Tham luận Một số bất đẳng thức đại số và bài toán giá trị lớn nhất & giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số trong các đề thi CĐ - ĐH

Đã có rất nhiều tác giả, nhiều tài liệu đề cập về bất đẳng thức; hôm nay, trong khuôn khổ của một buổi sinh hoạt chuyên môn cụm 6, chúng tôi xin được phép giới thiệu lại một số bất đẳng [r]

TỔ TOÁN - TIN , TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM - THAM LUẬN MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ và BÀI TOÁN GTLN & GTNN CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ TRONG CÁC ĐỀ THI CĐ - ĐH Bất đẳng thức là mảng kiến thức khó toán học phổ thông, nó thường xuyên xuất các đề thi HSG thi tuyển sinh CĐ - ĐH Đã có nhiều tác giả, nhiều tài liệu đề cập bất đẳng thức; hôm nay, khuôn khổ buổi sinh hoạt chuyên môn cụm 6, chúng tôi xin phép giới thiệu lại số bất đẳng thức và bài toán GTLN & GTNN số biểu thức đại số đã thi tương tự với các dạng đề thi CĐ - ĐH năm vừa qua I Dạng sử dụng bất đẳng thức Cauchy (AM - GM) cho số : a+b  ab ; đẳng thức xảy và : a = b  a, b  : 1 Ví dụ : Cho a, b, c là các số dương thỏa : + + = a b c 1 + +  Chứng minh : 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c (TSĐH - Khối A - Năm 2005) x+y 11 1  Nhận xét : Với x, y > 0, ta có 4xy ≤ (x + y)2      +  x+y 4xy x+y 4 x y Dấu (=) xảy  a = b  Áp dụng kết trên, ta có : 1 1  1 11   1    + +  +  =  + +     2a + b + c  2a b + c  2a 4b c   a 2b 2c  (1) 1 1    + + Tương tự :  (2) a + 2b + c  2a b 2c  1 1 1   + +  (3) a + b + 2c  2a 2b c 1 11 1 + +   Từ (1), (2) và (3) suy :  + +  =1 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c 4a b c a = b = c   a=b=c= Dấu (=) xảy   1  a + b + c = 1 + + = Tìm GTNN biểu thức : Ví dụ : Cho x, y, z là các số dương thỏa : x y z P=x+y+z 1 9  Ta có :P = x + y + z = (x + y + z)  + +  y z x  4x y   9x z   9y 4z  = 14 +  + + +  + +  x  z x  z y   y 4x y 9x z 9y 4z = 14 + + + 12 = 36  14 + +2 +2 y x z x z y -Lop12.net Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN biểu thức đại số các đề thi CĐ - ĐH 96 TỔ TOÁN - TIN , TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM - 1 x = x + y + z =    Dấu (=) xảy     y = 12  4x = y , 9x = z , 9y = 4z z = 18   y x z x z y  Vậy : Pmin = 36 x = 6, y = 12, z = 18  Bài tập tương tự : Cho a, b, c là độ dài cạnh tam giác Chứng minh : 4a 9b 16c + +  26 b+c-a c+a-b a+b-c Cho x, y, z > và thỏa : xyz = Tìm GTNN biểu thức : yz zx xy P= + + 2 x y+x z y z+y x z x + z2 y  Hướng dẫn : y+z z+x x+y ,b= ,c= 1. Đặt : x = b + c - a, y = c + a - b, z = a + b - c (x, y, z > 0)  a = 2 Khi đó : 4(y + z) 9(z + x) 16(x + y)  4y 9x   4z 16x   9z 16y  2(VT) = + + = + + + +  + x y z y   x z   y z   x Áp dụng bđt Cosi ,  (đpcm) a2 b2 c2 + + 2. Đặt : a = yz , b = zx , c = xy (a, b, c > và abc = 1)  P = b+c c+a a+b a2 b+c a2 b + c +  =a, b+c b+c b2 c+a c2 a+b +  b , +  c tương tự : c+a a+b 3  Cộng bđt trên vế theo vế, suy : P   Kết luận : MinP = x=y=z=1 2  Áp dụng bđt Cosi , ta có : II Dạng sử dụng bất đẳng thức Cauchy (AM - GM) cho số : a+b+c  abc ; đẳng thức xảy và : a = b = c  a, b, c  : Ví dụ : Cho a, b, c là các số dương thỏa : abc = Chứng minh : + a + b3 + ab + b + c3 + c3 + a +  3 bc ca (TSĐH - Khối D - Năm 2005) Tacó : + a + b3  3 1.a b3 = 3ab  + a + b3  + b + c3 + c3 + a ,   bc ca bc  Cộng bất đẳng thức trên vế theo vế , ta có : Tương tự : + a + b3 + ab + b + c3 + c3 + a + bc ca  ab  + a + b3  ab ab ca  3 +  ab 1  +  bc ca  (1) -Lop12.net Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN biểu thức đại số các đề thi CĐ - ĐH 97 TỔ TOÁN - TIN , TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM - + ab  Lại có : 1 +  33 bc ca (abc) = 3 = , vì abc = abc (2)  Từ (1) và (2) suy : (đpcm) Dấu (=) xảy  a = b = c = Ví dụ : Cho x, y, z là các số dương thay đổi Tìm GTNN biểu thức : x z    y P = x +  + y +   + z + yz  zx  xy  2 2 2 x2 y2 z2 x + y2 + z2 + + +  Ta có : P = 2 xyz ≥  x2 x2 y2 z2 xy + yz + zx   y2   z2 1 + + + =  + + + + +  2 xyz x  y  z  x2 x2 1 x2 1 + = + +  33 = x 2x 2x 2x 2x 2 y z +  ; +  Tương tự : y 2 z Suy : P ≥ Dấu (=) xảy  x = y = z =  Vậy : Pmin = x = y = z =  Bài tập tương tự : Cho a, b, c > và thỏa a + b + c = Chứng minh : 1 1 + + +  30 2 a +b +c ab bc ca Cho x, y, z > và thỏa : x + y + z ≥ Tìm GTNN biểu thức : x3 y3 z3 P= + + y+z z+x x+y  Hướng dẫn : 1 1 + + +  + Ta có : (VT) = 2 2 a +b +c ab bc ca a +b +c ab.bc.ca  + = 2 a +b +c ab + bc + ca 1   = + + + 2 ab + bc + ca ab + bc + ca  ab + bc + ca a +b +c  Ngoài :  21 + (a + b + c ) + (ab + bc + ca) + (ab + bc + ca) 3(ab + bc + ca) 21 30  +   30 2 (a + b + c) (a + b + c) (a + b + c) 2 2  Áp dụng bđt Cosi , ta có : x3 y+z + +  3x , y+z y3 z+x z3 x+y + +  3y , + +  3z z+x x+y -Lop12.net Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN biểu thức đại số các đề thi CĐ - ĐH 98 TỔ TOÁN - TIN , TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM  Cộng bđt trên vế theo vế, suy : P  2(x + y + z) -  2.6 - = Kết luận : MinP =  x = y = z = III Dạng sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski (BCS) :  a, b, c, d  R : (ac + bd)  (a + b ).(c + d ) hay ac + bd  đẳng thức xảy và : (a + b ).(c + d ) ; a b = c d Ví dụ : Cho a, b, c là các số dương thỏa : abc = 1 1 + +  Chứng minh : P = a (b + c) b (c + a) c (a + b) 1 Cách 1: Đặt x = , y = , z = thì x, y, z > và xyz = a b c x y z    ( BĐT Nesbit) BĐT cần chứng minh tương đương: yz zx x y  1   ( x  y  z)      yz zx x y  1    ( y  z )  ( z  x)  ( x  y )     9  yz zx xz  BĐT BCS ta có :9 = (1 + + 1)2 =  y  z    zx yz  x y zx x y     1    ( y  z )  ( z  x)  ( x  y )       yz zx x y Dấu (=) xảy  x = y = z =  a = b = c = 1 1   1 Cách 2: Ta có  + +  = b+c + c+a + a+b b c b c+a c a+b a a b+c    1   + +   b + c + c + a + a + b  = 2(a + b + c).P b (c + a) c (a + b)   a (b + c) 2 1 1 1 Suy P ≥  + +  a+b+c a b c 1  a+b+c   + + =  = a + b + c  ab bc ca  a + b + c abc  Dấu (=) xảy  a = b = c = Ví dụ : Cho x, y, z là các số dương thay đổi thỏa điều kiện xyz = Tìm GTNN biểu thức : x (y + z) y (z + x) z (x + y) P= + + y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y (TSĐH - Khối A - Năm 2007)  Nhận xét  y, z > : y + z  yz = (vì xyz = 1) x  x (y + z)  2x x  x (y + z) 2x x  y y + 2z z y y + 2z z -Lop12.net Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN biểu thức đại số các đề thi CĐ - ĐH 99 TỔ TOÁN - TIN , TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM - Xét hai bất