skkn xây dựng một số bài toán thực tiễn gắn liền với chương trình toán lớp 11 theo định hướng tiếp cận các năng lực của người học

Mục đích của dạy học toán nói chung, với lưu ý rằng biết mô hình hoá toán học các tình huống thực tiễn được xem là yếu tố cơ bản của năng lực hiểu biết toán – năng lực đã và đang được c

MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TIỄN

GẮN LIỀN VỚI CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 11

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Dạy học toán ở trường phổ thông theo định hướng gắn toán học với thực tiễn, thực hiện nguyên tắc liên môn trong dạy học và tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh là xu hướng đổi mới dạy học hiện nay

Mục đích của dạy học toán nói chung, với lưu ý rằng biết mô hình hoá toán học các tình huống thực tiễn được xem là yếu tố cơ bản của năng lực hiểu biết toán – năng

lực đã và đang được chương trình đánh giá quốc tế PISA khảo sát ở nhiều nước trên thế giới nhằm mục đích cải thiện chất lượng đào tạo

Một cách khái quát, đề tài nhắm đến việc tập hợp, biên soạn và sáng tạo ra một

số tình huống thực tiễn, mang lại cho giáo viên một số ví dụ minh hoạ để có thể thực

hiện một quan điểm đang được thừa nhận rộng rãi trên thê giới là việc dạy học phải thoả mãn hơn phương diện khoa học luận và tôn trọng hơn quy trình nhận thức của học sinh

Hiện nay, định hướng đổi mới chương trình giáo dục phổ thông là chuyển từ

chương trình định hướng nội dung dạy học sang chương trình định hướng năng lực,

định hướng chuẩn đầu ra về phẩm chất và năng lực của chương trình giáo dục cấp THPT

Cụ thể, các quan điểm dạy học từ trước đến nay là tập trung vào “định hướng nội dung”, hay “định hướng đầu vào”, nội dung của các môn học dựa vào khoa học

chuyên ngành tương ứng, chú trọng vào trang bị cho người học hệ thống tri thức khoa học khách quan về nhiều lĩnh vực khác nhau.[1, 16-18]

Quan điểm đổi mới dạy học trong tương lai (cụ thể là quan điểm của chương

trình, nội dung, sách giáo khoa mới từ năm 2018) là “định hướng năng lực”, hay “định hướng kết quả đầu ra” Với quan điểm này, chương trình dạy học không quy định chi

tiết nội dung dạy học mà quy định những kết quả đầu ra mong muốn của giáo dục Từ

đó tạo điều kiện quản lý chất lượng theo kết quả đầu ra đã quy định, nhấn mạnh năng lực vận dụng của học sinh

2

Tóm lại, quan điểm giáo dục mới không chú trọng vào những nội dung học sinh

“được học”, mà tập trung vào những gì học sinh “học được” Quan điểm này không

nhấn mạnh vào những nội dung khoa học bộ môn, mà chú trọng vào việc học sinh có năng lực làm được gì trong thực tiễn từ những nội dung học được

Từ đó, đề tài này tập trung vào việc xây dựng một số bài toán thực tiễn gắn liền với chương trình toán lớp 11 theo định hướng tiếp cận các năng lực của người

học

3

MỤC LỤC

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1

MỤC LỤC 3

II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4

1 Mục đích của dạy học toán 4

2 Tìm kiếm và xây dựng các ví dụ thực tiễn ứng dụng toán học 4

Toán học hoá các tình huống thực tế (mô hình hoá) 5

III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP 7

1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 7

2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 7

3 QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN 8

4 XÁC SUẤT 9

5 CẤP SỐ CỘNG 10

6 CẤP SỐ NHÂN 11

7 HÀM SỐ LIÊN TỤC 11

8 ĐẠO HÀM VÀ VẬN TỐC TỨC THỜI 12

9 ĐẠO HÀM CẤP HAI VÀ GIA TỐC 12

10 PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM 12

11 PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC 13

12 PHÉP VỊ TỰ 13

13 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG 13

IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI 15

V ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG 15

VI TÀI LIỆU THAM KHẢO 17

4

II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1 Mục đích của dạy học toán

