Bất đẳng thức tích phân trong các kỳ thi Olympic toán sinh viên

Bài viết thiệu một số dạng bất đẳng thức tích phân đã xuất hiện trong các kì thi Olympic Toán. Bên cạnh đó giới thiệu với độc giả các cách phân tích và giải các bài toán có liên quan đến bất đẳng thức tích phân.

1 TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 18 * 2018 BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN TRONG CÁC KỲ THI OLYMPIC TỐN SINH VIÊN Đào Thị Kim Chi* Trường Đại học Phú n Tóm tắt Trong báo này, chúng tơi giới thiệu số dạng bất đẳng thức tích phân xuất kì thi Olympic Tốn Bên cạnh giới thiệu với độc giả cách phân tích giải tốn có liên quan đến bất đẳng thức tích phân Từ khóa: Bất đẳng thức, tích phân, Oympic Toán Abstract Integral inequality in the Mathematical Olympiads The aim of this paper is to introduce some forms of integral inequalities that have emerged during the Mathematical Olympiads In addition, the researcher would also like to propose some methods of analyzing and solving the math problems regarding integral inequalities Key words: inequality, integral, Mathematical Olympiad Giới thiệu Tuy không xuất thường xuyên kỳ thi Olympic Tốn bất đẳng thức tích phân ln toán xuất nhiều cách giải thơng minh Khơng có cách giải chung cho dạng tốn có cách giải đặc trưng riêng, đòi hỏi kỹ thuật khéo léo người giải Một số toán đề thi cho bạn thấy điều [ ] Bài (Olympic SV 1998) Cho Chứng minh | ∫| Lời giải Đặt ∫ | || ∫( ) | ∫ Khi | Mặt khác [ | ] | ∫ | |∫ Khi đó, ta có * Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ∫ Email: kimchi.matdoi@gmail.com | (∫ ) (∫( ) ) TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHÚ YÊN | | √ (∫( ) ) | | √ (∫( ) ) | | | [ ∫ ( | ) ] | ∫| ∫( ) Đối với toán trên, người giải khơng tìm kết hợp khéo léo điều kiện đạo hàm tích phân mà sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz quen thuộc ] Bài (Olympic 2009) Cho hàm số [ có đạo hàm cấp hai liên tục [ ] Chứng minh ∫ ∫ Lời giải Ta sử dụng tích phân phần với ∫ Đặt (√ ) ∫ (√ ∫ (√ Tiếp tục áp dụng tích phân phần với ∫ ∫ ( ( √ ) ) ) chọn ∫ , ta ∫ Tiếp tục áp dụng tích phân phần với ∫ , ta ∫ Do ∫ ( , ta ( , ta đặt | ∫ √ ) ∫ ∫ ∫ Ta có ) ( √ ) Do , ∫ Với tích phân ∫ √ chọn )| (√ ) ∫ ∫ ∫ Bất đẳng thức cần chứng minh ( ∫ ) ( ∫ ( ) ) TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 18 * 2018 hay ∫ ( ∫ ) Tuy nhiên, dễ thấy ] bất đẳng thức tương đương [ với √ , theo bất đẳng thức Cauchy Cách dùng tích phân phần để biến đổi tích phân dạng thích hợp để áp dụng giả thiết phổ biến đáng ý Nhờ mà ta chuyển hàm số dấu tích phân [ ] dạng thành tận dụng Dưới tương tự ] ] Cho hàm số [ hàm khả vi cấp hai thỏa mãn [ Chứng minh bất đẳng thức sau ∫ ∫ [ Bài (Olympic SV 2006) Cho hàm số liên tục [ ] ta giả sử ln có ∫ ] [ [ Đặt ] Chứng minh Lời giải Đặt ∫ hàm số thỏa mãn Suy Theo giả thiết ( ) nên √ √ Ta cần chứng minh Xét hàm số √ nghịch biến [ ] ta có √ Suy √ √ nên Chú ý nên ∫ [ ] hay Do với [ ] với Bài toán tạo thú vị kết hợp điều kiện liên hệ hàm số tích phân để từ đưa khảo sát hàm số đạo hàm Ở ta xét đạo hàm bậc 2, ta hồn tồn thay bậc n tạo toán tương tự ] thỏa mãn điều kiện Bài (Olympic 2008) Cho hàm số liên tục [ [ ] Chứng minh ∫ Lời giải Đặt * với + ta có ∫ Mặt khác, đặt ∫ Do ∫ * ∫ + ta có TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHÚ YÊN ∫ ∫ ∫ [ Theo giả thiết ∫ hay ] nên suy Nhiều bạn cho đánh giá theo cách đổi biến thành hàm lượng giác có thiếu tự nhiên giả thiết sử dụng chưa triệt để (giả thiết cho bất đẳng thức với ta sử dụng lần đặt Tuy nhiên, giả thiết đưa để hướng đến đẳng thức có sẵn ∫ ∫ Bằng chứng số bất đẳng thức số khác Bài (Olympic SV 2012) a) Cho hàm số khả vi liên tục cấp Giả sử , ta có |∫ minh với b) Cho hàm số mãn hồn tồn thay [ ∫ | | Chứng | ] hàm lõm (còn gọi lồi phía trên), khả vi liên tục thỏa Chứng minh ∫√ √ ( ) Lời giải a) Ta có | ∫ ∫ ∫ Do ∫ ∫ ] ∫[ ∫ Suy |∫ | | Ta có ∫ | ∫ | | || ∫ ( | ) Từ đó, ta có |∫ | | | | | Đây điều phải chứng minh 5 TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 18 * 2018 b) Gọi ∫ | điểm cực đại | giá trị cực đại ∫ miền [ ( ∫ ∫ | nên max | | ) ) ] Ta có ( ) Bất đẳng thức thứ tương đương với (∫ | (∫ √ ) (*) Ta có (∫ √ ( ) ) | (∫| ) ∫ (√ ( ) | |) ∫ (√ ∫ (√ ( ) | |) ∫ ( | ) |) ∫ √ ( | ) | Từ suy bất đẳng thức (*) Bất đẳng thức thứ hai tương đương với ∫ √ ∫√ ( ∫ (√ ) ( ∫| | | |) ) ∫ | | ∫ (**) ∫ √ ( ) | | Từ suy bất đẳng thức (**) Vậy ta có điều phải chứng minh Cả câu toán khó thực tế, hầu hết thí sinh chọn câu b (có ý dễ xử lí hơn) Câu a đòi hỏi phải chứng minh đẳng thức ∫ ∫ Nói chung kết khơng dễ dàng khai thác từ giả thiết khơng nắm vững khai triển Taylor Nếu hồn tất việc chứng minh đẳng thức cơng việc cịn lại hồn tồn tự nhiên Đối với câu b, lời giải hình học cho ta thấy rõ chất vấn đề Ta biết đại lượng miền [ ∫ √ ( ) độ dài đường cong ] Ta minh họa hình học cho tốn sau TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHÚ YÊN Chọn tọa độ điểm A(0;0), B(1;0), C(1; ), D(0; Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ), E( , ) hình √ Do đồ thị hàm số lồi lên phía nên Hơn √ √ √ √ Bài tốn giải hồn tồn Bài (2014) Cho hàm số liên tục [ Giả sử ∫ Chứng minh ∫ với Lời giải Từ giả thiết ∫ ∫ Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwartz, ta có (∫ Vì ∫ Mặt khác, ) ∫ ∫ (∫ ∫ ∫ ) ∫ ∫ ∫ Từ đó, ∫ ∫ ∫ ∫ Chúng ta thấy kỹ thuật sử lý khéo léo, kết hợp mối liên hệ đạo hàm tích phân cịn có bóng dáng phương pháp đánh giá hay sử dụng bất đẳng thức CauchySchwarz, bất đẳng thức Holder hay định lý giá trị trung bình Để thấy phương pháp đánh giá bất đẳng thức sử dụng “đẹp” tốn ta sâu vào TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 18 * 2018 phương pháp Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức tích phân Phương pháp Tổng quát phương pháp chứng minh bất đẳng thức tích phân phương pháp đánh giá Để chứng minh ∫ ta thực bước sau: Bước Xác định hàm số thõa mãn điều kiện sau: [ ] { ∫ Bước Dấu "=" bất đẳng thức xảy ∫ ∫ [ ] Sau ta phân tích dạng cụ thể Ví dụ (Olympic SV 2000) Cho hàm số xác định liên tục [ ] thỏa mãn điều kiện ∫[ Với [ ] Chứng minh ] cho ∫ Lời giải Ta có ∫[ ] ∫[ ] Hay ∫ Vậy ∫| [ Suy tồn Do hàm Vậy | [ ] | ] cho [ ] [ ] liên tục [ | [ ] Từ đó∫ ] nên ∫ | Bài tốn sử dụng kỹ thuật nhằm mục đích đưa | tốn Ví dụ Chứng minh bất đẳng thức: √ Lời giải [ ] √ ∫ √ √ [ | ∫ | ] để đến kết luận TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHÚ YÊN Do √ [ √ ] Hiển nhiên √ ∫ √ ∫ √ ∫ √ ∫ √ √ Bài toán sử dụng phương pháp đánh giá hàm số theo cận [ số Ví dụ Chứng minh √ Lời giải Xét hàm số ∫ ( với ] phương pháp đại ) ( ) Do Hàm số hàm nghịch biến ( ) ( ) Dấu "=" xảy √ ∫ ∫ ∫ Do √ ∫ Bài tốn sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số dấu tích phân Phương pháp Sử dụng bất đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức tích phân, ta cần số bất đẳng thức [1] sau: 