100 ba tap bat dang thuc thi dai hoc

Cho tam giác ∆ABC, a,b,c là số đo ba cạnh của tam giác... Cho n,k là các số nguyên dương..[r]

100 BÀI BẤT

Đ

ẲNG THỨC

Cho a,b,c số thực dương Chứng minh:

2

  

  

a b c

b c c a a b

Cho số thực dương x, y, z thoả mãn: x2 y2 z2 3

Chứng minh : xy yz  zx 3

z x y

Cho x, y, z >0 thoả x y z  1 Chứng minh: 1 9 36

x y z

Cho x, y, z số thực dương Chứng minh: xyz(x y z y )( z x z )( x y)

Cho a, b, c số thực dương thoả mãn abc=1

Chứng minh :   1 1    1 1    1 11 a b b c c a

Cho a, b, c số thực dương thoả mãn abc=1 Chứng minh : 3

1 1

(  ) (  ) (  ) 2

a b c b c a c a b

Cho x, y, z số thực dương thoả mãn: xyz x y z   2

Chứng minh :

2

  

x y z xyz

8 Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a2+b2+1

 ab+a+b b) a2+b2+c2+d2+e2

 a(b+c+d+e) c) a3+b3

 ab(a+b) d) a4+b4

 a3b+ab3

Chứng minh bất đẳng thức sau: a) (a+b+c)2

 3(ab+bc+ca) b) a2(1+b2)+b2(1+c2)+c2(1+a2)

 6abc

10 a) Cho a,b hai số thoả mãn điều kiện a+b=2 Chứng minh rằng: a4+b4

 a3+b3

b) Cho a,b hai số thoả mãn điều kiện a+b+c=3 Chứng minh rằng: a4+b4+c4

11.Cho a,b,c số dương, Chứng minh rằng:

1 a b c a b b c a c

   

  

12 Cho số dương a,b, c Chứng minh :

1 a b c d a b c b c d c d a d a b

    

       

13 Chứng minh với a,b,c > thì: a) bc ac ab a b c

a  b  c   

b) a bab b c c abc  ca a b c 2

  

c)

3 3

a b c

ab bc ca b  c  a   

14.Chứng minh với a,b,c > thì: a)

2 2

a b a b

b a  b a b)

2 2

a b c

a b c b  c  a    c)

2 2

a b c a b c

b c c a a b  

  

  

15 Cho x y z, , 0 xyz 1 Chứng minh:

3 3 3

(1 )(1 ) (1  )(1 ) (1  )(1 ) 4

x y z

y z z x x y

16 Cho bốn số dương a, b, c, d thỏa ab bc cd da   1 Chứng minh:

3 3

3

   

       

a b c d

b c d c d a a b d a b c

17 Cho ba số dương a, b, c Chứng minh:

( ) ( ) ( ) 27 2

2( )

  

     

a a b b b c c c a a b c d

19 Cho số dương x, y, x thỏa xyz = Chứng minh:

5 5  5 5  5 5 1

     

xy yz zx

x xy y y yz z z zx x

20 Cho a b c, , 0. Chứng minh:

4 4 14  4 4 14  4 4 14  4 4 14 

           

a b c abcd b c d abcd c d a abcd d a b abcd abcd

21 Cho x, y, z số dương Chứng minh: 1 1   1  2 2( 3  )

   

 

x y z x y z

y z x xyz

22 Cho ba số dương x ,y, z Chứng minh:

3 3

    

x y z

x y z

yz zx zx

23.Cho ba số dương a, b, c Chứng minh a2b2c2  2(ab ac )

24.Cho ba số dương a, b, c thỏa a + b + c = Chứng minh: 2 2 2

2 1 1 1 

a b c

b c a .

