Phương pháp chiếu xấp xỉ giải bài toán bất đẳng thức biến phân tựa đơn điệu

33TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 46, tháng 5 năm 2021 PHƯƠNG PHÁP CHIẾU XẤP XỈ GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TỰA ĐƠN ĐIỆU Đỗ Duy Thành Khoa Toán&KHTN Email thanhdd@dhhp edu vn Ngày nhận bài 16/3/2021 Ng[.]

PHƯƠNG PHÁP CHIẾU XẤP XỈ GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TỰA ĐƠN ĐIỆU Đỗ Duy Thành Khoa Toán&KHTN Email: thanhdd@dhhp.edu.vn Ngày nhận bài: 16/3/2021 Ngày BP đánh giá: 23/4/2021 Ngày duyệt đăng: 29/4/2021 TÓM TẮT: Trong báo này, chúng tơi đề xuất thuật tốn chiếu để giải toán bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert thực, ánh xạ giá liên tục Lipschitz tựa đơn điệu (không cần thiết đơn điệu) Thuật tốn phân tích hội tụ yếu dãy lặp chi tiết Từ khóa: Bất đẳng thức biến phân, phương pháp chiếu, tựa đơn điệu, liên tục Lipschitz APPROXIMATION PROJECTION METHODS FOR QUASIMONOTONE VARIATIONAL INEQUALITIES ABSTRACT: In this paper, we propose a new projection algorithm for variational inequalities in a real Hilbert space, with the assumptions of Lipschitz-continuity and quasimonotone of the cost ( without monotone) We obtain a weak convergence theorem for the sequences generated by these processes Key words: variational inequality, projection method, quasimonotone, Lipschitz continuous GIỚI THIỆU Bất đẳng thức biến phân Kinderlehrer Stampacchia đưa lần vào năm 1980 nghiên cứu tốn biên tự Từ đó, nhiều mơ hình tốn xuất phát từ ứng dụng tốn, lý thuyết trị chơi, mơ hình cân kinh tế, cân giao thơng vật lý tốn, viết dạng toán bất đẳng thức biến phân Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H , A ánh xạ từ H vào H Bài toán bất đẳng thức biến phân, viết tắt VI (C , A) ,là tìm điểm x* ∈ C cho A( x*), x − x * ≥ ∀x ∈ C Ký hiệu Sol(C , A) để tập nghiệm toán VI (C , A) Để giải toán VI (C , A) với giả thiết tập C ⊆  n tập lồi, đóng, khác rỗng, A đơn điệu, liên tục Lipschitz với số L , Korpelevich [6] giới thiệu phương pháp đạo hàm tăng cường: x0 ∈C  k PC ( x k − λ A( x k )), = y  k +1 x PC ( x k − λ A( y k )), =  1 Với k ≥ 0, λ ∈  0,   L { }{ } Tác giả dãy x k , y k hội tụ đến điểm z ∈ Sol(C , A) Tuy nhiên điều kiện liên tục Lipschitz TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 46, tháng năm 2021 33 điều kiện mạnh Do đó, kỹ thuật khỏi tập nghiệm toán VI (C , A) Solodov Svaiter [8] sử dụng hai phép chiếu, x k +1 hình chiếu x k lên siêu phẳng Thuật tốn mơ tả sau: hay để tránh điều sử dụng phương pháp tìm kiếm theo tia dọc theo hướng y k − x k để thu điểm zk qua việc xây dựng siêu phẳng tách x k   x ∈ C , λ > 0, ρ ∈ (0,1), k = 0,  k PC ( x k − λ A( x k )), vaø tìm số nguyên không âm nhỏ ik cho = y  σ k k i k i k k k x −y = i ik , A( ρ y + (1 − ρ ) x ), x − y ≥ λ  i i k +1 Tính x k= PC  H ( x k ), z= ρ k y