Mục đích của dạy học toán, là phải mang lại cho học sinh những kiến thức phổ thông, những kỹ năng cơ bản của người lao động, qua đó rèn luyện tư duy logic, phát triển năng lực sáng tạo, góp phần hình thành thế giới quan và nhân sinh quan đúng đắn cho các em

Quan điểm này đã dẫn đến khái niệm hiểu biết toán Theo PISA, “hiểu biết toán

là năng lực của một cá nhân, cho phép xác định và hiểu vai trò của toán học trong cuộc sống, đưa ra những phán xét có cơ sở, sử dụng gắn kết với toán học theo những cách khác nhau nhằm đáp ứng nhu cầu cuộc sống của cá nhân đó với tư cách là một công

dân có tinh thần xây dựng, biết quan tâm và biết phản ánh” [3, 62-62]

Như vậy, liên hệ với mục tiêu của dạy học toán, ta thấy quan điểm này hoàn toàn phù hợp với một thực tế là đại đa số học sinh mà chúng ta đào tạo sau này sẽ là

người sử dụng toán chứ không phải là người nghiên cứu toán Do đó, xu hướng đổi

mới hiện nay là không nặng về mức độ nắm các nội dung có mặt trong chương trình giảng dạy, mà chú trọng vào khả năng sử dụng các kiến thức đã học vào thực tiễn và năng lực xử lý các tình huống mà họ có thể đối mặt trong cuộc sống sau khi rời ghế nhà trường

2 Tìm kiếm và xây dựng các ví dụ thực tiễn ứng dụng toán học

Làm thế nào để tìm kiếm và xây dựng các ví dụ thực tiễn ứng dụng toán học? Đây là một cách tiếp cận mới, một câu hỏi mà các nhà giáo dục, giáo viên… còn băn khoăn Hiện nay, giáo dục Việt Nam không nhiều các tài liệu bàn về lĩnh vực này Bản thân tác giả cũng chưa được tiếp cận tài liệu chính thống nào chỉ rõ các nguyên tắc, các bước hoặc có nhiều các ví dụ minh hoạ một cách đầy đủ về việc tìm kiếm và xây dựng ví dụ thực tiễn hoặc tích hợp liên môn ứng dụng toán học

Qua tự tìm hiểu và kinh nghiệm của bản thân, tác giả nhận thấy các ví dụ thực tiễn ứng dụng toán học có thể được tìm thấy thông qua các hoạt động như:

- Nghiên cứu khoa học luận tri thức: lịch sử hình thành của các khái niệm, quá trình phát triển của tri thức, ý nghĩa thực tiễn của tri thức…

- Tham khảo từ các môn học khác, đặc biệt là các môn khoa học tự nhiên

5

- Tìm kiếm trong các tài liệu, đặc biệt là tài liệu, sách giáo khoa nước ngoài, tìm kiếm trên Internet

- Tham khảo các vấn đề cuộc sống có nhiều yếu tố toán học trong đó như thống

kê, ngân hàng, chứng khoán, bảo hiểm, quản lý giao thông, điều phối sản xuất…

- Một trong những phương pháp hiệu quả nhất để xây dựng ví dụ chính là

phương pháp mô hình hoá

Toán học hoá các tình huống thực tế (mô hình hoá)

Quá trình mô hình hoá toán học được mô tả gồm 4 bước:

Bước 1: Xây dựng mô hình trung gian của vấn đề, tức là xác định các yếu tố có

ý nghĩa quan trọng nhất trong hệ thống và xác lập các quy luật mà chúng ta phải tuân theo

Bước 2: Xây dựng mô hình toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả lại dưới

dạng ngôn ngữ toán học cho mô hình trung gian Lưu ý là ứng với vấn đề đang xem xét có thể có nhiều mô hình toán học khác nhau, tuỳ theo chỗ các yếu tố nào của hệ thống và mối liên hệ nào giữa chúng được xem là quan trọng

Bước 3: Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán hình

thành ở bước 2 Căn cứ vào mô hình đã xây dựng cần phải chọn hoặc xây dựng phương pháp giải cho phù hợp

Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước 3 Trong

phần này phải xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tế hoặc áp dụng phương pháp phân tích chuyên gia

Quá trình mô hình hoá có thể được tóm lược qua sơ đồ sau:

