Xây dựng một số bất đẳng thức từ những bất đẳng thức quen thuộc Nguyễn Hữu Thiêm Bất đẳng thức là một trong những bài toán gây khó khăn đối với học sinh.. Bất đẳng thức xuất hiện ở nhiều
Trang 1Xây dựng một số bất đẳng thức
từ những bất đẳng thức quen thuộc
Nguyễn Hữu Thiêm Bất đẳng thức là một trong những bài toán gây khó khăn đối với học sinh Bất
đẳng thức xuất hiện ở nhiều dạng khác nhau và việc chứng minh bất đẳng thức cũng rất phong phú Ta có thể biến đổi tơng đơng, sử dụng các bất đẳng thức đã biết nh Côsi, Bunhiacopxki hay Trêbxep Becnuli Trong bài viết này tôi muốn giúp học sinh xây dựng một số bất đẳng thức dựa vào một số bất đẳng thức quen thuộc (Việc chứng minh những bất đẳng thức này thật đơn giản mà không chứng minh lại) Đó là các bất đẳng thức sau:
1 + ≥ 2
x
y y
x
∀x, y >0
2
y x y
x+ ≥ +
4 1 1
∀x, y >0
3 (x+y+z) 1 1 1 ≥9
z y
x ∀x, y, z >0
Bài toán 1:
Cho a, b, c là các số dơng
Chứng minh rằng:
2
3
≥ +
+ +
+
c a c
b c b
H
ớng dẫn:
Có rất nhiều cách chứng minh bất đẳng thức (*) Một trong các cách là ta có thể chứng minh (*) dựa vào bất đẳng thức (3)
2
3 1 1
+ + + + + +
c ( ) a c
b ( ) c b
a (
⇔ (a+b+c)
2
9 1
1
+
+ +
+
b
⇔ [(b+c)+(c+a)+(a+b)] 1 1 1 ≥9
+
+ +
+
b Bất đẳng thức cuối cùng đúng do bất đẳng thức (3)
Dấu “=” xảy ra ⇔ a+b = b+c = c+a ⇔ a = b = c
Bài toán 2:
Cho a, b, c là các số dơng Chứng minh rằng:
b a c a c b c b a a c c b b
1 2
1 2
1 3
1 3
1 3
1
Trang 2ớng dẫn:
áp dụng bất đẳng thức (2):
y x y
x + ≥ +
4 1 1
c b a ) a c b ( ) b a ( a c b b
a+ + + + ≥ + + + + = +2 +
2 2
3
4 2
1 3
1
Tơng tự ta có:
a c b b a c c
b+ + + + ≥ +2 +
2 2
1 3
1
b a c c b a a
c+ + + + ≥ +2 +
2 2
1 3
1 Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên và ớc lợng ta đợc:
b a c a c b c b a a c c b b
a+ + + + + ≥ + + + + + + +2 +
1 2
1 2
1 3
1 3
1 3
1
Dấu “=” xảy ra ⇔
+ +
= +
+ +
= +
+ +
= +
b a c a c
a c b c b
c b a b a
2 3
2 3
2 3
⇔ a = b = c
Bài toán 3:
Cho a, b, c là các số dơng
Chứng minh rằng:
) (
2
1 4
1 4
1 4
1
c b a b
a c a c b c b
H
ớng dẫn:
áp dụng bất đẳng thức 3 với:
x = a + 4b + c
y = b + 4c + a
z = c + 4a + b
Ta đợc:
a+41b+c +b+41c+a +c+41a+b ≥ 2(a+1b+c)
Dấu ”=” xảy ra ⇔ a + 4b + c = b + 4c + a = c + 4a + b ⇔ a = b = c
Các bài toán có đợc nhờ phát triển bài 1, 2, 3.
