bµi tËp & Lời giải: CMR: a2 + b2 + c2 ab + bc + ca (1) Gi¶i: (1) 2(a2 + b2 + c2) 2(ab + bc + ca) 2(a2 + b2 + c2) - 2(ab + bc + ca) 2 2 2 (a -2ab + b ) + (b - 2bc + c ) + (c - 2ca + a ) Bất đẳng thức cuối ®óng Cho a, b, c > CMR: -a8 + b8 + c8 = (a4)2 + (b4)2 + (c4)2 a4b4 + b4c4 + c4a4 = [(ab)2]2 + [(bc)2]2 + [(ca)2]2 a2b4c2 + b2c4a2 + c2a4b2 = (ab2c)2 + (bc2a)2 + (ca2b)2 ³ a2b3c3 + a3b2c3 + a3b3c2 = a3b3c3 Û a, b, c, d > CMR: a4 + b4 + c4 = (a2)2 + (b2)2 + (c2)2 ³ a2b2 + b2c2 + c2a2 ³ ab2c + abc2 + a2bc = abc(a + b + c) Û a4 + b4+ c4 + abcd ³ abc(a + b + c + d) Û T- ¬ng tù: ; Cộng lại Cho a, b, c ẻ [0, 2] vµ a + b + c = CMR: a + b2 + c2 £ -Gi¶i: Ta cã a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2(ab + bc + ca) = - 2(ab + bc + ca) vµ Ycbt Û 2(ab + bc + ca) ³ Ta l¹i cã: (2 - a)(2 - b)(2 - c) ³ Û - - abc + 2(ab + bc + ca) ³ 0Û 2(ab + bc + ca) ³ + abc Þ 2(ab + bc + ca) ³ a CMR: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ³ a(b + c + d + e) Gi¶i: ycbt Û Û ³0 ³ Þ DÊu “ = “Û a = 2b = 2c = 2d = 2e b Y Hµ Néi 99: CMR: a - a + a - a + > Û (a3 - )2 + (a - )2 + >0Ûm a , b m, n ẻ N CMR: Gi¶i: Ta cã thĨ gi¶ sư a ³ b ycbt Û (am + bm)(an + bn) £ 2(am+n + bm+n) Û am+n + ambn + anbm + bm+n£ 2(am+n + bm+n) Û am+n - ambn - anbm + bm+n ³ 0Û am(an- bn) - bm(an - bn) ³ Û (an - bn)(am - bm) ³ Û DÊu “ = “ x¶y Û a = b a , b ³ CMR: (a + b)(a3 + b3)(a5 + b5) £ 4(a9 + b9) Giải: Theo thì: (a + b)(a3 + b3) £ 2(a4 + b4) Û (a + b)(a3 + b3)(a5 + b5) £ 2(a4 + b4)(a5 + b5) £ 4(a9 + b9) Û ®pcm DÊu “ = “ xảy a = b Hàng Hải 96: ab ³ CMR: -Gi¶i: Ycbt Û (1 + a2)(1 + ab) + (1 + b2)(1 + ab) - 2(1 + a2)(1 + b2) ³ Û + ab + a2 + a3b + + ab + b2 + ab3 - - 2b2 - 2a2 - 2a2b2 ³ Û - a2 + 2ab - b2 + a3b + ab3 2a2b2 ³ Û - (a - b)2 + ab(a - b)2 ³ Û (ab - 1)(a - b)2 ³ Û ®óng Û ®pcm DÊu “ = “ x¶y Û ab = hc a = b 110.II.2: Cho a, b, c ³ CMR: -Víi d theo ta có: = Nếu chän d = ³ 10.116.III.2: Cho x + y ³ CMR: Thì: (áp dụng với a = 2x, b = 2y) -11 Cho £ x, y xy Ê CMR: (Tơng tự câu trên) -12 < x, y, z £ CMR: -Có: Tơng tự Và Cộng vế có 13 (92 III) Tam gi¸c ABC cã A ³ B ³ C CMR: Gi¶i: Ycbt Û Û b2c + ac2 + a2b ³ a2c + ab2 + bc2 Û b2(c - a) + ac(c - a) - b(c2 - a2) ³ Û (c - a)[b2 + ac - b(c + a)] ³ Û (c - a)[b(b - c) - a(b - c)] ³ Û (c - a)(b - c)(b - a) ³ 14 Cho a > CMR: Gi¶i: Ycbt Û a + a + Û a2 + 2a < a2 + 2a + Û < 15 Cho a + b ³ CMR: a3 + b3 £ a4 + b4 Gi¶i: Ycbt Û a3(a - 1) + b3(b - 1) ³ Û (a3 - + 1)(a - 1) + (b3 - + 1)(b - 1) ³ Û (a3 - 1)(a - 1) + (a - 1) + (b - 1)(b - 1) + (b 1)³ Û (a - 1)2(a2 + a + 1) + (b - 1)2(b2 + b + 1) + a + b - ³ Û 16 CMR: x2 + 19y2 + 6z2 - 8xy - 4xz + 12yz ³ Gi¶i: Ycbt Û (x - 4y - 2z)2 + 3(y - 2/3z)2 + 2/3z2 ³ Û Ó 17 Cho p/4 < x < p/2 CMR: Gi¶i: Ycbt Û Û tg2 - 4tgx + ³ Û (tgx - 2)2 ³ Û 18 Cho a, b,c > vµ a + b = c CMR: Gi¶i: Ta cã c > a > 0; c > b > vµ Û Ĩ 19 a 94.(III.1): Cho tam gi¸c ABC CMR: (a + b - c)(b + c - a)(a + c - b) £ abc -Giải: Vì a2 a2 - (b - c)2 = (a + b -c)(a + c - b) b2 ³ b2 - (a - c)2 = ( a + b - c)(b + c - a) c2 ³ c2 - (a - b)2 = (c + a - b)(c + b - a) đẳng thức chiều theo vế Nhân bất 20 a 142.(III.1) CMR: 4sin3x + ³ 4cos2x + 5sinx -Ycbt Û 12sinx - 16sin3x + ³ - 8sin2x + 5sinx Û (sinx - 1)(4sinx + 1)2 £ b CMR: 2(sin2000x + cos2000x) ³ sin1998x + cos1998x -Ûsin1998x(2sin2x - 1) + cos1998x(2cos2x - 1) ³ 0Û (sin1998x - cos1998x)(sin2x - cos2x) ³ 21 Trong tam gi¸c ABC, CMR: ³ Gi¶i: Ycbt Û ³2Û ³2Û ³2 Û abc ³ 8(p - a)(p - b)(p - c) Û abc ³ (b + c - a)(a + c - b)(a + b - c) ( 94.III.1) 22 a ĐH Ngoại th¬ng 97: Cho a, b, c > CMR: Vì a, b, c > Nên: Mặt khác: = ; VËy ³ (C«si); VËy: + + ³ b Cho DABC Tìm MaxP = 3cosA + 2(cosB + cosC) (ĐH LuËt 98); MaxP = cosC) (SP2 98) c NhËn d¹ng D: >2 cosB + 3(cosA + =a+b+c d Cho a + b + c = CMR: a Cho a ³ 1, b ³ CMR: a +b £ ab Giải: Có Ê a Tơng tự b Ê Þ b §H HuÕ 98: Cho a ³ 1; b ³ - 4; c £ 2; d > CMR: £ c QGia (D) 99: a, b, c>0 CMR : Cã: (a + b)( + )³4Û Û (a + b)2 ³ 4ab Û ab £ a b (a + b) T¬ng tù: bc £ bc (b + c); 4 2 d GTVT 99: Min(P = cotg a + cotg b + 2tg atg b + 2) e KTQD 99: Cho < x < Ơ Tìm Min: f(x) = 4x + ca ca £ ca (c + a) ị m + sinx g Hàng Hải TP Hồ Chí Minh 99: Cho x, y, z ³ vµ x + y + z £ CMR: Có: Ê0 Mặt khác: (1 + x + + y + 1+ z)( ³ )³ 9Û ³ Ó h Cho x, y, z > CMR: + + £ -2 KTquèc d©n 96: Cho a, b ³ CMR: 3a3 + 17b3 ³ 18ab2 -Gi¶i: VT = 3a3 + 9b3 + 8b3 ³ ³ 18ab2 (148.II.2) Cho a, b ³ CMR: 3a3 + 7b3 ³ 9ab2 Gi¶i: VT = 3a3 + 4b3 + 3b3 ³ ³ 9ab2 Þ Cho a, b, c > CMR: a) Û c) + (c + a)] Û Û [(a + b) + (b + (1) b (Thi häc sinh giái toµn quèc 1979) -Ta có (côsi) Và theo câu a: c Û BBĐT cuối theo câu a, ta cã Ghi chó: NÕu abc = Th× d Cho: a, b, c > vµ abc = CMR: -Đặt: x = e QG TP Hồ ChÝ Minh 98: DABC CMR: ab(a + b - 2c) + bc(b + c - 2a) + ca(c + a - 2b) ³ -Û ³0Û f Cho: a, b, c > CMR: -Gi¶i: Cã =0 VËy: 2( ) + = == ( ) Mặt khác: Tơng tự: ³ (b + c); ³ ³ Û ³ (a + b); (c + a) Céng ba B§T cã Ĩ Cho số dơng a, b, c, e, f, chứng minh rằng: a Giải: Lập phơng hai vế vµ cã: a + b + c ³ ; ab + bc + ca ³ b ¸p dơng bất đẳng thức côsi ta có: Tơng tự ; Cộng BĐT Cho số dơng a, b, c Chøng minh : a a3 + b3 + c3 ³ a2 Gi¶i: Theo bất đẳng thức côsi ta có: a + b3 + c3 ³ 3abc Û 2(a3 + b3 + c3) ³ a3 + b3 + c3 + 3abc = (a3 + abc) + (b3 + abc) + (c3 + abc) ³ b -V× a2 - ab + b2 ³ ab Û a3 + b3 + abc = (a + b)(a2 - ab + b2) + abc ³ (a + b)ab + abc = ab(a + b + c) Û Tơng tự thì: Cộng ba BĐT có c Bách khoa 90: Cã a2 + bc ³ Þ Û Chó ý: a + b + c ³ 7.CMR m+n+p=1 a; b; c>0 a+b+c ³ + + -Giải: Theo bất đẳng thức côsi với n + m + p sè th×: ma + nb + pc ³ (m + n + p) na + pb + mc ³ (m + n + p) ; pa + mb + nc ³ (m + n + p) Cộng BĐT ta có Chứng minh bất đẳng thức sau: a Cho a, b > 0; m Ỵ N CMR: -Gi¶i: Cộng BĐT, ta có: ; tơng tự: Dấu b»ng x¶y Û a = b b Cho a > b > CMR: a + Ta cã: a + ³ = b + (a - b) + ³ ÅDÊu b»ng x¶y Û a = 2, b = c Cho a, b > CMR: Ó Ta cã: d §HKiÕn tróc 92: Cho a, b, c > a + b + c = CMR: Giải: Ta có: 64 ; Tơng tự ; Nhân ba bất đẳng thức có Dấu xảy Û a = b = c = Ghi chó: C2: + a = a + a + b + c chia vÕ cho abc aabc Tơng tự cho hai BĐT Nhân BĐT e a + 2b + 2c ³ 4(1 - a)(1 - b)(1 - c) -Gi¶i: Ta cã: 4xy £ (x + y)2 Þ Þ 4[(b + c)(1 - c)](1 - b) £ (b + c + - b)2(1 - b) = (1 + b)(1 b2) £ + b = a + 2b + c £ + b = a + 2b + 2c Û f (a + b)(b + c)(c + a)abc £ a+b+c=1 Ta cã abc £ Nh©n hai BĐT ị Dấu = xảy Û a = b = c = g Cho a, b > vµ a + b = CMR: Giải: Vì: (x + y) 4ị Ta cã: 4ab £ (a + b)2 Û ab £ Û ị Câu