Một thuật toán quán tính tự thích nghi cho bài toán không điểm chung tách tổng quát trong không gian hilbert

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - LÊ NGÔ MỸ DUYÊN MỘT THUẬT TỐN QN TÍNH TỰ THÍCH NGHI CHO BÀI TỐN KHÔNG ĐIỂM CHUNG TÁCH TỔNG QUÁT TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trương Minh Tuyên TS Phạm Hồng Trường THÁI NGUYÊN - 2022 ii Lời cảm ơn Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS.TS Trương Minh Tuyên, TS Phạm Hồng Trường tận tình hướng dẫn, bảo giúp đỡ tác giả suốt q trình học tập nghiên cứu để hồn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới thầy, cô khoa Toán–Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên giảng dạy giúp đỡ tác giả thời gian học tập nghiên cứu trường Qua tác giả xin chân thành cảm ơn tới người thân gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên tạo điều kiện giúp đỡ mặt suốt trình học tập thực luận văn iii Mục lục Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu viết tắt iv Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số đặc trưng không gian Hilbert 1.2 Ánh xạ không giãn tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert 1.2.1 Ánh xạ không giãn 1.2.2 Toán tử đơn điệu 10 1.3 Phương pháp CQ giải toán chấp nhận tách 14 1.4 Bài toán không điểm chung tách tổng quát 16 1.5 Một số bổ đề bổ trợ 18 Chương Một thuật tốn tự thích nghi giải Bài toán (GSCNPP) 23 2.1 Thuật toán hội tụ 23 2.2 Một số ứng dụng 32 2.2.1 Bài toán chấp nhận tách tổng quát 32 2.2.2 Bài toán cân tách tổng quát 34 2.2.3 Bài toán cực tiểu tách tổng quát 36 Ví dụ số minh họa 38 2.3 Kết luận Tài liệu tham khảo 40 41 iv Một số ký hiệu viết tắt H khơng gian Hilbert ⟨., ⟩ tích vơ hướng H ∥.∥ chuẩn H ∪ phép hợp ∩ phép giao R+ tập số thực không âm G(A) đồ thị toán tử A D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền ảnh toán tử A A−1 toán tử ngược toán tử A I toán tử đồng ∅ tập rỗng ∀x với x ∃x tồn x xn −→ x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 x n ⇀ x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 F (T ) tập điểm bất động ánh xạ T Mở đầu Trong thực tế vật, tượng chuyển đổi từ trạng thái x∗ (thông tin đầu vào, nguyên liệu) sang trạng thái b (kết đầu ra, sản phẩm) phải chuyển qua hay nhiều trình “biến đổi” liên tiếp Người ta mong muốn tìm nguồn hay trạng thái ban đầu x∗ dẫn đến trạng thái b vật tượng sau q trình biến đổi f Chẳng hạn, việc tìm nghiệm hệ phương trình tuyến tính Ax = b Hoặc người ta muốn tìm nguồn hay trạng thái ban đầu x∗ cho trình biến đổi liên tiếp tối ưu theo nghĩa Đây mơ hình loại toán tách Ta biết toán chấp nhận tách (Split Feasibility Problem), viết tắt (SFP), lần đề xuất nghiên cứu Censor and Elfving [3] với mục đích mơ hình hóa số toán ngược Bài toán phát biểu sau: Tìm phần tử x∗ ∈ C cho T (x∗ ) ∈ Q, (0.1) đó, C Q tập lồi, đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H1 H2 , T : H1 −→ H2 toán tử tuyến tính bị chặn Ta thấy toán (0.1), số toán liên quan, trường hợp đặc biệt toán tách tổng quát sau Cho X Y hai