Trang 3 Mục lụcLời cảm ơn iiMột số ký hiệu và viết tắt vMở đầu 1Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 31.1 Một số đặc trưng của không gian Hilbert.. 39 Trang 4 Kết luận 43 Trang 5 Một số
Một số đặc trưng của không gian Hilbert
Ta luôn giả thiết H là không gian Hilbert thực với tích vô hướng được kí hiệu là ⟨., ⟩ và chuẩn được kí hiệu là ∥.∥.
Trước hết, ta nhắc lại một đặc trưng hình học quan trọng của không gian Hilbert.
Mệnh đề 1.1.1 Trong không gian Hilbert thực H ta luôn có đẳng thức sau
Chứng minh Thật vậy, ta có
=∥x−y∥ 2 +∥x−z∥ 2 Vậy ta được điều phải chứng minh.
Mệnh đề 1.1.2 Cho H là một không gian Hilbert thực Khi đó, với mọi x, y ∈ H và mọi λ ∈R, ta có
Ta được điều phải chứng minh.
Mệnh đề 1.1.3 Cho H là một không gian Hilbert thực Khi đó, nếu với x, y ∈ H thỏa mãn điều kiện
|⟨x, y⟩|= ∥x∥.∥y∥, tức là bất đẳng thức Schwars xảy ra dấu bằng thì hai véc tơ x và y là phụ thuộc tuyến tính.
Chứng minh Giả sử ngược lại rằng x̸=λy với mọiλ ∈R Khi đó, từ tính chất của tích vô hướng, ta có
0 x 2 , nên A(x 2 ) ≤ m, điều này mâu thuẫn với A(x 2 ) ∈ (m, A(x 0 )) Như vậy, không thể xảy ra trường hợp A(x 0 ) > m.
Giả sử x 1 là nghiệm của phương trình A(x) = m, tức là A(x 1 ) = m Khi đó, x 1 > x 0 Theo định lý giá trị trung bình, tồn tại x 2 ∈ (x 0 , x 1 ) sao cho n = A(x 2 ) ∈ (A(x 0 ), m) Từ (x 0 , m) ∈ G(B) và (x 2 , A(x 2 )) ∈ G(A) ⊂ G(B), suy ra
Vì x 0 < x 2 , nên A(x 2 ) ≥ m, điều này mâu thuẫn với A(x 2 ) ∈ (A(x 0 ), m) Như vậy, không thể xảy ra trường hợp A(x 0 ) < m.
Vậy không tồn tại toán tử đơn điệu B trên R sao cho đồ thị của B chứa thực sự đồ thị của A Do đó, A là một toán tử đơn điệu cực đại trên R.
0, nếux < 1, với mọi x ∈R là đơn điệu nhưng không đơn điệu cực đại trên R.
Thật vậy, rõ ràng A là một toán tử đơn điệu, nhưng đồ thị củaA là tập con thực sự của đồ thị của toán tử đơn điệu B(x) =x 3 −1 với mọi x ∈R.
Chú ý 1.3.8 Toán tử đơn điệu A: H →2 H là đơn điệu cực đại khi và chỉ khi R(I +λA) =H với mọi λ > 0, ở đây R(I +λA) là miền ảnh của I +λA.
Từ chú ý trên ta có một ví dụ khác dưới đây về toán tử đơn điệu cực đại.
Ví dụ 1.3.9 Cho T : H → H là một ánh xạ không giãn Khi đó A = I −T là một toán tử đơn điệu cực đại, ở đây I là ánh xạ đồng nhất trên H.
Thật vậy, với mọi x, y ∈ H, ta có
⟨A(x)−A(y), x−y⟩=∥x−y∥ 2 − ∥T x−T y∥ 2 ≥0, suy ra A là một toán tử đơn điệu.