tiếp tơng tự h Cho a, b, c > CMR: Giải: Vì Ê Tơng tự: Cộng BĐT ị i THTT 1.2000: Cho a, b, c > CMR: -Cã: Tơng tự: Cộng lại có Ngoại thơng 96 ABC CMR: ma.mb.mc £ Gi¶i: Ta cã: ma2 + mb2 + mc2 ³ 3(ma.mb.mc)2/3 Û ma.mb.mc £ sin2C)3/2R3 £ = (sin2A + sin 2B + R3 = 3/2 10 §H Thơng Mại 1996: tam giác ABC nhọn CMR: tg6A + tg6B + tg6C ³ 81 -Giải: Vì tgA +tgB +tgC nên: tg6A + tg6B + tg6C ³ 3(tgA.tgB.tgC)2 =3(tgA + tgB + 2 tgC) ³ 3( ) = 81 Û DÊu “ = “ x¶y Û A = B = C tam giác ABC 10 11.ĐH Kiến trúc 1990 Cho a, b, c > Giải: Từ ịb= CMR: VËy Ycbt Û Û ³4 ³4 Theo côsi Dấu = x¶y , a = c = b 12 Cho = T×m Max(xyz) Giải: Vì = không đổi ị lớn 13 a Cho x = a2 vµ Vµ Max( )= = a4 + T×m Max(xy) Gi¶i: y = lín nhÊt Û nhá nhÊt Mµ nhÊt lµ = = Vậy đạt đợc a = ± , xy lín b Cho a > T×m Min(a 1000 + a900 + a90 + a5 + ) Gi¶i: a1000 + a900 + a90 + a5 + ³ 1999 = a1000 + a900 + a90 + a5 + = 1999 VËy Min(a1000 + a900 + a90 + a5 + ) = 1999 Đạt đợc a = c T×m Min(x100 -10x10 + 2004) Gi¶i: Cã x100 + = x100 + + + + ³ 10 = 10x10 Û x100 - 10x10 + ³ Û x100 10x10 + 2004 ³ 1995 Vậy Min(x 100 - 10x10 + 2004) = 1995 đạt ®ỵc Û x = 11 d Cho x, a > T×m Min Giải: Vậy = Đạt đợc 14 ĐHKiến trúc 91: Cho a, b, c > vµ Gi¶i: Û ³ 2abc + ab + bc + ca ³ Û ³ (2abc + ab + bc + ca)4 ³ 2.44(abc)3 Û abc Û 15 Cho a, b > CMR: Gi¶i: Ycbt Û log2a + log2b + V× Nhng log2a + log2b ³ VËy: 4log2 ³ log2a + log2b + §PCM DÊu “ = “ x¶y Û a = b Ghi chó: Cho n số không âm a 1, a2, a3, , an thì: TB bình phơng TB cộng TB nhân TB điều hoà (Dấu = a1 = an) Tøc lµ: 16.a CMR: + 34a + ³ Ta cã: + 34a + ³ =2 =2 ³ 2.30 = b ĐH TThuỷ lợi 97: Cho a, b, c, d > CMR: - 12 Û ³ ; ³ ³ ; Tơng tự có: Cộng lại có x y z 1 c T×m m để hệ có nghiệm dơng: xy yz zx m xyz m n n-1 d Cho vµ P(x) = x + an-1x + + a1x + = cã n nghiÖm thùc CMR: P(2) 3n Giả sử nghiệm là: c1, c2, cn ci < Đặt: -ci = di > Th×: P(x) = (x - c1)(x - c2) (x - cn) = (x + d1)(x + d2) (x + dn) P(2) = (2 + d1(2 + d2) (2 + dn) Cã: + di = + + di 3 d i (n B§T) (2 + d1)(2 + d2) (2 + dn) 3n d 1d d n = 3n ( 1) n c1 c2 cn = 3n e ABC T×m Max(AB2C3) f Cho: x [0,1] T×m Max(1 - x2)(1 + 4x) g Cho a + b + c = T×m Max(a 2b3c4) h