25 Chøng minh r»ng : a)

2 2

a b a b

2

     

 

;

b)

2

2 2

a b c a b c

3

     

 

 

26 Chứng minh m,n,p,q ta có

m2 + n2 + p2+ q2+1 m(n + p + q + 1)

27 Cho a, b, c, d,e sè thùc,

Chøng minh r»ng a)

2 b

a ab

4

 

b)a2 b2  1 ab a b 

c)a2 b2c2d2e2 a b c d e



  



28 Chøng minh r»ng:



a10 b10



a2b2

 

 a8b8



a4b4



29 Cho x.y =1 vµ x.y = Chøng minh

2 x y

x y 

 2

30 Cho a, b ,c số không âm chøng minh r»ng (a+b)(b+c)(c+a)8abc

31 Cho a>b>c>0 vµ a2 b2 c2 1 Chøng minh r»ng:

3 3 1

2

  

  

a b c

b c a c a b

32 Cho a,b,c,d>0 vµ abcd =1 Chøng minh r»ng:













2 2

a b c d a b c b c d d c a 10

33 Cho sè a,b,c,d bÊt kú chøng minh r»ng:

(a c)2 (b d)2 a2 b2 c2 d2

      

34 Cho <a,b,c <1 Chøng minh r»ng: 2a32b32c3  3 a b b c c a2  

35 Cho a,b,c,d > Chøng minh r»ng

1 a b c d

a b c b c d c d a d a b

    

       

36 Cho a

b< c

d vµ b,d > Chøng minh r»ng: a

b< 2 ab cd c

d b d

  

37 Víi mäi sè tù nhiªn n >1 chøng minh r»ng

1 1 2n n 2     n n 

38 Chøng minh r»ng:

1 1 2



n 1



2 n

     ( Với n số nguyên dng)

39 Cho a;b;clà số đo ba cạnh tam gi¸c,chøng minh r»ng: a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)

b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b)

40 Cho a,b,c > vµ a+b+c <1 Chøng minh r»ng

2 2 2

a 2bc b 2ac c 2ab 

(1)

41 Chøng minh r»ng

1 1

42 Cho nN vµ a+b>

Chøng minh r»ng

n a b

2 

 

 

 



n n

a b

 (1)

43 Cho abc = vµ a3 36 Chøng minh r»ng: a2

3 b

2+c2> ab + bc + ac

44 Chøng minh r»ng

a) x4 y4z2  1 2x.(xy2 x z 1)  b) a2 5b2  4ab 2a 6b 0    c) a2 2b2  2ab 2a 4b 0   

45 Cho x > y vµ xy =1 Chøng minh r»ng









2

2

2 x y

8 x y



 

46 Cho xy  Chøng minh r»ng 2 2

1 xy x 1 y  

47 Cho a , b, c số thùc vµ a + b +c =1 Chøng minh r»ng a2 b2 c2

3

  

48 Cho < a, b,c <1 Chøng minh r»ng: 2a32b32c3 3 a b b c c a2  

49 Cho a ,b ,c ,d > Chøng minh r»ng:

2        3

       

a b b c c d d a

a b c b c d c d a d a b

50 Cho a ,b,c số đo ba cạnh tam giác Chứng minh rằng:

1   2

  

a b c

b c c a a b

51.Chøng minh:

a) 1 1

1.3 3.5  (2n 1).(2n1)

b) 1 1

1.2 1.2.3 1.2.3

    

n

52.Chứng minh rằng:

bc ca ab a b c a b c





  



, ,



0

53.Chứng minh rằng:

2 2

2





  





0

a

b

c

b c a

abc

b

c

a

a b c

54 Cho tam giác ∆ABC, a,b,c số đo ba cạnh tam giác CMR: a)



p a p b p c















18abc;

b)

p a

1

p b

1

p c

1

2



1 1

a

b

c



 

 







 







55 Cho ∆ ABC, a, b, c số đo ba cạnh tam giác

Chứng minh rằng:



b c a c a b a b c 

 

 

 

 



abc

56 Cho a>0, b>0 Chứng minh: 1

  

  

a b

a b b a

57.Chứng minh rằng: 2 , ,

2

 

    

  

c a b a b c a b c

a b b c c a

58 Cho x y z, , (0;1) xy yz zx  1 Chứng minh:

2 2 2 3

2 1 1 1 

x y z

x y z

59 Cho ∆ABC Chứng minh rằng:

2 2

a b c a b c

b c a c a b a b c          

60.Cho ∆ ABC Chứng minh : ( b + c – a ).( c + a – b ).( a + b – c ) ≤ abc

61 Cho ∆ABC Chứng minh :





2





2





2













1

1

1

p

p a p b p c

p a



p b



p c



  

62 Chứng minh a, b, c > va abc = thì: 1 1

2a2b2c  63 Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh

3 3

2 2

    

a b c

a b c

b c a

65 Cho a>0, b>0, c>0

Chứng minh:

