tóm tắt bài toán quy hoạch toàn phương lồi ngặt với nhiễu giới nội

MO . ˙’ D - ˆ A ` U B`ai to´an quy hoa . ch to`an phu . o . ng truyˆe ` n thˆo ´ ng c´o da . ng f(x) := Ax, x + b, x → inf, x ∈ D trong d¯´o A ∈ IR n×n l`a ma trˆa . n vuˆong, b ∈ IR n l`a v´ec to . v`a D ⊂ IR n l`a tˆa . p lˆo ` i. C`ung v´o . i b`ai to´an quy hoa . ch lˆo ` i, b`ai to´an quy hoa . ch to`an phu . o . ng d¯u . o . . c nhiˆe ` u nh`a to´an ho . c trong v`a ngo`ai nu . ´o . c nghiˆen c´u . u, v´ı du . nhu . H. W. Kuhn v`a A. W. Tucker (1951), B. Bank v`a R. Hasel (1984), E. Blum v`a W. Oettli (1973), B. C. Eaves (1971), M. Frank v`a P. Wolfe (1956), O. L. Magasarian (1980), G. M. Lee, N. N. Tam v`a N. D. Yen (2005), H. X. Phu (2007), H. X. Phu v`a N. D. Yen (2001), M. Schweighofer (2006), H. Tuy (1964, 1983, 2007), H. H. Vui v`a P. T. Son (2008). . . Khi A l`a ma trˆa . n nu . ˙’ a x´ac d¯i . nh du . o . ng hoˇa . c nu . ˙’ a x´ac d¯i . nh ˆam th`ı b`ai to´an trˆen phˆan r˜a th`anh c´ac b`ai to´an kh´ac nhau sau: f(x) := Ax, x + b, x → inf, x ∈ D (P ) v`a f(x) := Ax, x + b, x → sup, x ∈ D, (Q) Luˆa . n ´an n`ay nghiˆen c´u . u c´ac b`ai to´an quy hoa . ch to`an phu . o . ng lˆo ` i ngˇa . t v´o . i nhiˆe ˜ u gi´o . i nˆo . i sau: ˜ f(x) := Ax, x + b, x + p(x) → inf, x ∈ D ( ˜ P ) v`a ˜ f(x) := Ax, x + b, x + p(x) → sup, x ∈ D, ( ˜ Q) trong d¯´o p : D → IR l`a tho ˙’ a m˜an d¯iˆe ` u kiˆe . n sup x∈D |p(x)| ≤ s v´o . i gi´a tri . s ∈ [0, +∞[ v`a A trong c´ac b`ai to´an (P ), (Q), ( ˜ P ) v`a ( ˜ Q) d¯u . o . . c gia ˙’ thiˆe ´ t l`a ma trˆa . n d¯ˆo ´ i x´u . ng x´ac d¯i . nh du . o . ng. V`ı sao c´ac b`ai to´an trˆen d¯u . o . . c cho . n d¯ˆe ˙’ nghiˆen c´u . u? R˜o r`ang, c´ac b`ai to´an (P ) v`a (Q) l`a c´ac tru . `o . ng ho . . p riˆeng cu ˙’ a c´ac b`ai to´an ( ˜ P ) v`a ( ˜ Q). D - ˆay l`a l´y do d¯ˆe ˙’ ch´ung tˆoi tiˆe ´ n h`anh nghiˆen c´u . u c´ac b`ai to´an trˆen, tˆo ´ i thiˆe ˙’ u t`u . 1 quan d¯iˆe ˙’ m l´y thuyˆe ´ t. Tuy nhiˆen, c`on mˆo . t sˆo ´ l´y do thu . . c tˆe ´ kh´ac du . ´o . i d¯ˆay, cho thˆa ´ y viˆe . c nghiˆen c´u . u c´ac b`ai to´an ( ˜ P ), ( ˜ Q) l`a thu . . c su . . cˆa ` n. L´y do th´u . nhˆa ´ t: f(x) = Ax, x + b, x l`a h`am mu . c tiˆeu ban d¯ˆa ` u v`a p l`a h`am nhiˆe ˜ u n`ao d¯´o. H`am nhiˆe ˜ u p c´o thˆe ˙’ bao gˆo ` m c´ac t´ac d¯ˆo . ng bˆo ˙’ sung (tˆa ´ t d¯i . nh hoˇa . c ngˆa ˜ u nhiˆen) lˆen h`am mu . c tiˆeu v`a c´ac lˆo ˜ i gˆay ra trong qu´a tr`ınh mˆo h`ınh h´oa, d¯o d¯a . c, t´ınh to´an. . . D - iˆe ˙’ m d¯ˇa . c biˆe . t l`a o . ˙’ chˆo ˜ , ch´ung ta ha . n chˆe ´ chı ˙’ x´et nhiˆe ˜ u gi´o . i nˆo . i. Ha . n chˆe ´ n`ay l`a khˆong qu´a ngˇa . t, c´o thˆe ˙’ d¯u . o . . c tho ˙’ a m˜an trong nhiˆe ` u b`ai to´an thu . . c tˆe ´ chˇa ˙’ ng ha . n nhu . hai v´ı du . minh ho . a sau d¯ˆay. Mˆo . t trong nh˜u . ng ´u . ng du . ng nˆo ˙’ i bˆa . t cu ˙’ a quy hoa . ch to`an phu . o . ng l`a b`ai to´an lu . . a cho . n d¯ˆa ` u tu . (H. M. Markowitz (1952, 1959)). B`ai to´an ph´at biˆe ˙’ u nhu . sau: Phˆan phˆo ´ i vˆo ´ n qua n ch´u . ng kho´an (asset) c´o sˇa ˜ n d¯ˆe ˙’ c´o thˆe ˙’ gia ˙’ m thiˆe ˙’ u ru ˙’ i ro v`a tˆo ´ i d¯a lo . . i nhuˆa . n, t´u . c l`a t`ım v´ec to . tı ˙’ lˆe . x ∈ D, D := {x = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) |  n j=1 x j = 1} d¯ˆe ˙’ f(x) = ωx T Ax − ρ T x d¯a . t gi´a tri . nho ˙’ nhˆa ´ t, trong d¯´o x j , j = 1, . . . , n, l`a ty ˙’ lˆe . ch´u . ng kho´an th´u . j trong danh mu . c d¯ˆa ` u tu . , ω l`a tham sˆo ´ ru ˙’ i ro, A ∈ IR n×n l`a ma trˆa . n hiˆe . p phu . o . ng sai, ρ ∈ IR n l`a v´ec to . lo . . i nhuˆa . n k`y vo . ng. V`ı A v`a ρ thu . `o . ng khˆong d¯u . o . . c x´ac d¯i . nh ch´ınh x´ac m`a chı ˙’ xˆa ´ p xı ˙’ bo . ˙’ i ˜ A v`a ˜ρ, do d¯´o ch´ung ta pha ˙’ i cu . . c tiˆe ˙’ u h´oa h`am ˜ f(x) = ωx T ˜ Ax − ˜ρ T x = f(x) + p(x), trong d¯´o p(x) = ωx T ( ˜ A − A)x − (˜ρ − ρ) T x. Khi quy d¯i . nh khˆong d¯u . o . . c b´an khˆo ´ ng, t´u . c l`a x j ≥ 0, j = 1, . . . , n, th`ı tˆa . p chˆa ´ p nhˆa . n d¯u . o . . c D l`a gi´o . i nˆo . i. V`ı vˆa . y nhiˆe ˜ u p c˜ung gi´o . i nˆo . i trˆen D. N´oi mˆo . t c´ach tˆo ˙’ ng qu´at, t´ınh gi´o . i nˆo . i cu ˙’ a nhiˆe ˜ u luˆon d¯a ˙’ m ba ˙’ o khi D gi´o . i nˆo . i v`a p liˆen tu . c trˆen D. Gia ˙’ thiˆe ´ t n`ay l`a ph`u ho . . p v´o . i nhiˆe ` u b`ai to´an thu . . c tˆe ´ . Mˆo . t v´ı du . n˜u . a cho thˆa ´ y l`a nhiˆe ˜ u gi´o . i nˆo . i luˆon xuˆa ´ t hiˆe . n khi gia ˙’ i mˆo . t b`ai to´an tˆo ´ i u . u (P ) hoˇa . c (Q) n`ao d¯´o bˇa ` ng m´ay t´ınh. Do phˆa ` n l´o . n c´ac sˆo ´ thu . . c khˆong thˆe ˙’ biˆe ˙’ u diˆe ˜ n ch´ınh x´ac bˇa ` ng m´ay t´ınh, nˆen d¯ˆo ´ i v´o . i hˆa ` u hˆe ´ t x ∈ D ta khˆong thˆe ˙’ t´ınh ch´ınh x´ac d¯a . i lu . o . . ng f(x) = Ax, x+ b, x m`a chı ˙’ c´o thˆe ˙’ xˆa ´ p xı ˙’ f(x) bo . ˙’ i mˆo . t sˆo ´ dˆa ´ u chˆa ´ m d¯ˆo . ng ˜ f(x) n`ao d¯´o. H`am ˜ f khˆong lˆo ` i, khˆong to`an phu . o . ng v`a thˆa . m ch´ı l`a khˆong liˆen tu . c trˆen D. Khi d¯´o h`am p := ˜ f − f mˆo ta ˙’ c´ac lˆo ˜ i t´ınh to´an. C´ac lˆo ˜ i d¯´o bi . chˇa . n bo . ˙’ i mˆo . t cˆa . n trˆen s ∈ [0, +∞[ n`ao d¯´o c´o thˆe ˙’ u . ´o . c lu . o . . ng d¯u . o . . c, t´u . c l`a sup x∈D |p(x)| ≤ s. Ngo`ai ra, bˇa ` ng c´ach su . ˙’ du . ng c´ac sˆo ´ dˆa ´ u chˆa ´ m d¯ˆo . ng d`ai ho . n v`a/hoˇa . c c´ac thuˆa . t to´an tˆo ´ t ho . n, ta