Tiếp theo, ta chỉ ra tính cực đại của A Với mỗi λ > 0 và mỗi y ∈ H, xét phương trình λA(x) +x=y (1.7)
Phương trình trên tương đương với x= 1
1 +λ(λT x+y), với mọi x ∈ H Dễ thấy, f là ánh xạ co với hệ số co là λ
1 +λ ∈ (0,1) Do đó, theo nguyên lý ánh xạ co Banach, phương trình (1.8) có duy nhất nghiệm Suy ra, phương trình (1.7) có duy nhất nghiệm.
Vậy A là một toán tử đơn điệu cực đại. Định nghĩa 1.3.10 Cho A : H → 2 H là một toán tử đơn điệu cực đại Khi đó, ánh xạ J r A = (I +rA) −1 với r >0 được gọi là giải của A.
Chú ý 1.3.11 i) Giải J r A của toán tử đơn điệu cực đại A là một ánh xạ đơn trị, không giãn và A(x)∋ 0 khi và chỉ khi J r A (x) =x;
Thật vậy, giả sử tồn tại x ∈ H sao cho J r A (x) nhận ít nhất hai giá trị y và z Từ định nghĩa của toán tử giải, suy ra x−y ∈rA(y), x−z ∈rA(z).
Từ tính đơn điệu của A, suy ra
Suy ra, ∥y−z∥ 2 ≤0 Do đó, y =z Vậy J r A là một ánh xạ đơn trị.
Tiếp theo, ta chỉ ra J r A là một ánh xạ không giãn Với mọi x, y ∈ H, đặt z 1 =J r A (x) và z 2 =J r A (y), tức là x−z 1 ∈ rA(z 1 ), y−z 2 ∈rA(z 2 ).
Từ tính đơn điệu của A, ta có
Do đó, ∥z 1 −z 2 ∥ ≤ ∥x−y∥, hay J r A là một ánh xạ không giãn.
Giả sử, x=J r A (x) Điều này tương đương với x∈x+rA(x) hay A(x) ∋0. ii) Với mọi số dương λ và à, ta luụn cú đẳng thức sau
Từ tính đơn điệu của A, suy ra
⟨àx+ (λ−à)z−λy −àx+àz, y−z⟩ ≥0, tương đương với −λ∥y − z∥ 2 ≥ 0 Suy ra, y = z và do đó ta được điều phải chứng minh.
Mệnh đề 1.3.12 Cho H là một không gian Hilbert và A : H → 2 H là một toán tử đơn điệu cực đại với A −1 0 ̸= ∅ và cho J r A là toán tử giải của A với r > 0 Khi đó, với mọi r, λ >0, ta có
Chứng minh Theo Chú ý 1.3.11, ta có
Do đó, từ tính không giãn của J λ A (xem Chú ý 1.3.11), ta có
Mệnh đề được chứng minh.
Mệnh đề 1.3.13 Cho A : D(A) ⊂ H → 2 H là một toán tử đơn điệu Khi đó các khẳng định sau là đúng. i) Với r≥ s >0, ta có
∥x−J s A x∥ ≤2∥x−J r A x∥ với mọi x∈R(I +rA)∩R(I +sA). ii) Với mọi r >0 và mọi x, y∈ R(I +rA), ta có
⟨x−y, J r A x−J r A y⟩ ≥ ∥J r A x−J r A y∥ 2 iii) Với mọi r >0 và mọi x, y∈ R(I +rA), ta có
⟨(I −J r A )x−(I −J r A )y, x−y⟩ ≥ ∥(I −J r A )x−(I −J r A )y∥ 2 iv) Nếu S =A −1 (0) ̸=∅, thì với mọi x ∗ ∈S và x∈R(I +rA), ta có
Chứng minh i) Từ đẳng thức (1.9), ta nhận được
≤ 2∥x−J r A (x)∥. ii) Đặt u =J r A x và v =J r A y Khi đó, ta có x∈ u+rA(u) và y ∈v+rA(v) Do đó, từ tính đơn điệu của A, ta thu được
⟨(I −J r A )x−(I −J r A )y, x−y⟩ ≥ ∥(I −J r A )x−(I −J r A )y∥ 2 iv) Vì x ∗ ∈A −1 (0), nên x ∗ ∈Fix(J r A ) Do đó, từ iii) ta có
= ∥x−x ∗ ∥ 2 − ∥x−J r A x∥ 2 Mệnh đề được chứng minh.