1

3



1

3



1

3



1

2



1

2



1

2

a

b

c

a b b c c a

66.Cho a>0, b>0, c>0

Chứng minh: a4  b4  c4 13  13  13

b b c a b c

67.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh:

2 2

5     

a b c a b c

b c a b c a

68.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh:

2 2

5 5 3

1 1

a b c

b c a a b c

69.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh:

a2 b2 c2 1

b c a  a b c

70.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh:





3 3

2 2

2 2

1 1 2( )

3  

 

      

 

a b c

a b c

a b c abc

71.Cho a,b,c cạnh tam giác Chứng minh





4





4





4

( ) ( ) ( )

     

     

     

b c a c a b a b c

f ab bc ca

a a b c b b c a c c a b

72.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh: 3 2

    

a b c ab bc ca

73.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh: 4 3

    

a b c ab bc ca

74.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh: 5 3

    

a b c a b b c c a

75.Cho a>0, b>0, c>0 Cho n,k số nguyên dương Chứng minh:   

    

n k n k n k n k n k n k

a b c a b b c c a

76.Cho a>0, b>0

Chứng minh:

4 4

2

       

77.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh:

2

2 2

3

     

 

 

a b c a b c

78.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh:

3

     

 

 

n

n n n

a b c a b c

79 Cho a, b, c ba số dương Chứng minh

3 3 2 2 2

2 2

a b c a b b c c a

2abc c ab a bc b ac

    

   

  

80 Cho x, y, z số thực dơng thỏa mÃn xyz=1 Chøng minh r»ng: 1 1

1 1 1

     

x y y z z x

81 Cho x, y, z ba số thoûa x + y + z = Chứng minh raèng :

3 4



x



3 4



y



3 4



z



6

82 Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a b c  1 Chứng minh rằng:

27

   

ab bc ca abc .

83 Cho x , y , z ba số thực thỏa mãn : 5-x + 5-y +5-z = Chứng minh rằng:

















25

25

25

25

5

5

5

5

5

x y z

x y z y z x z x y



 

5 5

4 x y z

84 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng:

4

2

c a b

a b b   c c a  

85.Cho a,b,c ba số thực dương Chứng minh:



3 3



13 13 13

2

  

   

         

   

b c c a a b

a b c

a b c a b c

86 Cho a,b,c số dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng:      3

  

a b b c c a

ab c bc a ca b

87 Cho số thực dương x y z, , Chứng minh rằng:

5 5

3 3     

x y z

x y z

5 5

2 2 2

2 2

3

     

  

  

a a a b b b c c c

b c c a a b

89 Cho a, b, c l c¸c sà ố thực dương thoả m·n abc = Chøng minh r»ng :

3 3 3

( ) ( ) ( )

a b c b c a c a b 

90 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng:

3 3

2 2

3

3 3

a b c

b  c  a  

91 Cho x, y, z > Chứng minh rằng: 3 2 2

2 x y z 1

x y y z z x x y z

92 Cho a, b,c số không âm Chứng minh rằng

3 3

3 ( )3  ( )3  ( )3 1

     

a b c

a b c b c a c a b

93 Cho số dương a b c ab bc ca, , :   3.

Chứng minh rằng: 2

1 1

1a b c(  ) 1 b c a(  ) 1 c a b(  ) abc

94 Cho số thực dơng a,b,c thay đổi thoả mãn : a+b+c=1. Chứng minh :

2 2 2

2

  

  

  

a b b c c a

b c c a a b

95 Cho số dương a,b,c thoả mãn: ab + bc + ca = abc Chứng minh:   

  

1 1

( 1) ( 1) ( 1)

a a b b c c

96 Cho x, y, z > Chứng minh rằng:

32 2  23 2  32 2  12  12  12

  

y

x z

x y y z z x x y z

97.Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Chứng minh rằng:   

  

3 3

8 8

a b c

c a b

4

4

4

2

2

2

2

2

2

x y z

x y z



y z x



z x y









2 2

x y z

 

99 Cho a, b, c số dơng thoả mÃn a + b + c = 1

Chøng minh r»ng 10a 3b 2009

3b 2009c 2009c 10a 10a 3b     2

100 Cho ba số dương x y z, , Chứng minh rằng: 2 2 2

1 1 36

  

  

x y z x y y z x z