Chương 2 Một thuật toán quán tính cho bài toán không điểm
2.3 Một số ứng dụng
2.3.1 Bài toán cực tiểu tách tổng quát
Cho H và K là hai không gian Hilbert thực. Cho f : H → (−∞,∞]
và g : K → (−∞,∞] là hai hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới. Cho
T : H → K là một toán tử tuyến tính bị chặn. Bài toán cực tiểu tách (SMP) được phát biểu như sau: Tìm một phần tử
x⋆ ∈ H sao cho , f(x⋆) = min f(y)y∈H và g(T x⋆) = min g(z)z∈K. (2.42) Dưới vi phân của f là ánh xạ đa trị ∂f : H → 2H được xác định bởi, với mỗi x∈ H,
∂f(x) :={z ∈ H: f(y)−f(x) ≥ ⟨y−x, z⟩ ∀y ∈ H}.
Ta biết rằng ∂f là một toán tử đơn điệu cực đại (xem [16]) và phần tử x0 ∈arg minx∈Hf(x) khi và chỉ khi 0∈∂f(x0).
Điều này suy ra rằng, Bài toán (2.42) trở thành bài toán không điểm chung tách. Do đó, từ Định lý 2.2.2, ta nhận được kết quả sau.
Định lý 2.3.1. Cho H, Hi, i = 1,2, ..., m, là các không gian Hilbert thực và cho Ti : H → Hi là các toán tử tuyến tính bị chặn với Ti ̸= 0. Cho fi : H → (−∞,∞] và gi : Hi → (−∞,∞] là các hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới, i = 1,2, . . . , m. Giả sử rằng
Ω ={x⋆ ∈ H: fi(x⋆) = min fi(y)y∈H,
gi(Tix⋆) = mingi(z)z∈Hi, i= 1,2, ..., m} ̸=∅.
Đặt Ai = ∂fi, Bi = ∂gi với mọi i = 1,2, . . . , m. Cho {xn} là dãy xác định bởi Thuật toán 2.2.1. Nếu các điều kiện C1)–C4) trong Định lý 2.2.2 được thỏa mãn, thì dãy {xn} hội tụ mạnh về x⋆ ∈Ω.
2.3.2 Bài toán chấp nhận tách tổng quát
Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert thực H. Ký hiệu iC là hàm chỉ của C, tức là,
iC :=
0, nếu x∈ C,
∞, nếu x /∈ C,
Dễ thấy rằng iC là một hàm lồi, chính thường và nửa liên tục dưới. Do đó, dưới vi phân ∂iC của nó là một toán tử đơn điệu cực đại. Ta biết rằng
∂iC(u) =N(u, C) ={v ∈ H :⟨u−y, v⟩ ≥0 ∀y ∈ C},
trong đó N(u, C) là nón pháp tuyến của C tại u. Giả sử rằng u = Jr∂iC(x) với x∈ H, tức là,
xưu
r ∈∂iC(u) =N(u, C).
Điều này suy ra rằng
⟨xưu, uưy⟩ ≥0 với mọi y ∈C. Từ (1.3), ta nhận được u=PC(x).
Áp dụng Định lý 2.2.2 ta nhận được kết quả dưới đây cho bài toán chấp nhận tách tổng quát trong không gian Hilbert.
Định lý 2.3.2. Cho H, Hi, i = 1,2, ..., m, là các không gian Hilbert thực và cho Ti : H → Hi là các toán tử tuyến tính bị chặn với Ti ̸= 0. Cho {Ci}mi=1 và {Qi}mi=1 là các tập con lồi, đóng và khác rỗng của H and Hi, tương ứng. Giả sử rằng Ω = Tm
i=1Ci∩Ti−1(Qi) ̸= ∅. Cho f là một ánh xạ co từ H vào chính nó, với hệ số co k ∈[0,1). Cho {xn} là dãy xác định bởi
x1, x0 ∈ H được chọn bất kỳ, wn = xn +αn(xn−xn−1), yn =Sn(m)Sn(m−1)...Sn(1)wn,
xn+1 =βnf(yn) + (1−βn)yn, ∀n≥ 1, trong đó
α > 0, được chọn bất kỳ,
Sn(i) = PCi(I −τn,iTi∗(I −PQi)Ti), 1≤ i ≤m,
wn,0 =wn, wn,1 =Sn(1)wn, wn,i =Sn(i)...Sn(1)wn, 2≤ i ≤m,
τn,i =
ρn,i∥(I −PQi)Ti(wn,i−1)∥2
∥(Ti∗(I −PQi)Ti)(wn,i−1)∥2,nếu ∥(Ti∗(I −PQi)Ti)(wn,i−1)∥2 ̸= 0,
0, trái lại.
và 0≤αn ≤ αn thỏa mãn
αn =
min{ εn
∥xn−xn−1∥, α}, nếu xn ̸=xn−1
α, trái lại.
Nếu các dãy {βn}, {ρn,i} và {ϵn}thỏa mãn các điều kiện C1), C3) và C4) trong Định lý 2.2.2, thì dãy {xn} hội tụ mạnh về x⋆ ∈Ω.
2.3.3 Bài toán cân bằng tách tổng quát
Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert thực H. Cho Φ là một song hàm từ C ×C vào R. Bài toán cân bằng tương ứng với Φ là tìm một phần tử x⋆ ∈C sao cho
Φ(x⋆, y) ≥0, ∀y ∈ C. (2.43)
Tập các nghiệm x⋆ được ký hiệu bởi EP(Φ).