Phương pháp CQ giải bài toán chấp nhận tách
ChoC và Qlà các tập con lồi, đóng và khác rỗng của các không gian Banach
H và K, tương ứng ChoA : H → K là một toán tử tuyến bị chặn A ∗ : K → H là toán tử liên hợp của A Bài toán chấp nhận tách (SFP) trong không gian Banach được phát biểu như sau:
Tìm một phần tử x ⋆ ∈ S =C∩A −1 (Q) ̸=∅ (SFP)
Dạng tổng quát của Bài toán (SFP) là bài toán (MSSFP), bài toán này được phát biểu như sau: Cho C i , i = 1,2, , N và Q j , j = 1,2, , M là các tập con lồi và đóng của H1 và H2, tương ứng.
Tìm một phần tử x ⋆ ∈S =∩ N i=1 C i ∩A −1 (∩ M j=1 Q j ) ̸=∅ (MSSFP)
Một trong những phương pháp cơ bản để giải bài toán (SFP) là phương pháp CQ Với phương pháp CQ, Bài toán (SFP) được đưa về bài toán tìm một điểm bất động của ánh xạ P C I −γA ∗ (I −P Q )A
, trong đó γ > 0, P C và P Q lần lượt là các phép chiếu mêtric từ E lên C và từ F lên Q, tương ứng.
A là một ánh xạ không giãn Do đó, người ta có thể vận dụng các phương pháp tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn (phương pháp lặp Mann, phương pháp lặp Halpern, phương pháp xấp xỉ gắn kết) để tìm nghiệm của Bài toán (SFP).
Xu [23] đã đưa ra và chứng minh các kết quả dưới đây Trước hết ông chỉ ra sự hội tụ yếu của phương pháp CQ về một nghiệm của Bài toán (SFP). Định lý 1.4.1 [23] Nếu γ ∈
∥A∥ 2 thì dãy {x n } xác định bởi x 1 ∈E và x n+1 =P C I −γA ∗ (I −P Q )A x n hội tụ yếu về một nghiệm của bài toán (SFP).
Sự hội tụ của phương pháp lặp Mann và phương pháp lặp được cho bởi định lý dưới đây: Định lý 1.4.2 [23] Cho dãy {α n } ⊂[0,4/(2 +γ∥A∥ 2 )] thỏa mãn điều kiện
∥A∥ 2 thì dãy {x n } xác định bởi x 1 ∈E và x n+1 = (1−α n )x n +α n P C I −γA ∗ (I −P Q )A x n , hội tụ yếu về một nghiệm của bài toán (SFP).
Năm 2006, Xu [22] đã đưa ra các thuật toán mở rộng của phương pháp
CQ dưới đây cho Bài toán (MSSFP) Trước hết ông chứng minh sự hội tụ của phương pháp lặp Picard cho Bài toán (MSSFP). Định lý 1.4.3 [22] Nếu γ ∈
L=∥A∥ 2 PM j=1βj, thì dãy {x n } xác định bởi x1 ∈E và x n+1 =P C N (I −γ
X j=1 β j A ∗ (I −P Q j )A)x n hội tụ yếu về một nghiệm của Bài toán (MSSFP).