1 Cho a, b, c là các số dơng Chứng minh rằng:
c b a a c c b b
3 2
1 2
1 2
1
2 Cho a, b, c là các số dơng, α, β, γ là các số thực thỏa mãn: αa + βb + γc > 0;
γa; αb; βc > 0; βa + γb + αc > 0
Trang 3Chứng minh rằng:
) c b a )(
( c b a c b a c b
a+ + + + + + + + ≥ α+β+γ + +
9 α
γ β
1 β
α γ
1 γ
β
α
1
Khi ta chọn α, β, γ là các số cụ thể ta sẽ có đợc các bất đẳng thức:
Ví dụ:
a)
) c b a ( b a c a c b c b
a+ + + + + + + + ≥2 + +
3 3
2
1 3
2
1 3
2
1
b)
c b a a c c b b
a+ + + + + ≥ + +
1 8
1 8
1 8
1
3 Cho a, b, c là các số dơng Chứng minh rằng:
≥ + +
+ + +
ca bc ab
c b
a2 2 2
2
1
2 2 2
2
1 2
c b a
ca bc ab b
a
c a c
b c b
a
+ +
+ +
−
≥ +
+ +
+ +
H
ớng dẫn:
Vì
b a b
a + ≥ +
4 1
+
+ +
+ +
≥ + +
a c c b b a c b a
1 1
1 2 1 1 1
⇒ ab + bc + ca ≥ 2abc
+
+ +
+
a
1 1
1
⇒ ab + bc + ca + 2(a2 + b2 + c2) ≥
+
+ +
+ + + + +
a c
bca c
b
abc b
a
abc c
b
a2 2 2
2
b a
c a c
b c b
+
+ +
+ +
+ +
+ + +
ca bc ab
c b
a2 2 2
2
1
b a
c a c
b c b
a
+
+ +
+ +
Dấu “=” xảy ra ⇔
=
=
=
a c
c b
b a ⇔ a = b = c
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:
(a + b + c)2 ≤ (a(a b) b(c a) c(a b))
b a
c a c
b c b
+
+ +
+ +
⇒
) ca bc ab (
) c b a ( b
a
c a c
b c
b
a
+ +
+ +
≥
+
+ +
+
2
⇒
b a
c a c
b c
b
a
+
+ +
+
2 2 2
2
1 2
1
c b a
ca bc ab c
b a
ca bc ab ca bc ab
c b a
+ +
+ +
−
+ +
+ + + + + + +
Trang 4mà 2
A
B B
A
≥ + ∀A, B ≠ 0 Và A, B >0
⇒
b a
c a c
b c
b
a
+
+ +
+
1
c b a
ca bc ab
+ +
+ +
Mặt khác:
2 2 2
2
1
c b a
ca bc ab
+ +
+
2
1∀ a, b, c
Do đó: 2 - 2 2 2
2
1
c b a
ca bc ab
+ +
+
+
2
3
≥
Nh vậy bất đẳng thức:
b a
c a c
b
c
b
a
+
+ +
+
1
c b a
ca bc ab
+ +
+ + “chặt” hơn bất đẳng thức ở bài toán 1.
4 Cho a, b, c là các số dơng Chứng minh rằng:
a)
b a
c a c
b c
b
a
+
+ +
+
c c
a
b c
b
a
+
+ +
+ +
b)
) c b a (
) ca bc ab ( b a
c a c
b c
b
a
+ +
+ +
≥ +
+ +
+
3
2 2
2
H
ớng dẫn:
ở hai bất đẳng thức bài số 4 này có cùng 1 dạng đó là chứng minh bằng phơng pháp “bắc cầu” tức là xen vào giữa 2 vế bất đẳng thức một biểu thức trung gian đó là:
a) biểu thức bằng 2
b) biểu thức bằng
2
c b
a+ + .