Để giải bài toán cân bằng, người ta thường đặt các giả thiết sau lên song hàm Φ:
(A1) Φ(x, x) = 0 với mọi x ∈C,
(A2) Φ là đơn điệu, tức là, Φ(x, y) + Φ(y, x) ≤ 0, với mọi x, y ∈C, (A3) Với mỗi x, y, z ∈ C, ta có
lim sup
t→0+
Φ(tz+ (1−t)x, y) ≤ Φ(x, y),
(A4) Với mỗi x ∈C, hàm y 7→ Φ(x, y) là lồi và nửa liên tục dưới.
Ta cần các bổ đề dưới đây.
Bổ đề 2.3.3. [6, 8] Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của H và cho Φ là một song hàm từ C ×C vào R thỏa mãn các điều kiện (A1)−(A4). Cho r > 0 và x∈ H. Khi đó, tồn tại z ∈C sao cho
Φ(z, y) + 1
r⟨y−z, z −x⟩ ≥0 ∀y ∈C.
Hơn nữa, nếu đặt
UrΦx= {z ∈C : Φ(z, y) + 1
r⟨y−z, z −x⟩ ≥0,∀y ∈C}, thì UrΦ là một ánh xạ không giãn ổn định (đơn trị).
Ta gọi UrΦ là giải của Φvới r > 0. Sử dụng bổ đề trên, Takahashi, Takahashi và Toyoda [20] đã chứng minh kết quả dưới đây.
Bổ đề 2.3.4. [20] Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của H và cho Φ là một song hàm từ C ×C vào R thỏa mãn các điều kiện (A1)−(A4). Cho FΦ là một ánh xạ đa trị từ H vào chính nó và được xác định bởi
FΦ(x) =
{z ∈ H: Φ(x, y) +⟨y−x, z⟩ ≥0, ∀y ∈C}, ∀x∈C
∅, ∀x /∈ C.
(2.44) Khi đó EP(Φ) = FΦ−1(0) và FΦ là một toán tử đơn điệu cực đại với dom(FΦ) ⊂ C. Ngoài ra, với bất kỳ x ∈ H và r > 0, giải UrΦ của Φ trùng với giải của FΦ, tức là,
UrΦ(x) = (I +rFΦ)−1(x).
Từ Định lý 2.2.2, ta nhận được kết quả dưới đây cho bài toán cân bằng tách.
Định lý 2.3.5. Cho H, Hi, i = 1,2, ..., m, là các không gian Hilbert thực và cho Ti : H → Hi là các toán tử tuyến tính bị chặn với Ti ̸= 0. Cho {Ci}mi=1, là các tập con lồi, đóng và khác rỗng của H và {Qi}mi=1, là các tập con lồi, đóng và khác rỗng của Hi, tương ứng. Cho Φi : Ci×Ci →R và Ψi : Qi×Qi →R là các song hàm, thỏa mãn các điều kiện (A1)−(A4) với mọi i = 1,2, . . . , m. Giả sử Ω = {x ∈ Tm
i=1EP(Φi)) : Tix ∈ EP(Ψi), i = 1,2, ..., m} ̸= ∅. Cho f là một ánh xạ co từ H vào chính nó, với hệ số co k ∈[0,1). Cho {xn} là dãy xác định bởi
x1, x0 ∈ H được chọn bất kỳ, wn = xn +αn(xn−xn−1), yn =Sn(m)Sn(m−1)...Sn(1)wn,
xn+1 =βnf(yn) + (1−βn)yn, ∀n≥ 1,
trong đó
α > 0, được chọn bất kỳ, Sn(i) = UrΦi
n,i(I −τn,iTi∗(I −UsΨi
n,i)Ti), 1≤i ≤ m,
wn,0 =wn, wn,1 =Sn(1)wn, wn,i =Sn(i)...Sn(1)wn, 2≤ i ≤m,
τn,i =
ρn,i∥(I −UsΨn,ii )Ti(wn,i−1)∥2
∥(Ti∗(I −UsΨn,ii )Ti)(wn,i−1)∥2, nếu ∥(Ti∗(I −UsΨn,ii )Ti)(wn,i−1)∥2 ̸= 0,
0, trái lại.
và 0≤αn ≤ αn thỏa mãn
αn =
min{ εn
∥xn−xn−1∥, α}, nếu xn ̸=xn−1,
α, trái lại.
Nếu các dãy {βn}, {rn,i}, {sn,i}, {ρn,i}và {ϵn}thỏa mãn các điều kiện C1)–C4) trong Định lý 2.2.2, thì dãy {xn} hội tụ mạnh về x⋆ ∈Ω.
Chứng minh. Với mỗi song hàm Φi : Ci×Ci → R và Ψi : Qi×Qi → R, ta có thể định nghĩa FΦi và FΨi như trong Bổ đề 2.3.4. Đặt Ai = FΦi và Bi = FΨi với mọi i = 1,2, . . . , m, từ Bổ đề 2.3.4, suy ra UrΦn,ii (x) = (I +rn,iFΦi)−1 và UsΨi
n,i(x) = (I +sn,iFΨi)−1. Do đó, ta nhận được điều phải chứng minh bằng cách sử dụng Định lý 2.2.2.