Bài toán quy hoạch toàn phương lồi ngặt với nhiễu giới nội

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ Bài toán quy hoạch toàn phương lồi ngặt với nhiễu giới nội Võ Minh Phổ Chuyên ngành: Toán học Mã số: 62 46 30 01 Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Hoàng Xuân P PGS TS Phan Thành Anh 2011 `.I CAM D - OAN LO Tôi xin cam d¯oan nh˜ u.ng kê´t qua˙’ d¯u.o c tr`ınh bày luâ.n ań là mó.i, d¯a˜ d¯u.o c công bô´ trên các ta.p ch´ı Toán ho.c quôć tê´ Các kê´t qua˙’ viê´t u và PGS TS Phan Thành An d¯a˜ chung vó.i GS TSKH Hoàng Xuân Ph´ d¯u.o c su d¯òˆng y ´ cu˙’a các d¯`ông tác gia˙’ d¯u.a vào luâ.n án Các kê´t qua˙’ nêu luâ.n ań là trung thu c và chu.a t` u.ng d¯u.o c công bô´ bâ´t k` y công tr`ınh nào khác tru.o´.c d¯o´ Nghiên c´ u.u sinh ˙’ M O.N `.I CA LO Luâ.n án d¯u.o c hoàn thành du.o´.i su hu.o´.ng dâñ, chı˙’ ba˙’o cu˙’a GS TSKH Hoàng Xuân Ph´ u và PGS TS Phan Thanh An Tác gia˙’ chân thành ca˙’m ày d¯ã dành cho Tác gia˙’ bày to˙’ lòng o.n su gi´ up d¯o˜ mo.i mˇa.t mà các Thˆ ày d¯a˜ u, Thˆ biê´t o.n sâu sˇać và chân thành tó.i GS TSKH Hoàng Xuân Ph´ èu kiê.n d¯ê˙’ tác quan tâm, hu.o´.ng dâñ tâ.n t`ınh, nghiêm khˇać và ta.o mo.i d¯iˆ gia˙’ có thê˙’ hoàn thành nh˜ u.ng mu.c tiêu d¯ˇa.t cho luâ.n ań Tác gia˙’ xin - oˆng Yên, PGS TS Ta Duy bày to˙’ lòng biê´t o.n d¯êń GS TSKH Nguyˆ˜en D Phu.o ng, PGS TS Nguyˆ˜en Nˇang Tâm và các d¯`ông nghiê.p thuô.c Phòng Gia˙’i t´ıch sô´ và T´ınh toán Khoa ho.c Viê.n Toán ho.c v`ı d¯a˜ có nh˜ u.ng y ´ kiêń qu´ y báu cho tác gia˙’ quá tr`ınh nghiên c´ u.u Tác gia˙’ xin d¯u.o c bày to˙’ lòng ca˙’m o.n d¯êń Ban chu˙’ nhiê.m Khoa Công Nghê thông tin, Phòng Sau d¯a.i ho.c và Ban Giám d¯oˆć Ho.c viê.n K˜ y thuâ.t èu kiê.n thuâ.n lo i d¯ê˙’ tác gia˙’ có nhiˆ èu thò.i gian thu c Quân su d¯a˜ ta.o mo.i d¯iˆ hiê.n luâ.n án - aò Thanh T˜ınh, Tác gia˙’ c˜ ung bày to˙’ lòng biê´t o.n d¯êń PGS TS D -u PGS TS Nguyˆ˜en D ´.c Hiêú, PGS TS Nguyˆ˜en Thiê.n Luâ.n, PGS TS òng, TS Nguyˆ˜en H˜ Tô Vˇan Ban, TS Nguyˆ˜en Nam Hˆ u.u Mô.ng, TS V˜ u Thanh Hà, TS Nguyˆ˜en Ma.nh H` ung, TS Nguyˆ˜en Tro.ng Toàn, TS Ngô -u - `ınh So.n, TS Trˆ àn Nguyên Ngo.c H˜ u.u Ph´ uc, TS Tôńg Minh D ´.c, TS Lê D và tâ´t ca˙’ các d¯òˆng nghiê.p Khoa Công Nghê thông tin, HVKTQS, d¯a˜ d¯ô.ng viên, kh´ıch lê và có nh˜ u.ng trao d¯oˆ˙’i h˜ u.u ´ıch suô´t thò.i gian nghiên c´ u.u và công tác Tác gia˙’ ca˙’m o.n sâu sˇać GS TSKH Pha.m Thê´ Long, Giám d¯ôć Ho.c èu kiê.n vˆ è mˇa.t thu˙’ tu.c c˜ Viê.n KTQS, ngu.o`.i d¯a˜ ta.o mo.i d¯iˆ ung nhu chuyên môn d¯ê˙’ tác gia˙’ có thê˙’ hoàn thành luâ.n án này Cuôí c` ung tác gia˙’ gu˙’.i lò.i cám o.n tó.i vo và các con, nh˜ u.ng ngu.o`.i d¯a˜ èu kiê.n cho tác gia˙’ quá tr`ınh làm d¯oˆ ng viên, chˇam sóc và ta.o mo.i d¯iˆ luâ.n án Mu.c lu.c L` o.i cam d ¯oan L` o.i ca˙’m o.n Danh mu.c c´ ac k´ y hiˆ e.u thu.` o.ng d` ung àu Mo˙’ d ¯ˆ òi òi, quy hoa.ch to` a h` am lˆ B` to´ an quy hoa.ch lˆ an phu.o.ng v` thˆ o òi, quy hoa.ch toàn phu.o.ng 1.1 Bài toán quy hoa.ch lˆ òi suy rô.ng thô 1.2 Hàm lˆ 12 òi ngoài 1.3 Hàm γ-lˆ 13 òi ngoài 1.4 Hàm Γ-lˆ 15 òi 1.5 Hàm γ-lˆ 17 - iˆ D e˙’m infimum to` an cu.c cu˙’a B` to´ an (P˜ ) òi ngoài cu˙’a hàm bi nhiˆ˜eu 2.1 T´ınh γ-lˆ - iê˙’m cu c tiê˙’u toàn cu.c và d¯iê˙’m infimum toàn cu.c 2.2 D 2.3 Các t´ınh châ´t cu˙’a d¯iê˙’m infimum toàn cu.c èu kiê.n tôí u.u 2.4 T´ınh châ´t tu a và d¯iˆ 20 20 27 28 33 ˜ òi ngo` T´ınh Γ-lˆ cu˙’a h` am bi nhiˆ e u v` a d ¯iˆ e˙’m infimum to` an cu.c cu˙’a B` to´ an (P˜ ) òi ngoài cu˙’a hàm bi nhiˆ˜eu 3.1 T´ınh Γ-lˆ - iê˙’m infimum toàn cu.c cu˙’a bài toán nhiˆ˜eu 3.2 D 43 3.3 T´ınh oˆ˙’n d¯.inh cu˙’a tâ.p các d¯iê˙’m infimum toàn cu.c èu kiê.n tôí u.u 3.4 Du.o´.i vi phân suy rô.ng thô và d¯iˆ 55 ˜ - iˆ D e˙’m supremum cu˙’a B` to´ an (Q) òi cu˙’a hàm bi nhiˆ˜eu 4.1 T´ınh γ-lˆ - iê˙’m supremum toàn cu.c cu˙’a hàm bi nhiˆ˜eu 4.2 D 4.3 T´ınh châ´t cu˙’a tâ.p các d¯iê˙’m supremum toàn cu.c 4.4 T´ınh châ´t cu˙’a tâ.p các d¯iê˙’m supremum d¯.ia phu.o.ng 43 52 58 64 64 66 73 86 Kˆ e´t luˆ a.n chung 94 Danh mu.c cˆ ong tr`ınh cu˙’a t´ ac gia˙’ liˆ en quan d ¯ˆ eń luˆ a.n ´ an 96 T` liˆ e.u tham kha˙’o 97 `.NG DUNG ´ KY ´ HIE ˆ U THU.O ` DANH MU C CAC èu • IRn : Không gian Euclide n chiˆ • · : Chuâ˙’n Euclide IRn • x, y : T´ıch vô hu.o´.ng cu˙’a véc to x, y àu mo˙’ bán k´ınh r tâm x • B(x, r) := {y | y − x < r} : H`ınh cˆ ¯ r) := {y | y − x ≤ r} : H`ınh cˆ àu d¯ońg bán k´ınh r tâm x • B(x, • A ∈ IRn×n , A : Ma trâ.n d¯oˆí x´ u.ng xác d¯.inh du.o.ng • AT : Ma trâ.n chuyê˙’n vi cu˙’a ma trâ.n A • λmin , (λmax ) : Giá tri riêng nho˙’ nhâ´t (ló.n nhâ´t) cu˙’a ma trâ.n A • λ(A) : Tâ.p các giá tri riêng cu˙’a ma trâ.n A √ • A = { max λ | λ ∈ λ(AT A)} : Chuâ˙’n cu˙’a ma trâ.n A IRnìn òi nga.t ã f (x) = Ax, x + b, x : Hàm toàn phu.o.ng lˆ • p(x), supx∈D |p(x)| ≤ s vó.i s ∈ [0, +∞[ : Hàm nhiˆ˜eu gió.i nô.i òi ngˇa.t vó.i nhiˆ˜eu gió.i nô.i • f˜ = f + p : Hàm toàn phu.o.ng lˆ • f (x) := Ax, x + b, x → inf, x ∈ D : Bài toán quy hoa.ch toàn phu.o.ng (P ) • f (x) := Ax, x + b, x → sup, x ∈ D : Bài toán quy hoa.ch toàn phu.o.ng (Q) • f (x) := Ax, x + b, x + p(x) → inf, x ∈ D : Bài toán quy hoa.ch òi ngˇa.t vó.i nhiˆ˜eu (P˜ ) toàn phu.o.ng lˆ • f (x) := Ax, x + b, x + p(x) → sup, x ∈ D : Bài toán quy hoa.ch ˜ òi ngˇa.t vó.i nhiˆ˜eu (Q) toàn phu.o.ng lˆ • ∂g(x∗ ) : Du.o´.i vi phân cu˙’a g ta.i d¯iê˙’m x∗ • L(x, µ0 , , µm ) := m i=0 ài gi (x) : Hàm Lagrange ã Tnh châ´t (Mγ ) : Mô˜i d¯iê˙’m γ-cu c tiê˙’u x∗ cu˙’a f là d¯iê˙’m cu c tiê˙’u toàn cu.c • T´ınh châ´t (Iγ ) : Mô˜i d¯iê˙’m γ-infimum x∗ cu˙’a f là d¯iê˙’m infimum toàn cu.c • Lα (f˜) := {x | x ∈ D, f˜(x) ≤ α}, α ∈ IR : Tâ.p m´ u.c du.o´.i cu˙’a hàm f˜ = f + p (f (x0 ) • h1 (γ) := inf x0 , x1 ∈D, x0 −x1 =γ • h2 (γ) := inf x0 , x1 ∈D, x0 −x1 =γ,−x0 +2x1 ∈D + f (x1 )) − f ( 12 (x0 + x1 )) f (x0 )−2f (x1 )+f (−x0 +2x1 ) • aff D : Bao aphin cu˙’a tâ.p D òi d¯a diê.n D • ext D : Tâ.p các d¯iê˙’m cu c biên cu˙’a tâ.p lˆ • JD (x∗ ) := ext D \ {x∗ }, x∗ ∈ ext D • d(x, D) := inf y∈D x − y : Khoa˙’ng cách t` u x d¯êń D òi cu˙’a tâ.p D • conv D : Bao lˆ • dD := minx∗ ∈ext D {d x∗ , conv JD (x∗ ) } • D(x∗ , β) := {x ∈ D | x = (1 − α)x∗ + αy, y ∈ D, ≤ α ≤ − β}, x∗ ∈ ext D, β ∈ [0, 1] • C (D) := {p : D → IR | p C0 := supx∈D |p(x)| < +∞} ¯C (0, r) : H`ınh cˆ àu d¯ońg bán k´ınh r tâm C (D) • B ˙’ D Û -` MO A èn thôńg có da.ng Bài toán quy hoa.ch toàn phu.o.ng truyˆ f (x) := Ax, x + b, x → inf, x∈D d¯o´ A ∈ IRn×n là ma trâ.n vuông, b ∈ IRn là véc to và D ⊂ IRn là tâ.p òi lˆ òi, bài toán quy hoa.ch toàn phu.o.ng C` ung vó.i bài toán quy hoa.ch lˆ èu nhà toán ho.c Viê.t nam và quôć tê´ nghiên c´ d¯u.o c nhiˆ u.u, v´ı du nhu H W Kuhn và A W Tucker [22], B Bank và R Hasel [5], E Blum và W Oettli [7], B C Eaves [12], M Frank và P Wolfe [13], O L Magasarian [26], G M Lee, N N Tam và N D Yen [31], H X Phu [45], H X Phu và N D Yen [53], M Schweighofer [57], H Tuy [63], [64], [72], H H Vui và P T Son [66] u.u các bài toán Các kê´t qua˙’ quan tro.ng d¯a˜ thu d¯u.o c nghiên c´ òn ta.i nghiê.m tôí è su tˆ quy hoa.ch toàn phu.o.ng cu˙’a các nhà toán ho.c là vˆ èu kiê.n cˆ àn tôí u.u, d¯iˆ èu kiê.n d¯u˙’ tôí u.u, thuâ.t toán t`ım nghiê.m tôí u.u, d¯iˆ u.u, t´ınh oˆ˙’n d¯.inh cu˙’a nghiê.m tôí u.u các bài toán trên bi tác d¯ô.ng bo˙’.i èu kê´t qua˙’ nghiên c´ è bài toán trên d¯a˜ d¯u.o c u nhiˆ˜eu Nhiˆ u.u vˆ ´.ng du.ng d¯ê˙’ gia˙’i các bài toán kinh tê´ và k˜ y thuâ.t, nhu bài toán lu a cho.n d¯`âu tu (portfolio selection) ([27], [28]), bài toán phát d¯iê.n tôí u.u (economic power dispatch) ([6], [11], [69]), bài toán kinh tê´ d¯oˆí sánh (matching economic), ([17]), bài toán máy hô˜ tro véc to (support vector machine) ([29]) Khi A là nu˙’.a xác d¯i.nh du.o.ng hoˇa.c nu˙’.a xác d¯i.nh âm th`ı bài toán trên có thê˙’ phân rã thành hai bài toán khác sau: f (x) := Ax, x + b, x → inf, x∈D (P ) f (x) := Ax, x + b, x → sup, x ∈ D (Q) và òi ngˇa.t Luâ.n án này nghiên c´ u.u các bài toán quy hoa.ch toàn phu.o.ng lˆ vó.i nhiˆ˜eu gió.i nô.i sau: f˜(x) := Ax, x + b, x + p(x) → inf, x∈D (P˜ ) f˜(x) := Ax, x + b, x + p(x) → sup, x ∈ D, ˜ (Q) và èu kiê.n supx∈D |p(x)| ≤ s vó.i giá tri d¯o´ p : D → IR tho˙’a mãn d¯iˆ ˜ d¯u.o c gia˙’ thiê´t là s ∈ [0, +∞[ và A các bài toán (P ), (Q), (P˜ ) và (Q) ma trâ.n d¯oˆí x´ u.ng xác d¯.inh du.o.ng V`ı các bài toán trên d¯u.o c cho.n d¯ê˙’ nghiên c´ u.u? Rõ ràng, s = ˜ ch´ınh là các bài toán (P ) và (Q), hay nói cách th`ı các bài toán (P˜ ) và (Q) khác các bài toán (P ) và (Q) là các tru.o`.ng ho p riêng cu˙’a các bài toán (P˜ ) ˜ D - aˆy là l´ và (Q) y d¯ê˙’ tiêń hành nghiên c´ u.u các bài toán trên, tôí thiê˙’u y thuyê´t Tuy nhiên, còn mô.t sô´ l´ y thu c tê´ khác du.o´.i t` u quan d¯iê˙’m l´ ˜ là thu c su cˆ àn d¯aˆy, cho thâý viê.c nghiên c´ u.u các bài toán (P˜ ), (Q) L´ y th´ u nhâ´t: f (x) = Ax, x + b, x là hàm mu.c tiêu ban d¯àû và òm các tác d¯oˆ ng bô˙’ sung p là hàm nhiˆ˜eu nào d¯o´ Hàm nhiˆ˜eu p có thê˙’ bao gˆ (tâ´t d¯.inh hoˇa.c ngâ˜u nhiên) lên hàm mu.c tiêu và các lô˜i gây quá - iê˙’m d¯aˇ c biê.t là o˙’ chô˜, ch´ ung tr`ınh mô h`ınh hóa, d¯o d¯a.c, t´ınh toán D ta ha.n chê´ chı˙’ xét nhiˆ˜eu gió.i nô.i Ha.n chê´ này là không quá ngˇa.t, có thê˙’ èu bài toán thu c tê´, chˇa˙’ng ha.n nhu hai v´ı d¯u.o c tho˙’a mãn nhiˆ du minh ho.a sau d¯ây Mô.t nh˜ u.ng u ´.ng du.ng nô˙’i bâ.t cu˙’a quy hoa.ch toàn phu.o.ng là bài toán lu a cho.n d¯`âu tu (H M Markowitz [27], [28]) Bài toán phát biê˙’u nhu sau: Phân phôí vôń qua n ch´ u.ng khoán (asset) có sˇañ d¯ê˙’ có thê˙’ gia˙’m thiê˙’u ru˙’i ro và tôí d¯a lo i nhuâ.n, t´ u.c là t`ım véc to tı˙’ lê x ∈ D, D := {x = (x1 , x2 , , xn ) | nj=1 xj = 1} d¯ê˙’ f (x) = ωxT Σx − ρT x d¯a.t giá tri nho˙’ nhâ´t, d¯ó xj , j = 1, , n, là ty˙’ lê ch´ u.ng khoán th´ u j danh mu.c d¯`âu tu., ω là tham sô´ ru˙’i ro, Σ ∈ IRn×n là ma trâ.n hiê.p phu.o.ng sai, ρ ∈ IRn là véc to lo i nhuâ.n k` y vo.ng V`ı Σ và ρ thu.o`.ng ˜ và ρ˜, d¯o´ ch´ không d¯u.o c xác d¯i.nh ch´ınh xác mà chı˙’ xâ´p xı˙’ bo˙’.i Σ ung ˜ − ρ˜T x = f (x) + p(x), d¯ó ta pha˙’i cu c tiê˙’u hóa hàm f˜(x) = ωxT Σx ˜ − Σ)x − (˜ p(x) = ωxT (Σ ρ − ρ)T x Khi quy d¯.inh, không d¯u.o c bán khôńg, t´ u.c là xj ≥ 0, j = 1, , n, th`ı tâ.p châ´p nhâ.n d¯u.o c D là gió.i nô.i V`ı vâ.y nhiˆ˜eu p c˜ ung gió.i nô.i trên D Nói mô.t cách tô˙’ng quát, t´ınh gió.i nô.i cu˙’a nhiˆ˜eu luôn d¯u.o c d¯a˙’m ba˙’o D gió.i nô.i và p liên tu.c trên D Gia˙’ thiê´t èu bài toán thu c tê´ này c˜ ung ph` u ho p vó.i nhiˆ Mô.t v´ı du n˜ u.a cho thâý là nhiˆ˜eu gió.i nô.i luôn xuâ´t hiê.n gia˙’i mô.t àn ló.n các sô´ bài toán tôí u.u (P ) hoˇa.c (Q) nào d¯ó bˇa` ng máy t´ınh Do phˆ àu hê´t thu c không thê˙’ biê˙’u diˆ˜en ch´ınh xác bˇa` ng máy t´ınh, nên d¯ôí vó.i hˆ x ∈ D ta không thê˙’ t´ınh ch´ınh xác d¯a.i lu.o ng f (x) = Ax, x + b, x mà chı˙’ có thê˙’ xâ´p xı˙’ f (x) bo˙’.i mô.t sô´ dâú châ´m d¯oˆ ng f˜(x) nào d¯ó Hàm f˜ òi, không toàn phu.o.ng và thâ.m ch´ı là không liên tu.c trên D Khi không lˆ d¯o´ hàm p := f˜− f mô ta˙’ các lô˜i t´ınh toán Các lô˜i d¯ó bi chˇa.n bo˙’.i mô.t câ.n trên s ∈ [0, +∞[ nào d¯o´ có thê˙’ u.o´.c lu.o ng d¯u.o c, t´ u.c là supx∈D |p(x)| ≤ s Ngoài ra, bˇa` ng cách su˙’ du.ng các sô´ dâú châ´m d¯oˆ ng dài ho.n và/hoˇa.c các thuâ.t toán tô´t ho.n, ta có thê˙’ gia˙’m câ.n trên s L´ y th´ u hai: f˜ là hàm mu.c tiêu d¯´ıch thu c và f là hàm mu.c tiêu èu d¯u.o c l´ y tu.o˙’.ng hóa hoˇa.c là hàm mu.c tiêu thay thê´ Trong thu c tê´, nhiˆ òi, hoˇa.c toàn hàm thê˙’ hiê.n mô.t sô´ mu.c tiêu thu c tiˆ˜en d¯u.o c gia˙’ d¯.inh là lˆ phu.o.ng, hoˇa.c có mô.t sô´ t´ınh châ´t thuâ.n tiê.n d¯a˜ d¯u.o c nghiên c´ u.u k˜ y, hoˇa.c - iˆ èu này d¯ã d¯u.o c dˆ˜e nghiên c´ u.u, nhu.ng thu c th`ı không pha˙’i là nhu vâ.y D H X Phu, H G Bock và S Pickenhain d¯`ê câ.p d¯êń [48] Trong bôí ca˙’nh d¯ó, p = f˜ − f là hàm hiê.u chı˙’nh Có thê˙’ gia˙’ thiê´t p là gió.i nô.i (tôí thiê˙’u trên tâ.p châ´p nhâ.n d¯u.o c) bo˙’.i mô.t sô´ du.o.ng khá bé s, v`ı nêú |p(x)| quá ló.n th`ı su thay thê´ không còn ph` u ho p n˜ u.a - ê˙’ gia˙’i th´ıch d¯iˆ èu này, ta d¯`ê câ.p d¯êń vâń d¯`ê thu.o`.ng d¯u.o c nghiên c´ D u.u cu˙’a phát d¯iê.n tôí u.u, t´ u.c là bài toán phân bô´ lu.o ng d¯iê.n nˇang cho t` u.ng tô˙’ máy phát nhiê.t d¯iê.n cho tô˙’ng chi ph´ı (giá thành) là cu c tiê˙’u, d¯òˆng àu lu.o ng d¯iê.n nˇang và thoa˙’ mãn ràng buô.c thò.i vâñ d¯a´p u ´.ng d¯u.o c nhu cˆ 