không gian Hilbert hay Banach, cho T : X −→ Y ánh xạ từ X vào Y Giả sử (P1 ) (P2 ) hai toán cho trước X Y , tương ứng Xét tốn tìm phần tử x∗ thuộc X cho x∗ nghiệm (P1 ) T (x∗ ) nghiệm (P2 ) Ta ký hiệu toán (P ) Năm 2019 Reich Tuyen [9] lần đề xuất nghiên cứu dạng tổng quát Bài toán (P ) sau: Cho X1 , X2 , , XN không gian Hilbert hay Banach cho Ti : Xi −→ Xi+1 , i = 1, 2, , N − 1, ánh xạ từ Xi vào Xi+1 Giả sử (Pi ), i = 1, 2, , N , N toán cho trước Xi , tương ứng Khi dạng tổng quát Bài tốn (P ) tìm phần tử x∗ X1 cho x∗ nghiệm toán (P1 ), T1 (x∗ ) nghiệm toán (P2 ), , TN −1 (TN −2 ( T2 (T1 (x∗ )))) nghiệm Bài toán (PN ), họ ký hiệu toán (GP ) Cụ thể [9] Reich Tuyen xét toán (GP ) với ánh xạ chuyển Ti tuyến tính, bị chặn (Pi ) tốn tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại Ai Bài toán gọi tốn khơng điểm chung tách tổng qt (Generalized Split Common Null Point Problem, viết tắt GSCNPP) Mục đích luận văn trình bày lại kết Tuyen T.M cộng tài liệu [12] thuật tốn qn tính tự thích nghi giải tốn GSCNPP Nội dung luận văn chia làm hai chương chính, đó: Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương tập trung trình bày lại số tính chất không gian Hilbert, phép chiếu mêtric, ánh xạ không giãn toán tử đơn điệu Tiếp theo, đề cập đến phương pháp CQ để giải toán chấp nhận tách, tốn khơng điểm chung tách tổng qt cuối số bổ đề bổ trợ sử dụng chứng minh định lý Chương luận văn Chương Một thuật toán tự thích nghi giải Bài tốn (GSCNPP) Nội dung chương đề cập đến kết [12] thuật tốn tự thích nghi dựa cải tiến phương pháp CQ, kết hợp với phương pháp gần kề qn tính, giải tốn GSCNPP Một số ứng dụng phương pháp lặp cho toán liên quan khác (bài toán chấp nhận tách tổng quát, toán cân tách tổng quát toán điểm cực tiểu tách tổng quát) giới thiệu chương Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương bao gồm mục Mục 1.1 đề cập đến số đặc trưng không gian Hilbert thực, Mục 1.2 giới thiệu sơ lược số kết ánh xạ khơng giãn tốn tử đơn điệu Mục 1.3 trình bày phương pháp CQ giải toán chấp nhận tách Mục 1.4 đề cập đến tốn khơng điểm chung tách tổng quát Mục 1.5 giới thiệu số bổ đề bổ trợ cần sử dụng việc trình bày nội dung Chương Nội dung chương phần lớn tham khảo từ tài liệu [1, 2, 8, 10] 1.1 Một số đặc trưng không gian Hilbert Ta giả thiết H không gian Hilbert thực với tích vơ hướng kí hiệu ⟨., ⟩ chuẩn kí hiệu ∥.∥ Trước hết, ta nhắc lại đặc trưng hình học quan trọng không gian Hilbert Mệnh đề 1.1.1 Trong khơng gian Hilbert thực H ta ln có đẳng thức sau ∥x − y∥2 + ∥x − z∥2 = ∥y − z∥2 + 2⟨x − y, x − z⟩, với x, y, z ∈ H Chứng minh Thật vậy, ta có ∥y − z∥2 + 2⟨x − y, x − z⟩ = ⟨y, y⟩ + ⟨z, z⟩ + 2⟨x, x⟩ − 2⟨x, z⟩ − 2⟨x, y⟩ = [⟨x, x⟩ − 2⟨x, y⟩ + ⟨y, y⟩] + [⟨x, x⟩ − 2⟨x, z⟩ + ⟨z, z⟩] = ∥x − y∥2 + ∥x − z∥2 Vậy ta điều phải chứng minh Mệnh đề 1.1.2 Cho H khơng gian Hilbert thực Khi đó, với x, y ∈ H λ ∈ [0, 1], ta có ∥λx + (1 − λ)y∥2 = λ∥x∥2 + (1 − λ)∥y∥2 − λ(1 − λ)∥x − y∥2 (1.1) Chứng minh Ta có ∥λx + (1 − λ)y∥2 = λ2 ∥x∥2 − 2λ(1 − λ)⟨x, y⟩ + (1 − λ)2 ∥y∥2 = λ∥x∥2 + (1 − λ)∥y∥2 − λ(1 − λ)(∥x∥2 − 2⟨x, y⟩ + ∥y∥2 ) = λ∥x∥2 + (1 − λ)∥y∥2 − λ(1 − λ)∥x − y∥2 Ta điều phải chứng minh Mệnh đề 1.1.3 Cho H khơng gian Hilbert thực Khi đó, với x, y ∈ H thỏa mãn điều kiện |⟨x, y⟩| = ∥x∥.