Một số bất đẳng thức đại số và bài toán GTLN và GTNN của biểu thức đại số trong các đề thi cao đẳng - đại học pot

TỔ TOÁN - TIN , TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM THAM LU N Ậ M T S B T Đ NG TH C Đ I S và BÀI TOÁN GTLN & GTNN Ộ Ố Ấ Ẳ Ứ Ạ Ố C A BI U TH C Đ I S TRONG CÁC Đ THI CĐ - ĐHỦ Ể Ứ Ạ Ố Ề B t đ ng th c là m t m ng ki n th c khó c a toán h c ph thông, nó th ngấ ẳ ứ ộ ả ế ứ ủ ọ ổ ườ xuyên xu t hi n trong các đ thi HSG cũng nh thi tuy n sinh CĐ - ĐH. Đã có r t nhi uấ ệ ề ư ể ấ ề tác gi , nhi u tài li u đ c p v b t đ ng th c; hôm nay, trong khuôn kh c a m t bu iả ề ệ ề ậ ề ấ ẳ ứ ổ ủ ộ ổ sinh ho t chuyên môn c m 6, chúng tôi xin đ c phép gi i thi u l i m t s b t đ ng th cạ ụ ượ ớ ệ ạ ộ ố ấ ẳ ứ và bài toán GTLN & GTNN c a m t s bi u th c đ i s đã đ c ra thi ho c t ng t v iủ ộ ố ể ứ ạ ố ượ ặ ươ ự ớ các d ng trong đ thi CĐ - ĐH trong nh ng năm v a qua .ạ ề ữ ừ I. D ng s d ng b t đ ng th c Cauchy (AM - GM) cho 2 s :ạ ử ụ ấ ẳ ứ ố ∀ a, b ≥ 0 : a + b ab 2 ≥ ; đ ng th c x y ra khi và ch khi : a = bẳ ứ ả ỉ Ví d 1 :ụ Cho a, b, c là các s d ng th a : ố ươ ỏ 1 1 1 + + = 4 a b c . Ch ng minh r ng : ứ ằ 1 1 1 + + 1 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c ≤ (TSĐH - Kh i A - Năm 2005)ố  Nh n xét : V i x, y > 0, ta có 4xy ≤ (x + y)ậ ớ 2 ⇔ 1 x + y 1 1 1 1 + x + y 4xy x + y 4 x y   ≤ ⇔ ≤  ÷   D u (=) x y ra ấ ả ⇔ a = b  Áp d ng k t qu trên, ta có : ụ ế ả 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + = + + 2a + b + c 4 2a b + c 4 2a 4 b c 8 a 2b 2c         ≤ ≤  ÷  ÷  ÷           (1) T ng t : ươ ự 1 1 1 1 1 + + a + 2b + c 8 2a b 2c   ≤  ÷   (2) 1 1 1 1 1 + + a + b + 2c 8 2a 2b c   ≤  ÷   (3)  T (1), (2) và (3) suy ra : ừ 1 1 1 1 1 1 1 + + + + = 1 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c 4 a b c   ≤  ÷   D u (=) x y ra ấ ả a = b = c 3 a = b = c = 1 1 1 4 + + = 1 a b c   ⇔ ⇔    Ví d 2 :ụ Cho x, y, z là các s d ng th a : ố ươ ỏ 1 4 9 + + = 1 x y z . Tìm GTNN c a bi u th c : ủ ể ứ P = x + y + z .  Ta có :P = x + y + z = (x + y + z). 1 4 9 + + x y z    ÷   = 4x y 9x z 9y 4z 14 + + + + + + y x z x z y        ÷  ÷  ÷       4x y 9x z 9y 4z 14 + 2 . + 2 . + 2 . y x z x z y ≥ = 14 + 4 + 6 + 12 = 36 Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN của biểu thức đại số trong các đề thi CĐ - ĐH 96 TỔ TOÁN - TIN , TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM  D u (=) x y ra ấ ả ⇔ 1 4 9 + + = 1 x y z 4x y 9x z 9y 4z = , = , = y x z x z y        ⇔ x = 6 y = 12 z = 18       V y : Pậ min = 36 khi x = 6, y = 12, z = 18 .  Bài t p t ng t : ậ ươ ự 1. Cho a, b, c là đ dài 3 c nh c a m t tam giác. Ch ng minh r ng : ộ ạ ủ ộ ứ ằ 4a 9b 16c + + 26 b + c - a c + a - b a + b - c ≥ 2. Cho x, y, z > 0 và th a : xyz = 1. Tìm GTNN c a bi u th c : ỏ ủ ể ứ 2 2 2 2 2 2 yz zx xy P = + + x y + x z y z + y x z x + z y  H ng d n : ướ ẫ 1. Đ t : x = b + c - a, y = c + a - b, z = a + b - c (x, y, z > 0) ặ y + z z + x x + y a = , b = , c = 2 2 2 ⇒ Khi đó : 2(VT) = 4(y + z) 9(z + x) 16(x + y) 4y 9x 4z 16x 9z 16y + + = + + + + + x y x y x z y zz        ÷  ÷  ÷       Áp d ng bđt Cosi , . . . ụ ⇒ (đpcm) 2. Đ t : a = yz , b = zx , c = xy (a, b, c > 0 và abc = 1) ặ 2 2 2 a b c P = + + b + c c + a a + b ⇒  Áp d ng bđt Cosi , ta có : ụ 2 2 a b + c a b + c + 2 = a b + c 4 b + c 4 ≥ , t ng t : ươ ự 2 2 b c + a c a + b + b , + c c + a 4 a + b 4 ≥ ≥  C ng 3 bđt trên v theo v , suy ra : ộ ế ế 3 P . . . 2 ≥ ≥ . K t lu n : MinP = ế ậ 3 2 ⇔ x = y = z = 1 II. D ng s d ng b t đ ng th c Cauchy (AM - GM) cho 3 s :ạ ử ụ ấ ẳ ứ ố ∀ a, b, c ≥ 0 : 3 a + b + c abc 3 ≥ ; đ ng th c x y ra khi và ch khi : a = b = cẳ ứ ả ỉ Ví d 3 :ụ Cho a, b, c là các s d ng th a : abc = 1. ố ươ ỏ Ch ng minh r ng : ứ ằ 3 3 3 3 3 3 1 + a + b 1 + b + c 1 + c + a + + 3 3 ab bc ca ≥ (TSĐH - Kh i D - Năm 2005)ố Tacó : 3 3 33 3 3 3 3 3 1 + a + b 3 1 + a + b 3 1.a .b = 3ab 1 + a + b 3. ab ab ab ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ T ng t : ươ ự 3 3 1 + b + c 3 bc bc ≥ , 3 3 1 + c + a 3 ca ca ≥  C ng 3 b t đ ng th c trên v theo v , ta có : ộ ấ ẳ ứ ế ế 3 3 3 3 3 3 1 + a + b 1 + b + c 1 + c + a 1 1 1 + + 3 + + ab bc ca ab bc ca   ≥  ÷   (1) Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN của biểu thức đại số trong các đề thi CĐ - ĐH 97 TỔ TOÁN - TIN , TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM  L i có : ạ 3 3 2 1 1 1 1 3 + + 3 = = 3 ab bc ca abc (abc) ≥ , vì abc = 1 (2)  T (1) và (2) suy ra : (đpcm) .ừ D u (=) x y ra ấ ả ⇔ a = b = c = 1 Ví d 4 :ụ Cho x, y, z là các s d ng thay đ i. Tìm GTNN c a bi u th c : ố ươ ổ ủ ể ứ x 1 y 1 z 1 P = x + + y + + z + 2 yz 2 zx 2 xy        ÷  ÷  ÷        Ta có : 2 2 2 2 2 2 x y z x + y + z P = + + + 2 2 2 xyz ≥ 2 2 2 x y z xy + yz + zx + + + 2 2 2 xyz = 2 2 2 x 1 y 1 z 1 + + + + + 2 x 2 y 2 z        ÷  ÷  ÷        Ngoài ra : 2 2 2 3 x 1 x 1 1 x 1 1 3 + = + + 3 . . = 2 x 2 2x 2x 2 2x 2x 2 ≥ T ng t : ươ ự 2 2 y 1 3 z 1 3 + ; + 2 y 2 2 z 2 ≥ ≥ Suy ra : P ≥ 9 2 . D u (=) x y ra ấ ả ⇔ x = y = z = 1  V y : Pậ min = 9 2 khi x = y = z = 1  Bài t p t ng t : ậ ươ ự 1. Cho a, b, c > 0 và th a a + b + c = 1. Ch ng minh r ng : ỏ ứ ằ 2 2 2 1 1 1 1 + + + 30 a + b + c ab bc ca ≥ 2. Cho x, y, z > 0 và th a : x + y + z ≥ 6. Tìm GTNN c a bi u th c : ỏ ủ ể ứ 3 3 3 x y z P = + + y + z z + x x + y  H ng d n : ướ ẫ 1. Ta có : (VT) = 2 2 2 2 2 2 3 1 1 1 1 1 3 + + + + a + b + c ab bc ca a + b + c ab.bc.ca ≥ 2 2 2 1 9 + a + b + c ab + bc + ca ≥ = 2 2 2 1 1 1 7 = + + + a + b + c ab + bc + ca ab + bc + ca ab + bc + ca    ÷   . . . . 2 2 2 9 21 + (a + b + c ) + (ab + bc + ca) + (ab + bc + ca) 3(ab + bc + ca) ≥ 2 2 2 9 21 30 + 30 (a + b + c) (a + b + c) (a + b + c) ≥ = ≥ 2.  Áp d ng bđt Cosi , ta có :ụ 3 x y + z + + 2 3x y + z 2 ≥ , 3 3 y z + x z x + y + + 2 3y , + + 2 3z z + x 2 x + y 2 ≥ ≥ Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN của biểu thức đại số trong các đề thi CĐ - ĐH 98 TỔ TOÁN - TIN , TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM  C ng 3 bđt trên v theo v , suy ra : ộ ế ế P 2(x + y + z) - 6 2.6 - 6 = 6 ≥ ≥ . K t lu n : MinP = 6 ế ậ ⇔ x = y = z = 2 III. D ng s d ng b t đ ng th c Bunhiacopski (BCS) :ạ ử ụ ấ ẳ ứ ∀ a, b, c, d ∈ R : 2 2 2 2 2 (ac + bd) (a + b ).(c + d )≤ hay 2 2 2 2 ac + bd (a + b ).(c + d )≤ ; đ ng th c x y ra khi và ch khi : ẳ ứ ả ỉ a b = c d Ví d 5 :ụ Cho a, b, c là các s d ng th a : abc = 1.ố ươ ỏ Ch ng minh r ng : ứ ằ 2 2 2 1 1 1 3 P = + + a (b + c) b (c + a) c (a + b) 2 ≥ Cách 1: Đ t x = ặ 1 a , y = 1 b , z = 1 c thì x, y, z > 0 và xyz = 1 BĐT c n ch ng minh t ng đ ng: ầ ứ ươ ươ 3 2 x y z y z z x x y + + ≥ + + + ( BĐT Nesbit) ⇔ 1 1 1 9 ( ) 2 x y z y z z x x y   + + + + ≥  ÷ + + +   ⇔ ( ) 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 9y z z x x y y z z x x z   + + + + + + + ≥  ÷ + + +   BĐT BCS ta có :9 = (1 + 1 + 1) 2 = 2 1 1 1 y z z x x y y z z x x y   + + + + +  ÷  ÷ + + +   ( ) 1 1 1 ( ) ( ) ( )y z z x x y y z z x x y   ≤ + + + + + + +  ÷ + + +   D u (=) x y ra ấ ả ⇔ x = y = z = 1 ⇔ a = b = c = 1 Cách 2: Ta có 2 2 1 1 1 1 1 1 + + = b + c + c + a + a + b a b c a b + c b c + a c a + b      ÷  ÷     ( ) 2 2 2 1 1 1 + + b + c + c + a + a + b a (b + c) b (c + a) c (a + b)   ≤  ÷   = 2(a + b + c).P Suy ra P ≥ 1 2 1 a + b + c . 2 1 1 1 + + a b c    ÷   3 1 1 1 1 3 1 a + b + c 3 + + = = 2 a + b + c ab bc ca 2 a + b + c abc 2   ≥  ÷    D u (=) x y ra ấ ả ⇔ a = b = c = 1 Ví d 6 :ụ Cho x, y, z là các s d ng thay đ i th a đi u ki n xyz = 1. Tìm GTNN c a bi uố ươ ổ ỏ ề ệ ủ ể th c : ứ 2 2 2 x (y + z) y (z + x) z (x + y) P = + + y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y (TSĐH - Kh i A - Năm 2007)ố  Nh n xét ậ ∀ y, z > 0 : 2 y + z 2 yz = x ≥ (vì xyz = 1) 2 x (y + z) 2x x ⇒ ≥ ⇒ 2 x (y + z) 2x x y y + 2z z y y + 2z z ≥ Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN của biểu thức đại số trong các đề thi CĐ - ĐH 99 TỔ TOÁN - TIN , TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM Xét hai b t đ ng th c t ng t n a, ta thu đ cấ ẳ ứ ươ ự ữ ượ y y x x z z P 2 + + y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y   ≥  ÷  ÷    Đ t ặ a = x x , b = y y , c = z z ⇒ a, b, c > 0 và abc = 1. Khi đó : a b c P 2 + + = 2S b + 2c c + 2a a + 2b   ≥  ÷    Ta có : ( ) 2 2 a b c a + b + c = a(b + 2c). + b(c + 2a). + c(a + 2b). b + 2c c + 2a a + 2b       [ ] a b c a(b + 2c) + b(c + 2a) + c(a + 2b) + + b + 2c c + 2a a + 2b   ≤  ÷   ⇔ (a + b + c) 2 ≤ 3(ab + bc + ca).S . Suy ra ( ) 2 a + b + c S 1 3(ab + bc + ca) ≥ ≥ . Do đó : P ≥ 2 D u (=) x y ra ấ ả ⇔ a = b = c = 1 ⇔ x = y = z = 1  V y : Pậ min = 2 khi x = y = z = 1  Bài t p t ng t : ậ ươ ự 1. Cho a, b, c > 0 và th a : a + b + c + ỏ 2abc ≥ 10 . Ch ng minh r ng : ứ ằ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 9b c a 8 9c a b 8 9a b c + + + + + + + + 6 6 a 2 4 b 2 4 c 2 4 ≥ 2. Cho x, y, z > 0 . Tìm GTNN c a bi u th c : ủ ể ứ 3x 4y 5z P = + + y + z z + x x + y  H ng d n : ướ ẫ 1. Áp d ng bđt BCS, ta có :ụ 2 2 2 2 8 9b c a 2 2 3b ca 4 2 + 18 + 4. + + 2. + 3 2. + 2. = + 9b + ca a 2 4 a 2 a 2 ≥ 2 2 2 2 2 2 2 2 8 9c a b 4 8 9a c b 4 24. + + + 9c + ab , 24. + + + 9a + bc b 2 4 b c 2 4 c ≥ ≥  C ng 3 bđt trên v theo v , suy ra :ộ ế ế 1 1 1 24.(VT) 4 + + + 9(a + b + c) + ab + bc + ca a b c   ≥  ÷   4 4 4 + a + + b + + c + (2a + bc) + (2b + ca) + (2c + ab) + 6(a + b + c) a b c       ≥  ÷  ÷  ÷       4 4 4 2 .a + 2 .b + 2 .c + 2 2abc + 2 2abc + 2 2abc + 6(a + b + c) a b c ≥ 72 = 12 + 6(a + b + c + 2abc) 12 + 6.10 = 72 (VT) = 6 6 24 ≥ ⇒ ≥ 2. Ta có : 3x 4y 5z P = + 3 + + 4 + + 5 - 12 y + z z + x x + y        ÷  ÷  ÷       Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN của biểu thức đại số trong các đề thi CĐ - ĐH 100 TỔ TOÁN - TIN , TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM ( ) 3 4 5 = x + y + z + + - 12 y + z z + x x + y    ÷   ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 3 4 5 = x + y + y + x + z + x + + - 12 2 y + z z + x x + y            ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷           2 1 ( 3 + 4 + 5) - 12 2 ≥  K t lu n : MinP = ế ậ 2 1 ( 3 + 2 + 5) - 12 2 ⇔ y + z z + x x + y = = 2 3 5 IV. D ng s d ng tính ch t c a hàm s - ph ng pháp hàm s :ạ ử ụ ấ ủ ố ươ ố • Cho hàm s f(x) xác đ nh trên K (K là m t kho ng, m t đo n ho c n a kho ng)ố ị ộ ả ộ ạ ặ ử ả Hàm s f(x) g i là đ ng bi n trên K n u : ố ọ ồ ế ế ∀ x 1 , x 2 ∈ K , x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) < f(x 2 ) Hàm s f(x) g i là ngh ch bi n trên K n u : ố ọ ị ế ế ∀ x 1 , x 2 ∈ K , x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) > f(x 2 ) • Cho hàm s f(x) có đ o hàm trên kho ng K . N u fố ạ ả ế ’ (x) ≥ 0 , ∀ x ∈ K (ho c fặ ’ (x) ≤ 0 , ∀ x ∈ K ) và f ’ (x) = 0 ch t i m t s h u h n đi m c a K thì hàm s f(x) đ ng bi n (ho cỉ ạ ộ ố ữ ạ ể ủ ố ồ ế ặ ngh ch bi n) trên K.ị ế L u ý :ư Kho ng K trong k t qu này đ c thay b i m t đo n ho c m t n aả ế ả ượ ở ộ ạ ặ ộ ử kho ng thì ph i b sung gi thi t “Hàm s f(x) này liên t c trên đo n ho c n a kho ngả ả ổ ả ế ố ụ ạ ặ ử ả đó” Ví d 7ụ : Cho a, b là các s th c th a mãn : 0 < a < b < 1. ố ự ỏ Ch ng minh r ng : ứ ằ 2 2 a .lnb - b .lna > lna - lnb (TSCĐ - Kh i A, B, D - Năm 2009)ố  Ta có : (đpcm) ⇔ 2 2 2 2 lna lnb (1 + b ).lna < (1 + a ).lnb < a + 1 b + 1 ⇔  Xét hàm s : ố 2 lnx f(x) = x + 1 v i 0 < x < 1 ớ ⇒ 2 2 ' 2 2 x + 1 - 2x .lnx f (x) = > 0 , x (0; 1) x(x + 1) ∀ ∈ ⇒ f(x) là hàm s luôn đ ng bi n trên kho ng (0; 1)ố ồ ế ả  Khi đó : 0 < a < b < 1 ⇒ f(a) < f(b) 2 2 lna lnb < a + 1 b + 1 ⇔ Ví d 8 :ụ Cho a ≥ b > 0. Ch ng minh r ng : ứ ằ b a a b a b 1 1 2 + 2 + 2 2     ≤  ÷  ÷     (TSĐH - Kh i D- Năm 2007)ố  Ta có : (đpcm) ⇔ ( ) ( ) a b b a a b ln(4 + 1) ln(4 + 1) 4 + 1 4 + 1 a b ≤ ⇔ ≤  Xét hàm s : ố x ln(1 + 4 ) f(x) = x v i x > 0 ớ ⇒ x x x x ' 2 x 4 .ln4 - (1 + 4 ).ln(1 + 4 ) f (x) = < 0 , x (0; + ) x (1 + 4 ) ∀ ∈ ∞ ⇒ f(x) là hàm s luôn ngh ch bi n trên kho ng (0; + ố ị ế ả ∞)  Khi đó : a ≥ b > 0 ⇒ f(a) ≤ f(b) a b ln(4 + 1) ln(4 + 1) a b ⇔ ≤ Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN của biểu thức đại số trong các đề thi CĐ - ĐH 101 TỔ TOÁN - TIN , TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM Ví d 9 :ụ Cho a > b > 0. Ch ng minh r ng : ứ ằ a + b a - b > 2 lna - lnb  Vì : a > b > 0 ⇒ lna > lnb ⇒ lna - lnb > 0 Ta có : (đpcm) ⇔ a - 1 a - b a b lna - lnb > 2 ln - 2 > 0 a a + b b + 1 b ⇔  Xét hàm s : ố 2(x - 1) f(x) = lnx - x + 1 v i x > 1 ớ ⇒ 2 ' 2 2 1 4 (x - 1) f (x) = - = > 0 , x (1; + ) x (x + 1) x(x + 1) ∀ ∈ ∞ ⇒ f(x) là hàm s luôn đ ng bi n trên kho ng (1; + ố ồ ế ả ∞)  Khi đó : a > b > 0 ⇒ a b > 1 ⇒ f( a b ) > f(1) = 0 a - 1 a b ln - 2 > 0 a b + 1 b ⇔ Ví d 10 :ụ Cho hai s th c x, y thay đ i sao cho : 2(xố ự ổ 2 + y 2 ) - xy = 1. Tìm GTNN và GTLN c a bi u th c : ủ ể ứ 4 4 x + y P = 2xy + 1  Nh n xét : 1 = 2(xậ 2 + y 2 ) - xy ≥ 2.2xy - xy = 3xy ⇒ xy ≤ 1 3 1 = 2(x 2 + y 2 ) - xy = 2.(x + y) 2 - 5xy ≥ -5xy ⇒ xy ≥ 1 5 − Và : 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 xy + 1 - 2x y x + y (x + y ) - 2x y -7(xy) + 2xy + 1 2 P = = = = 2xy + 1 2xy + 1 2xy + 1 8xy + 4    ÷    Khi đó, đ t : t = xy , đk : ặ 1 1 t ; 5 3   ∈ −     Bài toán đ a v tìm GTNN và GTLN c a hàm s : ư ề ủ ố 2 -7t + 2t + 1 f(t) = 8t + 4 v i ớ 1 1 t ; 5 3   ∈ −     2 ' ' 2 2 t = -1 (loai) 56t - 56t f (t) = ; f (t) = 0 56t - 56t = 0 t = 0 (8t + 4)  − ⇒ − ⇔   1 2 1 2 1 f(- ) = , f( ) = , f(0) = 5 15 3 15 4  V y : ậ 2 2 1 1 - ; 5 3 1 x + y = 1 Max P = Max f(t) = . . . 2 4 xy = 0         ⇔ ⇔    2 2 2 2 1 1 - ; 5 3 2 2 x + y = x + y = 2 3 5 Min P = Min f(t) = . . . 1 1 15 xy = xy = - 3 5             ⇔ ∨ ⇔         Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN của biểu thức đại số trong các đề thi CĐ - ĐH 102 TỔ TOÁN - TIN , TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM  Bài t p t ng t : ậ ươ ự 1. Cho a, b th a mãn : 0 < a < b < 4. Ch ng minh r ng : ỏ ứ ằ a(b - 4) ln < a - b b(4 - a) 2. Cho a, b th a mãn : a > b ≥ e. Ch ng minh r ng : ỏ ứ ằ b a a < b 3. Cho a, b th a mãn : a > b > 0. Ch ng minh r ng : ỏ ứ ằ 5.lna - 4.lnb > ln(5a - 4b) 4. Cho x, y ≥ 0 th a : x + y = 1. Tìm GTNN và GTLN c a bi u th c : ỏ ủ ể ứ P = (4x 2 + 3y)(4y 2 + 3x) + 25xy (TSĐH - Kh i D- Năm 2009)ố  H ng d n : ướ ẫ 1.  V i : 0 < a < b < 4 . ớ Ta có : (đpcm) ⇔ a b ln - a < ln - b 4- a 4- b  Xét hàm s : ố x f(x) = ln - x 4 - x v i 0 < x < 4 ớ ⇒ 2 ' (x - 2) f (x) = 0 , x (0; 4) x(4 - x) ≥ ∀ ∈ và f ’ (x) = 0 khi x = 2 ⇒ f(x) là hàm s luôn đ ng bi n trên kho ng (0; 4)ố ồ ế ả  Khi đó : 0 < a < b < 4 ⇒ f(a) < f(b) ⇔ (đpcm) 2.  V i : a > b ≥ e . ớ Ta có : (đpcm) ⇔ lna lnb b.lna < a.lnb < a b ⇔  Xét hàm s : ố lnx f(x) = x v i x ≥ e ớ ⇒ ' 2 1 - lnx f (x) = < 0 , x (e; + ) x ∀ ∈ ∞ mà f(x) liên t cụ trên [e; +∞) ⇒ f(x) là hàm s luôn ngh ch bi n trên kho ng [e; +ố ị ế ả ∞)  Khi đó : a > b ≥ e ⇒ f(a) < f(b) ⇔ (đpcm) 3.  V i : a > b > 0 . ớ Ta có : (đpcm) ⇔ 5 5 5 4 4 a a a a ln > ln(5a - 4b) > 5a - 4b - 5 + 4 > 0 b b b b   ⇔ ⇔  ÷    Đ t : ặ a x = b , x > 1 . Xét hàm s : ố 5 f(x) = x - 5x + 4 v i x > 1 ớ L p BBT, d dàng k t lu n : f(x) > 0 v i m i x > 1 , suy ra : (đpcm)ậ ễ ế ậ ớ ọ 4.  Bi n đ i : P = 16(xy)ế ổ 2 - 2xy + 12  Khi đó, đ t : t = xy , đk : ặ 1 t 0; 4   ∈     Bài toán đ a v tìm GTNN và GTLN c a hàm s : ư ề ủ ố 2 f(t) = 16t - 2t + 12 v i ớ 1 t 0; 4   ∈     ' ' 1 f (t) = 32t - 2 ; f (t) = 0 t = 16 ⇔ 1 25 1 191 f(0) = 12 , f( ) = , f( ) = 4 2 16 16  V y : ậ 1 0; 4 x + y = 1 25 Max P = Max f(t) = . . . 1 xy = 2 4         ⇔ ⇔    ; 1 0; 4 x + y = 1 191 Min P = Min f(t) = . . . 1 16 xy = 16         ⇔ ⇔    V. D ng s d ng mi n giá tr đ tìm GTLN & GTNN :ạ ử ụ ề ị ể Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN của biểu thức đại số trong các đề thi CĐ - ĐH 103 TỔ TOÁN - TIN , TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM Ví d 11 :ụ Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s : y = ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ố 2sin cos sin 2cos 3 x x x x − + + HD: TXĐ: D = R y = 2sin cos sin 2cos 3 x x x x − + + ⇔ (y – 2)sinx + (2y + 1)cosx = – 3y (1) Ph ng trình (1) có nghi m khi và ch khi: 9yươ ệ ỉ 2 ≤ (y – 2) 2 + (2y + 1) 2 ⇔ – 5 2 ≤ y ≤ 5 2 Suy ra : maxy = 5 2 và miny = – 5 2 Ví d 12 :ụ Cho hai s th c x, y th a mãn xố ự ỏ 2 + y 2 = 2(x + y) + 7 . Tìm giá tr l n nh t , giá trị ớ ấ ị nh nh t c a bi u th cỏ ấ ủ ể ứ P = 3 3 ( 2) ( 2)x x y y− + − HD: G i T là t p giá tr c a P. Ta có mọ ậ ị ủ ∈ T ⇔ H sau có nghi m ệ ệ 2 2 3 3 2( ) 7 ( 2) ( 2) x y x y x x y y m  + = + +   − + − =   (I) + Đ t u = ặ 3 ( 2)x x − , v = 3 ( 2)y y − , ta có u = 2 3 ( 1) 1 1x − − ≥ − , t ng t vươ ự ≥ – 1 . +H (I) tr thành ệ ở 3 3 3 7 ( ) 3 ( ) 7u v u v uv u v u v m u v m   + = + − + = ⇔   + = + =   ⇔ 3 7 3 m uv m u v m  − =    + =  (II) u, v là hai nghi m ph ng trình ệ ươ 3 2 7 0 3 m t mt m − − + = (1) +H (I) có nghi m ệ ệ ⇔ H (II) có nghi m (u, v) th a uệ ệ ỏ ≥ – 1và v ≥ – 1 ⇔ Ph ng trình (1) có 2 nghi m tươ ệ 1 , t 2 th a – 1ỏ 1 2 t t≤ ≤ ⇔ 1 2 1 2 0 ( 1) ( 1) 0 ( 1)( 1) 0 t t t t ∆ ≥   + + + ≥   + + ≥  ⇔ 3 2 3 4( 7) 0 3 2 0 7 1 0 3 m m m m m m m  − − ≥    + ≥   −  + + ≥   ⇔ 3 0 28 2 0 1 m m m m  < ≤  ≥ −   < ∨ ≥  ⇔ 3 1 28m≤ ≤ Do đó T = [1, 3 28 ] . V y minP = 1 và maxP = ậ 3 28 Ví d 13 :ụ Cho x,y là các s th c th a mãn 3xố ự ỏ 2 + 2xy + y 2 = 11. Tìm GTLN, GTNN c a bi uủ ể th c ứ P = x 2 + 2xy + 3y 2 HD:G i T là t p giá tr c a P. Ta có mọ ậ ị ủ ∈ T ⇔ H sau có nghi m ệ ệ 2 2 2 2 3 2 11 2 3 x xy y x xy y m  + + =   + + =   (I) +N u x = 0 thì h tr thành ế ệ ở 2 2 11 11 33 3 y y m y m   = = ±   ⇔   = =     +Xét tr ng h p x ườ ợ ≠ 0 . Đ t y = tx ta có h ặ ệ 2 2 2 2 (3 2 ) 11 (1 2 3 ) x t t x t t m  + + =   + + =   Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN của biểu thức đại số trong các đề thi CĐ - ĐH 104 TỔ TOÁN - TIN , TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM ⇔ 2 2 2 2 (3 2 ) 11(1 2 3 ) (3 2 ) 11 m t t t t x t t  + + = + +   + + =   ⇔ 2 2 ( 33) 2( 11) 3 11 0 11 2 3 m t m t m x t t  − + − + − =   = ±  + +  (II) H (I) có nghi m ệ ệ ⇔ H (II) có nghi m x ệ ệ ≠ 0 ⇔ (m – 33)t 2 + 2(m – 11)t + 3m – 11 = 0 (1) có ngh +N u m = 33 thì (1) có nghi m t = ế ệ 1 2 − +Xét m ≠ 33, khi đó (1) có nghi m ệ ⇔ ' t ∆ ≥ 0 ⇔ (m – 11) 2 – (m – 33)(3m – 11) ≥ 0 ⇔ – 2m 2 + 88m – 242 ≥ 0 ⇔ m { } [22 11 3, 22 11 3] \ 33∈ − + + K t h p các tr ng h p trên ta đ c các giá tr đ h có nghi m là mế ợ ườ ợ ượ ị ể ệ ệ [22 11 3, 22 11 3]∈ − + Do đó T = [22 11 3, 22 11 3]− + . V y minT = 22 – 11ậ 3 , maxT = 22 + 11 3  Bài t p t ng t : ậ ươ ự 1: Cho hai s th c thay đ i xố ự ổ ≠ 0, y ≠ 0 th a mãn xy(x + y) = xỏ 2 – xy + y 2 . Tìm giá tr l n nh tị ớ ấ c a bi u th c: ủ ể ứ A = 3 3 1 1 x y + ( ĐH kh i A – 2006)ố 2: Cho x, y là hai s thay đ i th a mãn x + y + xố ổ ỏ 2 + y 2 = 8. Tìm giá tr l n nh t và giá tr nhị ớ ấ ị ỏ nh t c a bi u th c: P = xy(x + 1)(y + 1)ấ ủ ể ứ  H ng d n : ướ ẫ 1.  