c´o thˆe ˙’ gia ˙’ m cˆa . n trˆen s. 2 L´y do th´u . hai: ˜ f l`a h`am mu . c tiˆeu d¯´ıch thu . . c v`a f l`a h`am mu . c tiˆeu d¯u . o . . c l´y tu . o . ˙’ ng h´oa hoˇa . c l`a h`am mu . c tiˆeu thay thˆe ´ . Trong thu . . c tiˆe ˜ n, nhiˆe ` u h`am thˆe ˙’ hiˆe . n mˆo . t sˆo ´ mu . c tiˆeu thu . . c tˆe ´ d¯u . o . . c gia ˙’ thiˆe ´ t l`a lˆo ` i, hoˇa . c to`an phu . o . ng, hoˇa . c c´o mˆo . t sˆo ´ t´ınh chˆa ´ t thuˆa . n tiˆe . n d¯˜a d¯u . o . . c nghiˆen c´u . u k˜y, hoˇa . c dˆe ˜ nghiˆen c´u . u, nhu . ng thu . . c tˆe ´ khˆong pha ˙’ i l`a nhu . vˆa . y. D - iˆe ` u n`ay d¯˜a d¯u . o . . c H. X. Phu, H. G. Bock v`a S. Pickenhain (2000) d¯ˆe ` cˆa . p d¯ˆe ´ n. Trong bˆo ´ i ca ˙’ nh d¯´o, p = ˜ f −f l`a h`am hiˆe . u chı ˙’ nh. C´o thˆe ˙’ gia ˙’ thiˆe ´ t p l`a gi´o . i nˆo . i (tˆo ´ i thiˆe ˙’ u trˆen tˆa . p chˆa ´ p nhˆa . n d¯u . o . . c) bo . ˙’ i mˆo . t sˆo ´ du . o . ng kh´a b´e s, v`ı nˆe ´ u |p(x)| qu´a l´o . n th`ı su . . thay thˆe ´ khˆong c`on ph`u ho . . p n˜u . a. D - ˆe ˙’ gia ˙’ i th´ıch d¯iˆe ` u n`ay, ta d¯ˆe ` cˆa . p d¯ˆe ´ n vˆa ´ n d¯ˆe ` thu . `o . ng d¯u . o . . c nghiˆen c´u . u cu ˙’ a ph´at d¯iˆe . n tˆo ´ i u . u, t´u . c l`a vˆa ´ n d¯ˆe ` phˆan bˆo ´ lu . o . . ng d¯iˆe . n nˇang cho t`u . ng tˆo ˙’ m´ay ph´at nhiˆe . t d¯iˆe . n sao cho tˆo ˙’ ng chi ph´ı (gi´a th`anh) l`a cu . . c tiˆe ˙’ u, d¯ˆo ` ng th`o . i vˆa ˜ n d¯´ap ´u . ng d¯u . o . . c nhu cˆa ` u lu . o . . ng d¯iˆe . n nˇang v`a thoa ˙’ m˜an r`ang buˆo . c vˆe ` cˆong suˆa ´ t ph´at ra cu ˙’ a mˆo ˜ i tˆo ˙’ m´ay. Ngu . `o . i ta thu . `o . ng gia ˙’ thiˆe ´ t (P. P. J. Van den Bosch v`a F. A. Lootsma (1987), R. M. S. Danaraj v`a F. Gajendran (2005)), h`am chi ph´ı tˆo ˙’ ng cˆo . ng (bao gˆo ` m chi ph´ı nhiˆen liˆe . u (fuel cost), chi ph´ı ta ˙’ i sau (load-following cost), chi ph´ı du . . ph`ong quay (sprinning-reserve cost), chi ph´ı du . . ph`ong bˆo ˙’ sung (supplemental-reserve cost), chi ph´ı tˆo ˙’ n thˆa ´ t ph´at v`a truyˆe ` n dˆa ˜ n d¯iˆe . n nˇang) l`a h`am to`an phu . o . ng, lˆo ` i ngˇa . t v`a c´o da . ng F (P ) = n  i=1 F i (P i ), trong d¯´o n l`a sˆo ´ tˆo ˙’ m´ay ph´at, P := (P 1 , P 2 , . . . , P n ), P i ∈ [P i min , P i max ] l`a lu . o . . ng d¯iˆe . n nˇang ph´at ra cu ˙’ a tˆo ˙’ m´ay th´u . i, P i min , P i max l`a cˆong suˆa ´ t ph´at nho ˙’ nhˆa ´ t v`a l´o . n nhˆa ´ t cu ˙’ a tˆo ˙’ m´ay ph´at th´u . i v`a F i (P i ) = a i + b i P i + c i P 2 i l`a h`am chi ph´ı cu ˙’ a tˆo ˙’ m´ay ph´at th´u . i ∈ {1, 2, . . . , n}. D˜ı nhiˆen gia ˙’ thiˆe ´ t to`an phu . o . ng, lˆo ` i ngˇa . t cu ˙’ a h`am mu . c tiˆeu l`a qu´a l´y tu . o . ˙’ ng. Chi ph´ı thu . . c tˆe ´ c´o thˆe ˙’ khˆong l`a h`am to`an phu . o . ng v`a c˜ung khˆong l`a h`am lˆo ` i ngˇa . t. Nhu . vˆa . y, d¯ˆe ˙’ gia ˙’ thiˆe ´ t vˆe ` t´ınh to`an phu . o . ng v`a lˆo ` i ngˇa . t cu ˙’ a h`am mu . c tiˆeu d¯u . o . . c tho ˙’ a m˜an, cˆa ` n h`am gi´o . i nˆo . i p hiˆe . u chı ˙’ nh h`am chi ph´ı thu . . c tˆe ´ . D - ˇa . c biˆe . t, nˆe ´ u hiˆe . u ´u . ng d¯iˆe ˙’ m-van d¯u . o . . c x´et d¯ˆe ´ n (P. P. J. van den Bosch v`a F. A. Lootsma (1987), R. M. S. Danaraj v`a F. Gajendran (2005),. . . ) th`ı h`am chi ph´ı to`an phu . o . ng pha ˙’ i d¯u . o . . c hiˆe . u chı ˙’ nh bo . ˙’ i tˆo ˙’ ng h˜u . u ha . n c´ac h`am 3 da . ng sin, t´u . c l`a F (P ) = n  i=1  F i (P i ) + |e i sin(f i (P i min − P i ))|  , trong d¯´o e i , f i l`a c´ac hˆe . sˆo ´ cu ˙’ a hiˆe . u ´u . ng d¯iˆe ˙’ m-van. R˜o r`ang h`am hiˆe . u chı ˙’ nh p :=  n i=1 |e i sin(f i (P i min − P i ))| l`a gi´o . i nˆo . i. D - ˆe ˙’ ngˇa ´ n go . n, ta thu . `o . ng go . i p l`a h`am nhiˆe ˜ u (mˇa . c d`u n´o khˆong chı ˙’ d¯´ong vai tr`o d¯´o nhu . d¯˜a gia ˙’ i th´ıch o . ˙’ trˆen), ˜ f l`a h`am bi . nhiˆe ˜ u v`a ( ˜ P ) v`a ( ˜ Q) l`a c´ac b`ai to´an nhiˆe ˜ u. Thˆa . t ra, ch´ung chı ˙’ l`a c´ac thuˆa . t ng˜u . vay mu . o . . n, khˆong pha ˙’ i l´uc n`ao c˜ung ch´ınh x´ac nhu . thu . `o . ng lˆe . . Nh˜u . ng vˆa ´ n d¯ˆe ` g`ı l`a m´o . i co . ba ˙’ n khi nghiˆen c´u . u c´ac b`ai to´an ( ˜ P ) v`a ( ˜ Q)? Cˆau ho ˙’ i n`ay l`a cˆa ` n thiˆe ´ t, v`ı d¯˜a c´o nh˜u . ng kˆe ´ t qua ˙’ nghiˆen c´u . u d¯ˇa . c sˇa ´ c theo c´ac kh´ıa ca . nh kh´ac nhau vˆe ` t´ınh ˆo ˙’ n d¯i . nh cu ˙’ a c´ac b`ai to´an nhiˆe ˜ u lˆo ` i v`a/hoˇa . c nhiˆe ˜ u to`an phu . o . ng. D - iˆe ˙’ m chung cu ˙’ a phˆa ` n l´o . n c´ac cˆong tr`ınh nghiˆen c´u . u t`u . tru . ´o . c d¯ˆe ´ n nay l`a nhiˆe ˜ u khˆong l`am thay d¯ˆo ˙’ i nh˜u . ng thuˆo . c t´ınh tiˆeu biˆe ˙’ u cu ˙’ a b`ai to´an ban d¯ˆa ` u. V´ı du . b`ai to´an lˆo ` i bi . nhiˆe ˜ u vˆa ˜ n gi˜u . nguyˆen t´ınh lˆo ` i (nhu . trong c´ac nghiˆen c´u . u cu ˙’ a M. J Canovas (2008), D. Klatte (1997), B. Kumer (1984), . . . ) v`a c´ac b`ai to´an to`an phu . o . ng gi˜u . d¯u . o . . c t´ınh to`an phu . o . ng (nhu . trong c´ac nghiˆen c´u . u cu ˙’ a J. V. Daniel (1973), G. M. Lee, N. N. Tam v`a N. D. Yen (2005), K. Mirnia v`a A. Ghaffari-Hadigheh (2007), H. X. Phu (2007), H. X. Phu v`a N. D. Yen (2001). . . ). D - iˆe ` u kh´ac biˆe . t l`a, h`am mu . c tiˆeu ˜ f cu ˙’ a c´ac b`ai to´an nhiˆe ˜ u trong luˆa . n ´an n`ay khˆong lˆo ` i, khˆong to`an phu . o . ng mˇa . c d`u h`am f l`a lˆo ` i ngˇa . t v`a to`an phu . o . ng. Ho . n n˜u . a, v`ı nhiˆe ˜ u p chı ˙’ gia ˙’ thiˆe ´ t l`a gi´o . i nˆo . i, nˆen h`am bi . nhiˆe ˜ u ˜ f c´o thˆe ˙’ khˆong liˆen tu . c ta . i bˆa ´ t c´u . d¯iˆe ˙’ m n`ao. V´o . i nh˜u . ng h`am mu . c tiˆeu nhu . vˆa . y, du . `o . ng nhu . s˜e khˆong thˆe ˙’ thu d¯u . o . . c kˆe ´ t qua ˙’ g`ı d¯ˇa . c biˆe . t. Mu . c tiˆeu cu ˙’ a luˆa . n ´an l`a chı ˙’ ra d¯iˆe ` u ngu . o . . c la . i. Luˆa . n ´an gˆo ` m 4 chu . o . ng. Chu . o . ng 1 tr`ınh b`ay b`ai to´an quy hoa . ch lˆo ` i, b`ai to´an quy hoa . ch to`an phu . o . ng, mˆo . t sˆo ´ loa . i h`am lˆo ` i thˆo nhu . γ-lˆo ` i ngo`ai, Γ-lˆo ` i ngo`ai, γ-lˆo ` i trong c`ung mˆo . t sˆo ´ t´ınh chˆa ´ t tˆo ´ i u . u cu ˙’ a ch´ung. Chu . o . ng 2 nghiˆen c´u . u t´ınh γ-lˆo ` i ngo`ai cu ˙’ a h`am to`an phu . o . ng v´o . i nhiˆe ˜ u gi´o . i nˆo . i, c´ac t´ınh chˆa ´ t cu ˙’ a d¯iˆe ˙’ m cu . . c tiˆe ˙’ u to`an cu . c, d¯iˆe ˙’ m infimum to`an cu . c cu ˙’ a 4 B`ai to´an ( ˜ P ), kha ˙’ o s´at t´ınh ˆo ˙’ n d¯i . nh nghiˆe . m v`a mo . ˙’ rˆo . ng D - i . nh l´y Kuhn-Tucker cho b`ai to´an n`ay. Chu . o . ng 3 nghiˆen c´u . u t´ınh Γ-lˆo ` i ngo`ai cu ˙’ a h`am mu . c tiˆeu ˜ f (theo c´ach tiˆe ´ p cˆa . n tˆo pˆo), qua d¯´o nhˆa . n d¯u . o . . c mˆo . t sˆo ´ kˆe ´ t qua ˙’ ma . nh ho . n nh˜u . ng kˆe ´ t qu ˙’ a nghiˆen c´u . u vˆe ` d¯iˆe ˙’ m cu . . c tiˆe ˙’ u to`an cu . c, d¯iˆe ˙’ m infimum to`an cu . c cu ˙’ a B`ai to´an ( ˜ P ) d¯u . o . . c chı ˙’ ra trong Chu . o . ng 2. Chu . o . ng 4 nghiˆen c´u . u t´ınh γ-lˆo ` i trong cu ˙’ a h`am mu . c tiˆeu ˜ f, t´ınh ˆo ˙’ n d¯i . nh cu ˙’ a tˆa . p c´ac d¯iˆe ˙’ m supremum to`an cu . c v`a t´ınh ˆo ˙’ n d¯i . nh cu ˙’ a tˆa . p c´ac d¯iˆe ˙’ m supremum d¯i . a phu . o . ng cu ˙’ a B`ai to´an ( ˜ Q). Luˆa . n ´an d¯u . o . . c ho`an th`anh du . ´o . i su . . hu . ´o . ng dˆa ˜ n cu ˙’ a GS. TSKH. Ho`ang Xuˆan Ph´u v`a PGS. TS. Phan Thanh An. T´ac gia ˙’ chˆan th`anh ca ˙’ m o . n su . . gi´up d¯˜o . mo . i mˇa . t m`a c´ac Thˆa ` y d¯˜a d`anh cho. T´ac gia ˙’ b`ay to ˙’ l`ong biˆe ´ t o . n sˆau sˇa ´ c v`a chˆan th`anh t´o . i GS. TSKH. Ho`ang Xuˆan Ph´u, Thˆa ` y d¯˜a quan tˆam, hu . ´o . ng dˆa ˜ n t´ac gia ˙’ trong qu´a tr`ınh nghiˆen c´u . u. T´ac gia ˙’ b`ay to ˙’ l`ong biˆe ´ t o . n d¯ˆe ´ n GS. TSKH. Nguyˆe ˜ n D - ˆong Yˆen, PGS. TS. Ta . Duy Phu . o . . ng, PGS. TS. Nguyˆe ˜ n Nˇang Tˆam v`a c´ac d¯ˆo ` ng nghiˆe . p thuˆo . c Ph`ong Gia ˙’ i t´ıch sˆo ´ v`a T´ınh to´an Khoa ho . c Viˆe . n To´an ho . c v`ı d¯˜a c´o nh˜u . ng ´y kiˆe ´ n qu´y b´au cho t´ac gia ˙’ trong qu´a tr`ınh nghiˆen c´u . u. T´ac gia ˙’ xin d¯u . o . . c b`ay to ˙’ l`ong ca ˙’ m o . n d¯ˆe ´ n Ban chu ˙’ nhiˆe . m Khoa Cˆong Nghˆe . thˆong tin, Ph`ong Sau d¯a . i ho . c