G.NTH 1 1. Các kiến thức cần nắm 1.1. Các hệ thức cơ bản + 1sincos 22 =+ + 1 + tg 2 = )k 2 ( cos 1 2 + + tg . cotg = 1 ( 2 k ) + 1 + cotg 2 = )k( sin 1 2 1.2. Công thức cộng góc + cos( ) = cos cos sin sin + sin( ) = sin cos cos sin + tg ( ) = )k 2 ;( tgtg1 tgtg + + cotg( ) = gcotgcot 1gcot.gcot )k;( 1.3. Công thức nhân + sin2 = 2 sin cos + cos2 = cos 2 - sin 2 = 2cos 2 - 1 = 1 - 2sin 2 + tg2 = ) 2 k 4 ( tg1 tg2 2 + + cotg2 = ) 2 k ( gcot2 1gcot 2 + sin3 = 3sin - 4sin 3 + cos3 = 4cos 3 - 3cos + tg3 = 3 k 6 ( tg31 tgtg3 3 3 + ) 1.4. Công thức hạ bậc + cos 2 = 2 2cos1 + + sin 2 = 2 2cos1 + tg 2 = + 2cos1 2cos1 )k 2 ( + 1.5. Công thức biến đổi tổng thành tích: + cos + cos = 2cos 2 cos 2 + + cos - cos = - 2sin 22 sin + + sin + sin = 2sin 22 cos + + sin - sin = = - 2cos 2 sin 2 + G.NTH 2 + tg tg = cos.cos )sin( )k 2 ;( + 1.6. Công thức biến đổi tích thành tổng: + cos.cos = )]cos()[cos( 2 1 ++ + sin.sin = )]cos()[cos( 2 1 ++ + sin.cos = )]sin()[sin( 2 1 ++ Biểu thức đại số Biểu thức lợng giác tơng tự Công thức lợng giác 1 + x 2 1 + tan 2 t 1+tan 2 t = tcos 1 2 4x 3 - 3x 4cos 3 t - 3cost 4cos 3 t - 3cost = cos3t 2x 2 - 1 2cos 2 t - 1 2cos 2 t - 1 = cos2t 2 x1 x2 t t 2 tan1 tan2 t t 2 tan1 tan2 = tan2t 2 x1 x2 + t t 2 tan1 tan2 + t t 2 tan1 tan2 + = sin2t xy1 yx + tantan1 tantan + tantan1 tantan + = tan(+) x 2 - 1 1 cos 1 2 1 cos 1 2 = tan 2 một số phơng pháp lợng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số I. Dạng 1 : Sử dụng hệ thức sin 2 + cos 2 = 1 1) Phơng pháp: a) Nếu thấy x 2 + y 2 = 1 thì đặt = = cosy sinx với [0, 2] b) Nếu thấy x 2 + y 2 = r 2 (r > 0) thì đặt = = cos sin ry rx với [0, 2] 2. Các ví dụ minh hoạ: VD1: Cho 4 số a, b, c, d thoả mãn: a 2 + b 2 = c 2 + d 2 = 1 Chứng minh rằng: 2 a(c+d) + b(c-d) 2 G.NTH 3 Giải: Đặt = = ub ua cos sin và = = vcosd vsinc S = sinu(sinv+cosv) + cosu(sinv-cosv) P = a(c+d) + b(c-d) = (sinucosv+cosusinv) - (cosucosv - sinusinv) = sin(u+v) - cos(u+v) 2)dc(b)dc(aS2]2,2[ 4 )vu(sin2S ++= += (đpcm) VD2 : Cho a 2 + b 2 = 1. Chứng minh rằng: 2 25 b 1 b a 1 a 2 2 2 2 2 2 ++ + Giải: Đặt a = cos và b = sin với 0 2. Thế vào biểu thức vế trái rồi biến đổi. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 1 sin cos 1 cos b 1 b a 1 a ++ += ++ + = cos 4 + sin 4 + 4 sin.cos sincos sincos4 sin 1 cos 1 44 44 44 44 + + ++=+ + = ( ) 4 sin.cos 1 1sincos 44 44 + ++ = ( ) [ ] 4 sin.cos 1 1sincos2sincos 44 2222 + ++ = 2 25 4 2 17 4)161( 2 1 14 2sin 16 12sin 2 1 1 4 2 =+=++ + + (đpcm) Bây giờ ta đẩy bài toán lên mức độ cao hơn một bớc nữa để xuất hiện a 2 +b 2 =1 VD3 : Cho a 2 + b 2 - 2a - 4b + 4 = 0. Chứng minh rằng: A = 2334b)324(a)321(2ab32ba 22 ++++ Giải: Biến đổi điều kiện: a 2 + b 2 - 2a - 4b + 4 = 0 (a-1) 2 + (b-2) 2 = 1 Đặt += += += = = cossin32cossinA cos2b sin1a cos2b sin1a 22 A 2) 6 2sin(22cos 2 1 2sin 2 3 22cos2sin3 === (đpcm) VD4 : Cho a, b thoả mãn : 712b5a ++ = 13 G.NTH 4 Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + 2(b-a) - 1 Giải : Biến đổi bất đẳng thức: a 2 + b 2 + 2(b-a) - 1 (a-1) 2 + (b + 1) 2 1 Đặt =+ = cosR1b sinR1a với R 0 222 R)1b()1a( 1cosRb 1sinRa =++ = += Ta có: 137)1cosR(12)1sinR(5137b12a5 =+++=++ R 13 5 arccossinRcos 13 12 sin 13 5 R113cosR12sinR5 +=+==+ Từ đó (a-1) 2 + (b+1) 2 = R 2 1 a 2 + b 2 + 2(b - a) - 1 (đpcm) II. Dạng 2 : Sử dụng tập giá trị 1|cos|;1|sin| 1. Phơng pháp: a) Nếu thấy |x| 1 thì đặt [ ] sin ; 2 2 cos 0; x khi x khi = = b) Nếu thấy |x| m ( 0m ) thì đặt [ ] sin ; 2 2 cos 0; x m khi x m khi = = 2. Các ví dụ minh hoạ: VD1: Chứng minh rằng: (1+x) p + (1-x) p 2 p |x| 1 ; P 1. Giải : Đặt x = cos với [0, ], khi đó (1 + x) p + (1 - x) p = (1+cos) p + (1-cos) p = p22pp2p2p p 2 p 2 2 2 sin 2 cos2 2 sin 2 cos2 2 sin2 2 cos2 = + + = + (đpcm) VD2 : Chứng minh rằng: 2 23 13 2 23 22 + + xxx Giải: Từ đk 1 - x 2 0 |x| 1 nên Đặt x = cos với 0 2 1 x = sin. Khi đó ta có: P= 2sin)2cos1(3sincos2cos321232 222 ++=+=+ xxx G.NTH 5 = 3 3 2sin232sin 2 1 2cos 2 3 2 + π +α=+ α+α 2323 +≤≤−⇒ A (®pcm) VD3 : Chøng minh r»ng: [ ] )(a)a()a(a 122221111 2332 −+≤−−+−+ Gi¶i: Tõ ®k |a| ≤ 1 nªn §Æt a=cosα víi α∈[0,π] ⇒ α=− α =+ α =− sina1; 2 cos2a1; 2 sin2a1 2 (1)⇔ 2 cos 2 sin2222 2 sin 2 cos22. 2 cos 2 sin21 33 αα +≤ α − ααα + ⇔ 2 cos 2 sin1 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 22 αα +≤ α + αα + α α − α α + α ⇔ 1cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 22 ≤α= α − α = α − α α + α ®óng ⇒ (®pcm) VD4 : Chøng minh r»ng: S = ( ) ( ) 21314 2332 ≤−−+−− aaa)a( Gi¶i: Tõ ®k |a| ≤ 1 nªn: §Æt a = cosα víi α ∈ [0, π] ⇒ 2 a1− = sinα. Khi ®ã biÕn ®æi S ta cã: S= )cos3cos4()sin4sin3()sin(cos3)cos(sin4 3333 α−α+α−α=α−α+α−α = 2 4 3sin23cos3sin ≤ π +α=α+α ⇒ (®pcm) VD5 : Chøng minh r»ng A = ( ) 211311 2222 ≤−−−+−+− )b)(a(ababba Gi¶i: Tõ ®iÒu kiÖn: 1 - a 2 ≥ 0 ; 1 - b 2 ≥ 0 ⇔ |a| ≤ 1 ; |b| ≤ 1 nªn. §Æt