Cụ thể có thể giải bài 4 nh sau:
Ta có:
c b a
c a b a
a
+ +
+
<
+
c b a
a b c b
b
+ +
+
<
+
c b a
c b c a
c
+ +
+
<
+
⇒
b a
c a c
b c b
a
+
+ + +
Trang 5Mặt khác: ba+c = a(bac+c) = a(ba+c) ≥ a+ba+c = a+ba+c
2 2
⇒
b a
c c
a
b c
b
a
+
+ +
+
+ +
+ +
c b a
) c b a (
Dấu “=” không thể xảy ra vì hệ:
+
=
+
=
+
=
b a c
a c b
c b a
vô nghiệm với a, b, c dơng
b) Theo bất đẳng thức Côsi: b c a
c b
a
2 2
2 2
≥
+ + +
⇒
2
2 2
b a
c a c
b c b
+
+ +
+ +
Mặt khác: (a+b+c)2 ≥ 3(ab+bc+ca) ⇒
2
c b
a+ +
) c b a (
) ca bc ab (
+ +
+ +
≥3
5 Cho a, b, c là các số dơng có: a+b+c = 1
Chứng minh rằng:
1 1
1+ + + +
z y
y x
x
4
3
≤
H
ớng dẫn:
Với a, b, c dơng theo (3): (a+b+c)(1+1+1)≥9
c b a
⇒
4
9 1
1 1
9 1
1 1
1 1
+ + + + +
≥ +
+ +
+
x
⇒ D = 3 – (
1
1 1
1 1
1
+
+ +
+
3 4
9=
Dấu “=”xảy ra ⇔ x = y = z =
3 1
Bài toán 4:
Cho a, b, c là 3 số tuỳ ý ∈ [α; β] (α<β) thoả mãn điều kiện: a + b + c = α + β + γ
với γ tuỳ ý
Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 ≤ α2 + β2 + γ2
H
ớng dẫn:
Vì α ≤ a, b, c < β
⇒ (a- α)(b-α)(c-α) + (β-a)( β-b)( β-c) ≥0
Trang 6⇒ ab + bc + ca – (a+b+c)( α+β) + α2 + αβ +β2 ≥ 0
⇒ (a+b+c)2 – 2(a+b+c)( α+β) + ( α+β)2 + α2+β2 ≥ a2 + b2 + c2
⇒α2 + β2 + γ2 ≥ a2 + b2 + c2
Nếu γ∈[α; β] thì dấu “=” xảy ra ⇔ a, b, c là một hoán vị của α, β, γ
Nếu γ∉ [α; β] thì đẳng thức không xảy ra xảy ra
áp dụng bài toán 4 ta có 1 số bài toán tơng tự nh sau:
1) a, b, c ∈ [0; 2]; a+b+c = 3 Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 ≤ 5
2) a, b, c ∈ [1; 3]; a+b+c = 6 Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 ≤ 14
3) Cho n là số thực tuỳ ý a, b, c ∈ [n-1; n+1] thoả mãn: a+b+c = 3n Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 ≤ 3n+2
4) Cho xi∈ [-1; 1]; ∑ xi = n − 3
Chứng minh rằng: ∑ x 2 ≤ n − 1
i
5) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác Chứng minh rằng:
a)
8
1 1
1
+
−
+
−
+
−
b a
c c
a
b c
b a
− +
+ +
−
+
−
c c
b a
b a
c b a
− +
+
− +
+
−
c a
c b
b c
b a a
Bài toán 5:
Cho ∆ΑΒC có 3 cạnh là a, b, c Chứng minh rằng:
xa2 + yb2 + zc2 ≥4 xy+yz+zx.S (*) Trong đó: S:diện tích ∆ΑΒC;x, y, z ∈ R: x+y ≥ 0; y+z ≥ 0; z+x ≥ 0; xy+yz+xz ≥ 0
H
ớng dẫn:
(*) ⇔ xa2 + yb2 + z(a2 + b2 – 2abcosC) xy yz zx absinC
2
1
≥
⇔ (x+z)a2 + (y+z)b2 ≥2ab( xy+yz+zx.sinC+zcosC)