Giảng dạy toán hiện nay tại Việt Nam đang tập trung ở bước 3, bởi vì:

- Chương trình, nội dung, sách giáo khoa chủ yếu trình bày bước 3;

- Các đề thi cũng tập trung nội dung ở bước 3;

Vấn đề

thực tiễn B1 Mô hình trung gian

B2 Mô hình

toán học

B3 Giải

toán trong

mô hình toán

B4 Giải

thích kết quả, kết luận

6

- Giáo viên giỏi ở bước 3 và chưa có nhiều kinh nghiệm ở các bước còn lại Như vậy, cần có một sự bổ sung, trên cơ sở tiếp thu tri thức, kỹ năng liên quan đến các bước còn lại để có được một cái nhìn, quan điểm đầy đủ hơn trong việc đổi mới dạy học theo hướng tiếp cận năng lực, ứng dụng vào giải quyết vấn đề thực tiễn

và tích hợp liên môn

Trong năm học vừa qua, với tinh thần đổi mới, tác giả đã ứng dụng tìm kiếm, tham khảo từ nhiều nguồn tư liệu khác nhau, thí điểm xây dựng các ứng dụng toán học để phục vụ giảng dạy và cũng đã tập hợp được một số tình huống Phần tiếp sau

sẽ trình bày những kết quả đạt được trong quá trình nghiên cứu, tìm kiếm và sáng tạo của bản thân tác giả

7

III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP

Ở phần này, đề tài xin giới thiệu một số tình huống dạy học theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh giúp họ hiểu được ý nghĩa của tri thức, qua đó góp phần bồi dưỡng năng lực hiểu biết toán cho họ

Với phạm vi thực hiện của đề tài, tác giả chỉ giới thiệu một số tình huống thực tiễn gắn với chương trình toán lớp 11 Nội dung của các tình huống được tác giả sưu tầm từ nhiều nguồn tài liệu khác nhau: tài liệu, sách giáo khoa nước ngoài, diễn đàn khoa học trên mạng Internet, các báo cáo chuyên đề, sách về phương pháp dạy học trong nước và một số tình huống do tác giả tự thiết kế trong thực tế giảng dạy của bản thân

1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Tình huống 1. Vòng quay Ferris của công viên Navy Pier ở Chicago thực hiện một vòng quay mất 7 phút Chiều cao 𝐻 (𝑚) so với mặt đất của một cabin 6 người ngồi

là 𝐻(𝑡) = 70 sin2𝜋

7 (𝑡 − 1,75) + 80, với 𝑡 là thời gian, tính bằng phút Hãy vẽ đồ thị thể hiện chiều cao của cabin trong hai chu kỳ, sau đó tính chiều cao cực đại của cabin

2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Tình huống 2 Mỗi ngày, người ta quan sát thấy mặt trời mọc đầu tiên tại Mỹ là tại vùng núi đảo ở Maine Thời điểm mặt trời mọc được biểu diễn theo công thức

8

𝑡(𝑚) = 1,665 sin𝜋6(𝑚 + 3) + 5,485, với 𝑡 là thời điểm (được tính từ nửa đêm) và 𝑚

là tháng (tính từ tháng 1) Hãy cho biết khi nào mặt trời mọc lúc 7 giờ sáng

3 QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN

Tình huống 3 [Chiếc thuyền bí ẩn của thuyền trưởng Jack

Sparrow] Hôm nay thuyền trưởng J Sparrow âm thầm nhổ neo

đi về nơi xa lắm Trên thuyền các thủy thủ đều là những dị nhân

đặc biệt Họ gồm 16 người chột mắt, 24 người chân gỗ, 15 người

tay móc sắt, 11 người vừa chột mắt vừa chân gỗ, 8 người vừa

chột mắt vừa tay móc sắt, 12 người vừa chân gỗ vừa tay móc

sắt, 6 người có cả ba đặc tính, còn 5 người trọc đầu và không có đặc tính nào kể trên Hỏi trên chiếc thuyền kỳ quái có bao nhiêu thủy thủ?