Xu cũng đã xây dựng và chứng minh sự hội tụ của phương pháp lặp song song và phương pháp lặp xoay vòng cho Bài toán (MSSFP) ở dạng dưới đây: Định lý 1.4.4 [22] Nếu γ ∈
L = ∥A∥ 2 PM j=1β j và λ i > 0 thỏa mãn PN i=1λ i = 1, thì dãy {x n } xác định bởi x 1 ∈E và x n+1 N
X j=1 β j A ∗ (I −P Q j )A)x n hội tụ yếu về một nghiệm của Bài toán (MSSFP). Định lý 1.4.5 [22] Nếu γ ∈
L=∥A∥ 2 PM j=1β j , thì dãy {x n } xác định bởi x 1 ∈E và x n+1 =P C [n+1] (I −γ
X j=1 β j A ∗ (I −P Q j )A)x n hội tụ yếu về một nghiệm của Bài toán (MSSFP).
Một thuật toán quán tính cho bài toán không điểm
Phát biểu bài toán
Chúng tôi xét bài toán không điểm chung tách tổng quát (GSCNPP) sau: ChoH, H i ,i = 1,2, , m, là các không gian Hilbert thực và choT i : H → H i là các toán tử tuyến tính bị chặn với T i ̸= 0 Cho A i : H → 2 H và B i : H i → 2 H i là các toán tử đơn điệu cực đại Tìm một phần tử x ⋆ ∈ H sao cho
Chú ý 2.1.1. a) Khi m= 1, Bài toán (2.1) trở thành bài toán không điểm chung tách, là một trường hợp tổng quát của bài toán chấp nhận tách (SFP). b) Nếu C i ≡ C, H i ≡ K và A i ≡ A, thì bài toán không điểm chung tách tổng quát trên trở thành bài toán không điểm chung tách đa tập hợp, là một mô hình tổng quát của bài toán chấp nhận tách đa tập hợp.
Thuật toán và sự hội tụ
Để tìm một nghiệm của Bài toán (2.1), các tác giả Tuyen và Eslamian [18] giới thiệu thuật toán sau.
Thuật toán 2.2.1 Chof là một ánh xạ co trongH với hệ số cok ∈[0,1) Cho {β n }, {ε n }, {ρ n,i }, {r n,i } và {s n,i }, i = 1,2, , m, là các dãy số thực dương. Cho {x n } là dãy được xác định bởi:
Sn (i) =J r A n,i i (I H i −τ n,i T i ∗ (I K i −J s B n,i i )T i ), 1≤ i ≤m, wn,0 =wn, wn,1 =Sn (1) wn, wn,i =Sn (i) Sn (1) wn, 2≤i ≤m,
Sự hội tụ mạnh của Thuật toán 2.2.1 được giới thiệu trong định lý dưới đây. Định lý 2.2.2 [18] Nếu các dãy {β n }, {ϵ n }, {r n,i }, {s n,i } và {ρ n,i }, i = 1,2, , m, thỏa mãn các điều kiện sau:
C1) {β n } ⊂ (0,1), lim n→∞ β n = 0 và P∞ n=0β n =∞, C2) inf n→∞ rn,i =r > 0 và inf n→∞ sn,i =s > 0 với i = 1,2, , m,
C4) ϵ n >0 và lim n→∞ ϵn β n = 0, thì dãy {x n } sinh bởi Thuật toán 2.2.1 hội tụ mạnh về một phần tử x ⋆ ∈ Ω.
Ta cần bổ đề dưới đây.
Bổ đề 2.2.3 [11] Giả sử rằng {s n } và {ϱ n } là hai dãy số thực không âm, {η n } là một dãy trong khoảng mở (0,1) và {δ n }, {ζ n } là hai dãy số thực thỏa mãn
Nếu các điều kiện sau đúng i) P∞ n=1η n = ∞, ii) lim n→∞ ζ n = 0, iii) lim k→∞ ϱ n k = 0, suy ra lim sup k→∞ δ n k ≤ 0 với bất kỳ dãy con {ϱ n k } của {ϱ n }, thì lim n→∞ s n = 0.
