---THAM LUẬN MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ và BÀI TOÁN GTLN & GTNN CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ TRONG CÁC ĐỀ THI CĐ - ĐH Bất đẳng thức là một mảng kiến thức khó của toán học phổ thông, nó thường x
Trang 1-THAM LUẬN MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ và BÀI TOÁN GTLN & GTNN CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ TRONG CÁC ĐỀ THI CĐ - ĐH
Bất đẳng thức là một mảng kiến thức khó của toán học phổ thông, nó thường xuyên xuất hiện trong các đề thi HSG cũng như thi tuyển sinh CĐ - ĐH Đã có rất nhiều tác giả, nhiều tài liệu đề cập về bất đẳng thức; hôm nay, trong khuôn khổ của một buổi sinh hoạt chuyên môn cụm 6, chúng tôi xin được phép giới thiệu lại một số bất đẳng thức và bài toán GTLN & GTNN của một số biểu thức đại số đã được ra thi hoặc tương tự với các dạng trong
đề thi CĐ - ĐH trong những năm vừa qua
I Dạng sử dụng bất đẳng thức Cauchy (AM - GM) cho 2 số :
a, b 0 : a + b ab
2 ; đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a = b
Ví dụ 1 : Cho a, b, c là các số dương thỏa : 1 + + = 41 1
(TSĐH - Khối A - Năm 2005)
Dấu (=) xảy ra a = b
Áp dụng kết quả trên, ta có :
(1)
Dấu (=) xảy ra
a = b = c
3
a = b = c =
4 + + = 1
Ví dụ 2 : Cho x, y, z là các số dương thỏa : 1 + + = 14 9
P = x + y + z
Ta có :P = x + y + z = (x + y + z) 1 + + 4 9
= 14 + 4x + y + 9x + z + 9y + 4z
14 + 2 4x y + 2 9x z + 2 9y 4z
Trang 2- Dấu (=) xảy ra
+ + = 1
x = 6
y = 12
z = 18
Vậy : Pmin = 36 khi x = 6, y = 12, z = 18
Bài tập tương tự :
1 Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng :
2 Cho x, y, z > 0 và thỏa : xyz = 1 Tìm GTNN của biểu thức :
Hướng dẫn :
1. Đặt : x = b + c - a, y = c + a - b, z = a + b - c (x, y, z > 0) a = y + z, b = z + x, c = x + y
Khi đó :
2(VT) =4(y + z) + 9(z + x) + 16(x + y) = 4y + 9x + 4z + 16x + 9z + 16y
Áp dụng bđt Cosi , (đpcm)
2. Đặt : a = yz , b = zx , c = xy (a, b, c > 0 và abc = 1)
Áp dụng bđt Cosi , ta có :
tương tự :
Cộng 3 bđt trên vế theo vế, suy ra : P 3
2
II Dạng sử dụng bất đẳng thức Cauchy (AM - GM) cho 3 số :
a, b, c 0 : a + b + c 3
abc
3 ; đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a = b = c
Ví dụ 3 : Cho a, b, c là các số dương thỏa : abc = 1
Chứng minh rằng : 1 + a + b3 3 + 1 + b + c3 3 + 1 + c + a3 3 3 3
(TSĐH - Khối D - Năm 2005)
Tương tự :
Cộng 3 bất đẳng thức trên vế theo vế , ta có :
Trang 3
2
Từ (1) và (2) suy ra : (đpcm) Dấu (=) xảy ra a = b = c = 1
Ví dụ 4 : Cho x, y, z là các số dương thay đổi Tìm GTNN của biểu thức :
Ta có :
≥
Tương tự :
Suy ra : P ≥ 9
2 Dấu (=) xảy ra x = y = z = 1
Vậy : Pmin = 9
2 khi x = y = z = 1
Bài tập tương tự :
1 Cho a, b, c > 0 và thỏa a + b + c = 1 Chứng minh rằng :
2 12 2 + 1 + 1 + 1 30
2 Cho x, y, z > 0 và thỏa : x + y + z ≥ 6 Tìm GTNN của biểu thức :
Hướng dẫn :
+
+
2 Áp dụng bđt Cosi , ta có :
3
Trang 4
- Cộng 3 bđt trên vế theo vế, suy ra : P 2(x + y + z) - 6 2.6 - 6 = 6
Kết luận : MinP = 6 x = y = z = 2
III Dạng sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski (BCS) :
a, b, c, d R : 2 2 2 2 2
(ac + bd) (a + b ).(c + d ) hay ac + bd (a + b ).(c + d ) 2 2 2 2 ; đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a = b
Ví dụ 5 : Cho a, b, c là các số dương thỏa : abc = 1.