k + (1 − ρ k ) x k vaø k   n k k  H k = x ∈  : A( x ), x − z =0 { } { } hội tụ nghiệm Với giả thiết tham số λ , ρ ,σ ánh xạ A , dãy x k toán VI (C , A) Dựa kỹ thuật này, Trong [9], Zheng thay bước lặp k phép chiếu PC  H k PD k Hk hàm lồi khả vi, liên tục, Dk= { {x ∈  n } : c( x k ) + ξ k , x − x k ≤ , ξ k ∈ ∂C ( x k )  i i H k =v ∈  n : ρ k r ( x k ) + A( x k ) + λ A( x k ), v − x k + ρ k (1 − λσ ) x k − y k  Như vậy, bước hầu hết thuật toán giải toán VI(C,A) = y k PC ( x k − λ A( x k )) tính Trong [3], Dong, Cai Han cải tiến phương pháp tìm kiếm theo tia sử dụng phép chiếu lên tập C để giải toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu liên tục Lipschitz Dựa thuật tốn [3], [8], [9], chúng tơi giới thiệu phương pháp chiếu xấp xỉ, dùng phép chiếu để giải toán bất đẳng thức biến phân tựa đơn điệu liên tục Lipschitz với độ dài bước sử dụng rộng thuật toán [3] 34 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG } x ∈  n : c( x ) ≤ , c :  n →  , C =  ≤ 0  CÁC BỔ ĐỀ KỸ THUẬT Trong phần này, chúng tơi tóm tắt số khái niệm bản, kết sử dụng mục Ta sử dụng ký hiệu  → để hội tụ yếu mạnh dãy số Định nghĩa 2.1 Toán tử A : H → H gọi (i) đơn điệu H với x, y ∈ H , A ( x ) − A ( y ) , x − y ≥ 0; (ii) giả đơn điệu H với x, y ∈ H , A ( x ) , y − x ≥ ⇒ A ( y ) , y − x ≥ 0; (iii) tựa đơn điệu H với x, y ∈ H , A ( x ) , y − x > ⇒ A ( y ) , y − x ≥ 0; (iv) liên tục yếu có thứ tự x A ( xn ) hội tụ yếu tới A ( x ) xn hội tụ yếu tới x ; (v) liên tục Lipschitz với số L > H A ( x ) − A ( y ) ≤ L x − y , ∀x, y ∈ H Tiếp theo ta nhắc lại định nghĩa phép chiếu metric số tính chất Cho vector x ∈ H , phép chiếu x lên C, ký hiệu PC ( x ) , định nghĩa sau = PC ( x ) : argmin y∈C x − y Ánh xạ PC có tính chất sau, xem [5] PC ( x ) z − x, y − z ≥ 0, ∀y ∈ C ; Bổ đề 2.1 (i) Với x ∈ H , z = (ii) PC ( x ) − PC ( y ) ≤ x − y , ∀x, y ∈ H ; (iii) PC ( x ) − z 2 ≤ x − z − PC ( x ) − x , ∀x, z ∈ H Bổ đề 2.2 ([10]) Với x, y ∈ H , ta có (i) x + y 2 ≤ x + y, x + y ; (ii) λ x + (1 − λ ) y= λ x + (1 − λ ) y − λ (1 − λ ) x − y , ∀λ ∈ R 2 Bổ đề 2.3 ([7]) Nếu ánh xạ A : H → H liên tục Lipschitz tập bị chặn H M tập bị chặn H, A ( M ) bị chặn Bổ đề 2.4 ([4]) (i) Nếu A : H → H ánh xạ liên tục C, S D ⊂ S (ii) Nếu A : H → H giả đơn điệu liên tục C, S D = S Bổ đề 2.5 ([1]) Cho {an } , {bn } {θ n } dãy thuộc [ 0; +∞ ) cho +∞ an +1 ≤ an + θ n ( an − an −1 ) + bn , ∀n ≥ 1, ∑ bn < +∞ n =1 Và tồn số thực θ cho ≤ θ n ≤ θ < với n ≥ Khi đó, ta có: ( a ) ∑ n=1[ an − an−1 ]+ < +∞, +∞ (b) [t ]+ := max {t , 0} ; Tồn a* ∈ [ 0, +∞ ) cho lim n→+∞ an = a* Bổ đề 2.6 (xem [2], Bổ đề 2.47) Cho H không gian Hilbert thực C tập khác rỗng H, { xn } dãy H thỏa mãn hai điều kiện: (a) với x ∈ C , lim n→+∞ xn − x tồn tại; (b) điểm hội tụ yếu { xn } thuộc C Khi dãy { xn } hội tụ yếu đến điểm thuộc C TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 