đẳng thức tương tự nữa, ta thu   y y x x z z P  2 + +   y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y    Đặt a = x x , b = y y , c = z z  a, b, c > và abc = b c   a + + Khi đó : P    = 2S c + 2a a + 2b   b + 2c  Ta có :  a + b + c   (a + b + c)2  a b c  =  a(b + 2c) + b(c + 2a) + c(a + 2b)  b + 2c c + 2a a + 2b   b c   a   a(b + 2c) + b(c + 2a) + c(a + 2b)   + +  c + 2a a + 2b   b + 2c ≤ 3(ab + bc + ca).S Suy S  a + b + c 2 3(ab + bc + ca)  Do đó : P ≥ Dấu (=) xảy  a = b = c =  x = y = z =  Vậy : Pmin = x = y = z =  Bài tập tương tự : Cho a, b, c > và thỏa : a + b + c + 2abc ≥ 10 Chứng minh : 9b c2a + + + a2 9c a 2b2 9a b2c2 + + + + +  6 b2 c2 3x 4y 5z + + Cho x, y, z > Tìm GTNN biểu thức : P = y+z z+x x+y  Hướng dẫn : 1. Áp dụng bđt BCS, ta có : + 18 + 24 9b c2a 2 3b ca + +  + + = + 9b + ca a a a 9c a 2b2 + +  + 9c + ab , b b  Cộng bđt trên vế theo vế, suy : 9a c2 b2 + +  + 9a + bc c c 1 1 24.(VT)   + +  + 9(a + b + c) + ab + bc + ca b c a 24 4    + a + a   a + a 4  4   + b  +  + c  + (2a + bc) + (2b + ca) + (2c + ab) + 6(a + b + c) b  c  4 b + c + 2abc + 2abc + 2abc + 6(a + b + c) b c 72 = 12 + 6(a + b + c + 2abc)  12 + 6.10 = 72  (VT)  =6 24  3x   4y    5z 2. Ta có : P =  + 3 +  + 4 + +  - 12  x+y y+z  z+x    =  x + y + z + +  - 12 z+x x+y y+z -Lop12.net Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN biểu thức đại số các đề thi CĐ - ĐH 100 TỔ TOÁN - TIN , TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM - =  x+y   + y+x   + z+x  2     +    z+x  y + z        +     x+y   - 12   ( + + 5) - 12 y+z z+x x+y = = ( + + 5) - 12   Kết luận : MinP = 2 IV Dạng sử dụng tính chất hàm số - phương pháp hàm số :   Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn nửa khoảng) Hàm số f(x) gọi là đồng biến trên K :  x1, x2  K , x1 < x2  f(x1) < f(x2) Hàm số f(x) gọi là nghịch biến trên K :  x1, x2  K , x1 < x2  f(x1) > f(x2) Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng K Nếu f ’(x) ≥ , x  K (hoặc f ’(x) ≤ , x  K ) và f ’(x) = số hữu hạn điểm K thì hàm số f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K Lưu ý : Khoảng K kết này thay đoạn nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “Hàm số f(x) này liên tục trên đoạn nửa khoảng đó”  Ví dụ : Cho a, b là các số thực thỏa mãn : < a < b < Chứng minh : a lnb - b lna > lna - lnb (TSCĐ - Khối A, B, D - Năm 2009) lna lnb <  Ta có : (đpcm)  (1 + b ).lna < (1 + a ).lnb  a +1 b +1 x + - 2x lnx lnx > ,  x  (0; 1)  Xét hàm số : f(x) = với < x <  f ' (x) = x(x + 1) x +1  f(x) là hàm số luôn đồng biến trên khoảng (0; 1) lna lnb <  Khi đó : < a < b <  f(a) < f(b)  a +1 b +1   Ví dụ : Cho a ≥ b > Chứng minh :  2a + a     Ta có : (đpcm)  4 a + 1 b  4 b + 1 a  b a     2b + b    (TSĐH - Khối D- Năm 2007) a ln(4 + 1) ln(4b + 1)  a b ln(1 + x )  Xét hàm số : f(x) = với x > x x ln4 x - (1 + x ).ln(1 + x ) < ,  x  (0; +)  f ' (x) = x (1 + x )  f(x) là hàm số luôn nghịch biến trên khoảng (0; + ) ln(4a + 1) ln(4b + 1)   Khi đó : a ≥ b >  f(a) ≤ f(b)  a b a+b a-b > Ví dụ : Cho a > b > Chứng minh : lna - lnb  Vì : a > b >  lna > lnb  lna - lnb > -Lop12.net Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN biểu thức đại số các đề thi CĐ - ĐH 