∥y∥, tức bất đẳng thức Schwars xảy dấu hai véc tơ x y phụ thuộc tuyến tính Chứng minh Giả sử ngược lại x ̸= λy với λ ∈ R Khi đó, từ tính chất tích vơ hướng, ta có < ∥x − λy∥2 = λ2 ∥y∥2 − 2λ⟨x, y⟩ + ∥x∥2 , với λ ∈ R Ta thấy y = 0, hiển nhiên x y phụ thuộc tuyến ⟨x, y⟩ , bất đẳng thức trở thành tính Giả sử y ̸= 0, với λ = ∥y∥2 |⟨x, y⟩| < ∥x∥.∥y∥, điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy x y phụ thuộc tuyến tính Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 1.1.4 Cho H khơng gian Hilbert thực Khi ta có ∥x + y∥2 ≤ ∥x∥2 + 2⟨y, x + y⟩, ∀x, y ∈ H Chứng minh Ta có ∥x∥2 + 2⟨y, x + y⟩ = ∥x∥2 + 2∥y∥2 + 2⟨x, y⟩ ≥ ∥x∥2 + 2⟨x, y⟩ + ∥y∥2 = ∥x + y∥2 Mệnh đề chứng minh Nhắc lại rằng, dãy {xn } không gian Hilbert H gọi hội tụ yếu phần tử x ∈ H, lim ⟨xn , y⟩ = ⟨x, y⟩, n→∞ với y ∈ H Từ tính liên tục tích vơ hướng, suy xn → x, xn ⇀ x Tuy nhiên, điều ngược lại khơng Chẳng hạn, xét không gian P∞ 2 l2 = {{xn } ⊂ R : n=1 |xn | < ∞} {en } ⊂ l , cho en = (0, , 0, , 0, , 0, ), vị trí thứ n với n ≥ Khi đó, en ⇀ 0, n → ∞ Thật vậy, với y ∈ H, từ bất đẳng thức Bessel, ta có ∞ X |⟨en , y⟩|2 ≤ ∥y∥2 < ∞ n=1 Suy limn→∞ ⟨en , y⟩ = 0, tức en ⇀ Tuy nhiên, {en } khơng hội tụ 0, ∥en ∥ = với n ≥ Ta biết không gian Hilbert H thỏa mãn điều kiện Opial, tính chất thể mệnh đề đây: Mệnh đề 1.1.5 Cho H không gian Hilbert thực {xn } ⊂ H dãy thỏa mãn điều kiện xn ⇀ x, n → ∞ Khi đó, với y ∈ H y ̸= x, ta có lim inf ∥xn − x∥ < lim inf ∥xn − y∥ n→∞ n→∞ (1.2) Chứng minh Vì xn ⇀ x, nên {xn } bị chặn Ta có ∥xn − y∥2 = ∥xn − x∥2 + ∥x − y∥2 + 2⟨xn − x, x − y⟩ Vì x ̸= y, nên lim inf ∥xn − y∥2 > lim inf (∥xn − x∥2 + 2⟨xn − x, x − y⟩) n→∞ n→∞ = lim inf ∥xn − x∥2 n→∞ Do đó, ta nhận lim inf ∥xn − x∥ < lim inf ∥xn − y∥ n→∞ n→∞ Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 1.1.6 Mọi khơng gian Hilbert thực H có tính chất Kadec-Klee, tức {xn } ⊂ H dãy H thỏa mãn điều kiện xn ⇀ x ∥xn ∥ → ∥x∥, xn → x, n → ∞ Chứng minh Ta có ∥xn − x∥2 = ∥xn ∥2 − 2⟨xn , x⟩ + ∥x∥2 → 0, n → ∞ Suy xn → x, n → ∞ Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 1.1.7 Cho C tập lồi đóng khơng gian Hilbert thực H Khi đó, với x ∈ H, tồn phần tử PC x ∈ C cho ∥x − PC x∥ ≤ ∥x − y∥ với y ∈ C Chứng minh Thật vậy, đặt d = inf ∥x − u∥ Khi đó, tồn {un } ⊂ C cho u∈C ∥x − un ∥ −→ d, n −→ ∞ Từ ta có ∥un − um ∥2 = ∥(x − un ) − (x − um )∥ 2 = 2∥x − un ∥ + 2∥x − um ∥ − 4∥x − un + um ∥ 28 ≤ (1 − αn )∥yn,3 − z∥2 + 2αn ⟨u − z, xn+1 − z⟩  ≤ (1 − αn ) ∥xn − z∥2 + 2βn ∥xn − xn−1 ∥∥wn − z∥   f (yn,1 ) f (wn ) + − ρn (4 − ρn ) ∥h(wn )∥2 + θn,0 ∥h(yn,1 )∥2 + θn,1  A1 − ∥Jrn,1 (yn,2 ) − yn,2 ∥ + 2αn ⟨u − z, xn+1 − z⟩ = (1 − αn )∥xn − z∥2 + 2(1 − αn )βn ∥xn − xn−1 ∥∥wn − p∥   f (yn,1 ) f (wn ) + − (1 − αn )ρn (4 − ρn ) ∥h(wn )∥2 + θn,0 ∥h(yn,1 )∥2 + θn,1 − (1 − αn )∥JrAn,1 (yn,2 ) − yn,2 ∥2 + 2αn ⟨u − z, xn+1 − z⟩ (2.17) Với n ≥ 1, đặt sn = ∥xn − z∥2 , 2(1 − αn )βn ∥xn − xn−1 ∥∥wn − p∥ + 2⟨u − z, xn+1 − z⟩, αn   f (yn,1 ) f (wn ) + ηn = (1 − αn )ρn (4 − ρn ) ∥h(wn )∥2 + θn,0 ∥h(yn,1 )∥2 + θn,1 λn = + (1 − αn )∥JrAn,1 (yn,2 ) − yn,2 ∥2 , σn = 2(1 − αn )βn ∥xn − xn−1 ∥∥wn − p∥ + 2αn ⟨u − z, xn+1 − z⟩ Khi đó, từ (2.17), ta nhận hai bất đẳng thức sau: sn+1 ≤ (1 − αn )sn + αn λn , n ≥ (2.18) sn+1 ≤ sn − ηn + σn , n ≥ (2.19) Dễ thấy rằng, từ điều kiện (C3), suy βn ∥xn − xn−1 ∥ → Do đó, từ điều kiện P∞ (C1), ta có n=1 αn = ∞ limn→∞ σn = Để kết thúc chứng minh, sử dụng Bổ đề 1.5.6, ta cần từ limk→∞ ηnk = suy lim supk→∞ λnk ≤ với dãy {nk }k∈N {n}n∈N Giả sử {nk }k∈N dãy {n}n∈N cho limk→∞ ηnk = Khi đó, ta có ∥JrAn1 ,1 (ynk ,2 ) k f (wnk ) f (ynk ,1 ) → 0, → (2.20) − ynk ,2 ∥ → 0, ∥h(ynk ,1 )∥2nk + θn,0 ∥h(wnk )∥2nk + θn,1 29 Vì {h(wnk )}k∈N , {h(ynk ,1 )}k∈N bị chặn (xem Chú ý 1.5.3), nên tồn số dương M cho  max sup{∥h(wnk )∥2 }, sup{∥h(ynk ,1 )∥2 } ≤ M n Do đó, ta có n f (wnk ) f (ynk ,1 ) f (ynk ,1 ) f (wnk ) (2.21) ≤ ≤ M +K ∥h(ynk ,1 )∥2nk + θn,0 M +K ∥h(wnk )∥2nk + θn,1 Kết hợp (2.20) với (2.21), ta thu lim ∥JrAn1 ,1 (ynk ,2 ) − ynk ,2 ∥ = 0, (2.22) lim f (ynk ,1 ) = lim ∥(I H2 − JrAn2 ,2 )T1 ynk ,1 ∥ = (2.23) lim f (wnk ) = lim ∥(I H3 − JrAn,3 )T2 T1 wnk ∥ = (2.24) k→∞ k→∞ k k k→∞ k→∞ k→∞ Từ (2.22), (2.23) (2.24), ta thấy ∥ynk ,3 − ynk ,2 ∥ = ∥JrAn1 ,1 (ynk ,2 ) − ynk ,2 ∥ → 0, k (2.25) ∥ynk ,2 − ynk ,1 ∥ = τnk ,2 ∥h(ynk ,1 )∥ ≤ τnk ,2 ∥T1 ∥∥(I H2 − JrAn2 ,2 )T1 ynk ,1 ∥ → 0(2.26) k ∥ynk ,1 − wnk ∥ = τnk ,1 ∥h(wnk )∥ ≤ τnk ,1 ∥T1 ∥∥T2 ∥∥∥(I H3 − JrAn3 ,3 )T2 T1 wnk ∥ → k (2.27) Từ (2.25), (2.26) (2.27) suy ∥ynk ,3 − wnk ∥ → (2.28) ∥xnk +1 − ynk ,3 ∥ = αnk ∥u − ynk ,3 ∥ → (2.29) Vì 30 ∥wnk − xnk ∥ = βnk ∥xnk − xnk −1 ∥ → 0, (2.30) nên ta có ∥xnk +1 − xnk ∥ ≤ ∥xnk +1 − ynk ,3 ∥ + ∥ynk ,3 − wnk ∥ + ∥wnk − xnk ∥ → (2.31) Vì dãy {xnk }k∈N bị chặn, nên tồn dãy {xnkj }j∈N {xnk }k∈N cho xnkj ⇀ xˆ lim sup⟨u − z, xnk − z⟩ = lim ⟨u − z, xnkj − z⟩ j→∞ k→∞ (2.32) Từ (2.26), (2.27) (2.30), ta có ynkj ,2 ⇀ xˆ, ynkj ,1 ⇀ xˆ wnkj ⇀ xˆ Vì T1 T2 tốn tử tuyến tính bị chặn, nên T2 T1 wnkj ⇀ T2 T1 xˆ T1 ynkj ,1 ⇀ T1 xˆ Vì lim inf n→∞ rn,i > với i = 1, 2, 3, nên tồn r > chot rn,i ≥ r với i = 1, 2, n ≥ Đặc biệt, rnkj ,i ≥ r với i = 1, 2, j ≥ Áp dụng Bổ đề 1.5.1 (i) sử dụng (2.22), ta nhận ∥JrA1 (ynkj ,2 ) − ynkj ,2 ∥ ≤ 2∥JrAn1 kj ,1 (ynkj ,2 ) − ynkj ,2 ∥ → (2.33) Tương tự, ta ∥(I H2 − JrA2 )T1 ynkj ,1 ∥ → ∥(I H3 − JrA3 )T2 T1 wnkj ∥ → (2.34) Do đó, theo nguyên lý nửa đóng (xem Bổ đề 1.5.4), ta nhận xˆ ∈ F (JrA1 ) = A−1 ˆ ∈ F (JrA2 ) = A−1 ˆ ∈ F (JrA3 ) = A−1 0, T1 x T2 T1 x Điều suy xˆ ∈ Ω Do đó, từ (1.3), ta có lim sup⟨u − z, xnk − z⟩ = lim ⟨u − z, xnkj − z⟩ ≤ j→∞ k→∞ (2.35) Từ (2.31), ta có lim sup⟨u − z, xnk +1 − z⟩ ≤ (2.36) k→∞ Điều với điều kiện (C3) (2.35), suy lim λnk ≤ k→∞ (2.37) Theo Bổ đề 1.5.6, ta có limn→∞ ∥xn − z∥2 = Suy xn → z n → ∞ Định lý chứng minh 31 Chú ý 2.1.3 Điều kiện (C3) chọn dễ dàng tính tốn, giá trị ∥xn − xn−1 ∥ biết trước chọn βn Chẳng hạn, βn chọn sau βn = ωn ∥xn − xn−1 ∥ + c {ωn } dãy số thực dương sau cho ωn = o(αn ) c số dương tùy ý Bằng lập luận tương tự chứng minh Định lý 2.1.2, ta nhận kết tổng quát cho Bài toán (GSCNPP) Định lý 2.1.4 Cho Hi , i = 1, 2, , N , không gian Hilbert thực Cho Ai : Hi → 2Hi , i = 1, 2, , N toán tử đơn điệu cựu đại Hi , JrAi i (i = 1, 2, , N ) toán tử giải Ai với ri > Ti : Hi → Hi+1 , i = 1, 2, , N − tốn tử tuyến tính bị chặn Giả sử Ω ̸= ∅ Với u, x0 , x1 ∈ H1 , cho {xn }n∈N dãy xác định sơ đồ lặp đây:    wn = xn + βn (xn − xn−1 ),        yn,1 = wn − τn,1 h(wn ),       yn,2 = yn,1 − τn,2 h(yn,1 ),    (2.38)      yn,N −1 = yn,N −2 − τn,N −1 h(yn,N −2 ),        yn,N = JrAn,1 (yn,N −1 ),       xn+1 = αn u + (1 − αn )yn,N , ∀n ≥ 1, {αn }n∈N ⊂ (0, 1), {βn }n∈N ⊂ [0, ∞), {rn,i }n∈N ⊂ (0, ∞) với i = 1, 2, , N , {θn,j }n∈N ⊂ (0, ∞), j = 0, 1, , N − ∗ ∗ ∗ N −i+1 h(yn,i−1 ) = T1 T2 TN −i (I HN −i+1 − JrAn,N )TN −i T2 T1 yn,i−1 , −i+1 với i = 1, 2, , N − yn,0 = wn Giả sử cỡ bước chọn sau τn,i = ρn f (yn,i−1 ) , i = 1, 2, , N − < ρn < 4, ∥h(yn,i−1 )∥2 + θn,i−1 32 N −i+1 f (yn,i−1 ) = ∥(I HN −i+1 − JrAn,N )TN −i T2 T1 yn,i−1 ∥2 , i = 1, 2, , N − −i+1 Giả sử điều kiện thỏa mãn: (C1) limn→∞ αn = P∞ n=1 αn = ∞; (C2) lim inf n→∞ ρn (4 − ρn ) > 0; (C3) limn→∞ αβnn ∥xn − xn−1 ∥ = 0; (C4) lim inf n→∞ rn,i > for i = 1, 2, , N ;  (C5) maxi=0,1, ,N −1 supn {θn,i } ≤ K Khi đó, dãy {xn }n∈N hội tụ mạnh z = PΩH1 (u) 2.2 2.2.1 Một số ứng dụng Bài toán chấp nhận tách tổng quát Cho H không gian Hilbert thực g : H → R ∪ {+∞} hàm lồi thường, nửa liên tục Dưới vi phân g ký hiệu ∂g xác đinh ∂g(x) := {z ∈ H : g(x) + ⟨z, y − x⟩ ≤ g(y), ∀y ∈ H}, với x ∈ H Ta biết vi phân ∂g g toán tử đơn điệu cực đại Cho C tập lồi, đóng khác rỗng H, hàm C xác định iC (x) = ( 0, x ∈ C; ∞, x ∈ / C Khi iC hàm lồi, thường, nửa liên tục vi phân ∂iC tốn tử đơn điệu cực đại Hơn nữa, ta có ( NC (x), x ∈ C; ∂iC (x) := ∅, x ∈ / C, 33 NC nón pháp tuyến C xác định NC (x) := {z ∈ H : ⟨z, y − x⟩ ≤ 0, ∀y ∈ C} Toán tử giải Jr∂iC ∂iC với r > cho Jr∂iC (x) := (I H + r∂iC )−1 (x), ∀x ∈ H Do đó, ta có u = Jr∂iC (x) ⇔ x − u ∈ rNC (u) ⇔ ⟨x − u, y − u⟩ ≤ 0, ∀y ∈ C ⇔ u = PCH (x) Cho Hi , i = 1, 2, , N không gian Hilbert thực Cho Ci , i = 1, 2, , N tập lồi, đóng khác rỗng Hi , tương ứng, cho Ti : Hi → Hi+1 , i = 1, 2, , N − tốn tử tuyến tính bị chặn Xét toán chấp nhận tách tổng quát sau: Tìm phần tử z ∈ Ω với Ω := C1 ∩ T1−1 (C2 ) ∩ ∩ T1−1 (T2−1 (TN−1−1 (CN ))) ∂iCi Đặt Ai = ∂iCi với i = 1, 2, , N Định lý 2.1.4 Khi Jri (2.39) = PCHii ∂iC F (Jri i ) = A−1 i = Ci với ri > i = 1, 2, , N Do đó, ta nhận kết Định lý 2.2.1 Giả sử Ω ̸= ∅ Với u, x0 , x1 ∈ H1 , cho {xn }n∈N dãy xác định sơ đồ lặp đây:    wn = xn + βn (xn − xn−1 ),        yn,1 = wn − τn,1 h(wn ),       yn,2 = yn,1 − τn,2 h(yn,1 ),         yn,N −1 = yn,N −2 − τn,N −1 h(yn,N −2 ),        yn,N = PCH11 (yn,N −1 ),       xn+1 = αn u + (1 − αn )yn,N , ∀n ≥ (2.40) 34 {αn }n∈N ⊂ (0, 1), {βn }n∈N ⊂ [0, ∞), {θn,i }n∈N ⊂ (0, ∞) với i = 0, 2, , N − ∗ ∗ ∗ H −i+1 h(yn,i−1 ) = T1 T2 TN −i (I HN −i+1 − PCNN−i+1 )TN −i T2 T1 yn,i−1 , với i = 1, 2, , N − yn,0 = wn Giả sử cỡ bước chọn sau τn,i = ρn f (yn,i−1 ) , i = 1, 2, , N − < ρn < 4, ∥h(yn,i−1 )∥2 + θn,i−1 H −i+1 )TN −i T2 T1 yn,i−1 ∥2 , i = 1, 2, , N − f (yn,i−1 ) = ∥(I HN −i+1 − PCNN−i+1 Giả sử điều kiện (C1)-(C3) (C5) Định lý 2.1.4 thỏa mãn Khi {xn }n∈N hội tụ mạnh z = PΩH1 (u) 2.2.2 Bài toán cân tách tổng quát Cho C tập lồi, đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H G : C × C → R song hàm Bài tốn cân phát biểu sau: Tìm phần tử z ∈ C cho G(z, y) ≥ 0, ∀y ∈ C Tập nghiệm toán cân ký hiệu EP (G) Để giải toán cân bằng, người ta thường giả sử song hàm G có tính chất đây: (A1) G(x, x) = với x ∈ C; (A2) G đơn điệu, tức là, G(x, y) + G(y, x) ≤ với x, y ∈ C; (A3) Với x, y, z ∈ C, ta có lim supt→0 G(tz + (1 − t)x, y) ≤ G(x, y); (A4) Với x ∈ C, hàm y 7→ G(x, y) lồi nửa liên tục Ta cần bổ đề 35 Bổ đề 2.2.2 ( [4]) Cho G : C × C → R song hàm thỏa mãn điều kiện (A1)-(A4) Với r > x ∈ H, xác định ánh xạ TrG : H → C   G Tr (x) := y ∈ C : G(y, z) + ⟨y − z, x − y⟩ ≥ 0, ∀z ∈ C r Khi đó, ta có khẳng định sau: (i) TrG đơn trị; (ii) TrG không giãn vững; (iii) F (TrG ) = EP (G); (iv) EP (G) tập lồi đóng Bổ đề 2.2.3 ( [11]) Cho G : C × C → R song hàm thỏa mãn điều kiện (A1)-(A4) Xác định ánh xạ đa trị AG : H → 2H ( {z ∈ H : G(x, y) ≥ ⟨z, y − x⟩, ∀y ∈ C}, x ∈ C; AG (x) := ∅, x ∈ / C Khi đó, ta có khẳng định sau: (i) AG đơn điệu cực đại với EP (G) = A−1 G 0; (ii) TrG toán tử giải AG , tức là, TrG = (I H + rAG )−1 với r > Cho Hi , i = 1, 2, , N khơng gian Hilbert thực Cho Gi : Hi × Hi → R, i = 1, 2, , N song hàm thỏa mãn điều kiện (A1)-(A4) Ti : Hi → Hi+1 , i = 1, 2, , N − tốn tử tuyến tính bị chặn Ta xét tốn cân tách tổng qt sau: Tìm phần tử z ∈ Ω với Ω := EP (G1 ) ∩ T1−1 (EP (G2 )) ∩ ∩ T1−1 (T2−1 (TN−1−1 (EP (GN )))) AGi Đặt Ai = AGi Định lý 2.1.4 Khi đó, ta có Jri với i = 1, 2, , N Do ta có kết = TrGi i EP (Gi ) = A−1 i 36 Định lý 2.2.4 Giả sử Ω ̸= ∅ Với u, x0 , x1 ∈ H1 , cho {xn }n∈N dãy xác định sơ đồ lặp đây:    wn = xn + βn (xn − xn−1 ),        yn,1 = wn − τn,1 h(wn ),       yn,2 = yn,1 − τn,2 h(yn,1 ),         yn,N −1 = yn,N −2 − τn,N −1 h(yn,N −2 ),        yn,N = TrGn,1 (yn,N −1 ),       xn+1 = αn u + (1 − αn )yn,N , ∀n ≥ (2.41) {αn }n∈N ⊂ (0, 1), {βn }n∈N ⊂ [0, ∞), {rn,i }n∈N ⊂ (0, ∞) với i = 1, 2, , N , {θn,j }n∈N ⊂ (0, ∞), j = 0, 1, , N − ∗ ∗ ∗ N −i+1 h(yn,i−1 ) = T1 T2 TN −i (I HN −i+1 − TrGn,N )TN −i T2 T1 yn,i−1 , −i+1 với i = 1, 2, , N − yn,0 = wn Giả sử cỡ bước chọn sau τn,i = ρn f (yn,i−1 ) , i = 1, 2, , N − and < ρn < 4, ∥h(yn,i−1 )∥2 + θn,i−1 N −i+1 f (yn,i−1 ) = ∥(I HN −i+1 − TrGn,N )TN −i T2 T1 yn,i−1 ∥2 , i = 1, 2, , N − −i+1 Giả sử điều kiện (C1)-(C5) Định lý 2.1.4 thỏa mãn Khi đó, dãy {xn }n∈N hội tụ mạnh z = PΩH1 (u) 2.2.3 Bài toán cực tiểu tách tổng quát Cho H không gian Hilbert thực g : H → R ∪ {+∞} hàm lồi, thường, nửa liên tục Tập điểm cực tiểu g xác định argmin g := {x ∈ H : g(x) ≤ g(z), ∀z ∈ H} 37 Chú ý ∂g đơn điệu cực đại Hơn nữa, tập không điểm ∂g trùng với tập điểm cực