Tình huống 4 Một ngàn hình lập phương đơn vị (cạnh bằng 1) ráp lại nhau tạo thành một hình lập phương có cạnh bằng 10 Ta sơn hình lập phương lớn này rồi lại tách ra 1000 hình lập phương như cũ Trong số các hình lập phương nhỏ này có bao nhiêu hình lập phương có ít nhất một mặt được sơn?

9

4 XÁC SUẤT

Tình huống 5 Có trò chơi như sau: Sử dụng một hộp rỗng, bỏ vào đó 2 viên phấn màu trắng và 2 viên màu vàng có kích thước giống hệt nhau Như vậy, trong hộp có 4 viên phấn Có hai đội là đội A và đội B Một học sinh bất kỳ lên bốc 2 viên phấn ngẫu nhiên (không được nhìn vào hộp) Nếu 2 viên phấn này cùng màu thì đội A thắng, nếu

2 viên phấn này khác màu thì đội B thắng, đội thua phải trực nhật thay cho đội thắng trong 1 ngày

Vấn đề đặt ra: trò chơi này có công bằng không? Nếu chưa công bằng thì phải đặt ra luật như thế nào để trò chơi này là công bằng?

Tình huống 6 Có hai lá bài, một lá hai mặt đều đỏ, lá kia một mặt đỏ một mặt xanh Chọn ngẫu nhiên một lá, đặt lên bàn Nếu mặt ngửa của lá bài là đỏ, tính xác suất

để mặt úp cũng màu đỏ

Tình huống 7 Trên TV có một trò chơi như sau: Có ba cánh cửa, đằng sau một trong ba cánh cửa đó là một món quà lớn, còn sau hai cánh của còn lại không có gì Người chơi được chọn một trong ba cánh cửa, nếu chọn đúng cửa có quà thì được nhận quà Sau khi người chơi đã chọn một cửa, người dẫn chương trình mở một trong hai cửa còn lại ra, nhưng sẽ chỉ mở cửa không có quà Sau đó người chơi được quyền chọn, hoặc là giữ cái cửa mình chọn ban đầu, hoặc là đổi lấy cái cửa chưa được mở còn lại Theo bạn thì người chơi nên chọn phương án nào? Vì sao?

Tình huống 8 Biết rằng cha mẹ của Hoàng tử Henry có hai con (gồm Hoàng tử Henry và một người nữa) Hỏi xác suất để Hoàng tử Henry có chị hoặc em gái là bao nhiêu? Có hai lời giải sau:

10

Có hai khả năng cho người còn lại: hoặc người đó là con trai, hoặc là con gái Như vậy xác suất để người đó là con gái (tức là Hoàng tử có chị hoặc em gái) là ½

Có 4 khả năng cho một gia đình có 2 con: (trai – trai), (trai – gái), (gái – trai), (gái – gái) Vì ta biết Hoàng tử là con trai nên loại đi khả năng (gái – gái), còn 3 khả năng (trai – trai), (trai – gái), (gái – trai) Như vậy xác suất để Hoàng tử có chị hoặc em gái là 2/3

Trong hai lời giải trên, ắt hẳn phải có ít nhất 1 lời giải sai Thế nhưng cái nào sai, sai ở chỗ nào?

Tình huống 9 Vòng tứ kết Champion Laguage gồm 8 đội Barca, Alectico Madrid, Real Madrid, Dortmund, PSG, Chelsea, Man United và Bayern Munich vòng tứ kết có

4 trận, vòng bán kết có 2 trận, vòng chung kết có 1 trận Giả sử xác suất để mỗi đội thắng mỗi trận đều là ½, và các đội bốc thăm để xem đội nào đấu với đội nào ở vòng

tứ kết, các vòng sau thì được xếp theo kết quả vòng trước Tính xác suất để đội Barca

có đấu với Real Madrid trong giải

Tình huống 10 Một nhà nọ có 3 con mèo, trong đó có ít nhất 1 con là mèo cái Hỏi rằng xác suất để cả 3 con mèo đều là mèo cái là bao nhiêu?