Chứng minh Định lý 2.2.2 Trước hết, ta chỉ ra rằng dãy {x n } bị chặn Chú ý rằng P Ω (f) là một ánh xạ co từ H vào chính nó, theo nguyên lý ánh xạ co Banach,P Ω (f)có duy nhất một điểm bất độngx ⋆ ∈ Hthỏa mãnx ⋆ =P Ω (f)x ⋆ Với mỗi n, đặt
Vìx ⋆ ∈Ω, nên ta có0∈ B 1 (T 1 x ⋆ )và do đóT 1 x ⋆ =J s B n,1 1 (T 1 x ⋆ ) Vì vậy, từ Mệnh đề 1.3.13 iii) suy ra
≥ ∥(I −J s B n,1 1 )T 1 w n ∥ 2 (2.6) Đặt z n,1 = (I−τ n,1 T 1 ∗ (I−J s B n,1 1 )T 1 )w n Từ (2.4) và bất đẳng thức (2.6), ta nhận được
Từ (2.7), x ⋆ = J r A n,1 1 (x ⋆ ) và Mệnh đề 1.3.13 iv) (hay I −J r A n,1 1 là một ánh xạ không giãn ổn định), suy ra rằng
(2.8) Đặt z n,i = (I −τ n,i T i ∗ (I −J s B n,i i )T i )w n,i−1 với i = 2, , m Bằng lập luận tương tự như trên, ta cũng nhận được
Từ các bất đẳng thức (2.8), (2.9) và Mệnh đề 1.3.13 iv), ta thu được
∥T i ∗ (I −Js B n,i i )T i (w n,i−1 )∥ 2 (2.11) Tiếp tục quá trình trên, ta nhận được
Từ (2.5), ta có α n ∥x n −x n−1 ∥ ≤ ϵ n Điều này kết hợp với lim n→∞ ϵ n β n = 0, suy ra rằng lim n→∞ α n β n ∥x n −x n−1 ∥= 0 Do đó, tồn tại hằng số M 1 >0 sao cho α n β n ∥x n −x n−1 ∥ ≤M 1
Từ định nghĩa của w n , ta nhận được
Từ định nghĩa của xn+1, ta có
≤ (1−β n (1−k))∥y n −x ⋆ ∥+β n ∥f(x ⋆ )−x ⋆ ∥. Điều này suy ra rằng
1−k o Điều này chỉ ra rằng dãy {x n } bị chặn Ta nhận được các dãy {y n }, {w n }, {f(y n )} cũng bị chặn.
Từ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và bất đẳng thức cơ bản (x 2 +y 2 )/2 ≥ xy với mọi số thực x, y, suy ra
+βn⟨f(x ⋆ )−x ⋆ , xn+1−x ⋆ ⟩. Điều này suy ra rằng
Từ (2.14), (2.15) và (2.16), ta nhận được
Vì {y n } bị chặn, nên tồn tại hằng số M 3 >0 sao cho
∥f(y n )−x ⋆ ∥ 2 ≤ M 3 , với mọi n Từ tính lồi của hàm ∥.∥ 2 , suy ra rằng
Từ (2.12) và (2.19), ta suy ra
≤ ∥x n −x ⋆ ∥ 2 +β n M 4 , (2.22) trong đóM 4 = sup n {2M 1 ∥x n −x ⋆ ∥+β n M 1 2 } 0 và x∈ H Khi đó, tồn tại z ∈C sao cho Φ(z, y) + 1 r⟨y−z, z −x⟩ ≥0 ∀y ∈C.
U r Φ x= {z ∈C : Φ(z, y) + 1 r⟨y−z, z −x⟩ ≥0,∀y ∈C}, thì U r Φ là một ánh xạ không giãn ổn định (đơn trị).
Ta gọi U r Φ là giải của Φvới r > 0 Sử dụng bổ đề trên, Takahashi, Takahashi và Toyoda [20] đã chứng minh kết quả dưới đây.
Bổ đề 2.3.4 [20] Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của H và cho Φ là một song hàm từ C ×C vào R thỏa mãn các điều kiện (A1)−(A4) Cho
F Φ là một ánh xạ đa trị từ H vào chính nó và được xác định bởi
(2.44) Khi đó EP(Φ) = F Φ −1 (0) và F Φ là một toán tử đơn điệu cực đại với dom(F Φ ) ⊂ C Ngoài ra, với bất kỳ x ∈ H và r > 0, giải U r Φ của Φ trùng với giải của F Φ , tức là,
Từ Định lý 2.2.2, ta nhận được kết quả dưới đây cho bài toán cân bằng tách. Định lý 2.3.5 Cho H, H i , i = 1,2, , m, là các không gian Hilbert thực và cho T i : H → H i là các toán tử tuyến tính bị chặn với T i ̸= 0 Cho {C i } m i=1 , là các tập con lồi, đóng và khác rỗng của H và {Q i } m i=1 , là các tập con lồi, đóng và khác rỗng của H i , tương ứng Cho Φ i : C i ×C i →R và Ψ i : Q i ×Q i →R là các song hàm, thỏa mãn các điều kiện (A1)−(A4) với mọi i = 1,2, , m Giả sử Ω = {x ∈ Tm i=1EP(Φ i )) : T i x ∈ EP(Ψ i ), i = 1,2, , m} ̸= ∅ Cho f là một ánh xạ co từ H vào chính nó, với hệ số co k ∈[0,1) Cho {x n } là dãy xác định bởi
x 1 , x 0 ∈ H được chọn bất kỳ, w n = x n +α n (x n −x n−1 ), y n =Sn (m) Sn (m−1) Sn (1) w n , x n+1 =β n f(y n ) + (1−β n )y n , ∀n≥ 1, trong đó
0, trái lại. và 0≤α n ≤ α n thỏa mãn α n
Nếu các dãy {β n }, {r n,i }, {s n,i }, {ρ n,i }và {ϵ n }thỏa mãn các điều kiện C1)–C4) trong Định lý 2.2.2, thì dãy {x n } hội tụ mạnh về x ⋆ ∈Ω.
Chứng minh Với mỗi song hàm Φ i : C i ×C i → R và Ψ i : Q i ×Q i → R, ta có thể định nghĩa F Φ i và F Ψ i như trong Bổ đề 2.3.4 Đặt A i = F Φ i và B i = F Ψ i với mọi i = 1,2, , m, từ Bổ đề 2.3.4, suy ra U r Φ n,i i (x) = (I +r n,i F Φ i ) −1 và
U s Ψ i n,i(x) = (I +s n,i F Ψ i ) −1 Do đó, ta nhận được điều phải chứng minh bằng cách sử dụng Định lý 2.2.2.
Ví dụ số minh họa
Ta xét bài toán chấp nhận tách tổng quát sau: Tìm một phần tử x ⋆ ∈ Ωvới
, trong đó C i ⊂ R 200 và Q i ⊂R 200(i+1) được xác định bởi
Q i ={x∈R 200(i+1) : ⟨a Q i , x⟩ ≤ c i } i = 1,2, ,5, và T i : R 200 → R 200(i+1) , i = 1,2, ,5, là các toán tử tuyến tính bị chặn với các phần tử của ma trận biểu diễn được tạo ngẫu nhiên trong đoạn [−2,2].
Ta kiểm tra sự hội tụ của dãy lặp {x n }, xác định như trong Định lý 2.3.2, trong đó tọa độ của các véc tơ a C i và a Q i , i = 1,2, ,5, được sinh ngẫu nhiên trong đoạn [2,4] và đoạn [5,15], tương ứng, và các số thựcb i , c i , i= 1,2, ,5, được lấy ngẫu nhiên trong đoạn [1,2], tọa độ của các điểm ban đầux 0 , x 1 được sinh ngẫu nhiên trong đoạn [10,30] Dễ dàng thấy rằng Ω̸=∅ vì 0∈Ω.
Chú ý 2.4.1 Ta sử dụng quy tắc dừng TOL n < err với err là một số thực dương cho trước và
Chú ý rằng, nếu tại bước lặp thứ n, TOL n = 0, thì x n ∈ Ω, tức là, x n là một nghiệm của bài toán.
Ta thu được bảng kết quả số dưới đây. β n = 1/n, ϵ n = 1/n 2 , err= 10 −9 và f(x) =x/4 ρ n,i = 0.25 ρ n,i = 1.25 ρ n,i = 1.85 TOL n 4.12207×10 −10 1.07465×10 −35 3.78171×10 −15 n 57 49 49
Bảng 2.1: Kết quả số cho Định lý 2.3.2
Luận văn đã trình bày lại một cách khá chi tiết và hệ thống về các vấn đề sau:
• Một số tính chất đặc trưng của không gian Hilbert, ánh xạ không giãn và toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert;
• Bài toán chấp nhận tách và phương pháp CQ trong không gian Hilbert;
• Phương pháp điểm gần kề quán tính;
• Các kết quả của Tuyen và Eslamian trong tài liệu [18] về một thuật toán quán tính tự thích nghi giải Bài toán chấp nhận tách tổng quát trong không gian Hilbert;
• Xây dựng một ví dụ số đơn giản dựa trên phần mềm MATLAB nhằm minh họa thêm cho tính khả dụng của phương pháp.
[1] Liêm N X (2002), Giải tích hàm, NXB GD.
[2] Agarwal R P., O’Regan D., Sahu D R (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer.
[3] Alvarez F., Attouch H (2001), “An inertial proximal method for maxi- mal monotone operators via discretization of a nonolinear oscillator with damping”, Set-Valued Analysis, 9 (1-2), pp 3-11.
[4] Bauschke H.H., Combettes P.L (2010), Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert spaces, Springer.
[5] Bauschke H H., Matou˘sková E., Reich S (2004), “Projection and proxi- mal point methods: convergence results and counterexamples”, Nonlinear Analysis, 56, pp 715-738.
[6] Blum, E., Oettli, W.: From optimization and variational inequalities to equilibrium problems Math Student 63, 123-145 (1994)
[7] Censor Y., Elfving T (1994), “A multi projection algorithm using Bregman projections in a product space”, Numer Algorithms, 8 (2-4), pp 221–239.
[8] Combettes, P.L., Hirstoaga, S.A.: Equilibrium programming in Hilbert spaces J Nonlinear Convex Anal 6, 117-136 (2005)
[9] Goebel K., Kirk W.A (1990), Topics in Metric Fixed Point Theory, Cam- bridge Stud Adv Math 28, Cambridge Univ Press, Cambridge, UK.
[10] G¨uler O (1991), “On the convergence of the proximal point algorithm for convex minimization”, SIAM J Control Optim., 29 (2), pp 403-419.
[11] He, S and Yang, C.: Solving the variational inequality problem defined on intersection of finite level sets, Abstr Appl Anal Volume 2013, Article ID
[12] He S and Yang C (2013), “Solving the variational inequality problem de- fined on intersection of finite level sets”,Abstract and Applied Analysis, vol.
[13] Maingé P.E (2007), “Approximation methods for common fixed points of nonexpansive mappings in Hilbert spaces”, J Math Anal Appl., 325, 469– 479.
[14] Martinet B (1970), “Regularisation dinequations variationnelles par ap- proximation successives”, Rev PranMc-aise Informat Recherche opera- tionnelle, 4, pp 154-158.
[15] Nakajo K., Takahashi W (2003), “Strong convergence theorems for non- expansive mappings and nonexpansive semigroups”, J Math Anal Appl.,
[16] R T Rockafellar, On the maximal monotonicity of subdifferential map- pings, Pacific J Math., 33, 209–216 (1970).
[17] Rockafellar R T (1976), “Monotone operators and proximal point algo- rithm”, SIAM J Control Optim., 14, pp 887-897.