Xây dựng một số bất đẳng thức sơ cấp dựa trên bất đẳng thức Bernoulli

Vì vậy, tác giả đã lựa chọn đề tài "Xây dựng một số bất đẳng thức sơ cấp dựa trên bất đẳng thức Bernoulli" với mong muốn tìm ra nhiều vẻ đẹp của bất đẳng thức này để có [r]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN -

BÙI TRỌNG NGUYỆN

XÂY DỰNG

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC SƠ CẤP DỰA TRÊN BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN -

BÙI TRỌNG NGUYỆN

XÂY DỰNG

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC SƠ CẤP DỰA TRÊN BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS NGUYỄN MINH TUẤN

1

MỞ ĐẦU

Tốn học mơn khoa học đóng vai trò quan trọng ngành khoa học Trong đó, bất đẳng thức mảng kiến thức hay thú vị toán học đặc biệt toán sơ cấp Việc nghiên cứu bất đẳng thức giúp tăng cường tính sáng tạo, khả giải vấn đề phát triển tư Lý thuyết tập bất đẳng thức phong phú đa dạng Trong hầu hết kì thi học sinh giỏi tốn, bất đẳng thức đề cập thuộc loại tốn khó khó Nhiều bất đẳng thức trở thành cơng cụ đắc lực để giải tốn bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopxki, Jensen… bất đẳng thức Bernoulli thường quan tâm Là người say mê bất đẳng thức sơ cấp tác giả biết không nhiều bất đẳng thức Vì vậy, tác giả lựa chọn đề tài "Xây dựng số bất đẳng thức sơ cấp dựa bất đẳng thức Bernoulli" với mong muốn tìm nhiều vẻ đẹp bất đẳng thức để có nhìn tổng quan đầy đủ bất đẳng thức sơ cấp để cung cấp thêm tài liệu tham khảo bổ ích toán học trường THPT

Với ý nghĩa q trình làm luận văn, tác giả xây dựng lựa chọn toán hay nhằm làm bật lên mặt mạnh bất đẳng thức Bernoulli Luận văn chia thành ba chương

Chương Bất đẳng thức Bernoulli Trong chương tác giả trình bày bất đẳng thức Bernoulli dạng phát biểu khác số ví dụ thể kỹ thuật bất đẳng thức Bernoulli

2

Mặc dù cố gắng, chắn nội dung trình bày luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, em mong muốn nhận góp ý thầy cô giáo bạn

Luận văn hoàn thành hướng dẫn bảo thầy PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn Em xin chân thành cảm ơn thầy giúp đỡ nhiệt tình từ xây dựng đề cương, viết hoàn thành luận văn

Em xin chân thành cảm ơn khoa Toán-Cơ-Tin học, trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, ĐHQG Hà Nội, nơi em nhận bảo tận tình thầy để có học vấn sau đại học

Em xin chân thành cảm ơn thầy cô phản biện đọc góp ý kiến q báu để em hồn thiện luận văn

Em xin chân thành cảm ơn trường THPT Trưng Vương, Hưng Yên, nơi em công tác, tạo điều kiện cho em học hồn thành chương trình

Cuối cùng, em xin gửi lời chúc đến tất thầy cơ, kính chúc thầy ln ln mạnh khỏe hạnh phúc

Chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 01 tháng 10 năm 2014 Người thực

3

MỤC LỤC

Chƣơng

Bất đẳng thức Bernoulli

Trang

4

1.1 Bất đẳng thức Bernoulli

1.2 Một số ví dụ

1.2.1 Kỹ thuật đánh giá qua chênh lệch lũy thừa

1.2.2 Kỹ thuật chọn điểm rơi 18

Chƣơng

Một số bất đẳng thức đƣợc xây dựng dựa bất đẳng thức

Bernoulli 28

2.1 Xây dựng số hàm đơn điệu dựa bất đẳng thức Bernoulli 28 2.2 Phát triển số bất đẳng thức dựa bất đẳng thức Bernoulli 40 2.3 Xây dựng số bất đẳng thức dựa bất đẳng thức

2   1 51 2.3.1 Một số toán tam giác 52 2.3.2 Một số toán lượng giác 59 2.4 Về bất đẳng thức AM-GM suy rộng 61 2.4.1 Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli để chứng minh bất đẳng thức

AM-GMsuy rộng 61

2.4.2 Xây dựng lại số bất đẳng thức cổ điển 64

4 Chƣơng

Bất đẳng thức Bernoulli

1.1 Bất đẳng thức Bernoulli

Jacob Bernoulli (1654-1705) nhà toán học tiếng người Thụy Sĩ Bất đẳng thức Bernoulli dạy trường phổ thông mang tên để vinh danh ơng Bất đẳng thức Bernoulli cho phép tính gần lũy thừa (1+x), phát biểu sau