90 Ch´ u.ng minh Nêú s = th`ı ξ(s) = nên kê´t luâ.n cu˙’a bô˙’ d¯`ê là hiê˙’n nhiên Nêú s > 0, lâý bâ´t k` y x∗ ∈ Slocal (0) Vó.i mo.i x ∈ D, x = x∗ ta có x − x∗ f (x) = f (x ) + 2Ax + b, x − x∗ nên, vó.i mo.i x ∈ D, x = x∗ th`ı ∗ x − x∗ + A(x − x∗ ), x − x∗ , ∗ x − x∗ f (x) = 2Ax + b, x − x∗ x − x∗ + A(x − x∗ ), x − x∗ + 3s + f (x∗ ) − 3s ∗ (4.4.27) Xét biê˙’u th´ u.c 2Ax∗ + b, x − x∗ x − x∗ x − x∗ + A(x − x∗ ), x − x∗ + 3s V`ı A(x − x∗ ), x − x∗ ≤ λmax x − x∗ tho˙’a mãn x − x∗ = ξ(s), ta d¯u.o c và ξ(s) > 0, nên vó.i mo.i x ∈ D x − x∗ x − x∗ + A(x − x∗ ), x − x∗ + 3s ∗ x−x ≤ λmax ξ(s) + η0 ξ(s) + 3s 2Ax∗ + b, V`ı s ≤ s0 và ξ(s) ≤ ξ(s0 ) nên λmax ξ(s)2 + η0 ξ(s) + 3s ≤ λmax ξ(s0 )2 + η0 ξ(s0 ) + 3s0 Thay s0 , ξ(s) d¯u.o c xác d¯.inh theo (4.4.25) và (4.4.26) ta suy λmax ξ(s0 )2 + η0 ξ(s0 ) + 3s0 = Do d¯o´ x − x∗ 2Ax + b, x − x∗ ∗ x − x∗ + A(x − x∗ ), x − x∗ + 3s ≤ Kê´t ho p biê˙’u th´ u.c này vó.i (4.4.27) ta suy kê´t luâ.n cu˙’a bô˙’ d¯`ê 91 ˜ Khi d¯ó - i.nh l´ D y 4.4.25 Xét B` toán (Q) ¯C (0, s0 ) : ∀p ∈ B max x∗ ∈Slocal (0) d x∗ , Slocal (p) ≤ ξ( p C ) èu khˇa˙’ng d¯.inh là hiê˙’n nhiên Ch´ u.ng minh Nêú p ≡ th`ı d¯iˆ - aˇ t s := p C Do D là Lâý bâ´t k` y p ∈ C (D) cho < p C ≤ s0 D ¯ x∗ , ξ(s) ∩D là tâ.p compact V`ı hàm toàn phu.o.ng lˆ òi òi d¯a diê.n nên B tâ.p lˆ ¯ x∗ , ξ(s) ∩D, nên ngˇa.t bi nhiˆ˜eu gió.i nô.i f˜ = f +p bi chˇa.n (trên) trên tâ.p B ¯ x∗ , ξ(s) ∩ D òn ta.i (˜ supx∈B(x a.t khác, tˆ xi ) B ¯ ∗ , ξ(s))∩D f˜(x) < +∞ Mˇ cho limi→∞ x˜i = x˜∗ và limi→∞ f˜(˜ xi ) = supx∈B(x ¯ ∗ , ξ(s))∩D f˜(x) Ta khˇa˙’ng d¯i.nh x˜∗ ∈ B(x∗ , ξ(s)) ∩ D Thâ.t vâ.y gia˙’ su˙’ kê´t luâ.n trên là ¯ x∗ , ξ(s) \ B(x∗ , ξ(s) ∩ D Ta có sai, d¯ó x˜∗ ∈ B sup ¯ ∗ , ξ(s))∩D x∈B(x f˜(x) = lim f˜(˜ xi ) i→∞ = lim f (˜ xi ) + p(˜ xi ) i→∞ (4.4.28) òn ta.i limi→∞ f˜(˜ òi V`ı tˆ xi ) = limi→∞ f (˜ xi ) + p(˜ xi ) , mà hàm toàn phu.o.ng lˆ òn ta.i limi→∞ p(˜ ngˇa.t f liên tu.c ta.i mo.i d¯iê˙’m thuô.c D nên tˆ xi ) Do d¯o´ thay limi→∞ f˜(˜ xi ) + p(˜ xi ) = limi→∞ f (˜ xi ) + limi→∞ p(˜ xi ) vào (4.4.28) và ch´ u y ´ rˇà ng f (˜ x∗ ) ≤ f (x∗ ) − 3s theo Bô˙’ d¯`ê 4.4.8, ta d¯u.o c sup ¯ ∗ , ξ(s))∩D x∈B(x f˜(x) = lim f (˜ xi ) + lim p(˜ xi ) i→∞ ∗ i→∞ ≤ f (˜ x )+s ≤ f (x∗ ) − 3s + s ≤ f (x∗ ) + p(x∗ ) − s = f˜(x∗ ) − s Suy sup ¯ ∗ , ξ(s))∩D x∈B(x f˜(x) ≤ sup f˜(x) − s ¯ ∗ , ξ(s))∩D x∈B(x Biê˙’u th´ u.c nhâ.n d¯u.o c là vô l´ y, nên x˜∗ ∈ B(x∗ , ξ(s)) ∩ D, d¯o´ suy x˜∗ ∈ D là d¯iê˙’m supremum d¯i.a phu.o.ng cu˙’a f˜ = f + p trên D Ngoài v`ı 92 ¯ ∗ , ξ(s)) nên x˜∗ ∈ B(x max x∗ ∈Slocal (0) d x∗ , Slocal (p) = ≤ ≤ = max x∗ ∈Slocal (0) max x∗ ∈Slocal (0) inf y˜∗ ∈Slocal (p) x˜∗ − x∗ max ξ(s) max ξ( p x∗ ∈Slocal (0) x∗ ∈Slocal (0) y˜∗ − x∗ C ) Tóm la.i ta nhâ.n d¯u.o c ¯C (0, s0 ) : ∀p ∈ B max x∗ ∈Slocal (0) d x∗ , Slocal (p) ≤ ξ( p C ) - i.nh l´ D y d¯a˜ d¯u.o c ch´ u.ng minh è 4.4.30 H` Mˆ e.nh d ¯ˆ am d¯a tri Slocal (p) là nu˙’.a liên tu.c du.ó.i ta.i d¯iê˙’m Ch´ u.ng minh Theo d¯.inh ngh˜ıa hàm nu˙’.a liên tu.c du.o´.i, nêú Slocal (0) = ∅ th`ı Slocal (p) nu˙’.a liên tu.c du.o´.i ta.i là hiê˙’n nhiên Ta xét tru.o`.ng ho p Slocal (0) = ∅ Lâý tâ.p mo˙’ bâ´t k` y V ⊂ IRn tho˙’a mãn Slocal (0) ∩ V = ∅ Khi d¯o´ ∃ x∗ ∈ Slocal (0) : x∗ ∈ V ¯ ∗ , δ) ⊂ V Mˇa.t khác, òn ta.i δ > cho B(x V`ı V là tâ.p mo˙’., ta suy tˆ ξ(s) d¯u.o c xác d¯.inh bo˙’.i biê˙’u th´ u.c (4.4.26) nên lim ξ(s) = lim − η0 − s→0 s→0 = η02 − 12λmax s /(2λmax ) − η0 − (−η0 ) /(2λmax ) = Biê˙’u th´ u.c này cho phép ta cho.n sô´ du.o.ng s1 ≤ s0 cho vó.i mo.i s ∈ ]0, s1 ] th`ı ξ(s) ≤ δ, v`ı vâ.y ¯ x∗ , ξ(s) ∩ D ⊂ B(x ¯ ∗ , δ) ∩ D ⊂ V B (4.4.29) - i.nh l´ Mˇa.t khác, theo D y 4.4.25, vó.i mo.i p ∈ C (D) tho˙’a mãn p C ≤ s0 ¯ x∗ , ξ( p C ) ∩ D là d¯iê˙’m òn ta.i x˜∗ ∈ B (d¯u.o c xác d¯i.nh theo (4.4.25)) tˆ 93 supremum d¯.ia phu.o.ng cu˙’a f˜ = f + p, t´ u.c là x˜∗ ∈ Slocal (p) V`ı s1 ≤ s0 nên kê´t ho p vó.i biê˙’u th´ u.c (4.4.29) ta nhâ.n d¯u.o c ¯C (0, s1 ) : V ∩ Slocal (p) = ∅, ∀p ∈ B Do d¯o´ Slocal (p) là nu˙’.a liên tu.c du.o´.i ta.i d¯iê˙’m T` u d¯.inh ngh˜ıa 4.3.14 ta suy hàm Slocal (p) không nu˙’.a liên tu.c trên òn ta.i lân câ.n V tho˙’a mãn Slocal (0) ⊆ V và dãy (pi ), i = 1, ta.i nêú tˆ è C (D) cho Sglobal (pi ) \ V = ∅ vó.i mo.i i = 1, 2, hô.i tu vˆ V´ı du sau d¯aˆy chı˙’ Slocal (p) không nu˙’.a liên tu.c trên ta.i V´ı du 4.4.14 Cho f (x) = x2 , x ∈ [ 0, ] 1/i − 2x2 nêú x ∈ [ 0, 1/i ] pi (x) = nêú x ∈ [ 0, ] \ [ 0, 1/i ] i = 1, Ta t´ınh d¯u.o c pi 0C (D) = 1/i, Slocal (0)={2} và Slocal (pi ) = {0, 2}, i = 1, 2, Lâý tâ.p mo˙’ V = ]1.5, 2.1[ ta có {2} = Slocal (0) ⊂ V = ]1.5, 2.1[ Trong d¯o´ vó.i mo.i i th`ı ∈ Slocal (pi ) nhu.ng ∈ / V, nên suy Slocal (pi ) \ V = ∅ Do d¯o´ Slocal (p) không nu˙’.a liên tu.c trên ta.i Kˆ e´t luˆ a.n: Các kê´t qua˙’ d¯a.t d¯u.o c, co ba˙’n d¯u.o c tr`ınh bày các Mu.c òm: mô.t sô´ d¯iˆ èu kiê.n d¯u˙’ d¯ê˙’ hàm toàn phu.o.ng lˆ òi 4.1–4.4, ch´ ung bao gˆ òi (Mê.nh d¯`ê 4.1.24); các t´ınh châ´t cu˙’a ngˇa.t bi nhiˆ˜eu gió.i nô.i là γ-lˆ ˜ (các mê.nh d¯`ê các d¯iê˙’m cu c d¯a.i và supremum toàn cu.c cu˙’a Bài toán (Q) 4.2.25, 4.2.26, 4.2.27, 4.2.28); t´ınh ô˙’n d¯i.nh, nu˙’.a liên tu.c trên cu˙’a hàm tâ.p ˜ (D - i.nh l´ các d¯iê˙’m supremum toàn cu.c cu˙’a Bài toán (Q) y 4.3.24, Mê.nh d¯`ê 4.3.29); t´ınh oˆ˙’n d¯.inh, nu˙’.a liên tu.c du.o´.i cu˙’a hàm tâ.p các d¯iê˙’m supremum ˜ (D - i.nh l´ d¯.ia phu.o.ng cu˙’a Bài toán (Q) y 4.4.25, Mê.nh d¯`ê 4.4.30) 94 ˆ´T LUA ˆ N CHUNG KE è: ac vˆ ań d ¯ˆ Luˆ a.n ´ an d ¯˜ a gia˙’i quyˆ e´t d ¯u.o c c´ òi ngoài vó.i mo.i γ ≥ γ ∗ , d¯o´ • Chı˙’ hàm bi nhiˆ˜eu f˜ = f + p là γ-lˆ γ ∗ = 2s/λmin ; d¯iê˙’m γ ∗ -cu c tiê˙’u cu˙’a f˜ là d¯iê˙’m cu c tiê˙’u toàn cu.c; d¯u.o`.ng k´ınh cu˙’a tâ.p các d¯iê˙’m cu c tiê˙’u toàn cu.c cu˙’a Bài toán (P˜ ) nho˙’ ho.n hoˇa.c bˇa` ng γ ∗ ; khoa˙’ng cách gi˜ u.a d¯iê˙’m cu c tiê˙’u toàn cu.c cu˙’a Bài toán (P˜ ) và d¯iê˙’m cu c tiê˙’u toàn cu.c cu˙’a hàm f nho˙’ ho.n hoˇa.c bˇa` ng èu kiê.n tôí u.u suy rô.ng γ ∗ Ngoài t´ınh châ´t tu a thô và mô.t sô´ d¯iˆ cu˙’a hàm f˜ c˜ ung d¯u.o c tr`ınh bày Các kê´t qua˙’ trên d¯ã d¯u.o c công bô´ bài báo “Global infimum of strictly convex quadratic functions with bounded perturbation” (xem Danh mu.c các công tr`ınh cu˙’a tác gia˙’ liên quan d¯êń luâ.n án) òi ngoài vó.i tâ.p cân d¯aˇ c biê.t Γ ⊂ IRn ; • Ch´ u.ng minh d¯u.o c, hàm f˜ là Γ-lˆ d¯iê˙’m Γ-tôí u.u d¯.ia phu.o.ng cu˙’a Bài toán (P˜ ) là d¯iê˙’m tôí u.u toàn cu.c; hiê.u cu˙’a hai nghiê.m tôí u.u bâ´t k` y cu˙’a Bài toán (P˜ ) nàm tâ.p Γ; x∗ − x˜∗ ∈ 12 Γ nêú x∗ là nghiê.m cu c tiê˙’u toàn cu.c cu˙’a f trên D và x˜∗ là nghiê.m tôí u.u toàn cu.c bâ´t k` y cu˙’a Bài toán (P˜ ); tâ.p nghiê.m tôí - i.nh u.u Ss cu˙’a (P˜ ) là oˆ˙’n d¯i.nh theo khoa˙’ng cách Hausdorff dH (.,.) D l´ y Kuhn-Tucker suy rô.ng cho Bài toán (P˜ ) c˜ ung d¯u.o c ch´ u.ng minh Các kê´t qua˙’ trên d¯ã d¯u.o c d¯ˇang ta˙’i bài báo “ Some properties of boundedly disturbed strictly convex quadratic functions” (xem Danh mu.c các công tr`ınh cu˙’a tác gia˙’ liên quan d¯êń luâ.n án) òi vó.i γ ≥ (2/λmin ) và γ-lˆ òi ngˇa.t vó.i • Chı˙’ hàm f˜ là γ-lˆ 1 γ > (2/λmin ) ; D bi chˇa.n và γ = (2/λmin ) , mo.i d¯iê˙’m supremum ˜ chı˙’ có thê˙’ là d¯iê˙’m γ- cu c biên cu˙’a D và có toàn cu.c cu˙’a Bài toán (Q) ´ıt nhâ´t mô.t d¯iê˙’m là γ-cu c biên ngˇa.t Mô.t sô´ t´ınh châ´t quan tro.ng cu˙’a tâ.p các d¯iê˙’m supremum toàn cu.c Sglobal (p) và tâ.p các d¯iê˙’m supremum ˜ nhu t´ınh oˆ˙’n d¯i.nh và t´ınh nu˙’.a d¯.ia phu.o.ng Slocal (p) cu˙’a Bài toán Q 95 àn ló.n các kê´t qua˙’ d¯u.o c liê.t kê o˙’ trên liên tu.c c˜ ung d¯u.o c chı˙’ Phˆ d¯a˜ d¯u.o c công bô´ bài báo “Maximizing strictly convex quadratic functions with bounded perturbation” (xem Danh mu.c các công tr`ınh cu˙’a tác gia˙’ liên quan d¯êń luâ.n án) àn tiˆ ań cˆ e´p tu.c nghiˆ en c´ u.u: Nh˜ u.ng vˆ è l´ Luâ.n án chı˙’ mó.i d¯`ê câ.p d¯êń mô.t sô´ vâń d¯`ê vˆ y thuyê´t cu˙’a Bài toán òi ngˇa.t vó.i nhiˆ˜eu gió.i nô.i Do d¯ó ch´ quy hoa.ch toàn phu.o.ng lˆ ung tôi còn u.ng vâń d¯`ê sau d¯aˆy tiê´p tu.c nghiên c´ u.u nh˜ • Xây du ng thuâ.t toán t´ınh toán t`ım lò.i gia˙’i tôí u.u cu˙’a các bài toán ˜ (P˜ ) và (Q) ´ du.ng thuâ.t toán t´ınh toán t`ım lò.i gia˙’i tôí u.u cu˙’a các bài toán (P˜ ) • Ap ˜ vào các bài toán thu c tê´ nhu bài toán phát d¯iê.n tôí u.u, kinh và (Q) tê´ d¯oˆí sánh, Tuy nhiên, v`ı thò.i gian ha.n he.p nên ch´ ung tôi c˜ ung chu.a tra˙’ lò.i d¯u.o c các vâń d¯`ê trên Ch´ ung tôi hy vo.ng rˇà ng các vâń d¯`ê này s˜e só.m d¯u.o c gia˙’i quyê´t 96 ˆ DANH MU TRÌNH C CONG ´ GIA˙’ LIEN ˆ QUAN D ˆŃ LUA ˆ N AN ´ -E CU˙’A TAC Các bài báo cu˙’a tác gia˙’ liên quan d¯êń luâ.n án là: H X Phu and V M Pho, Global infimum of strictly convex quadratic functions with bounded perturbation, Mathematical Methods of Operations Research, 72(2), 2010, 327–345 H X Phu and V M Pho, Some properties of boundedly disturbed strictly convex quadratic functions, Optimization, DOI 10.1080/0233193100746114, Published online: 07 May 2010 H X Phu, V M Pho and P T An, Maximizing strictly convex quadratic functions with bounded perturbation, Journal of Optimization Theory and Applications, 149(1) 2011, 1–25 ˙’ O ` LIE ˆ U THAM KHA TAI òi thˆ òi suy rô.ng vó.i nhiˆ˜eu [1] P T An, H` am lˆ o và t´ınh ô˙’n d¯.inh cu˙’ a hàm lˆ - a.i ho.c Vinh, 1999 tuyêń t´ınh, Luâ.n án Tiêń s˜ı Toán ho.c, D - a.i ho.c Quôć gia, Hà nô.i, [2] Pha.m K` y Anh, Gia˙’ i t´ıch sô´, Nhà xuâ´t ba˙’n D 1998 òi và γ-du.ó.i vi phân, [3] N N Hai, Mˆ o.t sˆ o´ t´ınh châ´t gia˙’ i t´ıch cu˙’ a hàm γ-lˆ Luâ.n án Tiêń s˜ı Toán ho.c, Hà nô.i, 2001 [4] J P Aubin and H Frankowska, Set-Valued Analysis, Birkhăauser, Boston Basel Berlin, 1990 [5] B Bank and R Hasel, Stability of mixed-integer quadratic programming problems, Mathematical Programming Study, 21, 1984, 1–17 [6] P P J van den Bosch and F A Lootsma, Scheduling of power generation via large-scale nonliear optimization, Journal of Optimization Theory and Applications, 55, 1987, 313–326 [7] E Blum and W Oettli, Direct proof of the existence theorem for quadratic programming, Operations Research, 20, 1973, 165–167 [8] M J Canovas, A Hantoute, M Lopez and A Marco, Lipschitz behavior of convex semi-infinite optimization problems: a variational approach, Journal of Global Optimization, 41 2008, 1–13 [9] C H Chen and S N Yeh, Particle swarm optimization for economic power dispatch with valve- point effects, Transmission and Distribution 97 98 Conference and Exposition Latin America, Venezuela, 1–4244–0288– 3/20.00, 2006, IEEE [10] J W Daniel, Stability of the solution of definite quadratic programs, Mathematical Programming, 5, 1973, 41–53 [11] R M S Danaraj and F Gajendran, Quadratic programming solution to emission and economic dispatch problem, IE(I) Journal-EL, 86, 2005, 129–132 [12] B C Eaves, On quadratic programming, Management Science, 17, 1971, 698–711 [13] M Frank and P Wolfe, An algorithm for quadratic programming, Naval Research Logistics Quarterly, 3, 1956, 95–110 [14] M A Hanson, On sufficiency of the Kuhn-Tucker conditions, Journal of Mathematical Annalysis and Applications, 80, 1981, 545–550 [15] H Hartwig, Local boundedness and continuity of generalized convex functions, Optimization, 26, 1992, 1–13 [16] T C Hu, V Klee and D Larman, Optimization of globally convex functions, SIAM Journal Control Optimization, 27, 1989, 1026–1047 [17] T R Jefferson and C H Scott, Quadratic geometric programming with application to maching economics, Mathematical Programming, 37, 1985,137-152 [18] S Karamardian, Duality in Mathematical Programming, Doctoral Thesis, University of California Press, Berkeley, 1965 [19] J Kennedy and R C Eberhart, Swarm Intelligence, Morgan Kaufimann, 2001 [20] D Klatte, On the lower semicontinuity of optimal sets in convex parametric optimization Point-to-set maps and mathematical programming, Mathematical Programming Study, 10, 1979, 104–109 99 [21] D Klatte, Lower semicontinuity of the minimum in parametric convex programs, Journal of Optimization Theory and Applications 94, 1997, 511–517 [22] H.W Kuhn and A W Tucker, Nonlinear Programming, Proceedings of the Second Berkeley Symposium on the Mathematical Statistics and Probability, University of California Press, Berkeley, 418–492, 1951 [23] B Kummer, Stability of generalized equations and Kuhn-Tucker points of perturbed convex programs, System