5 CẤP SỐ CỘNG

Tình huống 11 Kim tự tháp Louvre ở Paris được xây dựng bằng các tấm kính, gồm 18 hàng kính Hàng trên cùng có 4 tấm kính, đồng thời mỗi hàng ở dưới có nhiều hơn hàng liền trên 4 tấm kính

a) Nếu kim tự tháp có 18 hàng hoàn toàn được thiết kế như vậy thì có bao nhiêu tấm

kính?

b) Trên thực tế, kim tự tháp có ít hơn khối tháp 18 hàng hoàn toàn 11 tấm kính để

dành không gian cho lối vào Tìm tổng số tấm kính của kim tự tháp Louvre này

11

6 CẤP SỐ NHÂN

Tình huống 12 Giải Nữ Wimbledon có 128 tay vợt tham gia thi đấu Các tay vợt

sẽ thi đấu loại trực tiếp đến khi có một người thắng cuộc Hỏi giải có tất cả bao nhiêu trận đấu?

7 GIỚI HẠN

Tình huống 13 Một công ty sản xuất điện từ việc đốt than đá Chi phí để khử 𝑝%

ô nhiễm khí thải là 𝐶 = 80.000𝑝100−𝑝 với 0 ≤ 𝑝 < 100 Tính chi phí để khử lượng ô nhiễm tương ứng a) 15%, b) 50% và c) 90% Tìm giới hạn của 𝐶 khi 𝑝 → 100−

8 HÀM SỐ LIÊN TỤC

Tình huống 14 Một người bơi qua hột hồ bơi có chiều rộng 𝑏 bằng cách bơi theo đường thẳng từ điểm (0; 0) đến điểm (2𝑏; 𝑏) như hình vẽ

Gọi 𝑓 là hàm số xác định tung độ của điểm trên chiều dài hồ gần với người bơi nhất trong suốt thời gian anh ta bơi qua hồ Xác định hàm 𝑓 và vẽ đồ thị, đây có phải

là hàm số liên tục không?

12

Gọi 𝑔 là hàm xác định khoảng cách ngắn nhất giữa anh ta với các cạnh dài của

hồ Xác định hàm 𝑔 và vẽ đồ thị Đây có phải là hàm số liên tục không?

Tình huống 15 Lúc 8 giờ sáng thứ bảy, một người bắt đầu lên một ngọn đồi trong chuyến dã ngoại cuối tuần Vào 8 giờ sáng chủ nhật hôm sau, người đó bắt đầu

đi xuống chân đồi Anh ta mất 20 phút để lên đồi, nhưng chỉ mất 10 phút để xuống chân đồi Khi đang đi xuống, anh ta nhận ra có một thời điểm cùng lúc với khi mà anh

đi lên vào ngày thứ bảy Hãy chứng minh rằng anh ta đã đúng

9 ĐẠO HÀM VÀ VẬN TỐC TỨC THỜI

Tình huống 16 Một vật thể rơi từ giá đỡ được quãng đường 𝑠 theo 𝑐𝑚 được cho bởi 𝑠 = 490𝑡2, 𝑡 tính theo giây Hỏi vận tốc của vật thể khi 𝑡 = 10 giây

10 ĐẠO HÀM CẤP HAI VÀ GIA TỐC

Tình huống 17 Do mặt trăng không có khí quyển, nên một vật rơi trên mặt trăng thì không có lực cản bởi không khí Vào năm 1971, phi hành gia David Scott đã chứng minh rằng một chiếc lông chim và một cái búa sẽ rơi với cùng vận tốc trên mặt trăng Phương trình rơi tự do của các vật là 𝑠(𝑡) = −0,81𝑡2+ 2, với 𝑠(𝑡) tính bằng 𝑚 là độ cao của vật và 𝑡 tính bằng giây là thời gian Hãy tìm tỉ lệ giữa trọng lực trên trái đất và trọng lực trên mặt trăng

11 PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM

Tình huống 18 [Trò chơi tiến quân] Trên bàn cờ gồm 2 m ô

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A và B chơi với nhau, A có có 2 quân cờ trắng ở một đầu, B có 2 quân cờ đen ở đầu bên kia, lần lượt mỗi người mang 1 trong 2 quân về phía đối phương, được phép

đi một số tùy ý, nhưng ít nhất là 1 ô và không được xuyên qua quân của đối phương Cuối cùng người nào không còn ô để đi tiếp là thua Người nào có chiến lược để luôn thắng?