Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy tại hai điểm A, B sao cho DIAB có diện tích S cho trước với I là điểm cho trước.. – Tìm điều kiện để hà[r]
(1)TRẦN SĨ TÙNG ›š & ›š TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Năm 2012 Download tài li u h c t p, xem bài gi ng t i : http://diendan.shpt.info Lop12.net (2) Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A Kiến thức Giả sử hàm số y = f ( x ) có tập xác định D · Hàm số f đồng biến trên D Û y¢ ³ 0, "x Î D và y¢ = xảy số hữu hạn điểm thuộc D · Hàm số f nghịch biến trên D Û y¢ £ 0, "x Î D và y¢ = xảy số hữu hạn điểm thuộc D · Nếu y ' = ax + bx + c (a ¹ 0) thì: + y ' ³ 0, "x Î R Û í a > ì îD £ + y ' £ 0, "x Î R Û í a < ì îD £ · Định lí dấu tam thức bậc hai g( x ) = ax + bx + c (a ¹ 0) : + Nếu D < thì g( x ) luôn cùng dấu với a + Nếu D = thì g( x ) luôn cùng dấu với a (trừ x = - b ) 2a + Nếu D > thì g( x ) có hai nghiệm x1, x2 và khoảng hai nghiệm thì g( x ) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g( x ) cùng dấu với a · So sánh các nghiệm x1, x2 tam thức bậc hai g( x ) = ax + bx + c với số 0: ìD ³ ìD ³ ï ï + x1 £ x2 < Û í P > + < x1 £ x2 Û í P > + x1 < < x2 Û P < ïîS < ïîS > · g( x ) £ m, "x Î (a; b) Û max g( x ) £ m ; ( a;b ) g( x ) ³ m, "x Î (a; b) Û g( x ) ³ m ( a;b ) B Một số dạng câu hỏi thường gặp Tìm điều kiện để hàm số y = f ( x ) đơn điệu trên tập xác định (hoặc trên khoảng xác định) · Hàm số f đồng biến trên D Û y¢ ³ 0, "x Î D và y¢ = xảy số hữu hạn điểm thuộc D · Hàm số f nghịch biến trên D Û y¢ £ 0, "x Î D và y¢ = xảy số hữu hạn điểm thuộc D · Nếu y ' = ax + bx + c (a ¹ 0) thì: + y ' ³ 0, "x Î R Û í a > ì îD £ + y ' £ 0, "x Î R Û í a < ì îD £ Tìm điều kiện để hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d đơn điệu trên khoảng (a ; b ) Ta có: y¢ = f ¢( x ) = 3ax + 2bx + c a) Hàm số f đồng biến trên (a ; b ) Û y¢ ³ 0, "x Î (a ; b ) và y¢ = xảy số hữu hạn điểm thuộc (a ; b ) Trường hợp 1: · Nếu bất phương trình f ¢( x ) ³ Û h(m) ³ g( x ) (*) thì f đồng biến trên (a ; b ) Û h(m) ³ max g( x ) (a ; b ) Download tài li u h c t p, xem bài gi ng t i : http://diendan.shpt.info Trang Lop12.net (3) Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng · Nếu bất phương trình f ¢( x ) ³ Û h(m) £ g( x ) (**) thì f đồng biến trên (a ; b ) Û h(m) £ g( x ) (a ; b ) Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f ¢( x ) ³ không đưa dạng (*) thì đặt t = x - a Khi đó ta có: y¢ = g(t ) = 3at + 2(3aa + b)t + 3aa + 2ba + c ìa > ïïD > ìa > – Hàm số f đồng biến trên khoảng (-¥; a) Û g(t ) ³ 0, "t < Û í Ú í îD £ ïS > ïî P ³ ìa > ïïD > ìa > – Hàm số f đồng biến trên khoảng (a; +¥) Û g(t ) ³ 0, "t > Û í Ú í îD £ ïS < ïî P ³ b) Hàm số f nghịch biến trên (a ; b ) Û y¢ ³ 0, "x Î (a ; b ) và y¢ = xảy số hữu hạn điểm thuộc (a ; b ) Trường hợp 1: · Nếu bất phương trình f ¢( x ) £ Û h(m) ³ g( x ) (*) thì f nghịch biến trên (a ; b ) Û h(m) ³ max g( x ) (a ; b ) · Nếu bất phương trình f ¢( x ) ³ Û h(m) £ g( x ) (**) thì f nghịch biến trên (a ; b ) Û h(m) £ g( x ) (a ; b ) Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f ¢( x ) £ không đưa dạng (*) thì đặt t = x - a Khi đó ta có: y¢ = g(t ) = 3at + 2(3aa + b)t + 3aa + 2ba + c ìa < ïï ì – Hàm số f nghịch biến trên khoảng (-¥; a) Û g(t ) £ 0, "t < Û ía < Ú íD > îD £ ïS > ïî P ³ ìa < ïïD > ìa < – Hàm số f nghịch biến trên khoảng (a; +¥) Û g(t ) £ 0, "t > Û í Ú í îD £ ïS < ïî P ³ Tìm điều kiện để hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d đơn điệu trên khoảng có độ dài k cho trước ì · f đơn điệu trên khoảng ( x1; x2 ) Û y¢ = có nghiệm phân biệt x1, x2 Û í a ¹ (1) îD > · Biến đổi x1 - x2 = d thành ( x1 + x2 )2 - x1x2 = d · Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m · Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm Tìm điều kiện để hàm số y = ax + bx + c (2), (a, d ¹ 0) dx + e a) Đồng biến trên (-¥;a ) b) Đồng biến trên (a ; +¥) Trang Lop12.net (2) (4) Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số c) Đồng biến trên (a ; b ) ì -e ü adx + 2aex + be - dc f ( x) = ý , y' = 2 îd þ ( dx + e ) ( dx + e ) Tập xác định: D = R \ í Trường hợp Nếu: f ( x ) ³ Û g( x ) ³ h(m) (i) Trường hợp Nếu