Định lí 1.1 Nếu α số thực thỏa mãn  1

1 x    1 x, với x  1 (1.1) Đẳng thức xảy x=0  1

2 Nếu α số thực thỏa mãn 0  1

1 x    1 x, với x 1 Đẳng thức xảy x=0  1

Chứng minh Chỉ cần xét  1,vì  1thì (1.1) trở thành đẳng thức Xét hàm số f (x) 1 x   .x khoảng ( 1; ) Ta có đạo hàm

   

f '(x)  1 x      x   1 Ta suy x0 Từ đó, ta có bảng biến thiên sau

x -1  f (x)'  

f(x)

5 Theo bảng biến thiên hàm số, ta suy

f (x)f (0)0, hay 1 x    1 x với x 1 Xét  1 Khi 1

 Áp dụng kết trên, ta có

 1 1

1 .x   1 ( x) x.  



Ta suy

 

1   .x x  Vậy

1 x    1 x với x 1 Định lí chứng minh

Định lí 1.2 Nếu là số thực thỏa mãn  1

a     1 a, với a0 (1.2) Đẳng thức xảy a 1  1

2 Nếu  số thực thỏa mãn 0  1

a    1 a, với a 0 Đẳng thức xảy a 1  1

Chứng minh Từ bất đẳng thức Định lí 1.1, ta cần đặt a x. 

Khi a (0; )

Định lí 1.3 Cho hai số thực ,  thỏa mãn    0 Khi x    .x

  , với x0 (1.3)

Đẳng thức xảy x 1.

6

Định lí 1.4 Giả sử cho trước x >0 cặp số 0  ,  thỏa mãn điều kiện

    Khi

0 x x x x                

    , với x0 (1.4)

Đẳng thức xảy xx 0

1.2 Một số ví dụ

1.2.1 Kỹ thuật đánh giá qua chênh lệch lũy thừa

Các dạng toán đặc trưng bất đẳng thức Bernoulli dễ nhận bất đẳng thức với số mũ vô tỉ dương hay chuyển đổi số mũ vô tỉ Kỹ thuật chủ yếu để xử lí dạng tốn kỹ thuật đánh giá qua chênh lệch lũy thừa Xét ví dụ điển hình sau

Ví dụ 1.2.1. Giả sử a, b hai số thực dương Chứng minh

 

3 2

a b 2 ab(ab) Lời giải. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

   

3

1

2

a b

2 ab(a b) ab(a b)



 

 

Hay

2 2

1

a b

2

b(a b) a(a b)

                    

Áp dụng bất đẳng thức (1.3), ta có

2 2

a a

2 2 ,

b(a b) b(a b)

                    

2 2

b b

2 2

a(a b) a(a b)

7 Cộng hai bất đẳng thức theo vế, ta

2 2

2

a b

2 2 2

b(a b) a(a b)

a b

2

b(a b) a(a b)

                                         

Tương đương với

2 2

2

a b

2 2 2

b(a b) a(a b)

a b

2

b(a b) a(a b)

                               Mặt khác

2 2

a b a ab b

1

b(a b) a(a b) ab

 

  

  , với a, b0

Nên

2 2

a b

2 2

b(a b) a(a b)

                   

Tương đương với

2 2

1

a b

2

b(a b) a(a b)

                    

Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b.

Ví dụ 1.2.2 Giả sử a, b, c ba số thực dương Chứng minh bất đẳng thức

3 3

3

a b c

b c c a a b

      

        

     

8

a b c

bcca ab

Ta đánh giá số mũ thông qua số mũ bất đẳng thức (1.2) Áp dụng bất đẳng thức (1.2), ta có

3

2a 2a

3

b c b c

                 Tương tự 2b 2b

3 ,

c a c a

      

     

   

3

2c 2c

3

a b a b

      

     

   

Cộng ba bất đẳng thức theo vế áp dụng bất đẳng thức Nesbitt, ta bất đẳng thức cần chứng minh

Đẳng thức xảy a b c. 

Ví dụ 1.2.3. Giả sử a, b, c ba số thực dương thỏa mãn a b c

  

Chứng minh

3 3

a b c

bc  ca  ab  Lời giải. Áp dụng Định lí 1.2, ta có

 1  

3 1

b c b c

3

    

Ta suy

3 b c b c 2.

9 Tài liệu tham khảo

1 Phạm Kim Hùng (2006), Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Tri Thức

2 Phan Huy Khải, Trần Hữu Nam (2009), Bất đẳng thức ứng dụng, NXB Giáo Dục Việt Nam

3 Nguyễn Văn Mậu (2007), Các toán nội suy áp dụng, Nhà Xuất Bản Giáo Dục

4 Nguyễn Văn Mậu (2006), Bất đẳng thức định lí áp dụng, Nhà Xuất Bản Giáo Dục

5 Nguyễn Vũ Lương, Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng (2006), Các bài giảng bất đẳng thức Côsi, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội

6 Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Ngọc Thắng (2007), Các giảng bất đẳng thức Bunhiacopxki, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội