MỘT SỐ BÀI TOÁN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRONG CÁC ĐỀ THI TỐ NGHIỆP THPT QUỐC GIA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRONG CÁC ĐỀ THI TN THPT QUỐC GIA. ĐỂ NHẰM MỤC ĐÍCH GIÚP CÁC EM HỌC SINH CÓ THỂ HIỂU SÂU SẮC HƠN VỀ CÁC BÀI TOÁN GTLN GTNN TRONG CÁC KÌ THI SẮP TỚI. GIÚP CÁC EM KHÔNG GẶP KHÓ KHĂN KHI GIẢI CÁC ĐỀ THI SẮP TỚI...

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NGUYỄN HỒNG ĐẠO

-

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

NĂM: 2015 – 2016

Tên đề tài:

MỘT SỐ BÀI TOÁN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP QUỐC GIA

Giáo viên thực hiện: NGUYỄN THÀNH HƯNG Tổ: TOÁN

Đơn vị công tác: TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO BÌNH ĐỊNH NĂM 2015 – 2016

Đề tài: MỘT SỐ BÀI TOÁN GTLN - GTNN TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT

NGHIỆP THPT QUỐC GIA PHẦN THỨ NHẤT: MỞ ĐẦU

LỜI NÓI ĐẦU :

Hàm số là một trong những khái niệm rất cơ bản của toán học nói chung và toán học ở cấp trung học phổ thông nói riêng Quan điểm của hàm số được quán triệt xuyên suốt trong toàn bộ chương trình toán ở cấp trung học phổ thông hiện nay Các bài toán về hàm số được khai thác liên tục trong các kỳ thi như: Tốt nghiệp quốc gia và kỳ thi học sinh giỏi toán các cấp Lí thuyết về hàm số được định nghĩa cơ bản đầy đủ từ lớp 10 được bổ xung các hàm sơ cấp ở lớp 11 và xét nâng cao thêm về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong chương trình khối 12 vì vậy việc làm rõ hơn về hàm số và ứng dụng của hàm số không chỉ giúp cho các em học sinh tự tin hơn khi học về hàm số mà còn giúp các em rất nhiều trong việc nâng cao kỹ năng làm toán và ứng dụng vào trong thực tế cuộc sống hiện nay

I.Lí do chọn đề tài:

Toán học nói chung và hàm số nói riêng có rất nhiều ứng dụng trong thực tế cuộc sống hiện nay cũng như trong các ngành khoa học khác Có thể nói toán học là nền tảng để các em học sinh học tốt các môn Khoa học tự nhiên khác Trong chương trình sách giáo khoa lớp 10 cơ bản và nâng cao của Bộ Giáo dục và Đào tạo đã trình bày rất rõ khái niệm hàm số và đã bắt đầu đề cập đến một ứng dụng của hàm số là tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng cũng như trên một đoạn Trong chương trình khối 11, 12 tiếp tục đề cập đến bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số Để giúp học sinh THPT đặc biệt là học sinh khối 12 hiểu rõ hơn về hàm số và ứng dụng của nó

để làm cơ sở và nền tảng kiến thức tham gia các kỳ thi cuối cấp cũng như chuẩn bị kiến thức, kỹ năng ứng dụng vào thực tế cuộc sống hiện nay là điều cấp thiết

1.Cơ sở lí thuyết:

- Căn cứ vào yêu cầu và mục tiêu của Bộ Giáo dục và Đào tạo

- Căn cứ vào Sách giáo khoa 12 cơ bản và nâng cao của Bộ Giáo dục và Đào tạo

- Căn cứ vào tình hình học tập của học sinh trong việc học chương trình Sách giáo khoa Giải tích 12

- Căn cứ vào chuẩn kiến thức kỹ năng môn Toán 12 cơ bản và nâng cao

- Căn cứ vào phương pháp tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số đã nêu trong Sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản và nâng cao

2.Cơ sở thực tiễn:

- Khả năng vận dụng linh hoạt phương pháp giải của học sinh còn rất yếu

- Khả năng vận dụng công thức của học sinh còn rất yếu

- Những thuận lợi và khó khăn của học sinh khi giải toán

II.Mục đích nghiên cứu:

- Nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn và rút kinh nghiệm trong giảng dạy tại các trường THPT trên toàn tỉnh

- Tạo ra tài liệu cho bản thân và học sinh tham khảo tự rèn luyện, ôn thi kì thi tốt nghiệp quốc gia năm

2016 tốt nhất

- Đa số học sinh ở trường còn ít tài liệu để tham khảo và nghiêm cứu để giúp quá trình tự học tốt hơn

III.Nhiệm vụ và giới hạn của đề tài:

1.Nhiệm vụ: Trong đề tài này tập trung vào:

- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên một khoảng

- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên một đoạn

- Một số bài toán trong các đề thi đại học hiện nay là câu khó trong các đề thi tốt nghiệp THPT quốc gia năm 2016

2.Yêu cầu:

- Nắm được phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên khoảng, trên đoạn, các bài hai biến,

ba biến trong các đề thi tốt nghiệp quốc gia

a.Đối tượng nghiên cứu: Học sinh các lớp khối 12 trong trường THPT Nguyễn Hồng Đạo đặc biệt là lớp 12A5

b.Phương pháp nghiên cứu: Tổng hợp từ các tài liệu:

- Sách giáo khoa 12 cơ bản và nâng cao(Nhà xuất bản giáo dục)

- Chuẩn kiến thức kỹ năng 12(Nhà xuất bản giáo dục)

- Sách giáo khoa 12(Chỉnh lí hợp nhất năm 2000)

- Đề thi Tốt nghiệp THPT, đề thi tuyển sinh đại học và các đề thi thử các trường THPT trên mạng

- Tham gia và tài liệu bồi dưỡng chuyên môn hàng năm do Sở Giáo dục và Đào tạo Bình Định tổ chức

- Tham khảo một số tài liệu như: Những Viên Kim Cương “Trần Phương”, các tài liệu khác trên mạng,…

c.Thời gian thực hiện: Trong qua trình phân công giảng dạy khối 12 bậc trung học phổ thông

PHẦN THỨ HAI: NỘI DUNG

A.THỰC TRẠNG NẢY SINH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:

I Đặc điểm tình hình lớp:

1 Đặc điểm chung:

Phù Cát có nhiều xã khó khăn như: Cát Minh, Cát Tài, Cát Thành, Cát Sơn Trong đó trường THPT Nguyễn Hồng Đạo tuyến sinh trên bốn xã: Cát Lâm, Cát Hanh, Cát Hiệp, Cát sơn mà đặc biệt Cát Sơn là xã khó khăn hưởng các chế độ của xã miền núi khó khăn, ở đây có nhiều học sinh có hoàn cảnh khó khăn cả về vật chất lẫn tinh thần do đó việc đầu tư về thời gian và sách vở cho học tập còn hạn chế gây ảnh hưởng không nhỏ đến việc nhận thức và phát triển năng lực học toán của các em Sau khi nhận lớp tôi tìm hiểu và nhận thấy việc nhận thức của các em học sinh không đồng đều về mặt kiến thức cũng như về kỹ năng tính toán, kỹ năng giải toán do đó gây khó khăn nhiều cho giáo viên giảng dạy trong việc lựa chọn phương pháp dạy sao cho phù hợp với từng đối tượng hoc sinh Đứng trước tình hình đó

để giúp các em học sinh học tốt hơn mình mạnh dạng viết sang kiến kinh nghiệm “MỘT SỐ BÀI TOÁN GTLN - GTNN TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA” để các em có kĩ năng giải toán tốt hơn

Đa số các em trong các gia đình chủ yếu bố mẹ nghề nông nên chưa quan tâm việc học của con

em mình Đa số phụ huynh còn khoáng trắng con em mình cho nhà trường nên đa số các em chưa chú

tâm vào việc học của các em Về nhà không ai nhắc nhở, tới trường thì ngồi chơi nên kiến thức và kỹ năng giải toán ở trường còn rất kém

2 Kết quả khảo sát đầu năm học:

12A5 40

3 Nguyên nhân

a Nguyên nhân khách quan

- Sau ba tháng nghỉ hè kiến thức cũ của học sinh mai một nhiều nhất là phần đạo hàm của các hàm số và các bài toán liên quan đến dấu của nhị thức cũng như tam thức

- Phân phối chương trình toán 12 không có tiết ôn tập đầu năm số tiết học toán giảm nhiều so với chương trình cũ nhưng nội dung nhìn chung không thay đổi nhiều

- Học sinh hổng kiến thức quá nhiều, đa số các em trong lớp chỉ còn nhớ một vài công thức đạo hàm

- Thời đại có nhiều sự thay đổi về công nghệ: điện thoại, facbook, zalo,… mạng xã hội đến khắp mọi nơi đã làm cho thế học sinh không còn nhiều thời gian tập trung cho việc học nên chi phối đến kỹ năng giải toán tại các trường cấp 3

b Nguyên nhân chủ quan

- Tuy là học sinh khối 12 nhưng đa số các em học sinh chưa có động cơ học tập đúng đắn, chỉ biết trong chờ vào người khác

- Chưa phát huy được tính tự học, tự rèn luyện, khả năng tư duy sáng tạo trong việc học toán nói riêng

và học tập nói chung còn yếu

- Chưa có phương pháp học để khắc sâu kiến thức để từ đó vận dụng kiến thức một cách linh hoạt vào việc giải toán, kỹ năng tính toán, kỹ năng giải toán nói chung quá yếu