T là t p giá tr c a A. Ta có mậ ị ủ ∈ A ⇔ H sau có nghi m xệ ệ ≠ 0, y ≠ 0 ⇔ 2 2 3 3 ( ) 1 1 xy x y x xy y m x y  + = − +   + =   ⇔ 2 2 2 2 3 3 ( ) ( )( ) xy x y x xy y x y x xy y m x y  + = − +   + − + =   ⇔ 2 2 2 2 2 ( ) ( ) xy x y x xy y x y m x y  + = − +   + =   (I) Đ t S = x + y, P = xy, Sặ 2 ≥ 4P ta có h ệ 2 2 2 3SP S P S m P  = −   =   (II) H (I) có nghi m xệ ệ ≠ 0, y ≠ 0 ⇔ H (II) có nghi m (S,P) th a mãn Sệ ệ ỏ 2 ≥ 4P ⇔ m { } (0;16]\ 1∈ V y maxA = 16ậ 2.  T là t p giá tr c a P. Ta có mậ ị ủ ∈ T ⇔ H sau có nghi mệ ệ 2 2 8 ( 1)( 1) x y x y xy x y m  + + + =  + + =  + Đ t u = x + xặ 2 , v = y + y 2 , đi u ki n u, v ề ệ 1 4 ≥ − . H tr thành ệ ở 8u v uv m + =   =  . Khi đó u, v là hai nghi m ph ng trình tệ ươ 2 – 8t + m = 0 (1) + H có nghi m ệ ệ ⇔ (1) có nghi m tệ 1 , t 2 th a mãn ỏ 1 2 1 4 t t− ≤ ≤ 1 2 1 2 ' 0 33 ( 1/ 4)( 1/ 4) 0 16 16 ( 1/ 4) ( 1/ 4) 0 t t m t t ∆ ≥   ⇔ + + ≥ ⇔ − ≤ ≤   + + + ≥  Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN của biểu thức đại số trong các đề thi CĐ - ĐH 105 [...]...TỔ TOÁN ­ TIN , TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM - Vậy minP = − 33 , maxP = 16 16 Tam Kỳ, ngày 10 tháng 03 năm 2011 TỔ TOÁN - TIN THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM -Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN của biểu thức đại số trong các đề thi CĐ ­ ĐH                    106... -Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN của biểu thức đại số trong các đề thi CĐ ­ ĐH                    106 TỔ TOÁN ­ TIN , TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM - -Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN của biểu thức đại số trong các đề thi CĐ ­ ĐH                    107 . d ng mi n giá tr đ tìm GTLN & GTNN :ạ ử ụ ề ị ể Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN của biểu thức đại số trong các đề thi CĐ - ĐH 103 TỔ TOÁN - TIN , TRƯỜNG THPT CHUYÊN. 03 năm 2011 T TOÁN - TIN Ổ THPT CHUYÊN NGUY N B NH KHIÊMỄ Ỉ Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN của biểu thức đại số trong các đề thi CĐ - ĐH 106 TỔ TOÁN - TIN , TRƯỜNG. + + 5 - 12 y + z z + x x + y        ÷  ÷  ÷       Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN của biểu thức đại số trong các đề thi CĐ - ĐH 100 TỔ TOÁN - TIN