Mà theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
2
) C cos z C sin zx yz
xy
( + + + ≤ (xy+yz+xz+z2)(sin2C+cos2C) = (x+z)(y+z) Theo bất đẳng thức Côsi:
Trang 7(x+z)a2 + (y+z)b2 ≥ 2ab (x+x)(y+z)
⇒ (*) hoàn toàn đợc chứng minh
áp dụng bài toán 5 ta có:
• x = y = z = 1: a2 + b2 + c2 ≥ 4 3 S
• x = tg
2 2
2
C tg z
;
B tg y
;
2 2 2
2 2
2tgA+tgBtgA +tgBtgC =
C
2 2
2
2 2
2 + + ≥
• Với tam giác ABC nhọn x= cotgA; y = cotgB; z = cotgC Ta có:
cotgB.cotgA + cotgB.cotgC + cotgA.cotgC = 1
4S =
gC cot gB cot gA
cot
c b a
+ +
+
2
(áp dụng định lí cotg)
⇒ a2cotgA + b2cotgB + c2cotgC ≥
gC cot gB cot gA cot
c b a
+ +
+
2
• ở bài 5 với x = y = 3; z = -1 Ta có bất đẳng thức:
3a2 + 3b2 – c2 ≥ 4 3 (Đây là bất đẳng thức đã biết)S Ngoài ra ta có thể chứng minh bất đẳng thức này bằng cách khác:
áp dụng: a2 + b2 + c2 ≥ 4 3 S
vào tam giác có 3 cạnh là:
a/2; b/2; mC và công thức về
đờng trung tuyến ta cũng có:
3a2 + 3b2 – c2 ≥ 4 3 S C
Để kết thúc bài viết này tôi xin đa ra 1 số bất đẳng thức cùng với gợi ý ngắn gọn về các số dơng hay độ dài của một tam giác: Bài 1: Cho x, y, z là các số dơng: x+y+z ≤ 3/2 Chứng minh rằng: x+y+z+ 2 15 1 1 1+ + ≥ z y x Hớng dẫn: Cách 1: x+ 1 2 1 2 4 1 ≥ = x ( ) 1 1 1 3 4 1 ≥ + + + + + ⇒ z y x z y x (1)
B
A
m c a/2 b/2
Trang 8( ) 1 1 1 ≥9
+ +
⇒
z y x z y
3
2 9 1 1
1+ + ≥ . =
z y x
⇒
2
9 4
3 6 1 1 1 4
z y
Từ (1) và (2) ta suy ra: x+y+z+
2
15 1 1
1 + + ≥
z y x
Cách 2: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:
z
; y
; x
; z y
x
z y x z y
x
2 2 2
1 1 1
+ +
+ + + + +
(x+y+z+1 1 1)(x y z 4(x y z)) (x y z 6)2
z y
⇒ x+y+z+
) z y x (
z y x z y
+ + +
≥ + +
5
6 1
1 1
Xét f(x) =
x
) x ( 5
6 2
+ với 0 < x ≤ 3/2 ⇒ f(x) ≥ 15/2
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = z = 1/2
Bài 2:
Cho x, y, z > 0; x+y+z ≤ 3/2
2
3 1 1
1
2
2 2
2 2
2 + + + + + ≥
z
z y
y x
x
Hớng dẫn:
VT ( )2 1 1 1 2
+ + +
≥
z y x z
y
x (BĐT về độ dài)
Đặt: a = x+y+z)2
b =
2
1 1 1
z y x
a + b =
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2
6 2
3 6 9 2
3 2 6 2
3 6 2
3 6 2
− +
≥
−
+
+
⇒ a+b ≥
2 2
2
2
3 6 2
3
− +
2 2
2
3
+
Trang 9VT 17
2
3 2
3 6
2
2 =
+
≥
Bài 3:
Cho x1, x2, ,xn là n số thực không âm Chứng minh rằng:
nếu: x1+ x2 + + xn < 1 thì: (1-x2 1)(1-x2) (1-xn) > 12
Hớng dẫn:
Từ nhận xét: 0 ≤ u, v < 1