- Một số em chỉ nghỉ mình hiểu được bài trên lớp nhưng về nhà không làm lại nên kiến thức được học không khắc sâu và kỹ năng tính toán nhìn chung là rất yếu

II Các giải pháp thực hiện:

Muốn đạt được kết quả cao trong việc học toán nhất là phần hàm số đòi hỏi học sinh cần nắm vững kiến thức từ thấp đến cao, phải học toán thường xuyên liên tục, biết quan sát bài toán và định hướng được phương pháp giải, biết vận dụng và kết nối các chuỗi kiến thức đã học để từ đó tiếp thu dể dàng hơn, thuận lợi hơn trong quá trình giải toán góp phần triệt để đổi mới chương trình bộ môn Toán của trung học phổ thông Trong yêu cầu đổi mới chương trình và phương pháp giảng dạy Toán ở trường THPT với phương trâm “lấy học sinh làm trung tâm” kết hợp với kết quả khảo sát đầu năm học Trong

đề tài này tôi đưa ra giải pháp chính là: hệ thống lại “các phương pháp tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số” đảm bảo cho tính liên tục và tính thực tiễn thuận lợi cho học sinh trong việc học, rèn luyện và ôn tập Trong phạm vi đề tài, sáng kiến kinh nghiệm của mình tôi xin trình bày một ứng dụng

của hàm số vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số là: “MỘT SỐ BÀI TOÁN GTLN – GTNN TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA” Trong đề tài của mình tôi chỉ

tập trung vào phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn và một số ứng

dụng nhỏ của bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên một đoạn vào các bài toán thực tế Nhất

là tập trung vào khâu kỹ năng giải toán trong các bài toán “tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm một biến, hai biến, ba biến”

u

 với (u > 0)

Hàm Lượng

Giác

2

1 (tanx)' =

1 (cotx)' = -

sin xvới xk (cotu)' = - u'2

sin uvới ukπ

Hàm Logarit

1(lnx)' =

xvới x > 0

u' (lnu)' =

u với u > 0 a

1 (log x)' =

xlnavới x > 0 (log u)' =a u'

3 Bất đẳng thức về các cạnh của tam giác

Với a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, ta có:

Nội dung của tài liệu viết về ba phần chính: Hàm số một biến, hàm số hai biến, hàm số ba biến

I HÀM SỐ MỘT BIẾN

1 HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT ĐOẠN

a KIẾN THỨC CƠ BẢN:

DẠNG 1 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a,b]

BƯỚC 1: Xét hàm số trên [a,b]

DANG 2 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a,b] với f(x) là hàm lượng giác phức tạp BƯỚC 1: Biến đổi f(x) về cùng một hàm số lượng giác của cùng một cung

BƯỚC 2: Đặt t = HSLG đó điều kiện của t  t[ , ]   

min min

[ , ][ , ]

DẠNG 3 : Tìm m để hàm số đạt GTLN (hoặc GTNN ) bằng d trên [a,b]

BƯỚC 1: Xét hàm số y = f(x) trên [a,b]

BƯỚC 2: Tính y’ cho y’ = 0 tìm nghiệm ( nếu có )

BƯỚC 3: Xét dấu y’ trên [a,b] ( thông thường ta cần chứng tỏ y’ >0 (hoặc y’ <0) với mọi x thuộc [a,b] => hàm số luôn ĐB (hoặc luôn NB) trên [a,b] )

Bài 3 (ĐH-KD-2005) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = x + √4 − x2

x x x

 

 

 

1 )

) x

h y x e trên đoạn 1; 2

Bài 5 Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:

a )y2 sin xsin 2x trên đoạn 0;3

 trên đoạn  0; d )y 3.x 2 s inx trên đoạn  0;

Bài 6 Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:

a ) y 2 cos 2x 4 s in x trên đoạn 0;

Bài 7 Tìm điều kiện của m để phương trình x 2 2x m 2x 1 có 2 nghiệm thực phân biệt

Bài 8 Tìm m để phương trình : 1 x  8 x ( 1 x )( 8 x )m có nghiệm

Bài 9 Tìm m để phương trình x 1 3 x ( x 1 )( 3 x ) m có nghiệm thực

Bài 10 Tìm điều kiện của m để phương trình x 1 m x 2 2 0

Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên khoảng (a,b)

BƯỚC 1: Xét hàm số trên (a,b)

BƯỚC 2: Tính y’

Cho y’ = 0 tìm nghiệm (nếu có )

BƯỚC 3: Lập bảng biến thiên

BƯỚC 4: Dựa vào BBT kết luận

  



     

+Bảng biến thiên:

x y

x

 



' 0

GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG – TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO Page 12