Cho a, b, c, d vµ a2001 + b2001 + c2001 + d2001 = CMR: a3 + b3 + c3 + d3 13 a (62 II 2) Cho a + b = CMR: a4 + b4 ³ -Gi¶i: = a + b £ £ b Cho gãc vu«ng ë A, DABC T×m Min Giải: AB + AC Ê = 2BC ị Cho xy + yz + zx = T×m Min(x4 + y4 + z4) Gi¶i: = xy + yz + zx £ Û 16 £ 3(x4 + y4 + z4) Û x4 + y4 + z4 ³ VËy Min(x4 + y4 + z4) = DÊu “ = “ x¶y raÛ x = y =z=± (19 II 2) Cho tam gi¸c ABC chøng minh r»ng: Gi¶i: DÊu “ = xảy DABC a Cho a + b + c = 3; a, b, c ³ - CMR: -Gi¶i: =c=1 .Dấu xảy a = b b ĐH Đông đô 99: Tìm nghiệm x, y mà x + 2y Max: -Gi¶i: Cách Hình học Cách 2: (1) (x - )2 + (y - 1)2 £ Cã: 1.(x - ) + 2(y - 1) £ £ VËy: x + 2y Ê Vậy Max(x + 2y) =5 đạt đợc Û x = y = 14 c An Ninh 99: ChØ c¸c nghiƯm (x,y) cã 2x + y Max : log x y (2x + y) ³ (1) -Cách 1: Hình học Cách 2: (1) (I): £ Hc (II): Tõ (I) cã: (x - 1)2 + [ (y - )]2 L¹i cã: 2.(x - 1) + [ (y - £ )] £ Tõ (II) cã: 2x + y £ x2 + 2y2 < VËy: Max(2x + y) = VËy: 2x + y Ê Đạt đợc x = 2, y = Cho x2 + y2 + z2 = CMR: -Gi¶i: Û Ó DÊu b»ng x¶y Û Cho a > c > 0; b > c > CMR: -Gi¶i: Û Ĩ DÊu b»ng x¶y Û Û c2 = (a - c)(b - c) = ab - ac - bc + c2 Û ab = ac + bc = c(a + b) Cho p2 + q2 + p,2 + q,2 = CMR: (x2 + px + q)2 + (x2 + p,x + q,)2 £ (2x2 + 1)2 Gi¶i: (x2 + px + q)2 = (x.x + p.x + q.1)2 £ (x2 + p2 + q2)(x2 + x2 + 1) = (x2 + p2 + q2)(2x2 + 1) (x2 + p,x + q,)2 = (x.x + p,.x + q,.1)2 £ (x2 + p,2 + q,2)(2x2 + 1) Cộng bđt chiều theo vế, ta cã: (x + px + q)2 + (x2 + p,x + q,)2 £ (2x2 + 1)2 Û Ó DÊu =xảy = = q = = q, Û q = q, = vµ p = p , = x Nhng p2 + q2 + p,2 + q,2 = ị không xảy = Cho x2 + y2 + z2 £ 27 T×m MaxA víi A = x + y + z + xy + yz + zx Gi¶i: Cã x + y + z £ £ 2 Cßn: xy + yz + zx £ x + y + z £ 27 DÊu b»ng Û x = y = z = ± VËy MaxA = 36 x¶y Û x = y = z = ± Cho xy + yz + zx = CMR: x + y4 + z4 ³ -15 Gi¶i: Cã = xy + yz + zx £ £ = (x2 + y2 + z2) £ Û x4 + y + z4 ³ Û Ĩ DÊu b»ng x¶y Û x = y = z = ± 10 Cho a2 + b2 + c2 = CMR: a + b + c + ab + bc + ca £ + = Gi¶i: Cã a + b + c £ ; ab + bc + ca £ = Cộng hai Bđt ta có ể Dấu xảy Û a = b = c=± 11 Cho x, y thoả mÃn 4x + y = Tìm Min(4x + y2) Gi¶i: Cã = 4x + y = 2.2x + 1.y £ tiÕp 12 T×m Max, cđa y = Miny = Û £ 