Cách 1: Đặt x = 1
a, y =
1
b, z =
1
c thì x, y, z > 0 và xyz = 1
2
2
x y z
y z z x x y
(y z) (z x) (x y) 1 1 1 9
y z z x x z
BĐT BCS ta có :9 = (1 + 1 + 1)2 =
2
(y z) (z x) (x y) 1 1 1
y z z x x y
Cách 2: Ta có
2 2
Suy ra P ≥ 1
2
1
a + b + c.
2
+ +
Dấu (=) xảy ra a = b = c = 1
Ví dụ 6 : Cho x, y, z là các số dương thay đổi thỏa điều kiện xyz = 1 Tìm GTNN của biểu thức :
(TSĐH - Khối A - Năm 2007)
Nhận xét y, z > 0 : y + z 2 yz = 2
x
2
x (y + z) 2x x
2
Trang 5
Xét hai bất đẳng thức tương tự nữa, ta thu được
y y
Đặt a = x x , b = y y , c = z z a, b, c > 0 và abc = 1
2
a(b + 2c) + b(c + 2a) + c(a + 2b) a + b + c
(a + b + c)2 ≤ 3(ab + bc + ca).S Suy ra a + b + c2
3(ab + bc + ca)
Dấu (=) xảy ra a = b = c = 1 x = y = z = 1
Vậy : Pmin = 2 khi x = y = z = 1
Bài tập tương tự :
1 Cho a, b, c > 0 và thỏa : a + b + c + 2abc ≥ 10 Chứng minh rằng :
Hướng dẫn :
1. Áp dụng bđt BCS, ta có :
2
Cộng 3 bđt trên vế theo vế, suy ra : 24.(VT) 4 1 + + 1 1 + 9(a + b + c) + ab + bc + ca
4 + a + 4 + b + 4 + c + (2a + bc) + (2b + ca) + (2c + ab) + 6(a + b + c)
2 4.a + 2 4.b + 2 4.c + 2 2abc + 2 2abc + 2 2abc + 6(a + b + c)
24
Trang 6= x + y + z 3 + 4 + 5 - 12
( 3 + 4 + 5) - 12 1 2
2
Kết luận : MinP = ( 3 + 2 + 5) - 12 1 2
2
IV Dạng sử dụng tính chất của hàm số - phương pháp hàm số :
Hàm số f(x) gọi là đồng biến trên K nếu : x 1 , x 2 K , x 1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 )
Hàm số f(x) gọi là nghịch biến trên K nếu : x 1 , x 2 K , x 1 < x 2 f(x 1 ) > f(x 2 )
K ) và f ’ (x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K.
Lưu ý : Khoảng K trong kết quả này được thay bởi một đoạn hoặc một nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “Hàm số f(x) này liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”
Ví dụ 7 : Cho a, b là các số thực thỏa mãn : 0 < a < b < 1
Chứng minh rằng : a lnb - b lna > lna - lnb 2 2
(TSCĐ - Khối A, B, D - Năm 2009)
(1 + b ).lna < (1 + a ).lnb <
Xét hàm số : f(x) = 2lnx
x + 1 với 0 < x < 1
'
x + 1 - 2x lnx
f(x) là hàm số luôn đồng biến trên khoảng (0; 1)
Khi đó : 0 < a < b < 1 f(a) < f(b) 2lna < 2lnb
Ví dụ 8 : Cho a ≥ b > 0 Chứng minh rằng :
(TSĐH - Khối D- Năm 2007)
Xét hàm số :
x
ln(1 + 4 ) f(x) =
x với x > 0
'
4 ln4 - (1 + 4 ).ln(1 + 4 )
f(x) là hàm số luôn nghịch biến trên khoảng (0; + )
Khi đó : a ≥ b > 0 f(a) ≤ f(b)
Ví dụ 9 : Cho a > b > 0 Chứng minh rằng : a + b > a - b
2 lna - lnb
Vì : a > b > 0 lna > lnb lna - lnb > 0
Trang 7
Ta có : (đpcm)
a
- 1
a
b
Xét hàm số : f(x) = lnx - 2(x - 1)
x + 1 với x > 1
2 '
f(x) là hàm số luôn đồng biến trên khoảng (1; + )
Khi đó : a > b > 0 a
b > 1 f(
a
b) > f(1) = 0
a
- 1
a
b
Ví dụ 10 : Cho hai số thực x, y thay đổi sao cho : 2(x2 + y2) - xy = 1
Tìm GTNN và GTLN của biểu thức :
x + y
2xy + 1
Nhận xét : 1 = 2(x2 + y2) - xy ≥ 2.2xy - xy = 3xy xy ≤ 1
3
1 = 2(x2 + y2) - xy = 2.(x + y)2 - 5xy ≥ -5xy xy ≥ 1
5
Và :
2
2 2
xy + 1
- 2x y
Khi đó, đặt : t = xy , đk : t 1 1;
5 3
Bài toán đưa về tìm GTNN và GTLN của hàm số :
2
-7t + 2t + 1 f(t) =
1 1
5 3
2
2
t = -1 (loai) 56t - 56t
t = 0 (8t + 4)
f(- ) = 1 2 , f( ) = 1 2 , f(0) = 1
Vậy :
1 1
- ;
5 3
1
x + y = 1
1 1
- ;
5 3
15
Bài tập tương tự :
Trang 81 Cho a, b thỏa mãn : 0 < a < b < 4 Chứng minh rằng : lna(b - 4) < a - b
b(4 - a)
2 Cho a, b thỏa mãn : a > b ≥ e Chứng minh rằng : a < b b a
3 Cho a, b thỏa mãn : a > b > 0 Chứng minh rằng : 5.lna - 4.lnb > ln(5a - 4b)
4 Cho x, y ≥ 0 thỏa : x + y = 1 Tìm GTNN và GTLN của biểu thức :
P = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy
(TSĐH - Khối D- Năm 2009)
Hướng dẫn :
1 Với : 0 < a < b < 4 Ta có : (đpcm) ln a - a < ln b - b
Xét hàm số: f(x) = ln x - x
4 - x với 0 < x < 4
2
’(x) = 0 khi x = 2
f(x) là hàm số luôn đồng biến trên khoảng (0; 4)
Khi đó : 0 < a < b < 4 f(a) < f(b) (đpcm)
2 Với : a > b ≥ e Ta có : (đpcm) b.lna < a.lnb lna < lnb
Xét hàm số: f(x) = lnx
x với x ≥ e
'
2
1 - lnx
[e; +) f(x) là hàm số luôn nghịch biến trên khoảng [e; +)
Khi đó : a > b ≥ e f(a) < f(b) (đpcm)
3 Với : a > b > 0 Ta có : (đpcm)
5
x =
b , x > 1 Xét hàm số:
5
f(x) = x - 5x + 4 với x > 1 Lập BBT, dễ dàng kết luận : f(x) > 0 với mọi x > 1 , suy ra : (đpcm)
4 Biến đổi : P = 16(xy)2 - 2xy + 12
Khi đó, đặt : t = xy , đk : t 0; 1
4
Bài toán đưa về tìm GTNN và GTLN của hàm số : f(t) = 16t - 2t + 12 với 2 t 0; 1
4
f (t) = 32t - 2 ; f (t) = 0 t =
16
f(0) = 12 , f( ) = 1 25 , f( 1 ) = 191
0;
4
x + y = 1 25
xy =
1 0;
4
x + y = 1 191
16
V Dạng sử dụng miền giá trị để tìm GTLN & GTNN :
Trang 9
-Ví dụ 11 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = 2sin cos
HD: TXĐ: D = R
Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi: 9y2 (y – 2)2 + (2y + 1)2 – 5
5 2
5 2
Ví dụ 12 : Cho hai số thực x, y thỏa mãn x2 + y2 = 2(x + y) + 7 Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = 3 x x( 2)3 y y( 2)
HD: Gọi T là tập giá trị của P Ta có mT Hệ sau có nghiệm
(I) + Đặt u = 3 x x ( 2) , v = 3 y y ( 2) , ta có u = 3(x 1)21 , tương tự v1 – 1
+Hệ (I) trở thành
3
m uv
m
u v m
(II)
u, v là hai nghiệm phương trình
3
0 3
m
t mt
m
+Hệ (I) có nghiệm Hệ (II) có nghiệm (u, v) thỏa u– 1và v– 1
Phương trình (1) có 2 nghiệm t1 , t2 thỏa – 1 t1 t2
0
3 2
3
0 3
2 0 7
1 0 3
m m
m m
m
m m
3
2
m m
1m3 28
Do đó T = [1, 3 28 ] Vậy minP = 1 và maxP = 328
Ví dụ 13 : Cho x,y là các số thực thỏa mãn 3x2 + 2xy + y2 = 11 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
P = x2 + 2xy + 3y2
HD:Gọi T là tập giá trị của P Ta có mT Hệ sau có nghiệm
x xy y
+Nếu x = 0 thì hệ trở thành
2 2
33 3
m
+Xét trường hợp x 0 Đặt y = tx ta có hệ
2
2
11
x
t t
(II)
Trang 102
+Xét m 33, khi đó (1) có nghiệm 't 0 (m – 11)2 – (m – 33)(3m – 11)0
– 2m2 + 88m – 242 0 m[22 11 3, 22 11 3] \ 33
+ Kết hợp các trường hợp trên ta được các giá trị để hệ có nghiệm là m [22 11 3, 22 11 3]
Bài tập tương tự :
1: Cho hai số thực thay đổi x0, y0 thỏa mãn xy(x + y) = x2 – xy + y2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
A = 13 13
x y
( ĐH khối A – 2006)
2: Cho x, y là hai số thay đổi thỏa mãn x + y + x2 + y2 = 8 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = xy(x + 1)(y + 1)
Hướng dẫn :
1 T là tập giá trị của A Ta có mA Hệ sau có nghiệm x0, y0
xy x y x xy y
m
3 3
xy x y x xy y
x y x xy y
m
x y
2
2 2
xy x y x xy y
x y
m
x y
(I)
Đặt S = x + y, P = xy, S2 4P ta có hệ
2 2 2
3
S m P
(II)
Hệ (I) có nghiệm x0, y0 Hệ (II) có nghiệm (S,P) thỏa mãn S2 4P m(0;16] \ 1
Vậy maxA = 16
2 T là tập giá trị của P Ta có mT Hệ sau có nghiệm
x y x y
+ Đặt u = x + x2 , v = y + y2 , điều kiện u, v 1
4
uv m
Khi đó u, v là hai nghiệm phương trình t2 – 8t + m = 0 (1)
1
' 0
33
16
16
Tam Kỳ, ngày 10 tháng 03 năm 2011
TỔ TOÁN - TIN
THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM
Trang 11
-