(1-u)(1-v) > 1-(u+v)
⇒ VT ≥ 1 – (x1 + x2 + +xn ) > 21 (đpcm)
(vì xi không âm, ∑x < i 1 2 ⇒ 0 ≤ xi < 1 ∀i = 1,n )
Bài 4:
Cho a, b, c là các số dơng thoả mãn: abc = 1
Chứng minh rằng:
c b
a a
c c
b b
a+ + + + + + + ≤ + + + + +
1 2
1 2
1 1
1 1
1 1
1
Hớng dẫn:
Đặt x = a+b+c; y =
c b a
1 1
1+ + = ab+bc+ca (vì abc = 1)
Theo bất đẳng thức Côsi: x ≥ 3; y ≥ 3
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
y x
y x xy
x y xy
x y x
2 4 9
4 12 2
4 3
2
2
+ +
+ +
≤ + + +
+ + +
⇔ 3x2y + xy2 + 6xy – 5x2 – y2 – 24x – 3y – 27 ≥ 0
⇔
0 27 3
9 3 3
3
12 3
4 3
3 3
5 3
5
2
2
2 2
2 2
2
≥
− +
− +
+
+
+
+
) xy ( ) x xy ( x xy
x y x y
xy y
xy x
y x
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng do x ≥ 3; y ≥ 3
Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c = 1
Bài 5:
Cho x, y, z là các số thực không âm thoả mãn: x+y+z = 1
Chứng minh rằng: 0 ≤ xy+yz+zx-2xyz ≤ 277
Hớng dẫn:
Trang 10Đặt S = xy+yz+zx-2xyz = xy(1-2z) + x+y)z
Không mất tính tổng quát giả sử z ≤ 13
0
≥ + +
≥
3
1 S Mặt khác:
S=xy(1-2z) +(x+y)z
4
1 2
1 2 1 2
2 3 2
− +
−
=
− +
−
−
+
Do 0 ≤ z ≤ 31 ⇒S≤ 271
Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c = 31
Bài 6:
Cho x, y, z là các số không âm thoả mãn: x+y+z = 1
Chứng minh rằng: 7(xy+yz+zx) ≤ 2+9xyz
Hớng dẫn:
Do x+y+z = 1 nên bất đẳng thức tơng đơng:
7(xy+yz+zx)(x+y+z) ≤ 2(x+y+z)3+9xyz
⇔ xy2 + yx2 + xz2 + zx2 + y2z + z2y ≤ 2(x3 + y3 + z3)
Theo bất đẳng thức Côsi ta có: x3 x3 z3 3 x6y3 x2y
27
1 3 3
1 3
1 3
Tơng tự với 2 bất đẳng thức còn lại ⇒ Đpcm
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = z = 31
Bài 7:
Cho a, b, c là các số không âm thoả mãn: a+b+c = 1
Chứng minh rằng:
4
1 1
1
+
+ +
+
ca a
bc c ab
Bài 8:
Cho x, y, z là các số dơng mà: x2+y2+z2 = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của: S =
y
xz x
yz z
xy+ +
H
ớng dẫn:
Đặt a =
y
xz c
; x
yz b
; z
xy = = a, b, c > 0
ta có: ab+bc+ca = 1; S = a+b+c
Trang 11⇒ S2 = (a+b+c)2 ≥ 3(ab+bc+ca) = 3
3
≥
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = z = 1 3
Bài 9:
Chứng minh rằng: nếu a2 + b2 + ab + bc + ca < 0 thì a2 + b2 < c2
Bài 10:
Cho 0 < c < b <a Chứng minh rằng:
a
c b
c a
b a
c c
b b
a + + ≤ + +
Bài 11:
Cho a, b, c, d > 0 và a+b+c+d = 1