modelling and optimization (Copenhagen, 1983), 213–218, Lecture Notes in Control and Information Sciences, 59, Springer, Berlin, 1984 [24] O L Mangasarian, Locally unique solutions of quadratic programs, linear and nonlinear complementarity problems, Mathematical Programming, 19, 1980, 200–212 [25] O L Mangasarian, Pseudo-convex functions, SIAM Journal on Control, 3, 1965, 200–212 [26] B Matos, The direct power of adjacent vertex programming methods, Management science, 12, 1965, 241–255 [27] M H Markowitz, Portfolio selectio, Journal Finance, 7, 1952, 77–91 [28] M H Markowitz, Portfolio selectio, Wiley, New York, 1959 [29] D Meyer, F Leisch and K Hornik, The support vector machine under test, Neurocomputing , bf 55, 2003, 169-186 [30] K Mirnia and A Ghaffari-Hadigheh, Support set expansion sensitivity analysis in convex quadratic optimization, Optimization Methods Software, 22, 2007, 601–616 [31] G M Lee, N N Tam and N D Yen, Quadratic Programming and Affine Variational Inequalities, Springer, 2005 100 [32] S H Ling, H K Lam, F H F Leung and Y S Lee, Improved genetic algorithm for economic load dispatch with valve-point loadings, 0-78037906-3/03/$17.00, 2003, IEEE [33] J B Park, Y W Jeong, H H Kim and J R Shin, An Improved particle swarm optimization for economic dispatch with valve-point effect, Journal of Innovations in Energy Systems and Power, 1, 2006, 1–7 [34] H X Phu, γ-subdifferential and γ-convexity of functions on the real line, Applied Mathematics and Optimization, 27, 1993, 145–160 [35] H X Phu, Representation of bounded convex sets by rational convex hull of its gamma-extreme points, Numerical Functional Analysis and Optimization, 19, 1994, 915–920 [36] H X Phu, γ-subdifferential and γ-convex functions on normed spaces, Journal of Optimization Theory and Applications, 85, 1995, 649–676 [37] H X Phu, Some properties of globally δ-convex functions, Optimization, 35, 1995, 22–41 [38] H X Phu, Six kinds of roughly convex functions, Journal of Optimization Theory and Applications, 92, 1997, 357–375 [39] H X Phu, Strictly and roughly convexlike fuctions, Journal of Optimization Theory and Applications, 117, 2003, 139–156 [40] H X Phu, Some basic ideas of rough analysis, Proceeding of the sixth Vietnamese Mathematical Conference, Hue, 9-2002, 3–31, Hanoi National University Publishing House, Hanoi, 2005 [41] H X Phu, Inner γ-convex functions in normed spaces, E-Preprint 2007/01/01, Hanoi Institute of Mathematics, 2007 [42] H X Phu, Outer γ-convexity and inner γ-convexity of disturbed functions, Vietnam Journal of Mathematics, 35, 2007, 107–119 101 [43] H X Phu, Supremizers of inner γ-convex functions, Mathematical Methods of Operations Research, 92(2), 2008, 207–222 [44] H X Phu, Outer Γ-convexity in vector spaces, Numerical Functional Analysis and Optimization, 25(7, 8), 2008, 835–854 [45] H X Phu, Some properties of solution sets to nonconvex quadratic programming problems, Optimization, 56, 2007, 369–383 [46] H X Phu and P T An, Stable generalization of convex functions, Optimization, 38, 1996, 309–318 [47] H X Phu and P T An, Outer γ-convexity in normed linear spaces, Vietnam Journal of Mathematics, 27, 1999, 323–334 [48] H X Phu, G Bock and S Pickenhain, Rough stability of solutions to nonconvex optimization problems, Optimization, Dynamics, and Economic Analysis, 22–35, Physica-Verlag, Heidelberg New York, 2000 [49] H X Phu and N N Hai, Some analytical properties of γ–convex functions on the real line, Journal of Optimization Theory and Applications, 91, 1996, 671–694 [50] H X Phu and V M Pho, Some properties of boundedly disturbed strictly convex quadratic functions, Optimization, DOI 10.1080/0233193100746114, Published online: 07 May 2010 [51] H X Phu and V M Pho, Global infimum of strictly convex quadratic functions with bounded perturbation, Mathematical Methods of Operations Research, 72(2), 2010, 327–345 [52] H X Phu, V M Pho and P T An, Maximizing strictly convex quadratic functions with bounded perturbation, Journal of Optimization Theory and Applications, 149(2), 2011, 1–25 102 [53] H X Phu and N D Yen, On the stability of solutions to quadratic programming problems, Mathematical Programming Study, 89, 2001, 385–394 [54] R T Rockafeller, Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, 1970 [55] R Schultz, Subdifferentials of perturbed convex functions, 16th annual conference on mathematical optimization (Sellin, 1984), 106–113, Seminarberichte, 64, Humboldt University, Berlin [56] R Schultz, Estimates for Kuhn-Tucker points of perturbed convex programs, Optimization, 19, 1988, 29–43 [57] M Schweighofer, Global optimization of polynomiald using gradient tentacles and sums of squares, SIAM Journal Optimization, 106(3), 2006, 920–942 [58] I Singer, Duality theorems for perturbed convex optimization, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 81, 1981, 437–452 [59] M Slater, Lagrange multipliers revisited: A contribution to nonlinear programming, Cowles Commission Discussion Paper, Mathematics, 403, 1951 [60] P Suburaj, L Ganesan, K Ramar and Rajkumar, A New approach to economic dispatch problem with valve point loading using evolutionary programming, Interational Journal of Electrical and Power Engineering, 1(2), 2007, 251–254 [61] S S Subramani and P R Rajeswari, A Modified particle swarm optimization for economic dispatch problems with non-smooth cost functions, Interational Journal of Software Computing 3, 2008, 326– 332 103 [62] J I Al-Sumait, A.K Al-Othman and J K Sykulski, Application of pattern method to power system valve-point economic load dispatch, Electrical Power and Energy Systems, 29, 2007, 720–730 [63] H Tuy, On outer approximation methods for solving concave minimization problems, Acta Mathematica Vietnamica 8, 1983, 3–34 [64] H Tuy and N T Hoai-Phuong, A robust algorithm for quadratic optimization under quadratic constraints, Journal Global Optimization, 37, 2007, 527–554 [65] L I Trudzik, Perturbed convex programming in reflexive Banach spaces, Nonliear Analysis, 9, 1985, 61–78 [66] H H Vui and P T Son, Global optimization of polynomiald using the truncated tangency variety and sums of squares, SIAM Journal Optimization, 19(2), 2008, 941–951 [67] D N Wilke, S Kokand and A A Groenwold, Comparision of linear and classical velocity update rules in particle swarm optomization: Notes on diversity, Interational Journal for Numerical Methods in Engineering, 70, 2007, 962–984 [68] E Zeidler, Nonlinear Functional Analysis–Main Principles and Their Applications, Springer-Verlag, New York, 1995 [69] Y Zhu and K Tomsovic, Optimal distribution power flow for systems with disturbed enegy resources, Int J Electr Power Enegy Systems, 29, 2007, 260–267 [70] S Zlobec, Characterizing an optimal input in perturbed convex programming, Mathematical Programming, 25, 1983, 109–121 [71] B De Finetti, Sulle stratificazioni convesse, Annali di Matematica Pura ed Applicata, 30, 1949, 173–183 104 [72] H Tuy, Sules ines galites lines aires, Colloquium Mathematicum, 13, 1964, 107123 [73] B Săollner, Eigenschaften -grobkonvexer Mengen und Funktionen, Diplomarbeit, Universităat Leipzig, 1991 [74] A D Ioffe and V M Tikhomirov, Theory of Extremal Problems, (Tiêńg Nga), Nauka, Moscow, 1974 [75] B N Pshenhishnui, Convex Analysis and Extremal Problems, (Tiêńg Nga), Nauka, Moscow, 1980 [76] M M Vainberg, Variational Method and Method Monotone Operators, (Tiêńg Nga), Nauka, Moscow, 1972 [77] G E Silov, Finite-dimentional Linear Spaces, (Tiêńg Nga), Nauka, Moscow, 1969 ... o.ng d` ung àu Mo˙’ d ¯ˆ òi òi, quy hoa.ch to` a h` am lˆ B` to´ an quy hoa.ch lˆ an phu.o.ng v` thˆ o òi, quy hoa.ch toàn phu.o.ng 1.1 Bài toán quy hoa.ch lˆ òi suy rô.ng thô... Bài toán quy hoa.ch toàn phu.o.ng (P ) • f (x) := Ax, x + b, x → sup, x ∈ D : Bài toán quy hoa.ch toàn phu.o.ng (Q) • f (x) := Ax, x + b, x + p(x) → inf, x ∈ D : Bài toán quy hoa.ch òi... d¯`ê “Bài toán quy hoa.ch lˆ - i.nh l´ - i.nh òi thˆ òi, D lˆ o” tr`ınh bày D y Kuhn-Tucker cu˙’a bài toán quy hoa.ch lˆ è d¯iˆ èu kiê.n cu c tri cu˙’a bài toán quy hoa.ch toàn phu.o.ng

Định dạng
Số trang	111
Dung lượng	698,63 KB