiệu PSH ( ) lớp tất hàm đa điều hòa PSH ( ) u v , d oa u v hầu khắp nơi nl w Mệnh đề 1.1.2 Nếu u, v lu PSH ( ) , u với z ll n , oi m u tập mở liên thông bị chặn u nf bị chặn, tức va an Mệnh đề 1.1.3 Hàm đa điều hòa thỏa mãn nguyên lý cực trị miền z at nh u(z ) sup lim sup u(y ) y y z @ tập mở v PSH ( ) số không âm an Lu u , m co PSH ( ) , Khi l i ) Họ PSH ( ) nón lồi, tức u, v n gm Định lý 1.1.4 Cho n va ac th si ii ) Nếu liên thông u j u PSH ( ) u lim u j j iii ) Nếu u : PSH ( ) dãy giảm, j , u j , u compact Định lý 1.1.5 Cho PSH ( ) hội tụ tới u tập j PSH ( ) n tập mở i ) Cho u, v hàm đa điều hòa v lu an n va lồi, v (u / v) đa điều hòa ii ) Cho u PSH ( ) , v PSH ( ) , v Nếu : Nếu : ie gh tn to lồi tăng dần, v (u / v) đa điều hòa iii ) Cho u, v p PSH ( ) , u ) [0, ) lồi (0) , v (u / v) PSH ( ) Nếu oa nl w : [0, , v d 1.2 Hàm đa điều hòa dƣới cực đại an lu n tập mở u u nf va Định nghĩa 1.2.1 Cho viết u ll đa điều hòa cực đại hàm v nửa liên tục trên G , z at nh PSH (G ) v MPSH ( ) với tập oi v m mở, compact tương đối G PSH ( ) Ta nói u hàm u G v u G z n tập mở u PSH ( ) Khi khẳng m co l Mệnh đề 1.2.2 Cho gm @ Sau vài tính chất hàm đa điều hòa cực đại: định sau tương đương: an Lu i ) Với tập mở compact tương đối G hàm v PSH ( ) , n va ac th si lim inf(u(z ) v(z )) ii ) Nếu v cho u \ K , u iii ) Nếu v v PSH ( ) , G tập mở compact tương đối v G u u v G ; tồn tập compact K PSH ( ) với v G , u 0, với z iv ) Nếu v , v G ; PSH ( ) , G tập mở compact tương đối lim inf(u(z ) v(z )) z G , u 0, với , v G ; lu an n va v ) u hàm cực đại gh tn to 1.3 Hàm cực trị tƣơng đối Định nghĩa 1.3.1 Giả sử p ie tập mở Hàm cực trị tương đối E n E tập nl w định nghĩa : sup v(z ) : v PSH ( ), v d oa uE , (z ) 1, v E (z ) lu oi E2 n ll Mệnh đề 1.3.2 Nếu E1 u nf va an Sau vài tính chất hàm cực trị tương đối: uE , uE , uE , 2 m hàm : ( gọi miền siêu lồi tồn z at nh Định nghĩa 1.3.3 Miền bị chặn , 0) đa điều hòa âm, liên tục cho với c z miền siêu lồi E tập compact tương m co ta có lim uE , (z ) z an Lu , điểm l đối c gm Mệnh đề 1.3.4 Nếu : (z ) @ z n va ac th si Ta D phần Vi Gi Vì i K i Vì Mặt khác Gi i Ki nên D i i i i i i i , nên D , nên Gi i i nằm D i , biên Gi , Vi \ Gi , nên ta có Gi Nhưng i i Vi i i đạt cực đại Vi \ Gi Biên Vi \ Gi gồm biên Vi , Do tính cực đại i i tìm i Gi nên suy D i v i i i Vi \ Gi Do i i Gi Từ ta cho lu an D i Gi i Gi Fi D i i i n va tn to i với m D cho Gi đa diện giải tích với hệ i p ie gh Lấy tập mở U i i p( e i i ) fk , nghĩa là, nl w (U i , g1i , , gNi ) , gki i {z U i : gki (z ) k 1, N} d oa Gi lu U i chứa Gi Đặt Vi i i Vi i q1 đủ lớn cho với q ep , | fk | Gi , với z [3], tồn q2 ) i z at nh p( D oi e Gi m ll ri Vi i u nf | gki | Vi i i Gi Lân cận tập compact tương đối U i Vì lân cận i Ui \ D va an (xem [3]) Ta lấy tập mở U i k nên ta có N Theo Định lý q2 i m, i thành phần liên thông tập {z Vi : riq gkiq q gNi 1, k m co l i gm @ hợp Rqi D N} an Lu n va ac th 25 si giao với D i đa diện với hệ i (U i \ D Nhắc lại p pq i i , riq (g2qi , v q g1qi ), , riq (gNi g1qi )) , sup k N log fkq p f1q D Từ suy pq( i i (p ) )( lu an ( ) i ) i ) i ( p( p ) i i i ) n va p ( p( ) i gh tn to p ie ( i i i ) p i nl w q2 cho U i oa Lấy q i D i i với q q i i d lu {v i f1q (z ) e Gi Nếu z F } có giao với K i i Ki ll u nf Ta F va an Cho F thành phần liên thông Fi e pq ( i i ) fkq (z ) oi g1q (z ) m gkiq (z ) pq ( i i ) p e i z at nh Do z thuộc thành phần R tập Rqi Nếu z1 R z e pq ( i i ) [gkiq (z1 ) g1q (z1)] e pq ( i i ) m co f1q (z1 ) l fkq (z1 ) với số k Từ ta có gm g1q (z ) @ gkiq (z1 ) e p( i i ) , an Lu n va ac th 26 si v (z1 ) hàm fkq i i f1q , Do F Ui D i i , nên i N , xấp xỉ K k Do N Rqi Vì Rqi R n Ta hàm điều chỉnh cho hệ phương trình f1 fn có khơng điểm đơn Giả sử hệ phương trình f1 điểm đơn Ma trận Jacobian f fn khơng có khơng (f1, , fn ) khơng đồng 0, khơng điểm D nằm ngồi đường cong phức, v số lu Nhưng v K v G1 an Theo Định lý Sard, tồn n va Xấp xỉ ta ổn định với tn to n điểm (c1, , cn) cho f không suy biến tất nghịch với k Đặt gi p ie gh ảnh điểm | ck | có khơng điểm đơn D , xấp xỉ K đối p d oa nl với gn ci Khi hệ phương w trình g1 fi an lu 2.2 Xấp xỉ condenser hàm Green u nf va Bổ đề sau sử dụng tồn xấp xỉ chỉnh hình hàm cực trị tương đối condenser đa qui để đạt xấp xỉ vài loại hàm ll oi m cực trị hàm Green với độ đo Monge-Ampère điều chỉnh z at nh Bổ đề 2.2.1 [6] Cho K (K1, , Km , 1, , n Khi tồn dãy số dương m , số D i hội tụ đến i Vij D , ij an Lu Wij i 0, m co 0) cho ij ij j l gm D @ i hàm Green g j D , với tập mở Vij , Wij (Wmj ) condenser đa qui z miền siêu lồi chặt D m n va ac th 27 si gj i Vij , g j tập Z i j ij i Vi j \ Wi j , Wij , cực g j nằm hợp (dd c )n m , (dd cg j )n j Zi j Zi j i Chứng minh Với i ij 2i , j i (dd c )n ij i j Zi j m , ta chọn dãy tăng số Đặt K2i K i , K 2i , j 1, j D Lấy ij ij cho 2i 1, j i Bây ta xây dựng condenser đa qui K j tạo ij lu thành họ tập compact K ij số an ij va (z, K j , D) với j Với j ta chọn dãy n Chú ý (z, K, D) tn to ie gh hệ hàm chỉnh hình f1 j , , fnj số nguyên p j xấp xỉ K j / j Giả sử hệ f1 j fnj p j có nghiệm đơn đủ nhỏ cho d oa nl j w số ij i 1, j j j j 2m Đặt ll u nf i j va với i 1, j an lu ij aj log fkj n p j sup oi m k z at nh vj z Ta thêm số j vào tất tham số xấp xỉ cho ij ij Gij Gij Gij D ij ij ij m co i 1, j l ij gm vj , Kij ij @ ij an Lu Lấy hàm phụ n va ac th 28 si (1 ij ij )( ij Khi Gij ta có vij ij ij ) vij vj Vì ij ij ij ij K ij v j D , nên ta có (1 ij ij )( ij ( ij ij ij Do tập Fij ij {vij ij ij ij ij ) ij ) ij ( ( ij ij ij ij ij ) vij ) } Gij chứa K ij compact Gij Theo lu an nguyên lý so sánh, ta có va n (dd cv j )n to (dd cvij )n Fij gh tn Gij ie Do tính cực đại (dd c ij )n Fij Gij \ Kij nên ta nhận ij p (dd c nl w (dd cv j )n Gij ij )n (1 j Gij ) (dd c )n (2.3) Gij d oa với cực Pij với trọng / p j Các hàm g ij có u nf i 1, j va g ij D an lu Bây ta lấy tập Pij cực vij nằm Gij lập