Chứng minh rằng: (1+a+b)(1+b+c)(1+c+d)(1+d+a) ≥ 16(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)
Bài 12:
Cho a, b, c ∈ [0; 1] Chứng minh rằng: 2
1 1
+
+ +
+
c ca
b bc a
Bài 13: (IMC 2000)
Cho a, b, c dơng, abc = 1 Chứng minh rằng:
1
1 1
1 1
1
a
c c
b b a
Hớng dẫn:
Cách 1:
x
z c
; z
y b
; y
x
a= = = (x, y, z dơng)
⇔ (x-y+z)(-z+y+xz-x+y) ≤ xyz (luôn đúng)
Cách 2: Ta có:
2
1 1
1 1 1
2
1 1
1 1 1
2
1 1
1 1 1
=
+
=
+
=
+
b a
b a
c c
a c
a c
b b
c b
c b
a a
Đặt VT = u.v.w
Theo bất đẳng thức Côsi: uv
a
c cv
u
1 + ≥
Tơng tự với 2 bất đẳng thức tơng tự ⇒ (uvw)2 ≤ 1 (đpcm)
Bài 14: (Thi HSG Tỉnh Nam Định 10 chuyên 2001)
Trang 12Cho ai (i = 1,n) dơng Đặt P =
k k n
i i a
P P
;
∏
= 1
Chứng minh rằng: ∑
≤
− +
n
i in i
i
P ) n ( a
P
1 1
1 1
Hớng dẫn:
Ta có (*) ⇔ ∑
− +
n
i in i
i n P ) n ( a
P
1 1
1 1
⇔ n-(n-1) ≤ ∑ + −
−
i
n i
i
P ) n ( a
P ) n (
1
1
⇔ 1 ≤ ∑ − + −
−
i
n i
n i
P ) n ( a
a 1
1 1
Theo bất đẳng thức Côsi:
≠
=
−
≠
=
−
−
j i i
n i n
j i i
n
j a a
n
n
1
1 1
1
1
1 1
⇒ ain-1 + (n-1)Pi ≤ ∑
=
−
n i
n i
a
1 1
− +
−
−
i
n
i
n i
P ) n ( a
a 1
1
1
∑
=
−
−
n i
n i
n i
a a
1 1 1
−
− +
n
i in i
n i
P ) n ( a
a
1 1
1
1
=
≥
∑
∑
−
−
n i
n i
a a
⇒ (đpcm)
áp dụng bài 14 ta đợc các bài toán cụ thể sau:
1) Cho a, b, c dơng
2 2
+
+ +
+
ab ac
b
ac bc
a bc 2) Cho a, b, c, d là 4 số dơng
3 3
3
+
+ +
+ +
+
abc abd
c
abd acd
b
acd bcd
a bcd
Việc chứng minh 1) và 2) hoàn toàn dựa vào bài 14 với trờng hợp n = 4, 3
Bài 15:
Cho a, b, c > 0 chứng minh rằng:
1
3 1
1 1
1 1
1
+
≥ +
+ +
+ + ) b( c) c( a) abc b
( a
Trang 13Hớng dẫn:
Ta có:
+
+ + +
+ +
= + +
+
+ + +
+ +
= + +
+
+ + +
+ +
= + +
a
) b ( a ) a ( c
c abc
abc ) a ( c
c
) a ( c ) c ( b
b abc
abc ) c ( b
b
) c ( b ) b ( a
a abc
abc ) b ( a
1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1 1
1 1
1 1
1 1
áp dụng bất đẳng thức Côsi: VT +
1
6 3
1
1 1
3
+
= +
≥ + abc . abc abc
⇒ VT ≥
1
3
+ abc
Trên đây là 1 số bài toán về các số dơng và mối liên hệ giữa các độ dài cạnh trong một tam giác Trong bài viết có su tầm 1 số bài toán từ các kỳ thi chọn học sinh giỏi, IMO, báo Toán học và Tuổi trẻ, các kỳ thi Olympic các nớc Do thời gian và năng lực còn nhiều hạn chế, nên bài viết không khỏi thiếu những thiếu sót Mong nhận đợc
sự đóng góp, góp ý từ phía các thầy cô
Em xin chân thành cảm ơn !