1) Định lý giá trị trung bình *Định lý trung bình thứ I ] Nếu hàm số khả tích đoạn [ khơng đổi dấu khoảng [ ] cho Kí hiệu tồn [ ] [ ] ∫ ∫ TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 18 * 2018 Hơn nữa, liên tục đoạn [ ∫ *Định lý trung bình thứ II a) Nếu hàm số khoảng ∫ ] tồn [ khả tích đoạn [ ] cho ∫ hàm đơn điệu trong ∫ ] ∫ b) Hơn nữa, hàm đơn điệu giảm không âm khoảng , ∫ ∫ c) Nếu hàm đơn điệu tăng,khơng âm khoảng , ∫ ∫ 2) Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ] Khi đó: Nếu hàm số liên tục [ (∫ ) 3) Bất đẳng thức Holder Cho thỏa ∫ hàm số liên tục [ | ∫| ∫ | (∫| 4) Bất đẳng thức Young [ ] Cho ánh xạ thuộc lớp [ ] { ) (∫| ) (∫ ] Khi đó: | ) cho [ ] Ta kí hiệu ánh xạ ngược [ ] [ ]∫ Khi ∫ Ví dụ Chứng minh khả tích Riemann [ (∫ ] ∫ ) Lời giải.Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta (∫ ) (∫ ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Ở ví dụ ta thấy dấu hiệu cần dùng bất đẳng thức nhìn vế bên trái bất đẳng TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHÚ YÊN 10 thức Cauchy-Schwarz thích hợp Ví dụ Chứng minh dương khả tích Riemann [ ∫ Hơn ] ∫ ∫ ∫ Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có (∫ √ Vì ( nên ) √ ∫ ∫ ) Ta có ∫ ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Do đó: ∫ ∫ (∫ Hàm số đạt cực đại Xét hàm số: ∫ Với ∫ ) ∫ ∫ Ví dụ Cho liên tục cho với giá trị cực đại ta có: (∫ Do đó: ) ∫ ánh xạ thuộc lớp cho [ ] ( ) Chứng minh rằng: [ ] [ Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Young ]∫ ∫ [ ] thì: [ ] 11 TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 18 * 2018 ( ( )) Từ đó: ∫ ∫ ∫ (∫ Ví dụ Tìm giá trị lớn ∫ ) với ∫ liên tục, dương [ ] Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có: ∫ | (∫| ) (∫| (∫ | √ ) | ) ∫ ) (∫ (∫| ) ∫ Vậy Ví dụ Chứng minh ∫ Lời giải Đặt [ ] | hàm giảm | Áp dụng định lý giá trị trung bình thứ ta được: ∫ ∫ | | | | | | Do Trên phương pháp để chứng minh bất đẳng thức tích phân ngồi cịn có phương pháp chứng minh phản chứng, dùng mối liên hệ đạo hàm tích phân số dạng tốn khơng mẫu mực Bạn đọc sử dụng phương pháp phù hợp vào cụ thể [1] [2] [3] [4] TÀI LIỆU THAM KHẢO Đào Thị Hải Yến-Đào Thị Kim Chi (2016), Các chuyên đề bồi dưỡng Olympic Toán Sinh viên Mơn giải tích Bộ đề thi giải Olmpic Toán 1993-2005 Bộ đề thi giải Olmpic Toán 2006-2011 Bài giảng bồi dưỡng Olympic Toán sinh viên, ĐHSP Huế, 2001 12 TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHÚ YÊN [5] [6] Đề thi dự tuyển Oympic sinh viên toàn quốc, Hội Toán học Việt Nam, lần thứ 10 Nguyễn Trần Quang Vinh (2005), Phân loại phương pháp chứng minh bất đẳng thức tích phân số ứng dụng bất đẳng thức tích phân, Khoa Sư phạm Trường Đại học An Giang (Ngày nhận bài: 16/04/2018; ngày phản biện:27/04/2018; ngày nhận đăng: 07/06/2018) ... xảy √ ∫ ∫ ∫ Do √ ∫ Bài toán sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số dấu tích phân Phương pháp Sử dụng bất đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức tích phân, ta cần số bất đẳng thức [1] sau: 1) Định lý... Chi (2016), Các chuyên đề bồi dưỡng Olympic Tốn Sinh viên Mơn giải tích Bộ đề thi giải Olmpic Toán 1993-2005 Bộ đề thi giải Olmpic Toán 2006-2011 Bài giảng bồi dưỡng Olympic Toán sinh viên, ĐHSP... Đề thi dự tuyển Oympic sinh viên tồn quốc, Hội Tốn học Việt Nam, lần thứ 10 Nguyễn Trần Quang Vinh (2005), Phân loại phương pháp chứng minh bất đẳng thức tích phân số ứng dụng bất đẳng thức tích