hàm Green cực với trọng tương tự v j Pij , gij D ll trên vij D i 1, j i 1, j ij D vij i 1, j ij max {gij , ij i 1, j ij } Khi vij Gij , ij ij Gij đạt cực đại D Theo nguyên lý so sánh, ta có i 1, j i 1, j ij \ Gij , nên ta có an Lu i 1, j D ) m co ij i 1, j l ij aj ( gm Vì gij vij ij i 1, j @ ij D z Lấy i 1, j z at nh vj Vì oi m gij i 1, j n va ac th 29 si (dd cvij )n D (dd c )n aj D i 1, j i 1, j Theo (2.3), ta có (dd cvij )n D (dd c gij )n , D i 1, j D Do tính cực đại g ij (dd cv j )n i 1, j \ Gij , nên ta nhận i 1, j (dd cgij )n Gij a j (dd c )n Gij (2.4) Gij lu Vì an n va (dd c )n (dd c )n , G2 i , j G2 i 1, j tn to p ie gh nên theo (2.3) (2.4) ta có G2 i , j jG (dd cv j )n G2 i 1, j (dd c )n (2.5) i 1, j oa nl w (dd cv j )n i d Bây với m , đặt Vij G2i 1, j G2i , j Với j , xét Wij lu (G2i 1, j i \ G2i, j ) , m Theo định nghĩa g j (2.4), ll u nf G2m va an hàm Green g j D có cực với trọng / p j cực v j nằm oi m Vij (dd cv j )n Vij z at nh (dd cg j )n (dd c )n Vij z Mặt khác, ta có j c n Vij k i (dd cv j )n G2 k , j \G k 1, j m co an Lu Theo (2.3) (2.5), m l Vij (dd v j ) n gm @ (dd g j ) c n va ac th 30 si (dd cg j )n 2m j Vij Đặt 2m / j j j (dd c )n Vij (dd c )n Do bất đẳng thức trên, ta có j D (dd cg j )n (dd cg j )n Zi j (dd cg j )n Vi j Vi (1 j 1, j ) (dd c )n (1 j (dd c )n ) Vi j Vi (dd c )n j 1, j lu Zij an n va Tương tự, ta có to tn (dd cg j )n (1 j (1 j Vi p (dd c )n (dd c )n ) Vij ie gh Zij ) (dd c )n 1, j j Zij nl w v j D , nên g j oa Vì g j i Vij g j ij Wij Bổ đề d va an lu chứng minh u nf Định lý 2.2.2 [6] Giả sử dãy hàm Green g j D thỏa mãn điều kiện Bổ đề 2.2.1 Khi dãy g j hội tụ đến (z ) ll (z, K, D) tập \ Ki , i m Hơn nữa, hàm liên tục z at nh i oi m compact D z D Zi j , Z ij tập mở Vì g j Wi j , nên {gi j ij j i ij an Lu ij gj m co Vi j g j D l Chứng minh Đặt gij ( (z ))(dd c )n gm j @ ( (z ))(dd cg j )n lim } tập compact Z i j n va ac th 31 si Đặt gi j max{gi j , j } Khi hàm g j định nghĩa tương tự g i j m , g j hàm đa điều hòa D Hơn nữa, theo i Z i j , ij (2.3), ta có (dd cg j )n (dd cg j )n Zi j Zi j Đặt ij j i :1 ij m j lu an j hội tụ đến n va Ta có j g j Vì v j Z ij , tính cực đại v bên ij gh tn to Đặt v j hợp Z ij , nên lớn p ie D Do đó, lấy tích phân nl w phần, ta nhận ( v j )(dd c )n )dd cv j ( D d D )(dd c )n oa ( (dd c )n D lu (dd c )n ( v j )(dd cv j )n D D u nf va an ( v j )dd cv j ll Do oi m )(dd c )n v j (dd cv j )n (dd c )n z at nh (v j D D v j (dd cv j )n (dd c )n Zi j l gm Zi j @ i z m D ij j i Giá Do đó, từ bất đẳng thức trên, ta có an Lu (dd cv j )n g j m co Giá (dd c )n nằm biên K i , n va ac th 32 si m )(dd c )n (v j n j i D (dd cg j )n ij (dd c )n i Zij Zij Do (2.3) bất đẳng thức tích phân Bổ đề 2.2.1, ta có (dd cg j )n (dd cg j )n Zij (dd c )n Zij j Zij Từ c (v j m n )(dd ) ( i D n j ij i ) (dd c )n n j j ij Zi j lu an Vì vậy, n va (dd c ) to lim j gh tn {v j với a a} p ie chọn vj | z |2 | z |2 cho / D , Chú ý d đặt u j oa nl w Cố