a = sinα, b = sin β víi α, β ∈ ππ − 2 ; 2 Khi ®ã A = )cos(3sincoscossin β+α−βα+βα = = 2 3 )(sin2)cos( 2 3 )sin( 2 1 2)cos(3)sin( ≤ π −β+α=β+α−β+α=β+α−β+α (®pcm) VD6 : Chøng minh r»ng: A = |4a 3 - 24a 2 + 45a - 26| ≤ 1 ∀a ∈ [1; 3] G.NTH 6 Giải: Do a [1, 3] nên |a-2| 1 nên ta đặt a - 2 = cos a = 2 + cos. Ta có: A = 13342624522424 323 ==++++ coscoscos)cos()cos()cos( (đpcm) VD7 : Chứng minh rằng: A = 2 2 3 3 2 [0,2]a a a a + Giải: Do a [0, 2] nên |a-1| 1 nên ta đặt a - 1 = cos với [0, ]. Ta có: A = =+++ coscos)cos()cos()cos( 31313112 22 = 2 3 sin2cos 2 3 sin 2 1 2cos3sin += = (đpcm) III. Dạng 3 : Sử dụng công thức: 1+tg 2 = 1 cos 1 tg cos 1 2 2 2 = )k( + 2 1) Phơng pháp: a) Nếu |x| 1 hoặc bài toán có chứa biểu thức 1x 2 thì đặt x = cos 1 với 2 3 , 2 ;0 b) Nếu |x| m hoặc bài toán có chứa biểu thức 22 mx thì đặt x = cos m với 2 3 , 2 ;0 2. Các ví dụ minh hoạ: VD1: Chứng minh rằng A = 2 1 3 2 1 a a a + Giải: Do |a| 1 nên : Đặt a = cos 1 với 2 3 , 2 ;0 == tgtg1a 22 . Khi đó: A = 2 3 sin2cos3sincos)3tg( a 31a 2 +=+=+= + (đpcm) VD2 : Chứng minh rằng: - 4 A = 2 2 a 1a125 9 1a Giải: G.NTH 7 Do |a| ≥ 1 nªn: §Æt a = αcos 1 víi α∈ π π∪ π 2 3 , 2 ;0 ⇒ α=α=− tgtg1a 22 . Khi ®ã: A = 2 2 a 1a125 −− = (5-12tgα)cos 2 α = 5cos 2 α-12sinαcosα= α− α+ 2sin6 2 )2cos1(5 = +α+= α−α+ 13 5 arccos2cos 2 13 2 5 2sin 13 12 2cos 13 5 2 13 2 5 ⇒ - 4 = 91. 2 13 2 5 13 5 arccos2cos 2 13 2 5 A)1( 2 13 2 5 =+≤ +α+=≤−+ (®pcm) VD3 : Chøng minh r»ng: A = ab 1b1a 22 −+− ≤ 1 ; 1a b∀ ≥ Gi¶i: Do |a| ≥ 1; |b| ≥ 1 nªn . §Æt a = αcos 1 ; b = βcos 1 víi α∈ π π∪ π 2 3 , 2 ;0 . Khi ®ã ta cã: A = 1)sin(cossincossincoscos)tgtg( ≤β+α=αβ+βα=βαβ+α (®pcm) VD4 : Chøng minh r»ng: a + 22 1a a 2 ≥ − 1a∀ > Gi¶i: Do |a| > 1 nªn: §Æt a = αcos 1 víi α∈ α = α α = − ⇒ π sin 1 tg 1 . cos 1 1a a 2 ;0 22 . Khi ®ã: a+ 22 2sin 22 sin 1 . cos 1 .2 sin 1 cos 1 1a a 2 ≥ α = αα ≥ α + α = − (®pcm) VD5 : Chøng minh r»ng 26xy31y41xy 22 ≤+−+− ; 1x y∀ ≥ Gi¶i: BÊt ®¼ng thøc ⇔ )( yy y xx x 126 3 14 1 1 2 2 ≤ + − + − Do |x|; |y| ≥ 1 nªn §Æt x = αcos 1 ; y= βcos 1 víi α, β∈ π 2 ,0 . . 1 1 cos 1 2 1 cos 1 2 = tan 2 một số phơng pháp lợng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số I. Dạng 1 : Sử dụng hệ thức sin 2 + cos 2 = 1 1) Phơng pháp: a). Công thức biến đổi tích thành tổng: + cos.cos = )]cos()[cos( 2 1 ++ + sin.sin = )]cos()[cos( 2 1 ++ + sin.cos = )]sin()[sin( 2 1 ++ Biểu thức đại số Biểu thức