tiểu g, tức là, x ∈ (∂g)−1 ⇔ ∈ ∂g(x) ⇔ g(x) ≤ g(z), ∀z ∈ H ⇔ x ∈ argmin g Trong trường hợp này, toán tử giải ∂g gọi toán tử gần kề g với r > xác định   proxrg (x) := argminy∈H g(y) + ∥x − y∥ , ∀x ∈ H 2r Cho Hi , i = 1, 2, , N không gian Hilbert thực Cho gi : Hi → R ∪ {+∞}, i = 1, 2, , N hàm lồi, thường, nửa liên tục cho Ti : Hi → Hi+1 , i = 1, 2, , N − tốn tử tuyến tính bị chặn Ta xét tốn điểm cực tiểu tách tổng qt sau: Tìm phần tử z ∈ Ω với Ω := argminx∈H1 g1 (x) ∩ T1−1 (argminx∈H2 g2 (x)) ∩ ∩ T1−1 (T2−1 (TN−1−1 (argminx∈HN gN (x)))) Kết suy trực tiếp từ Định lý 2.1.4 với Ai = ∂gi , i = 1, 2, , N Định lý 2.2.5 Giả sử Ω ̸= ∅ Với u, x0 , x1 ∈ H1 , cho {xn }n∈N dãy xác định sơ                    dồ lặp đây: wn = xn + βn (xn − xn−1 ), yn,1 = wn − τn,1 h(wn ), yn,2 = yn,1 − τn,2 h(yn,1 ),      yn,N −1 = yn,N −2 − τn,N −1 h(yn,N −2 ),        yn,N = proxgrn,1 (yn,N −1 ),       xn+1 = αn u + (1 − αn )yn,N , ∀n ≥ 1, (2.42) 38 {αn }n∈N ⊂ (0, 1), {βn }n∈N ⊂ [0, ∞), {rn,i }n∈N ⊂ (0, ∞) với i = 1, 2, , N , {θn,j }n∈N ⊂ (0, ∞), j = 0, 1, , N − ∗ ∗ ∗ N −i+1 h(yn,i−1 ) = T1 T2 TN −i (I HN −i+1 − proxrgn,N )TN −i T2 T1 yn,i−1 , −i+1 với i = 1, 2, , N − yn,0 = wn Giả sử cỡ bước xác định τn,i = ρn f (yn,i−1 ) , i = 1, 2, , N − and < ρn < 4, ∥h(yn,i−1 )∥2 + θn,i−1 N −i+1 f (yn,i−1 ) = ∥(I HN −i+1 − proxrgn,N )TN −i T2 T1 yn,i−1 ∥2 , −i+1 với i = 1, 2, , N − Giả sử điều kiện (C1)-(C5) Định lý 2.1.4 thỏa mãn Khi {xn }n∈N hội tụ mạnh z = PΩH1 (u) 2.3 Ví dụ số minh họa Trong mục này, luận văn trình bày ví dụ số nhằm minh họa thêm cho tính khả thi phương pháp lặp, đồng thời so sánh thêm tính hiệu so với phương pháp lặp (1.8) Reich Tuyen Xét toán chấp nhận tách tổng quát (2.39) với N = 5, Hi = Rni , ni = 5i, tập lồi đóng Ci xác định Ci = {x ∈ Rni : ⟨ai , x⟩ ≤ bi }, tọa độ sinh ngẫu nhiên đoạn [3, 5], vế phải bi chọn ngẫu nhiên đoạn [1, 2] với i = 1, 2, , Ti : Rni → Rni+1 , i = 1, 2, 3, tốn tử tuyến tính bị chặn với phần tử ma trận biểu diễn lấy ngẫu nhiên đoạn [−5, 5] Bây ta áp dụng phương pháp lặp (2.40) phương pháp lặp (1.8) Reich Tuyen [9] để tìm nghiệm Bài tốn (2.39) Các tham số điều khiển chọn sau: ❼ Phương pháp lặp (2.40): αn = 1/n, ρn = 3.5, θn,i = 1, βn = αn 1+∥xn −xn−1 ∥ 5−i ❼ Phương pháp lặp (1.8) Reich Tuyen: αn = 1/n, γi = 1/Πj=1 Mi , với Mi = max k=1,2, ,ni+1 ni X l=1 (tikl )2 , i = 1, 2, 3, 4, 39 (tikl )ni+1 ×ni ma trận biểu diễn toán tử Ti với i = 1, 2, 3, Dễ dàng thấy ∥Ti ∥2 ≤ Mi với i = 1, 2, 3, Do ta có γi = 5−i Πj=1 Mi ≤ 5−i Πj=1 ∥Ti ∥2 ,
tham số γi thỏa mãn điều kiện γi ∈ 0, ∥T1 ∥2 ∥T với N −i ∥ i = 1, 2, , Với tọa độ phần tử ban đầu x0 u chọn ngẫu nhiên đoạn [2, 4], ta thu bảng kết số err Phương pháp lặp (2.40) TOLn n Thời gian 10−3 9.996 × 10−4 2300 0.844 10−4 9.999 × 10−5 7301 2.750 10−5 9.999 × 10−5 24003 8.922 Phương pháp lặp (1.8) TOLn n Thời gian 9.999 × 10−4 11116 3.812 9.999 × 10−5 35151 12.64 9.999 × 10−5 111156 148.9 Bảng 2.1: Bảng kết số Chú ý 2.3.1 Trong ví dụ trên, hàm TOLn xác định  10 15 TOLn := ∥xn − PCR1 xn ∥2 + ∥T1 xn − PCR2 T1 xn ∥2 + ∥T2 T1 xn − PCR3 T2 T1 xn ∥2  R20 R25 + ∥T3 T2 T1 xn − PC4 T3 T2 T1 xn ∥ + ∥T4 T3 T2 T1 xn − PC5 T4 T3 T2 T1 xn ∥ với n ≥ Chú ý bước lặp thứ n, TOLn = 0, xn ∈ Ω, tức là, xn nghiệm tốn Do đó, ta sử dụng điều kiện TOLn < err để dừng q trình lặp, err sai số cho trước 40 Kết luận Luận văn trình bày lại cách chi tiết hệ thống vấn đề sau: ❼ Một số tính chất đặc trưng không gian Hilbert, ánh xạ không giãn tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert; ❼ Phương pháp lặp Halpern phương pháp xấp xỉ mềm tìm điểm bất động ánh xạ không giãn; ❼ Bài tốn chấp nhận tách phương pháp CQ khơng gian Hilbert; ❼ Bài tốn khơng điểm chung tách tổng quát không gian Hilbert; ❼ Các kết Tuyen T.M cộng tài liệu [12] thuật tốn qn tính tự thích nghi giải Bài tốn (GSCNPP); ❼ Xây dựng ví dụ số đơn giản dựa phần mềm MATLAB nhằm minh họa thêm cho phương pháp 41 Tài liệu tham khảo [1] Agarwal R P., O’Regan D., Sahu D R (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer [2] Bauschke H.H., Combettes P.L (2010), Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert spaces, Springer [3] Censor Y., Elfving T (1994), “A multi projection algorithm using Bregman projections in a product space”, Numer Algorithms, (2-4), pp 221–239 [4] P.L Combettes and A Hirstoaga, Equilibrium programming in Hilbert spaces J Nonlinear Convex Anal 6, pp 117–136 (2005) [5] Goebel K., Kirk W.A (1990), Topics in Metric Fixed Point Theory, Cambridge Stud Adv Math 28, Cambridge Univ Press, Cambridge, UK [6] He S and Yang C (2013), “Solving the variational inequality problem defined on intersection of finite level sets”, Abstract and Applied Analysis, vol 2013, page.) [7] Maingé P.E (2007), “Approximation methods for common fixed points of nonexpansive mappings in Hilbert spaces”, J Math Anal Appl., 325, 469– 479 [8] Nakajo K., Takahashi W (2003), “Strong convergence theorems for nonexpansive mappings and nonexpansive semigroups”, J Math Anal Appl., 279, pp 372-379 42 [9] Reich S., Tuyen T.M (2020), “Iterative methods for solving the generalized split common null point problem in Hilbert spaces”, Optimization, 69, 5, pp 1013–1038 [10] Takahashi W., Takeuchi Y., Kubota R (2008), “Strong convergence theorems by hybrid methods for families of nonexpansive mappings in Hilbert spaces”, J Math Anal Appl., 341, pp 276-286 [11] Takahashi S., Takahashi W., Toyoda M (2010), “ Strong convergence theorems for maximal monotone operators with nonlinear mappings in Hilbert spaces”, J Optim Theory Appl., 147, pp 27–41 [12] Tuyen T.M., Pongsakorn S., Trang N.M (2022), “An inertial self-adaptive algorithm for the generalized split common null point problem in Hilbert spaces", Rend Circ Mat Palermo, II Ser,71, pp 537–557 [13] Xu H.K (2006), “A variable Krasnosel’skii-Mann algorithm and the multiple-set split feasibility problem”, Inverse Problems, 22, pp 2021–2034 [14] Xu H.K (2010), “Iterative methods for the split feasibility problem in infinite dimensional Hilbert spaces”, Inverse Problems, 26, 105018