3 t 3Đặt t =x+y+z,



Do đó P

13 3 Khi x=y=z=1 thì P=

13 3

Do đó giá trị lớn nhất của P là

Bài 2 ( ĐỀ THI ĐH THỬ ĐH - Trường THPT Châu Thành) Cho x, y là hai số thực dương thỏa

mãn 2x3y7 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Vậy hàm số f(t) nghịch biến trên nữa khoảng 0;5 Suy ra min f t( )  f(5)  10  48 2 3

Do đó : x3 + y3 xy(x + y) x, y > 0 hay x2 y2 x y

y  x   x, y > 0 Tương tự, ta có : y2 z2 y z

P  2(x + y + z) = 2 x, y, z > 0 và x + y + z = 1 Hơn nữa, ta lại có P = 2 khi x = y = z = 1

3 Vì vậy, minP = 2

Bài 5 (ĐỀ THỬ ĐH – Trường THPT Huỳnh Thúc Kháng) Cho các số thực dương a,b,c đôi một

khác nhau thỏa mãn 2ac và ab bc 2c2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

t t xy t P

   nên ta có

2

3 2

2 2

(3 2)4

21

4

t P

Bài 8 (ĐỀ THI THỬ ĐH - Trường THPT Lý Thường Kiệt) Cho 3 số thực , ,x y z khác 0 thỏa

mãn: x  y z 5 và x y z1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P 1 1 1

Bài 9 (ĐỀ THI THỬ ĐH - Trường THPT Nguyễn Trung Trực) Cho a, b, c là các số thực dương

thoả mãn a+b+c=3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

3 1

abc

abc abc

2

, t 0;11

3 1

t Q

t t

P , đạt được khi và chỉ khi: a  b c 1

Bài 10 (ĐỀ THI THỬ ĐH – Trường THPT Trần Phú) Cho ba số thực a, b, c thỏa:

5 144( )

Ta có: a = 1, b = 2, c = 3 thỏa mãn điều kiện bài toán khi 160

2 2

Bài 14 (ĐH – KD – 2014) Cho hai số thực x, y thỏa mãn các điều kiện 1  x  2; 1  y  2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = 2x 2y 2y 2x 1

Lời giải:

Do: 1   x 2nên x 1 x  20, nghĩa là 2

x  2 3x Tương tự: 1 y 2nên y 1 y 2   0, nghĩa là 2

  Suy ra: f '(t)  0 t 3 Mà: f (2) 11; f (3) 7; f (4) 53

a   b c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Pab bc ca     5a 5b 5c 4

Bài 3 (ĐỀ THI THỬ ĐH – Trường THPT Trảng Bàng) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn

c b

Bài 6 (ĐH – KA – 2012 ) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy y 1 Tìm giá trị lớn

nhất của biểu thức

 

263

Bài 8 (ĐH – KD – 2012 ) Cho các số thực x, y thỏa mãn (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy  32

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x3 + y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2)

Bài 9 (ĐH – KA – 2011 ) Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn  1; 4 và xy y, z Tìm giá trị nhỏ

D.KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC

Sau khi áp dụng sáng kiến tôi thu được kết quả cụ thể như sau

12A5 40

PHẦN THỨ BA: KẾT LUẬN

1 Ý nghĩa của đề tài đối với công tác giảng dạy, học tập

- Tạo được sự hưng phấn và tự tin hơn cho giáo viên khi lên lớp

- Tạo được nền tảng vững chắc hơn cho các em học tốt ở các lớp tiếp theo

- Giúp cho giáo viên nắm vững được tùng đối tượng học sinh để từ đó lựa chọn được những phương pháp giảng dạy phù hợp với từng đối tượng học sinh

- Giúp các em không còn thấy khó khăn khi giải câu cuối cùng của đề thi tốt nghiệp quốc gia năm 2016

2 Khả năng áp dụng: Áp dụng cho toàn khối 12 cơ bản và nâng cao

3.Bài học kinh nghiệm và hướng phát triển

a Đối với giáo viên

- Nhắc lại các công thức biến đổi đã học ở lớp 10

- Nêu các công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

- Nêu phương pháp chung để giải từng loại bài tập

- Sau khi giải phương trình xong cần hướng dẫn học sinh cách kết hợp nghiệm của phương trình

b Đối với học sinh

- Học sinh phải thật sự nỗ lực, kiên trì vượt khó, phải có óc tư duy sáng tạo để nắm vững đặc thù của từng dạng phương trình và đề ra phương pháp giải cho phù hợp

- Phải thường xuyên rèn luyện kĩ năng tính toán, kĩ năng kết hợp nghiệm

4 Đề xuất, kiến nghị : Nên phân các chuyên đề cho các giáo viên tự dạy thì giúp học sinh phân dạng nhân hơn dạy theo sách giáo khoa

Phù Cát, ngày 31 tháng 02 năm 2015

Phạm Hồng Phúc Nguyễn Thành Hưng