v`a Ban Gi´am d¯ˆo ´ c Ho . c viˆe . n K˜y thuˆa . t Quˆan su . . d¯˜a ta . o mo . i d¯iˆe ` u kiˆe . n thuˆa . n lo . . i d¯ˆe ˙’ t´ac gia ˙’ c´o nhiˆe ` u th`o . i gian thu . . c hiˆe . n luˆa . n ´an. T´ac gia ˙’ c˜ung b`ay to ˙’ l`ong biˆe ´ t o . n d¯ˆe ´ n PGS. TS. D - `ao Thanh T˜ınh, PGS. TS. Nguyˆe ˜ n D - ´u . c Hiˆe ´ u, PGS. TS. Nguyˆe ˜ n Thiˆe . n Luˆa . n, PGS. TS. Tˆo Vˇan Ban, TS. Nguyˆe ˜ n Nam Hˆo ` ng, TS. Nguyˆe ˜ n H˜u . u Mˆo . ng, TS. V˜u Thanh H`a, TS. Nguyˆe ˜ n Ma . nh H`ung, TS. Nguyˆe ˜ n Tro . ng To`an, TS. Ngˆo H˜u . u Ph´uc, TS. Tˆo ´ ng Minh D - ´u . c, TS. Lˆe D - `ınh So . n, TS. Trˆa ` n Nguyˆen Ngo . c v`a tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯ˆo ` ng nghiˆe . p trong Khoa Cˆong Nghˆe . thˆong tin, HVKTQS, d¯˜a d¯ˆo . ng viˆen, kh´ıch lˆe . v`a c´o nh˜u . ng trao d¯ˆo ˙’ i h˜u . u ´ıch trong suˆo ´ t th`o . i gian nghiˆen c´u . u v`a cˆong t´ac. T´ac gia ˙’ xin d¯u . o . . c gu . ˙’ i l`o . i ca ˙’ m o . n sˆau sˇa ´ c t´o . i GS. TSKH. Pha . m Thˆe ´ Long, Gi´am d¯ˆo ´ c Ho . c Viˆe . n KTQS, ngu . `o . i d¯˜a ta . o mo . i d¯iˆe ` u kiˆe . n vˆe ` chuyˆen mˆon c˜ung nhu . thu ˙’ tu . c h`anh ch´ınh d¯ˆe ˙’ t´ac gia ˙’ c´o thˆe ˙’ ho`an th`anh luˆa . n ´an n`ay. 5 CHU . O . NG 1 B ` AI TO ´ AN QUY HOA . CH L ˆ O ` I, QUY HOA . CH TO ` AN PHU . O . NG V ` A H ` AM L ˆ O ` I TH ˆ O Trong suˆo ´ t luˆa . n ´an n`ay, ta luˆon k´y hiˆe . u IR n l`a khˆong gian Euclide n chiˆe ` u, A ∈ IR n×n l`a ma trˆa . n d¯ˆo ´ i x´u . ng x´ac d¯i . nh du . o . ng, λ min , λ max tu . o . ng ´u . ng, l`a c´ac gi´a tri . riˆeng nho ˙’ nhˆa ´ t, l´o . n nhˆa ´ t cu ˙’ a A, b ∈ IR n v`a • f l`a h`am to`an phu . o . ng lˆo ` i ngˇa . t c´o da . ng f(x) := Ax, x + b, x, x ∈ D (1.0.1) • p : D → IR l`a h`am nhiˆe ˜ u gi´o . i nˆo . i, ngh˜ıa l`a p tho ˙’ a m˜an sup x∈D |p(x)| ≤ s < +∞. (1.0.2) • ˜ f := f + p d¯u . o . . c go . i l`a h`am to`an phu . o . ng lˆo ` i ngˇa . t v´o . i nhiˆe ˜ u gi´o . i nˆo . i, go . i tˇa ´ t l`a h`am bi . nhiˆe ˜ u gi´o . i nˆo . i. 1.1. B`ai to´an quy hoa . ch lˆo ` i, quy hoa . ch to`an phu . o . ng Trong mu . c n`ay, ch´ung tˆoi ph´at biˆe ˙’ u • D - i . nh l´y Kuhn-Tucker cho b`ai to´an quy hoa . ch lˆo ` i g 0 (x) → inf, x ∈ D D = {x ∈ S | g i (x) ≤ 0, i = 1, . . . , m}, (L) trong d¯´o g i : IR n → IR, i = 0, . . . , m, l`a c´ac h`am h`am lˆo ` i, S ⊂ IR n l`a tˆa . p lˆo ` i. • D - i . nh l´y vˆe ` d¯iˆe ` u kiˆe . n tˆo ` n ta . i nghiˆe . m tˆo ´ i u . u cho b`ai to´an quy hoa . ch to`an phu . o . ng Mx, x + b, x → inf, x ∈ D D = {x ∈ IR n | c i , x ≤ d i , i = 1, . . . , m}, trong d¯´o M ∈ IR n×n l`a ma trˆa . n d¯ˆo ´ i x´u . ng, c i ∈ IR n , i = 1, . . . , m. C´ac d¯i . nh l´y n`ay s˜e d¯u . o . . c mo . ˙’ rˆo . ng trong c´ac chu . o . ng 2 v`a 3. 