bpt: f ( x ) ³ không đưa dạng (i) thì ta đặt: t = x - a Khi đó bpt: f ( x ) ³ trở thành: g(t ) ³ , với: g(t ) = adt + 2a(da + e)t + ada + 2aea + be - dc a) (2) đồng biến trên khoảng (-¥;a ) ì -e ï Û í d ³a ïî g( x ) ³ h(m), "x < a a) (2) đồng biến trên khoảng (-¥;a ) ì -e ï Û í d ³a ïî g(t ) ³ 0, "t < (ii) ìa > ïïD > ìa > (ii) Û í Ú í îD £ ïS > ïî P ³ ì -e ï ³a Ûíd ïh(m) £ g( x ) ( -¥;a ] î b) (2) đồng biến trên khoảng (a ; +¥) ì -e ï Û í d £a ïî g( x ) ³ h(m), "x > a ì -e ï £a Ûíd ïh(m) £ g( x ) [a ; +¥ ) î b) (2) đồng biến trên khoảng (a ; +¥) ì -e ï Û í d £a ïî g(t ) ³ 0, "t > (iii) ìa > ïïD > ìa > (iii) Û í Ú í îD £ ïS < ïî P ³ c) (2) đồng biến trên khoảng (a ; b ) ì -e ï Û í d Ï (a ; b ) ïî g( x ) ³ h(m), "x Î (a ; b ) ì -e ï Ï (a ; b ) Ûíd ïh(m) £ g( x ) [a ; b ] î Tìm điều kiện để hàm số y = ax + bx + c (2), (a, d ¹ 0) dx + e a) Nghịch biến trên (-¥;a ) b) Nghịch biến trên (a ; +¥) c) Nghịch biến trên (a ; b ) ì -e ü adx + 2aex + be - dc f ( x) = ý , y' = 2 îd þ ( dx + e ) ( dx + e ) Tập xác định: D = R \ í Trang Lop12.net (5) Khảo sát hàm số Trường hợp Nếu f ( x ) £ Û g( x ) ³ h(m) (i) Trần Sĩ Tùng Trường hợp Nếu bpt: f ( x ) ³ không đưa dạng (i) thì ta đặt: t = x - a Khi đó bpt: f ( x ) £ trở thành: g(t ) £ , với: g(t ) = adt + 2a(da + e)t + ada + 2aea + be - dc a) (2) nghịch biến trên khoảng (-¥;a ) ì -e ï Û í d ³a ïî g( x ) ³ h(m), "x < a ì -e ï ³a Ûíd ïh(m) £ g( x ) ( -¥;a ] î b) (2) nghịch biến trên khoảng (a ; +¥) ì -e ï Û í d £a ïî g( x ) ³ h(m), "x > a ì -e ï £a Ûíd ïh(m) £ g( x ) [a ; +¥ ) î a) (2) đồng biến trên khoảng (-¥;a ) ì -e ï Û í d ³a ïî g(t ) £ 0, "t < (ii) ìa < ïïD > ìa < (ii) Û í Ú í îD £ ïS > ïî P ³ b) (2) đồng biến trên khoảng (a ; +¥) ì -e ï Û í d £a ïî g(t ) £ 0, "t > (iii) ìa < ïïD > ìa < (iii) Û í Ú í îD £ ïS < ïî P ³ c) (2) đồng biến khoảng (a ; b ) ì -e ï Û í d Ï (a ; b ) ïî g( x ) ³ h(m), "x Î (a ; b ) ì -e ï Ï (a ; b ) Ûíd ïh(m) £ g( x ) [a ; b ] î Trang Lop12.net (6) Trần Sĩ Tùng Câu Khảo sát hàm số Cho hàm số y = (m - 1) x + mx + (3m - 2) x (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = 2) Tìm tất các giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định nó · Tập xác định: D = R y ¢= (m - 1) x + 2mx + 3m - (1) đồng biến trên R Û y ¢³ 0, "x Û m ³ Cho hàm số y = x + x - mx - (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm tất các giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (-¥;0) Câu · Tập xác định: D = R y ¢= x + x - m y¢ có D¢ = 3(m + 3) + Nếu m £ -3 thì D¢ £ Þ y¢ ³ 0, "x Þ hàm số đồng biến trên R Þ m £ -3 thoả YCBT + Nếu m > -3 thì D¢ > Þ PT y¢ = có nghiệm phân biệt x1, x2 ( x1 < x2 ) Khi đó hàm số đồng biến trên các khoảng (-¥; x1 ),( x2 ; +¥) ìD¢ > ìm > -3 ï ï Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (-¥;0) Û £ x1 < x2 Û í P ³ Û í-m ³ (VN) ïîS > ïî-2 > Vậy: m £ -3 Cho hàm số y = x - 3(2m + 1) x + 6m(m + 1) x + có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2; +¥) Câu · Tập xác định: D = R y ' = x - 6(2m + 1) x + 6m(m + 1) có D = (2m + 1)2 - 4(m + m) = > éx = m y' = Û ê Hàm số đồng biến trên các khoảng (-¥; m), (m + 1; +¥) ëx = m +1 Do đó: hàm số đồng biến trên (2; +¥) Û m + £ Û m £ Cho hàm số y = x + (1 - 2m) x + (2 - m) x + m + 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm m để hàm đồng biến trên khoảng K = (0; +¥) Câu · Hàm đồng biến trên (0; +¥) Û y ¢= x + 2(1 - 2m) x + (2 - m) ³ với "x Î (0; +¥) Û f ( x) = 3x + x + ³ m với "x Î (0; +¥) 4x + 1 6(2 x + x - 1) Ta có: f ¢( x ) = = Û x + x - = Û x = -1; x = 2 (4 x + 1) æ1ö Lập BBT hàm f ( x ) trên (0; +¥) , từ đó ta đến kết luận: f ç ÷ ³ m Û ³ m è2ø Câu hỏi tương tự: b) y = (m + 1) x - (2m - 1) x + 3(2m - 1) x + (m ¹ -1) , K = (1; +¥) c) y = (m + 1) x - (2m - 1) x + 3(2m - 1) x + (m ¹ -1) , K = (-1;1) a) y = (m + 1) x - (2m - 1) x + 3(2m - 1) x + (m ¹ -1) , K = (-¥; -1) Trang Lop12.net ĐS: m ³ 11 ĐS: m ³ ĐS: m ³ (7) Khảo sát hàm số Câu Trần Sĩ Tùng Cho hàm số y = (m - 1) x + (m - 1) x - x + (1) (m ¹ ±1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng K = (-¥;2) · Tập xác định: D = R; y¢ = (m2 - 1) x + 2(m - 1) x - Đặt t = x – ta được: y¢ = g(t ) = (m - 1)t + (4m + 2m - 6)t + 4m + 4m - 10 