101 TỔ TOÁN - TIN , TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM - a -1 a-b a Ta có : (đpcm)  lna - lnb >  ln - b >0 a a+b b +1 b 2(x - 1)  Xét hàm số : f(x) = lnx với x > x+1 (x - 1) = > ,  x  (1; +)  f ' (x) = x (x + 1) x(x + 1)  f(x) là hàm số luôn đồng biến trên khoảng (1; + ) a -1 a a a b  Khi đó : a > b >  >  f( ) > f(1) =  ln - >0 a b b b +1 b Ví dụ 10 : Cho hai số thực x, y thay đổi cho : 2(x2 + y2) - xy = x + y4 Tìm GTNN và GTLN biểu thức : P = 2xy + 1  Nhận xét : = 2(x2 + y2) - xy ≥ 2.2xy - xy = 3xy  xy ≤ 1 = 2(x2 + y2) - xy = 2.(x + y)2 - 5xy ≥ -5xy  xy ≥   xy +  - 2x y   4 2 2 x +y (x + y ) - 2x y -7(xy) + 2xy +   Và : P = = = = 2xy + 2xy + 2xy + 8xy +  1  Khi đó, đặt : t = xy , đk : t    ;   3 -7t + 2t +  1 Bài toán đưa tìm GTNN và GTLN hàm số : f(t) = với t    ;  8t +  3  t = -1 (loai) 56t - 56t ' f ' (t) = ; f (t) =   56t 56t =  t = (8t + 4)  2 f(- ) = , f( ) = , f(0) = 15 15  2 x + y =  Vậy : Max P = Max f(t) =     1 ;   3  xy =   2   x + y2 = x + y2 =     Min P = Min f(t) =      1 15  1 ;    3 xy = xy =      Bài tập tương tự : -Lop12.net Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN biểu thức đại số các đề thi CĐ - ĐH 102 TỔ TOÁN - TIN , TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM - a(b - 4) <a-b b(4 - a) Cho a, b thỏa mãn : a > b ≥ e Chứng minh : a b < b a Cho a, b thỏa mãn : a > b > Chứng minh : 5.lna - 4.lnb > ln(5a - 4b) Cho x, y ≥ thỏa : x + y = Tìm GTNN và GTLN biểu thức : P = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy (TSĐH - Khối D- Năm 2009)  Hướng dẫn : a b - a < ln -b  Với : < a < b < Ta có : (đpcm)  ln 4- a 4- b (x - 2) x  ,  x  (0; 4) và f’(x) = - x với < x <  f ' (x) =  Xét hàm số: f(x) = ln x(4 - x) 4-x x =  f(x) là hàm số luôn đồng biến trên khoảng (0; 4)  Khi đó : < a < b <  f(a) < f(b)  (đpcm) lna lnb <  Với : a > b ≥ e Ta có : (đpcm)  b.lna < a.lnb  a b lnx lnx < ,  x  (e; + ) mà f(x) liên tục trên  Xét hàm số: f(x) = với x ≥ e  f ' (x) = x x2 [e; +)  f(x) là hàm số luôn nghịch biến trên khoảng [e; +)  Khi đó : a > b ≥ e  f(a) < f(b)  (đpcm)  Với : a > b > Ta có : (đpcm)  Cho a, b thỏa mãn : < a < b < Chứng minh : ln a5 a5 a a ln > ln(5a - 4b)  > 5a - 4b    - + > b b b b a  Đặt : x = , x > Xét hàm số: f(x) = x - 5x + với x > b Lập BBT, dễ dàng kết luận : f(x) > với x > , suy : (đpcm)  Biến đổi : P = 16(xy)2 - 2xy + 12  1  Khi đó, đặt : t = xy , đk : t  0;   4  1 Bài toán đưa tìm GTNN và GTLN hàm số : f(t) = 16t - 2t + 12 với t  0;   4 f ' (t) = 32t - ; f ' (t) =  t = 16 25 191 f(0) = 12 , f( ) = , f( ) = 16 16  x + y = 25  Vậy : Max P = Max f(t) =   ; xy =  1  0;   4   x + y = 191  Min P = Min f(t) =   16 xy =  1 0;   4 16    V Dạng sử dụng miền giá trị để tìm GTLN & GTNN : -Lop12.net Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN biểu thức đại số các đề thi CĐ - ĐH 103 TỔ TOÁN - TIN , TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM - Ví dụ 11 : Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số : y = 2sin x  cos x sin x  cos x  HD: TXĐ: D = R 2sin x  cos x y=  (y – 2)sinx + (2y + 1)cosx = – 3y (1) sin x  cos x  Phương trình (1) có nghiệm và khi: 9y2  (y – 2)2 + (2y + 1)2  – 5 y 2 5 và miny = – 2 Ví dụ 12 : Cho hai số thực x, y thỏa mãn x2 + y2 = 2(x + y) + Tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ biểu thức P = x( x  2)  y ( y  2) Suy : maxy =  x  y  2( x  y )  HD: Gọi T là tập giá trị P Ta có m  T  Hệ sau có nghiệm  (I)  x( x  2)  y ( y  2)  m + Đặt u = x( x  2) , v = y ( y  2) , ta có u = ( x  1)   1 , tương tự v  –  m3  u  v3  (u  v)3  3uv(u  v)  uv   +Hệ (I) trở thành    3m (II) u  v  m u  v  m   u  v  m  m 7  (1) u, v là hai nghiệm phương trình t  mt  3m +Hệ (I) có nghiệm  Hệ (II) có nghiệm (u, v) thỏa u  – 1và v  –  Phương trình (1) có nghiệm t1 , t2 thỏa –  t1  t2  4(m3  7) 0 m    m    (t1  1)  (t2  1)   m     m3  (t  1)(t  1)     m 1   3m 0  m  28    m  28 m  2 m   m   Do đó T = [1, 28 ] Vậy minP = và maxP = 28 Ví dụ 13 : Cho x,y là các số thực thỏa mãn 3x2 + 2xy + y2 = 11 Tìm GTLN, GTNN biểu thức P = x2 + 2xy + 3y2 2 3 x  xy  y  11 HD:Gọi T là tập giá trị P Ta có m  T  Hệ sau có nghiệm  (I)  x  xy  y  m  y  11  y   11 +Nếu x = thì hệ trở thành   m  33 3 y  m 2  x (3  2t  t )  11 +Xét trường hợp x  Đặt y = tx ta có hệ  2  x (1  2t  3t )  m (m  33)t  2(m  11)t  3m  11  m(3  2t  t )  11(1  2t  3t )  (II)   11  x (3  2t  t )  11 x   t  2t   2 -Lop12.net Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN biểu thức đại số các đề thi CĐ - ĐH 104 TỔ TOÁN - TIN , TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM - Hệ (I) có nghiệm  Hệ (II) có nghiệm x   (m – 33)t2 + 2(m – 11)t + 3m – 11 = (1) có ngh +Nếu m = 33 thì (1) có nghiệm t =  +Xét m  33, đó (1) có nghiệm   't   (m – 11)2 – (m – 33)(3m – 11)   – 2m2 + 88m – 242   m  [22  11 3, 22  11 3] \ 33 + Kết hợp các trường hợp trên ta các giá trị để hệ có nghiệm là m  [22  11 3, 22  11 3] Do đó T = [22  11 3, 22  11 3] Vậy minT = 22 – 11 , maxT = 22 + 11  Bài tập tương tự : 1: Cho hai số thực thay đổi x  0, y  thỏa mãn xy(x + y) = x2 – xy + y2 Tìm giá trị lớn biểu thức: 1 A=  x y ( ĐH khối A – 2006) 2: Cho x, y là hai số thay đổi thỏa mãn x + y + x2 + y2 = Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức: P = xy(x + 1)(y + 1)  Hướng dẫn :  T là tập giá trị A Ta có m  A  Hệ sau có nghiệm x  0, y   xy ( x  y )  x  xy  y  xy ( x  y )  x  xy  y  xy ( x  y )  x  xy  y    (I) 1   ( x  y )( x  xy  y )   ( x  y)2   m  m  m  x3 y   x2 y x3 y     SP  S  3P  Đặt S = x + y, P = xy, S  4P ta có hệ  S (II)  m P Hệ (I) có nghiệm x  0, y   Hệ (II) có nghiệm (S,P) thỏa mãn S2  4P  m  (0;16] \ 1 Vậy maxA = 16  x  y  x2  y   T là tập giá trị P Ta có m  T  Hệ sau có nghiệm   xy ( x  1)( y  1)  m u  v  + Đặt u = x + x2 , v = y + y2 , điều kiện u, v   Hệ trở thành  uv  m Khi đó u, v là hai nghiệm phương trình t2 – 8t + m = (1) + Hệ có nghiệm  (1) có nghiệm t1, t2 thỏa mãn   t1  t2  '  33   (t1  1/ 4)(t2  1/ 4)     m  16 16 (t  1/ 4)  (t  1/ 4)   Vậy minP =  33 , maxP = 16 16 Tam Kỳ, ngày 10 tháng 03 năm 2011 TỔ TOÁN - TIN THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM -Lop12.net Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN biểu thức đại số các đề thi CĐ - ĐH 105 TỔ TOÁN - TIN , TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM - -Lop12.net Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN biểu thức đại số các đề thi CĐ - ĐH 106