46, tháng năm 2021 35 THUẬT TỐN VÀ PHÂN TÍCH SỰ HỘI TỤ CỦA THUẬT TỐN Để nghiên cứu thuật tốn, cần điều kiện sau: ( A1 ) Ánh xạ A : H → H liên tục Lipschitz với số L > 0; ( A2 ) Tập S D ≠ ∅; ( A3 ) Ánh xạ A : H → H liên tục yếu có thứ tự C; ( A4 ) Ánh xạ A : H → H tựa đơn điệu H; lim n→+∞ µn ( A∞5 ) Các dãy số thực dương {ε n } , {θ n } {µn } thỏa mãn= ∑ n =1 ε n < ∞ 0,= lim n→+∞ θ n Trong phần này, giới thiệu phương pháp chiếu với độ dài bước lớn để giải toán bất đẳng thức biến phân tựa đơn điệu thu hội tụ yếu thuật toán Thuật toán 3.1 Cho x0 , x1 ∈ H , α , ρ1 , ρ ∈ ( 0,1) ,ν ∈ ( 0,1) , < µ < µ ' < 1, < γ < γ ' < M > λ1 > 0, dãy số thực dương {ε n } , {θ n } {µn } thỏa mãn điều kiện ( A5 ) Đặt n := Bước Chọn α n thỏa mãn ≤ α n ≤ α n ,    εn min  , α  , xn ≠ xn −1 , αn =  (3.1)  xn − xn −1   xn = xn −1 α , Bước Tính wn = xn + α n ( xn − xn −1 ) (3.2) Bước Tính = yn PC ( wn − λn A ( wn ) ) (3.3) Nếu yn = wn Ayn = , dừng yn nghiệm toán VI ( A, C ) Ngược lại, chuyển sang bước Bước Đặt Rn =: λn A ( wn ) − A ( yn ) , wn − yn wn − yn Khi  1 Rn > µ + µn , gán λn := ρ1λn 1,  tính = yn PC ( wn − λn A ( wn ) )  Rn  Ngược lại Đặt d n = wn − yn − λn ( A ( wn ) − A ( yn ) ) Tính xn +1 PC ( w n − σ n λn A ( yn ) ) , = 36 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHỊNG (3.4) (3.5) Trong σ n định nghĩa  wn − yn , d n , d n ≠ 0, ( γ + θ n ) dn σn =   d n = 0, Nếu Rn < ν λn ≤ M , λn = ρ2 λn (3.6) Ngược lại chuyển Bước Bước Đặt λn +1 = λn n= n + , quay lại Bước Chú ý 3.1 Trong điều kiện tham số, cần dãy tham số dương {θ n } = lim = , Thuật tốn [3] lại cần {µn } thỏa mãn lim n →∞ µ n n →∞ θ n ∞ ∞ ∑ µn < +∞, ∑θn < +∞ and = n 1= n ∑ ( µ + µn ) wn − yn = λn độ dài bước A ( wn ) − A ( yn ) , wn − yn ≠ θ < +∞ Trong trường hợp n =1 n 2 A ( wn ) − A ( yn ) , wn − yn ( µ + µn ) wn − yn µ + µn ≥ = , điều L L wn − yn cho ta thấy Thuật tốn 3.1 có độ dài bước rộng Thuật toán [3] với độ dài = bước phụ thuộc vào hai phần tử liền kề dãy lặp λn xn − xn −1 A ( xn ) − A ( xn −1 ) , xn − xn −1 ≥ L Chú ý 3.2 Từ (3.1) dẫn tới α n xn − xn −1 ≤ ε n Kết hợp với điều kiện ( A5 ) ta lim α n xn − xn −1 = 0; n →∞ ∞ ∑α n =1 n xn − xn −1 < ∞ Định lý 3.1 Nếu điều kiện ( A1 ) − ( A5 ) thỏa mãn A ( x ) ≠ 0, ∀x ∈ C , dãy { xn } sinh Thuật toán 3.1 hội tụ yếu đến p ∈ S D ⊂ S Chứng minh Để chứng minh định lý ta chia thành bước Bước Nếu điều kiện ( A5 ) thỏa mãn, tồn số nguyên dương N cho < γ + θ n ≤ γ ' < 2, − ( µ + µn ) ≥ − µ ', d n > σ n > 0, ∀n ≥ N Từ < γ < γ ' < lim n→∞ θ n = , tồn số nguyên dương N1 cho < γ + θ n ≤ γ ' < 2, ∀n ≥ N1 (3.7) TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 46, tháng năm 2021 37 Từ Thuật toán 3.1, với n ≥ , dẫn tới wn − yn , d n ≥ wn − yn , wn − yn − λn ( A ( w n ) − A ( yn ) ) ≥ wn − yn − λn wn − yn , ( A ( w n ) − A ( yn ) ) ≥ (1 − ( µ + µn ) ) wn − yn (3.8) Từ lim n→∞ µn = < µ < µ ' < , tồn số nguyên dương N1 cho − ( µ + µn ) ≥ − µ ', ∀n ≥ N Kết hợp với (3.8), ta có d n w n − yn ≥ w n − yn , d n ≥ (1 − µ ') w n − yn , ∀n ≥ N (3.9) Từ (3.8), (3.9) ta d n > σ n > 0, ∀n ≥ N Đặt N = max { N1 , N } , kết hợp với (3.7) ta < γ + θ n ≤ γ ' < 2, d n > σ n > 0, ∀n ≥ N Bước Giả sử điều kiện ( A1 ) − ( A2 ) ( A5 ) thỏa mãn, p ∈ S D , { xn } , {wn } { yn } dãy sinh Thuật toán 3.1 Khi xn +1 − p ≤ wn − p − ( γ + θ n )( − γ − θ n ) 2 (1 − µ ') 4 (1 + λ L ) 2 n wn − yn , ∀n ≥ N (3.10) Thật vậy, từ p ∈ S D , ta có A ( yn ) , yn − p ≥ (3.11) Từ Bổ đề 2.1 (iii), Bước (3.5), ta xn +1 − p = PC ( wn − σ n λn A ( yn ) ) − p 2 ≤ wn − σ n λn A ( yn ) − p − wn − σ n λn A ( yn ) − xn +1 = wn − p − 2σ n λn wn − p, A ( yn ) − xn +1 − wn + 2σ n λn wn − xn +1 , A ( yn ) 2 = wn − p − xn +1 − wn − 2σ n λn A ( yn ) , xn +1 − yn − 2σ n λn A ( yn ) , yn − p 2 ≤ w n − p − xn +1 − w n − 2σ n λn A ( yn ) , xn +1 − yn , ∀n ≥ N 2 Theo Bổ đề 2.1 (i) (3.3), ta có 38 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHỊNG (3.12) yn − wn + λn A ( wn ) , xn +1 − yn ≥ (3.13) Kết hợp (3.12) (3.13), xn +1 − p ≤ wn − p − xn +1 − wn + 2σ n λn A ( yn ) , yn − xn +1 2 + 2σ n wn − yn − λn A ( wn ) , yn − xn +1 = wn − p − wn − xn +1 − σ n d n + (σ n d n 2 ) − 2σ n wn − xn +1 , d n + 2σ n yn − xn +1 , d n = wn − p − wn − xn +1 − σ n d n + (σ n d n 2 ≤ w n − p + (σ n d n ) ) (3.14) + 2σ n yn − wn , d n + 2σ n yn − wn , d n , ∀n ≥ N Từ (3.5) (3.14), suy xn +1 − p ≤ w n − p − ( γ + θ n )( − γ − θ n ) 2 ( yn − w n , d n dn ) 2 , ∀n ≥ N (3.15) Kết hợp (3.8) Mệnh đề 3.1, dẫn tới wn − yn , d n ≥ (1 − µ ') wn − yn 2 (1 − µ ')  λn2 L2 2 wn − yn + wn − yn   2 2  + λn L + λn L  (3.16) (1 − µ ')  λn 2 A ( wn ) − A ( yn ) + wn − yn  ≥  2 2  + λn L + λn L  1− µ ' 1− µ ' wn − yn − λn ( A ( = wn ) − A ( yn ) ) d n , ∀n ≥ N ≥ 2 2 (1 + λn L ) (1 + λn L ) = Từ (3.9), (3.15) (3.16) ta có xn +1 − p ≤ wn − p − ( γ + θ n )( − γ − θ n ) 2 (1 − µ ') 4 (1 + λ L ) 2 n wn − yn , ∀n ≥ N Nếu tồn Bước Giả sử điều kiện ( A1 ) − ( A5 ) thỏa mãn lim n→∞ yn − wn = { } {x } cho {x } hội tụ yếu đến dãy xnk ( ) n nk p ∈ H , p ∈ S D A p = TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 46, tháng năm 2021 39 ... biến phân giả đơn điệu liên tục Lipschitz Dựa thuật tốn [3], [8], [9], chúng tơi giới thiệu phương pháp chiếu xấp xỉ, dùng phép chiếu để giải toán bất đẳng thức biến phân tựa đơn điệu liên tục... thuật toán giải toán VI(C,A) = y k PC ( x k − λ A( x k )) tính Trong [3], Dong, Cai Han cải tiến phương pháp tìm kiếm theo tia sử dụng phép chiếu lên tập C để giải toán bất đẳng thức biến phân. .. này, giới thiệu phương pháp chiếu với độ dài bước lớn để giải toán bất đẳng thức biến phân tựa đơn điệu thu hội tụ yếu thuật toán Thuật toán 3.1 Cho x0 , x1 ∈ H , α , ρ1 , ρ ∈ ( 0,1) ,ν ∈ ( 0,1)