4x2 + y2 Bạn tự giải Ta có: = cos2x + sin2x £ cos1/2x + sin1/2x = y Û y£ 13 Cho 36x2 + 16y2 = T×m Max, Min cđa A = y - 2x + Giải: Từ MaxA = , MinA = C¸ch 2: Dïng PT tham sè cđa Elip 14 T×m Min f = (x - 2y + 1)2 +(2x + ay + 5)2 Gi¶i: f = [(- 2)2 + 12][( x - 2y + 1)2 + (2x + ay + 5)2] ³ [(- 2)(x - 2y + 1) + 1(2x + ay + 5)]2 = Min f = [(a + 4)y + 3]2 VËy Min f = nÕu x ¹ - nÕu x = - 15 CMR: Gi¶i: Ta cã (a + c)2 + (b + d)2 = a2 + b2 + 2(ac + bd) + c2 + d2 £ (a2 + b2) + (c2 + d2) + Û ể 16.a ĐH Cảnh sát 98: Trong tam giác cã chu vi cho tríc T×m D cã tỉng lËp phơng cạnh nhỏ Dễ thấy: (a + b + c)2 £ 3(a2 + b2 + c2) Û 4p2 £ 3(a2 + b2 + c2) Û 16p4 £ 9(a2 + b2 + c2)2 = = 9( )2 £ 9(a + b + c)(a3 + b3 + c3) VËy: 16p4 £ 9(a + b + c)(a3 + b3 + c) Û a3 + b + c ³ p3 KL: Min (a3 + b3 + c3)= p3 Đạt đợc DABC b (6 Vb) CMR: Giải: Ta có Theo 15 ể 17 a C¸c sè: x1, x2, x3, , xn-1, xn ³ vµ: x1x2 + x2x3 + x3x4 + + xn-1xn + xnx1 = CMR: 16 ³ Gi¶i: = x1x2 + x2x3 + x3x4 + + xn-1xn £ x + x + x + + x = = + + Ê (1) Ê = Ê = Bình phơng chia ta có: ể Dấu = xảy Û xi = ³ Ghi chó: x1(x2 + + xn) = x1(x1 + x2 + + xn - x1) = x1(x1 + x2 + + xn) - x12 b Cho a, b, c, d ³ vµ ab + bc + cd + da = CMR: ³ a12 a 22 a n2 (a1 a a n ) c Cho bÊt kú, bi > CMR: b1 b2 bn b1 b2 bn Cã: a a a n a1 b1 b1 a2 b2 b2 hb hc d HVNH 00: ABC CMR: hb hc r e Cho a, b, c >0; asinx + bcosy = c CMR: sin x cos y c2 3 a b a b Cã: c =asinx + bcosy = sin x a a a cos y b an B bn a2 a2 bn ( b11 bnn )( b1 bn ) Bạn tự giải tiÕp cos x sin y 1 c2 3 Ycbt a b a b a b B b b ( sina x cos2 y b )(a b ) Bạn tự giải tiếp e HVNH D.00:Cho: a, b, c > vµ: ab + bc + ca = abc CMR: + + Giải: Đặt = x; = y; = z Ta có: x, y, z > vµ x + y + z = x + y + y; y+z+z z+x+x a b c a b c e’’ QG.00: Cho a + b + c = CMR: + + + + Giải: Đặt 2a = x; 2b = y; 2c = z Th× cã: xyz = 1; x, y, z, > Ta chøng minh: x + y3 + z3 x + y + z Gi¶i sư: x y z XÐt: (x - y)(x2 - y2) + (y - z)(y22 2 z ) + (z - x)(z - x ) 2(x3 + y3 + z3) xy2 + xz2 + yx2 + yz2 + zx2 + zy2 (1) Céng hai vÕ cña (1) với x3 + y3 + z3 biến đổi cã: 3(x3 + y3 + z3) (x + y + z)(x2 + y2 + z2) (x + y + z).3 x + y + z3 x + y + z 17 18