Hàm số (1) nghịch biến khoảng (-¥;2) Û g(t ) £ 0, "t < ïì ì TH1: í a < Û ím 2- < îD £ Vậy: Với Câu îï3m - 2m - £ ìm2 - < ìa < ï ïïD > ïï3m - 2m - > TH2: í Û í4m2 + 4m - 10 £ ïS > ï -2m - ïî P ³ ï >0 îï m + -1 £ m < thì hàm số (1) nghịch biến khoảng (-¥;2) 3 Cho hàm số y = (m - 1) x + (m - 1) x - x + (1) (m ¹ ±1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng K = (2; +¥) · Tập xác định: D = R; y¢ = (m2 - 1) x + 2(m - 1) x - Đặt t = x – ta được: y¢ = g(t ) = (m - 1)t + (4m + 2m - 6)t + 4m + 4m - 10 Hàm số (1) nghịch biến khoảng (2; +¥) Û g(t ) £ 0, "t > ìm2 - < ìa < ï ïïD > ìïm - < ïï3m - 2m - > ìa < TH1: í Ûí TH2: í Û í4m2 + 4m - 10 £ îD £ ïî3m - 2m - £ ïS < ï -2m - ïî P ³ ï <0 ïî m + Vậy: Với -1 < m < thì hàm số (1) nghịch biến khoảng (2; +¥) Cho hàm số y = x + x + mx + m (1), (m là tham số) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn có độ dài Câu · Ta có y ' = x + x + m có D¢ = - 3m + Nếu m ≥ thì y¢ ³ 0, "x Î R Þ hàm số đồng biến trên R Þ m ≥ không thoả mãn + Nếu m < thì y¢ = có nghiệm phân biệt x1, x2 ( x1 < x2 ) Hàm số nghịch biến trên đoạn m éë x1; x2 ùû với độ dài l = x1 - x2 Ta có: x1 + x2 = -2; x1x2 = YCBT Û l = Û x1 - x2 = Û ( x1 + x2 )2 - x1x2 = Û m = Cho hàm số y = -2 x + 3mx - (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm các giá trị m để hàm số (1) đồng biến khoảng ( x1; x2 ) với x2 - x1 = Câu · y ' = -6 x + 6mx , y ' = Û x = Ú x = m + Nếu m = Þ y¢ £ 0, "x Î ¡ Þ hàm số nghịch biến trên ¡ Þ m = không thoả YCBT Trang Lop12.net (8) Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số + Nếu m ¹ , y¢ ³ 0, "x Î (0; m) m > y¢ ³ 0, "x Î (m; 0) m < Vậy hàm số đồng biến khoảng ( x1; x2 ) với x2 - x1 = é( x ; x ) = (0; m) Û ê và x2 - x1 = Û ê m - = Û m = ±1 ë0 - m = ë( x1; x2 ) = (m;0) é Cho hàm số y = x - 2mx - 3m + (1), (m là tham số) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2) Câu · Ta có y ' = x - 4mx = x( x - m) + m £ , y ¢³ 0, "x Î (0; +¥) Þ m £ thoả mãn + m > , y ¢= có nghiệm phân biệt: - m , 0, m Vậy m Î ( -¥;1ùû Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2) Û m £ Û < m £ Câu hỏi tương tự: ĐS: m £ a) Với y = x - 2(m - 1) x + m - ; y đồng biến trên khoảng (1;3) Câu 10 Cho hàm số y = mx + x+m (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = -1 2) Tìm tất các giá trị tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (-¥;1) · Tập xác định: D = R \ {–m} y ¢= m2 - ( x + m)2 (1) Hàm số nghịch biến trên khoảng xác định Û y ¢< Û -2 < m < Để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (-¥;1) thì ta phải có - m ³ Û m £ -1 (2) Kết hợp (1) và (2) ta được: -2 < m £ -1 Câu 11 Cho hàm số y = x - 3x + m (2) x -1 Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng (-¥; -1) · Tập xác định: D = R \ {1} y ' = 2x2 - 4x + - m ( x - 1) = f (x) ( x - 1)2 Ta có: f ( x ) ³ Û m £ x - x + Đặt g( x ) = x - x + Þ g '( x ) = x - Hàm số (2) đồng biến trên (-¥; -1) Û y ' ³ 0, "x Î (-¥; -1) Û m £ g( x ) ( -¥;-1] Dựa vào BBT hàm số g( x ), "x Î (-¥; -1] ta suy m £ Vậy m £ thì hàm số (2) đồng biến trên (-¥; -1) Câu 12 Cho hàm số y = x - 3x + m (2) x -1 Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng (2; +¥) · Tập xác định: D = R \ {1} y ' = 2x2 - 4x + - m ( x - 1) = f (x) ( x - 1)2 Ta có: f ( x ) ³ Û m £ x - x + Đặt g( x ) = x - x + Þ g '( x ) = x - Hàm số (2) đồng biến trên (2; +¥) Û y ' ³ 0, "x Î (2; +¥) Û m £ g( x ) [2; +¥ ) Trang Lop12.net (9) Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Dựa vào BBT hàm số g( x ), "x Î (-¥; -1] ta suy m £ Vậy m £ thì hàm số (2) đồng biến trên (2; +¥) Câu 13 Cho hàm số y = x - 3x + m (2) x -1 Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng (1;2) · Tập xác định: D = R \ {1} y ' = 2x2 - 4x + - m ( x - 1) = f (x) ( x - 1)2 Ta có: f ( x ) ³ Û m £ x - x + Đặt g( x ) = x - x + Þ g '( x ) = x - Hàm số (2) đồng biến trên (1;2) Û y ' ³ 0, "x Î (1;2) Û m £ g( x ) [1;2] Dựa vào BBT hàm số g( x ), "x Î (-¥; -1] ta suy m £ Vậy m £ thì hàm số (2) đồng biến trên (1;2) Câu 14 Cho hàm số y = x - 2mx + 3m2 (2) 2m - x Tìm m để hàm số (2) nghịch biến trên khoảng (-¥;1) · Tập xác định: D = R \ { 2m} y ' = - x + 4mx - m 2 ( x - 2m) = f (x) ( x - 2m)2 Đặt t = x - Khi đó bpt: f ( x ) £ trở thành: g(t ) = -t - 2(1 - 2m)t - m2 + 4m - £ Hàm số (2) nghịch biến trên (-¥;1) Û y ' £ 0, "x Î (-¥;1) Û í2m > ì î g(t ) £ 0, "t < (i) ém = éD ' = ê ìm ¹ ê ìD ' > ém = (i) Û ê ï Ûê Û êï ê í 4m - > ê íS > ëm ³ + ê ïîm2 - 4m + ³ êë ïî P ³ ë Vậy: Với m ³ + thì hàm số (2) nghịch biến trên (-¥;1) Câu 15 Cho hàm số y = x - 2mx + 3m2 (2) 2m - x Tìm m để hàm số (2) nghịch biến trên khoảng (1; +¥) · Tập xác định: D = R \ { 2m} y ' = - x + 4mx - m ( x - 2m)2 = f (x) ( x - 2m)2 Đặt t = x - Khi đó bpt: f ( x ) £ trở thành: g(t ) = -t - 2(1 - 2m)t - m2 + 4m - £ Hàm số (2) nghịch biến trên (1; +¥) Û y ' £ 0, "x Î (1; +¥) Û í2m < ì î g(t ) £ 0, "t > (ii ) ém = éD ' = ê ìm ¹ ê ìD ' > (ii) Û ê ï Û m £2- Û êï ê í 4m - < ê íS < ê ïîm2 - 4m + ³ êë ïî P ³ ë Vậy: Với m £ - thì hàm số (2) nghịch biến trên (1; +¥) Trang Lop12.net (10) Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số KSHS 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Cực trị hàm số bậc 3: y = f ( x ) = ax + bx + cx + d A Kiến thức · Hàm số có cực đại, cực tiểu Û phương trình y¢ = có nghiệm phân biệt · Hoành độ x1, x2 các điểm cực trị là các nghiệm phương trình y¢ = · Để viết phương trình đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu, ta có thể sử dụng phương pháp tách đạo hàm – Phân tích y = f ¢( x ).q( x ) + h( x ) – Suy y1 = h( x1 ), y2 = h( x2 ) Do đó phương trình đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu là: y = h( x ) · Gọi a là góc hai đường thẳng d1 : y = k1x + b1, d2 : y = k2 x + b2 thì tan a = k1 - k2 + k1k2 B Một số dạng câu hỏi thường gặp Gọi k là hệ số góc đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu Tìm điều kiện để đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu song song (vuông góc) với đường thẳng d : y = px + q – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu p – Giải điều kiện: k = p (hoặc k = - ) Tìm điều kiện để đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng d : y = px + q góc a – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu – Giải điều kiện: k-p = tan a (Đặc biệt d º Ox, thì giải điều kiện: k = tan a ) + kp Tìm điều kiện để đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy hai điểm A, B cho DIAB có diện tích S cho trước (với I là điểm cho trước) – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng D qua các điểm cực đại, cực tiểu – Tìm giao điểm A, B D với các trục Ox, Oy – Giải điều kiện SDIAB = S Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cho DIAB có diện tích S cho trước (với I là điểm cho trước) – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng D qua các điểm cực đại, cực tiểu – Giải điều kiện SDIAB = S Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B đối xứng qua đường thẳng d cho trước – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng D qua các điểm cực đại, cực tiểu – Gọi I là trung điểm AB ì – Giải điều kiện: í D ^ d îI Î d Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cách đường thẳng d cho trước – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu Trang Lop12.net (11) Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng – Giải điều kiện: d ( A, d ) = d (B, d ) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B và khoảng cách hai điểm A, B là lớn (nhỏ nhất) – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B (có thể dùng phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị) – Tính AB Dùng phương pháp hàm số để tìm GTLN (GTNN) AB Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu và hoành độ các điểm cực trị thoả hệ thức cho trước – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Phân tích hệ thức để áp dụng định lí Vi-et Tìm điều kiện để hàm số có cực trị trên khoảng K1 = (-¥;a ) K2 = (a ; +¥) y ' = f ( x ) = 3ax + 2bx + c Đặt t = x - a Khi đó: y ' = g(t ) = 3at + 2(3aa + b)t + 3aa + 2ba + c Hàm số có cực trị thuộc K1 = (-¥;a ) Hàm số có cực trị trên khoảng (-¥;a ) Û f ( x ) = có nghiệm trên (-¥;a ) Û g(t ) = có nghiệm t < Hàm số có cực trị thuộc K2 = (a ; +¥) Hàm số có cực trị trên khoảng (a ; +¥) Û f ( x ) = có nghiệm trên (a ; +¥) Û g(t ) = có nghiệm t > éP < ê ìD ' ³ Û êï ê íS < ï ëê î P ³ éP < ê ìD ' ³ Û êï ê íS > êë ïî P ³ Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả: a) x1 < a < x2 b) x1 < x2 < a c) a < x1 < x2 y ' = f ( x ) = 3ax + 2bx + c Đặt t = x - a Khi đó: y ' = g(t ) = 3at + 2(3aa + b)t + 3aa + 2ba + c a) Hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả x1 < a < x2 Û g(t ) = có hai nghiệm t1, t2 thoả t1 < < t2 Û P < b) Hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả x1 < x2 < a ìD ' > ï Û g(t ) = có hai nghiệm t1, t2 thoả t1 < t2 < Û íS < ïî P > c) Hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả a < x1 < x2 ìD ' > ï Û g(t ) = có hai nghiệm t1, t2 thoả < t1 < t2 Û íS > ïî P > Trang 10 Lop12.net (12) Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Cho hàm số y = - x + 3mx + 3(1 - m ) x + m3 - m2 (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) Câu · y ¢= -3x + 6mx + 3(1 - m2 ) PT y ¢= có D = > 0, "m Þ Đồ thị hàm số (1) luôn có điểm cực trị ( x1; y1 ), ( x2 ; y2 ) Chia y cho y¢ ta được: Khi đó: æ1 mö y = ç x - ÷ y ¢+ x - m + m 3ø è3 y1 = x1 - m2 + m ; y2 = x2 - m2 + m PT đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) là y = x - m2 + m Cho hàm số y = x + x + mx + m - (m là tham số) có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm hai phía trục hoành · PT hoành độ giao điểm (C) và trục hoành: Câu é x = -1 (1) Û ê (2) ë g( x ) = x + x + m - = (Cm) có điểm cực trị nằm phía trục Ox Û PT (1) có nghiệm phân biệt ì ¢ Û (2) có nghiệm phân biệt khác –1 Û íD = - m > Û m<3 î g(-1) = m - ¹ x + x + mx + m - = Cho hàm số y = - x + (2m + 1) x - (m2 - 3m + 2) x - (m là tham số) có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm hai phía trục tung Câu · y ¢= -3 x + 2(2m + 1) x - (m - 3m + 2) (Cm) có các điểm CĐ và CT nằm hai phía trục tung Û PT y¢ = có nghiệm trái dấu Û 3(m2 - 3m + 2) < Û < m < Câu Cho hàm số y = x - mx + (2m - 1) x - (m là tham số) có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía trục tung · TXĐ: D = R ; y ¢= x - 2mx + 2m - Đồ thị (Cm) có điểm CĐ, CT nằm cùng phía trục tung Û y ¢= có nghiệm phân ì ¢ biệt cùng dấu Û íD = m - 2m + > î2 m - > ìm ¹ ï Ûí ïîm > Cho hàm số y = x - x - mx + (m là tham số) có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu cách đường thẳng y = x - Câu · Ta có: y ' = x - x - m Hàm số có CĐ, CT Û y ' = x - x - m = có nghiệm phân biệt x1; x2 Û D ' = + 3m > Û m > -3 (*) Trang 11 Lop12.net (13) Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Gọi hai điểm cực trị là A ( x1; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) æ1 1ö æ 2m ö æ mö Thực phép chia y cho y¢ ta được: y = ç x - ÷ y '+ ç - 2÷ x + ç2 + ÷ 3ø 3ø è3 è ø è æ 2m ö æ 2m ö m m Þ y1 = y( x1 ) = ç - ÷ x1 + + ; y2 = y( x2 ) = ç - ÷ x2 + + 3 è ø è ø æ 2m ö m Þ Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là D: y = ç - 2÷ x + + è ø Các điểm cực trị cách đường thẳng y = x - Û xảy trường hợp: TH1: Đường thẳng qua điểm cực trị song song trùng với đường thẳng y = x - Û 2m - = Û m = (không thỏa (*)) TH2: Trung điểm I AB nằm trên đường thẳng y = x - y1 + y2 x1 + x2 æ 2m ö æ mö = -1 Û ç - ÷ ( x1 + x2 ) + ç + ÷ = ( x1 + x2 ) - 2 3ø è ø è æ 2m ö æ mö Ûç - ÷ + ç + ÷ = Û m = 3ø è ø è Û yI = x I - Û Vậy các giá trị cần tìm m là: m = Cho hàm số y = x - 3mx + 4m3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y = x Câu · Ta có: y¢ = x - 6mx ; y¢ = Û ê x = Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m ¹ é ë x = 2m uuur Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) Þ AB = (2m; -4m3 ) Trung điểm đoạn AB là I(m; 2m3) ìï ì A, B đối xứng qua đường thẳng d: y = x Û í AB ^ d Û í2m3- 4m = Û m = ± I Îd î ïî2m = m Cho hàm số y = - x + 3mx - 3m - 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Với giá trị nào m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d: x + 8y - 74 = Câu · y ¢= -3 x + 6mx ; y ¢= Û x = Ú x = 2m Hàm số có CĐ, CT Û PT y ¢= có nghiệm phân biệt Û m ¹ uuur Khi đó điểm cực trị là: A(0; -3m - 1), B(2m;4m3 - 3m - 1) Þ AB(2m;4m3 ) Trung điểm I AB có toạ độ: I (m;2m3 - 3m - 1) r Đường thẳng d: x + 8y - 74 = có VTCP u = (8; -1) ì A và B đối xứng với qua d Û í I Î d î AB ^ d ìï + 8(2m3 - 3m - 1) - 74 = uuur r Û ím Û m=2 ïî AB.u = Câu hỏi tương tự: a) y = x - x + m2 x + m, d : y = x - Câu Cho hàm số y = x - x + mx ĐS: m = (1) Trang 12 Lop12.net (14) Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Với giá trị nào m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d: x - y - = · Ta có y = x - x + mx Þ y ' = x - x + m Hàm số có cực đại, cực tiểu Û y ¢= có hai nghiệm phân biệt Û D¢ = - 3m > Û m < æ1 1ö æ2 ö Ta có: y = ç x - ÷ y ¢+ ç m - ÷ x + m 3ø è3 è3 ø æ2 ö Þ đường thẳng D qua các điểm cực trị có phương trình y = ç m - ÷ x + m è3 ø d: x - y - = Û y = x - Þ d có hệ số góc k2 = 2 nên D có hệ số góc k1 = m - Để hai điểm cực trị đối xứng qua d thì ta phải có d ^ D 1æ2 ö Þ k1k2 = -1 Û ç m - ÷ = -1 Û m = 2è3 ø Với m = thì đồ thị có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung điểm chúng là I(1; –2) Ta thấy I Î d, đó hai điểm cực trị đối xứng với qua d Vậy: m = Cho hàm số y = x - 3(m + 1) x + x + m - (1) có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Với giá trị nào m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với Câu qua đường thẳng d: y = x · y ' = x - 6(m + 1) x + Hàm số có CĐ, CT Û D ' = 9(m + 1)2 - 3.9 > Û m Î (-¥; -1 - 3) È (-1 + 3; +¥) æ1 è3 Ta có y = ç x - m +1ö ¢ ÷ y - 2(m + 2m - 2) x + 4m + ø Giả sử các điểm cực đại và cực tiểu là A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ) , I là trung điểm AB Þ y1 = -2(m + 2m - 2) x1 + 4m + ; y2 = -2(m + 2m - 2) x2 + 4m + ì x + x = 2(m + 1) và: í î x1.x2 = Vậy đường thẳng qua hai điểm cực đại và cực tiểu là y = -2(m + 2m - 2) x + 4m + 1 A, B đối xứng qua (d): y = x Û í AB ^ d Û m = îI Î d ì Câu 10 Cho hàm số y = x - 3(m + 1) x + x - m , với m là tham số thực 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với m = 2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị x1, x2 cho x1 - x2 £ · Ta có y ' = x - 6(m + 1) x + + Hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1, x2 Û PT y ' = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Û PT x - 2(m + 1) x + = có hai nghiệm phân biệt là x1 , x2 Trang 13 Lop12.net (15) Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng é m > -1 + (1) Û D ' = (m + 1)2 - > Û ê ë m < -1 - + Theo định lý Viet ta có x1 + x2 = 2(m + 1); x1x2 = Khi đó: 2 x1 - x2 £ Û ( x1 + x2 ) - x1x2 £ Û ( m + 1) - 12 £ Û (m + 1)2 £ Û -3 £ m £ (2) + Từ (1) và (2) suy giá trị m cần tìm là -3 £ m < -1 - và -1 + < m £ Câu 11 Cho hàm số y = x + (1 - 2m) x + (2 - m) x + m + , với m là tham số thực 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với m = 2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị x1, x2 cho x1 - x2 > · Ta có: y ' = x + 2(1 - 2m) x + (2 - m) Hàm số có CĐ, CT Û y ' = có nghiệm phân biệt x1, x2 (giả sử x1 < x2 ) é Û D ' = (1 - 2m)2 - 3(2 - m) = 4m - m - > Û ê m > (*) ê m < ë 2(1 - 2m) 2-m ; x1x2 = Hàm số đạt cực trị các điểm x1, x2 Khi đó ta có: x1 + x2 = 3 2 1 x1 - x2 > Û ( x1 - x2 ) = ( x1 + x2 ) - x1x2 > + 29 - 29 Û 4(1 - 2m)2 - 4(2 - m) > Û 16m - 12m - > Û m > Úm< 8 + 29 Kết hợp (*), ta suy m > Ú m < -1 Câu 12 Cho hàm số y = x - mx + mx - , với m là tham số thực 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với m = 2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị x1, x2 cho x1 - x2 ³ · Ta có: y ' = x - 2mx + m Hàm số có CĐ, CT Û y ' = có nghiệm phân biệt x1, x2 (giả sử x1 < x2 ) Û D¢ = m - m > Û ê m < (*) Khi đó: x1 + x2 = 2m, x1x2 = m ëm > é é - 65 êm £ 2 x1 - x2 ³ Û ( x1 - x2 ) ³ 64 Û m - m - 16 ³ Û ê (thoả (*)) + 65 ê êë m ³ 1 Câu 13 Cho hàm số y = x - (m - 1) x + 3(m - 2) x + , với m là tham số thực 3 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với m = 2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị x1, x2 cho x1 + x2 = · Ta có: y ¢= x - 2(m - 1) x + 3(m - 2) Hàm số có cực đại và cực tiểu Û y ¢= có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Û D¢ > Û m - 5m + > (luôn đúng với "m) Trang 14 Lop12.net (16) Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số ì x + x = 2(m - 1) Khi đó ta có: í î x1x2 = 3(m - 2) Û 8m + 16m - = Û m = ïì x = - 2m Ûí ïî x2 (1 - x2 ) = 3(m - 2) -4 ± 34 Câu 14 Cho hàm số y = x + mx - x 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1, x2 thỏa x1 = -4 x2 · y ¢= 12 x + 2mx - Ta có: D¢ = m2 + 36 > 0, "m Þ hàm số luôn có cực trị x1, x2 m ì Khi đó: í x1 = -4 x2 ; x1 + x2 = - ; x1x2 = î Câu hỏi tương tự: a) y = x + x + mx + ; Þm=± ĐS: m = -105 x1 + 2x2 = Câu 15 Cho hàm số y = x - ax - 3ax + (1) (a là tham số) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số a = 2) Tìm a để hàm số (1) đạt cực trị x1 , x2 phân biệt và thoả mãn điều kiện: x12 + 2ax2 + 9a a2 + a2 x22 + 2ax1 + 9a =2 (2) · y¢ = x - 2ax - 3a Hàm số có CĐ, CT Û y¢ = có nghiệm phân biệt x1, x2 é a < -3 Û D = 4a2 + 12a > Û ê ëa > (*) Khi đó x1 + x2 = 2a , x1x2 = -3a Ta có: x12 + 2ax2 + 9a = 2a ( x1 + x2 ) + 12a = 4a2 + 12a > Tương tự: x22 + 2ax1 + 9a = 4a2 + 12a > Do đó: (2) Û 4a2 + 12a a2 + a2 4a2 + 12a =2 Û 4a2 + 12a a2 = Û 3a ( a + ) = Û a = -4 Câu 16 Cho hàm số y = x + 9mx + 12m x + (m là tham số) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = –1 2) Tìm các giá trị m để hàm số có cực đại xCĐ, cực tiểu xCT thỏa mãn: x 2CÑ = xCT · Ta có: y¢ = x + 18mx + 12m2 = 6( x + 3mx + 2m ) Hàm số có CĐ và CT Û y¢ = có nghiệm phân biệt x1, x2 Û D = m > Û m ¹ ( -3m - m ) , x2 = ( -3m + m ) 2 Dựa vào bảng xét dấu y¢, suy xCÑ = x1, xCT = x2 Khi đó: x1 = Do đó: x 2CÑ = xCT æ -3m - m ö -3m + m Ûç Û m = -2 ÷ = 2 è ø Câu 17 Cho hàm số y = (m + 2) x + x + mx - , m là tham số 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = Trang 15 Lop12.net (17) Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 2) Tìm các giá trị m để các điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương · Các điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương Û PT y ' = 3(m + 2) x + x + m = có nghiệm dương phân biệt ìa = (m + 2) ¹ ïD ' = - 3m(m + 2) > ì D ' = - m - 2m + > ì-3 < m < ï m ï ï ï Û íP = Û ím < Û ím < Û -3 < m < -2 >0 3(m + 2) ï ïm + < ïîm < -2 î -3 ï ïîS = m + > 1 Câu 18 Cho hàm số y = x - mx + (m - 3) x (1), m là tham số 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm các giá trị m để hàm số (1) có các điểm cực trị x1, x2 với x1 > 0, x2 > và x12 + x22 = · y¢ = x - mx + m - ; y¢ = Û x - mx + m2 - = (2) ìD > ïP > ì 3<m<2 14 ï ï YCBT Û íS > Ûí 14 Û m = ï ïm = ± 2 î ï x1 + x2 = î Câu 19 Cho hàm số y = x + (1 - 2m) x + (2 - m) x + m + (m là tham số) (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm các giá trị m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ · y ¢= x + 2(1 - 2m) x + - m = g( x ) YCBT Û phương trình y ¢= có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x1 < x2 < ìD¢ = 4m2 - m - > Û ïï g(1) = -5m + > Û < m < í ï S = 2m - < ïî Câu 20 Cho hàm số y = m x + (m - 2) x + (m - 1) x + (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để hàm số có cực đại x1, cực tiểu x2 thỏa mãn x1 < x2 < · Ta có: y¢ = mx + 2(m - 2) x + m - ; y¢ = Û mx + 2(m - 2) x + m - = (1) Hàm số có CĐ ,CT thỏa mãn x1 < x2 < m > và (1) có nghiệm phân biệt bé Đặt t = x - Þ x = t + , thay vào (1) ta được: m(t + 1)2 + 2(m - 2)(t + 1) + m - = Û mt + 4(m - 1)t + 4m - = (1) có nghiệm phân biệt bé Û (2) có nghiệm âm phân biệt Trang 16 Lop12.net (18) Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số ìm > ïïD¢ > Û <m< Ûí ïP > ïîS < Câu 21 Cho hàm số y = x3 + (1 - 2m) x + (2 - m) x + m + (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để hàm số có ít điểm cực trị có hoành độ thuộc khoảng (-2; 0) · Ta có: y¢ = x + 2(1 - 2m) x + - m ; y¢ = Û x + 2(1 - 2m) x + - m = (*) Hàm số có ít cực trị thuộc (-2; 0) Û (*) có nghiệm phân biệt x1, x2 và có ít é-2 < x1 < x2 < nghiệm thuộc (-2; 0) Û ê -2 < x1 < £ x2 ê êë x1 £ -2 < x2 < (1) (2) (3) Ta có: ì 4m - m - > ìD ' = m - m - > ï ï ï-2 < 2m - < + x x ïï 10 ïï-2 < < (1) Û í Ûí Û - < m < -1 4(2m - 1) - m + >0 ï( x + )( x + ) > ï4 + ï ï2 - m ïî x1x2 > ï >0 ïî ì 4m - m - > ìD ' = m - m - > ï ï ïm ³ = £ f m ( ) ï ï 2m - (2) Û í Ûí Ûm³2 > -2 + + + > x x ( ) ( ) ï ï ï ï - m ( 2m - 1) î( x1 + )( x2 + ) > +4>0 ï + î ì 4m - m - > ìD ' = m - m - > ï ï ï3m + ³ ï f ( -2 ) = 10 + 6m £ ï (3) Û í Û í 2m - < Û - £ m < -1 ï x1 + x2 < ï ïî x1x2 > ï2 - m ïî > é ö Tóm lại các giá trị m cần tìm là: m Î ê - ; -1÷ È ëé2; +¥ ) ë ø Câu 22 Cho hàm số y = x - x + (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) 2) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: y = x - tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ · Các điểm cực trị là: A(0; 2), B(2; –2) Xét biểu thức g( x, y ) = x - y - ta có: g( x A , y A ) = x A - y A - = -4 < 0; g( xB , yB ) = xB - yB - = > Þ điểm cực đại và cực tiểu nằm hai phía đường thẳng d: y = x - Do đó MA + MB nhỏ Û điểm A, M, B thẳng hàng Û M là giao điểm d và AB Phương trình đường thẳng AB: y = -2 x + ì æ4 2ö ì Tọa độ điểm M là nghiệm hệ: í y = x - Û í x = ; y = Þ M ç ; ÷ 5 î y = -2 x + î è 5ø Trang 17 Lop12.net (19) Khảo sát hàm số Câu 23 Cho hàm số Trần Sĩ Tùng y = x - 3mx + 3(m - 1) x - m3 + m (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O · Ta có y ¢= x - 6mx + 3(m2 - 1) Hàm số (1) có cực trị Û PT y ¢= có nghiệm phân biệt Û x - 2mx + m2 - = có nhiệm phân biệt Û D = > 0, "m Khi đó: điểm cực đại A(m - 1;2 - 2m) và điểm cực tiểu B(m + 1; -2 - 2m) é Ta có OA = 2OB Û m + 6m + = Û ê m = -3 + 2 ë m = -3 - 2 Câu 24 Cho hàm số y = x - x - mx + có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng qua các điểm cực trị song song với đường thẳng d: y = -4 x + · Ta có: y ' = x - x - m Hàm số có CĐ, CT Û y ' = có nghiệm phân biệt x1, x2 Û D ' = + 3m > Û m > -3 (*) Gọi hai điểm cực trị là A ( x1; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) æ1 1ö æ 2m ö mö æ Thực phép chia y cho y¢ ta được: y = ç x - ÷ y '- ç + 2÷ x + ç2 - ÷ 3ø 3ø è3 è ø è æ 2m ö æ æ 2m ö æ mö mö Þ y1 = y ( x1 ) = - ç + ÷ x1 + ç - ÷ ; y2 = y ( x2 ) = - ç + ÷ x2 + ç - ÷ 3ø 3ø è ø è è ø è æ 2m ö æ mö Þ Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là D: y = - ç + 2÷ x + ç2 - ÷ 3ø è ø è ì æ 2m ö + ÷ = -4 ï- ç ï ø D // d: y = -4 x + Û í è Û m = (thỏa mãn (*)) æ ö m ïç - ÷ ¹ ïîè 3ø Câu hỏi tương tự: a) y = x - mx + (5m - 4) x + , d : x + 3y + = ĐS: m = 0; m = Câu 25 Cho hàm số y = x + mx + x + có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng qua các điểm cực trị vuông góc với đường thẳng d: y = x - · Ta có: y ' = x + 2mx + Hàm số có CĐ, CT Û y¢ = có nghiệm phân biệt x1, x2 Û D ' = m - 21 > Û m > 21 (*) Gọi hai điểm cực trị là A ( x1; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) æ1 1ö æ 7m ö Thực phép chia y cho y¢ ta được: y = ç x + ÷ y '+ (21 - m ) x + ç ÷ 9ø 9 ø è3 è æ æ 7m ö 7m ö Þ y1 = y( x1 ) = (21 - m2 ) x1 + ç ÷ ; y2 = y( x2 ) = (21 - m ) x2 + ç ÷ 9 ø 9 ø è è Trang 18 Lop12.net (20) Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số 7m Þ Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là D: y = (21 - m ) x + 9 ì m > 21 10 ï D ^ d: y = -4 x + Û í Û m=± 2 ïî (21 - m ).3 = -1 Câu 26 Cho hàm số y = x - x - mx + có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng qua các điểm cực trị tạo với đường thẳng d: x + y - = góc a = 450 · Ta có: y ' = x - x - m Hàm số có CĐ, CT Û y ' = có nghiệm phân biệt x1; x2 Û D ' = + 3m > Û m > -3 (*) Gọi hai điểm cực trị là A ( x1; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) æ1 1ö æ 2m ö æ mö Thực phép chia y cho y¢ ta được: y = ç x - ÷ y '- ç + 2÷ x + ç2 - ÷ 3ø 3ø è3 è ø è æ 2m ö æ æ 2m ö æ mö mö Þ y1 = y ( x1 ) = - ç + ÷ x1 + ç - ÷ ; y2 = y ( x2 ) = - ç + ÷ x2 + ç - ÷ 3ø 3ø è ø è è ø è æ 2m ö æ mö Þ Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là D: y = - ç + 2÷ x + ç2 - ÷ 3ø è ø è æ 2m ö + ÷ Đường thẳng d: x + y - = có hệ số góc - è ø Đặt k = - ç é é é 39 1 k= k + = 1- k m=ê ê ê Û Ûê 10 4 Ta có: tan 45o = Ûê ê 1 êk = êm = - ê k + = -1 + k 1- k ê êë ê 4 ë ë Kết hợp điều kiện (*), suy giá trị m cần tìm là: m = - k+ Câu hỏi tương tự: a) y = x - 3(m - 1) x + (2m2 - 3m + 2) x - m(m - 1) , d : y = -1 ± 15 x + , a = 450 ĐS: m = Câu 27 Cho hàm số y = x3 - x + (C) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm m để đường thẳng qua hai điểm cực trị (C) tiếp xúc với đường tròn (S) có phương trình ( x - m)2 + ( y - m - 1)2 = · Phương trình đường thẳng D qua hai điểm cực trị x + y - = (S) có tâm I (m, m + 1) và bán kính R= D tiếp xúc với (S) Û 2m + m + - Câu 28 Cho hàm số y = x - 3mx + = Û 3m - = Û m = 2; m = -4 (Cm ) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu ( Cm ) cắt đường tròn tâm I(1;1) , bán kính hai điểm phân biệt A, B cho diện tích DIAB đạt giá trị lớn Trang 19 Lop12.net (21)