định số n | z |2 cndV , n u nf va an lu dd c ll số cn phụ thuộc vào n , dV dạng thể tích Đặt D: u j } Vì u j / D v j z at nh {z oi m Ej nên E j tập compact D E j {v j / E j , / 2} Do tính cộng z @ Ej dd c ( | z |2 ) Ej n (dd cu j )n Ej m co (dd cv j )n l gm tính tốn tử Monge-Ampère ngun lý so sánh, ta có (dd c )n Ej an Lu n va ac th 33 si cnm(E j ) (dd c )n n {v j /2} Do lim m(E j ) j Đặt Fj z E j Lấy r } cho r , lấy j cho m(E j ) w B vj { D v j (z ) m(B ) lu B(z 0, r ) an v jdV j0 Nếu v jdV B \Fj B Fj n va B (w ) m(B(z, r )) với j m(B ) v j (z )dV (z ) tn to )dV ( )dV ( B (z ) (2 m ) B Fj p ie gh m(B ) (z ) , nên v j hội tụ đến D Do hàm g j hội tụ oa nl tập compact D d đến w Vì v j (z ) i i \ Ki , m an lu ll u nf Bổ đề 2.2.1 va Phát biểu cuối bổ đề suy trực tiếp từ bất đẳng thức tích phân m oi 2.3 Xấp xỉ hàm đa điều hòa dƣới hàm Green đa cực miền siêu lồi mạnh với hàm vét u hàm đa điều hòa âm D với giá trị biên 0, z cạn n z at nh Định lý 2.3.1 [6] Nếu D @ C (( L1(D) Hơn nữa, u liên tục D j D (u(z ))(dd cu)n D an Lu (u(z ))(dd cg j )n lim , 0]) , m co l gm tồn dãy hàm Green đa cực đa phức g j hội tụ đến u n va ac th 34 si Chứng minh Trước tiên ta chứng minh định lý hàm đa điều hòa liên tục u D với giá trị biên 0, mà có tập mở D D cho D siêu phẳng trơn, u D , đạt cực đại D \ D , thuộc lớp C hàm đa điều hịa chặt D Khi u có hữu hạn cực tiểu địa phương z1, , z p Theo Định lí Sard, với j mj j m j 1, j (1) lu ij 2j 1j D ta tìm số cho: / j hàm u không suy biến {u i 1, j an u(z k ) ij i }, i 1, j mj ; , n va (2) Nếu z k cực tiểu địa phương u ij i 1, j gh tn to thành phần liên thông tập {u p m(Bkj ) 1/ j ie k } chứa z k thuộc mặt cầu Bkj p {u ij } có biên trơn nl w Theo điều kiện thứ tập Kij d oa tập đa qui Vì condenser K j tạo K ij lu m j , có hàm cực trị tương đối liên tục an i , va j ta lấy dãy hàm Green g jm Định lý 2.2.2 ll u nf Với j ij oi m chọn dãy g jq hội tụ L1loc (D) đến hàm đa điều hòa m m v j L1(D) Với } Tập { j ij j i 1, j } \ Kij v j j khắp nơi trừ tập } mặt trơn chứa cực tiểu địa m co ij tập { l j m gm j m tập compact D \ D , nên g jq @ j i , vj { , g jq hội tụ z đến z at nh Nhưng g jq hội tụ đến v j an Lu n va ac th 35 si phương z k Trong trường hợp thứ v j hợp thứ hai { j ij { j j ij } Trong trường } thuộc mặt cầu Bkj Đặt A cận u D Khi tồn điểm thuộc Bkj , v j (z ) j A Nếu Bkj mặt cầu có tâm điểm có bán (z ) kính gấp hai lần bán kính Bkj p k B kj p v jdV k A j Am(Bkj ) lu Như an n va vj j 2A j dV D tn to hội tụ đến u , nên v j hội tụ đến u L1(D) hàm j ie gh Vì p (dd c j )n hội tụ yếu* đến (dd cu )n w Lấy tập trù mật đếm hàm { q } C (( oa nl , 0]) Khi d đó, tồn dãy g jp hội tụ đến u L1(D) an lu j q (u(z ))(dd cg jp )n q j u nf j va lim D (u(z ))(dd cu)n D ll oi m với q Định lí chứng minh cho hàm có dạng đặc biệt z at nh Giả sử xác định lận cận V D Lấy u hàm z đa điều hòa liên tục D với giá trị biên Khi dãy hàm @ max{u, k } D uk gm đa điều hòa uk k V \ D , giảm dần m co l D hội tụ đến u D Đặc biệt, (dd cuk )n hội tụ yếu* đến (dd cu )n Do để chứng minh định lý cho hàm liên tục ta cần chứng an Lu minh cho hàm liên tục mà có thác triển đa điều hòa liên tục đến V n va ac th 36 si Nếu u hàm có dãy giảm dần hàm đa điều C (D j ) (xem [4, Định lý 2.9.2]) hội tụ đến hòa uk D j , uk u D Bổ sung thêm k | z |2 k | z |2 k , k hội tụ đến D , chúng hội tụ đến u D Chọn dãy số 1k vào uk , số D , ta giả sử hàm uk đa điều hòa k chặt, uk {uk k 1k hội tụ đến cho với k , tập } siêu mặt trơn compact D Ta định nghĩa hàm đa điều hòa uk : uk uk Wk {uk 1k } , uk D , đạt cực đại trên lu an D \Wk Do hàm uk hội tụ đến u Vì định lý chứng minh cho va n hàm vậy, nên định lý chứng minh cho hàm đa điều hòa gh tn to liên tục Hàm đa điều hòa u D tùy ý thuộc L1loc (D) , u có p ie giá trị biên thuộc L1(D) max{u, j } , j 1,2, , D u j j D oa nl w Đặt u j d Khi {u j } dãy giảm hàm D hội tụ đến u Do chúng hội tụ lu u nf va an đến u L1(D) Lại áp dụng Định lý 2.9.2 [4], u j xấp xỉ dãy giảm {uk j } hàm đa điều hòa liên tục Vì u j D, ll m oi nên dễ thấy hàm uk j sửa đổi để D z at nh hội tụ đến u j L1(D) Kết kéo theo tồn hàm Green z m co l gm @ hội tụ đến u j , hội tụ đến u L1(D) an Lu n va ac th 37 si KẾT LUẬN Luận văn trình bày: Tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hịa dưới, hàm đa điều hòa cực đại, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh Bedford Taylor, hàm Green đa phức Một số kết xấp xỉ condenser hàm chỉnh hình (Định lý 2.1.7), xấp xỉ condenser hàm Green (Định lý 2.2.2), xấp xỉ lu hàm đa điều hòa hàm Green đa cực (Định lý 2.3.1) an n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th 38 si TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT Nguyễn Quang Diệu Lê Mậu Hải (2009), Cơ sở lý thuyết đa vị , [1] Nxb Đại học sư phạm TIẾNG ANH [2] Zahariuta V.P (2002), “Width Aytuna A, Rashkovskii A, and asymptotics for a pair of Reinhardt domains”, Ann Polon Math., 78, 31-38 Bishop E (1961), “Mappings of partially analytic spaces”, Amer J lu [3] an n va Math., 83, 209-242 Klimek M (1991), Pluripotential Theory, Oxford Sci Publ MR tn to [4] [5] Nivoche S (2001), “Sur une conjecture de Zahariuta et un probl_eme p ie gh 93h:32021 [6] oa nl w de Kolmogorov”, C R Acad Sci Paris Ser I Math 333, 839-843 Poletsky E.A (2002), “Approximation of plurisubharmonic functions d an lu by multipole Green functions”, Tran Amer Math Soc Vol 355, No 4, Sibony N (1975), “Prolongemant de fonctions holomorphes bornees et ll [7] u nf va Pag 1579-1591 m oi metrique de Caratheodory”, Invent Math., 29, 205-230 MR 52:6029 z at nh [8] Zahariuta V.P (1984), Spaces of analytic functions and maximal z plurisubharmonic functions, Doc Sci Thesis @ Zahariuta V.P, Skiba N.P (1976), “Estimates of n-diameters of some gm [9] m co l classes of functions analytic on Riemann surfaces”, Mat Zametki, 19, 899-911; English transl., Math Notes 19, 525-532 MR 54:7801 an Lu n va ac th 39 si