6 1.2. H`am lˆo ` i suy rˆo . ng thˆo Trong mu . c n`ay ch´ung tˆoi tr`ınh b`ay tˆo ˙’ ng quan vˆe ` kh´ai niˆe . m h`am lˆo ` i thˆo v`a mˆo . t sˆo ´ t´ınh chˆa ´ t quan tro . ng cu ˙’ a c´ac l´o . p h`am n`ay. 1.3. H`am γ-lˆo ` i ngo`ai Trong mu . c n`ay ch´ung tˆoi tr`ınh b`ay vˆe ` h`am γ-lˆo ` i ngo`ai v`a mˆo . t sˆo ´ t´ınh chˆa ´ t tˆo ´ i u . u cu ˙’ a l´o . p h`am n`ay. D - i . nh ngh˜ıa 1.3.3. (H. X. Phu) Cho γ > 0. H`am g : D ⊂ IR n → IR d¯u . o . . c go . i l`a γ-lˆo ` i ngo`ai (hoˇa . c γ-lˆo ` i ngo`ai ngˇa . t) v´o . i d¯ˆo . thˆo γ, nˆe ´ u v´o . i mo . i x 0 , x 1 ∈ D tˆo ` n ta . i k ∈ IN v`a λ i ∈ [0, 1], i = 0, 1, . . . , k, λ 0 = 0, λ k = 1, 0 ≤ λ i+1 − λ i ≤ γ x 0 − x 1  khi i = 0, 1, . . . , k − 1, sao cho v´o . i x λ i = (1 − λ i )x 0 + λ i x 1 , i = 0, 1, . . . , k, th`ı g(x λ i ) ≤ (1 − λ i )g(x 0 ) + λ i g(x 1 ) v´o . i i = 0, 1, . . . , k, (hoˇa . c g(x λ i ) < (1 − λ i )g(x 0 ) + λ i g(x 1 ) v´o . i i = 1, . . . , k − 1). D - i . nh ngh˜ıa 1.3.4. (H. X. Phu) Cho γ > 0, M ⊂ IR n , M = ∅, M d¯u . o . . c go . i l`a γ-lˆo ` i ngo`ai v´o . i d¯ˆo . thˆo γ nˆe ´ u x 0 , x 1 ∈ M v`a x 0 − x 1  > γ suy ra tˆo ` n ta . i z 0 := x 0 , z 1 , . . . , z k := x 1 ∈ [x 0 , x 1 ] ∩ M sao cho z i+1 − z i  ≤ γ v´o . i i=0, 1,. . . , k-1. D - i . nh ngh˜ıa 1.3.5. (H. X. Phu) D - iˆe ˙’ m x ∗ ∈ D d¯u . o . . c go . i l`a 1) d¯iˆe ˙’ m γ-cu . . c tiˆe ˙’ u cu ˙’ a g nˆe ´ u tˆo ` n ta . i  > 0 sao cho g(x ∗ ) ≤ g(x) v´o . i mo . i x ∈ B(x ∗ , γ + ) ∩ D; 2) d¯iˆe ˙’ m γ-infimum cu ˙’ a g nˆe ´ u tˆo ` n ta . i  > 0 sao cho lim inf x→x ∗ g(x) = inf x∈B(x ∗ ,γ+)∩D g(x); 7 3) d¯iˆe ˙’ m infimum to`an cu . c cu ˙’ a g nˆe ´ u lim inf x→x ∗ g(x) = inf x∈D g(x). T´ınh chˆa ´ t tˆo ´ i u . u cu ˙’ a h`am γ-lˆo ` i ngo`ai d¯u . o . . c chı ˙’ ra bo . ˙’ i d¯i . nh l´y sau: D - i . nh l´y 1.3.7. (H. X. Phu) Nˆe ´ u g l`a γ-lˆo ` i ngo`ai th`ı c´o c´ac t´ınh chˆa ´ t (M γ ) Mˆo ˜ i d¯iˆe ˙’ m γ-cu . . c tiˆe ˙’ u x ∗ cu ˙’ a g l`a d¯iˆe ˙’ m cu . . c tiˆe ˙’ u to`an cu . c. (I γ ) Mˆo ˜ i d¯iˆe ˙’ m γ-infimum x ∗ cu ˙’ a g l`a d¯iˆe ˙’ m infimum to`an cu . c. D - ˆo ´ i v´o . i h`am lˆo ` i ngˇa . t v´o . i nhiˆe ˜ u gi´o . i nˆo . i ta c´o mˆe . nh d¯ˆe ` sau vˆe ` t´ınh γ-lˆo ` i ngo`ai v`a lˆo ` i ngo`ai ngˇa . t. Mˆe . nh d¯ˆe ` 1.3.1. (H. X. Phu) Cho γ > 0, g : IR n → IR l`a h`am lˆo ` i v`a h 1 (γ) := inf x 0 ,x 1 ∈D, x 0 −x 1 =γ  1 2 (g(x 0 ) + g(x 1 )) − g  1 2 (x 0 + x 1 )   > 0. Khi d¯´o, nˆe ´ u h`am nhiˆe ˜ u p tho ˙’ a m˜an |p(x)| ≤ h 1 (γ)/2 v´o . i mo . i x ∈ D th`ı h`am bi . nhiˆe ˜ u ˜g = g + p l`a γ-lˆo ` i ngo`ai v`a nˆe ´ u |p(x)| < h 1 (γ)/2 v´o . i mo . i x ∈ D th`ı ˜g = g + p l`a γ-lˆo ` i ngo`ai ngˇa . t. 1.4. H`am Γ-lˆo ` i ngo`ai Trong mu . c n`ay ch´ung tˆoi tr`ınh b`ay la . i mˆo . t sˆo ´ t´ınh chˆa ´ t cu ˙’ a l´o . p h`am Γ-lˆo ` i ngo`ai. Ch´ung s˜e l`a co . so . ˙’ d¯ˆe ˙’ nghiˆen c´u . u B`ai to´an ( ˜ P ) trong Chu . o . ng 3. D - i . nh ngh˜ıa 1.4.6. (H. X. Phu) Cho X l`a khˆong gian v´ec to . trˆen tru . `o . ng sˆo ´ thu . . c, Γ l`a tˆa . p cˆan trong X t´u . c l`a λΓ ⊂ Γ v´o . i mo . i |λ| ≤ 1, v`a D l`a tˆa . p lˆo ` i trong X. H`am g : D → IR d¯u . o . . c go . i l`a Γ-lˆo ` i ngo`ai nˆe ´ u v´o . i mo . i x 0 , x 1 ∈ D tˆo ` n ta . i tˆa . p d¯´ong Λ ⊂ [0, 1] v`a ch´u . a {0, 1} sao cho [x 0 , x 1 ] ⊂ {x λ | λ ∈ Λ} + 0.5Γ (1.4.4) v`a ∀λ ∈ Λ : g(x λ ) ≤ (1 − λ)g(x 0 ) + λg(x 1 ). (1.4.5) 8 D - i . nh ngh˜ıa 1.4.7. (H. X. Phu) Tˆa . p S ⊂ X d¯u . o . . c go . i l`a Γ-lˆo ` i ngo`ai nˆe ´ u v´o . i mo . i x 0 , x 1 ∈ S [x 0 , x 1 ] ⊂ ([x 0 , x 1 ] ∩ S) + 0.5Γ, t´u . c l`a tˆo ` n ta . i Λ ⊂ [0, 1] sao cho {x λ | λ ∈ Λ} ⊂ S, [x 0 , x 1 ] ⊂ {x λ | λ ∈ Λ} + 0.5Γ. (1.4.6) Mˆe . nh d¯ˆe ` 1.4.2. (H. X. Phu) Tˆa . p m´u . c du . ´o . i cu ˙’ a h`am Γ-lˆo ` i ngo`ai l`a Γ-lˆo ` i ngo`ai. D - i . nh l´y 1.4.8. (H. X. Phu) Cho B l`a tˆa . p cˆan trong khˆong gian v´ec to . X. Khi d¯´o g : D ⊂ X → IR l`a h`am Γ-lˆo ` i ngo`ai v´o . i Γ = B khi v`a chı ˙’ khi epi g l`a tˆa . p Γ-lˆo ` i ngo`ai v´o . i Γ = B × IR. D - i . nh ngh˜ıa 1.4.8. (H. X. Phu) Cho g : D → IR. D - iˆe ˙’ m x ∗ ∈ D go . i l`a d¯iˆe ˙’ m Γ-cu . . c tiˆe ˙’ u cu ˙’ a g nˆe ´ u g(x ∗ ) = inf x∈(x ∗ +Γ)∩D g(x) v`a go . i l`a Γ-infimum cu ˙’ a g nˆe ´ u lim inf x∈X, x→x ∗ g(x) = inf x∈(x ∗ Γ )∩D g(x). T´ınh chˆa ´ t tˆo ´ i u . u quan tro . ng cu ˙’ a h`am Γ-lˆo ` i ngo`ai l`a d¯i . nh l´y sau: D - i . nh l´y 1.4.9. (H. X. Phu) Gia ˙’ su . ˙’ 0 l`a d¯iˆe ˙’ m trong cu ˙’ a tˆa . p Γ v`a g : D → IR l`a h`am Γ-lˆo ` i ngo`ai. Khi d¯´o g(x ∗ ) = inf x∈D∩({x ∗ }+Γ) g(x) =⇒ g(x ∗ ) = inf x∈D g(x), (1.4.7) t´u . c l`a nˆe ´ u x ∗ l`a d¯iˆe ˙’ m Γ-cu . . c tiˆe ˙’ u th`ı x ∗ l`a d¯iˆe ˙’ m cu . . c tiˆe ˙’ u to`an cu . c. 1.5. H`am γ-lˆo ` i trong Trong mu . c n`ay ch´ung tˆoi tr`ınh b`ay kh´ai niˆe . m v`a mˆo . t sˆo ´ kˆe ´ t qua ˙’ vˆe ` h`am γ-lˆo ` i trong, ch´ung s˜e d¯u . o . . c su . ˙’ du . ng d¯ˆe ˙’ nghiˆen c´u . u B`ai to´an ( ˜ Q) trong Chu . o . ng 4. 9 D - i . nh ngh˜ıa 1.5.9. (H. X. Phu) H`am g : D ⊂ IR n → IR go . i l`a h`am γ-lˆo ` i trong (hoˇa . c γ-lˆo ` i trong ngˇa . t) trˆen D v´o . i d¯ˆo . thˆo γ > 0, nˆe ´ u tˆo ` n ta . i d¯ˆo . tinh cˆo ´ d¯i . nh ν ∈]0, 1] sao cho v´o . i mo . i x 0 , x 1 ∈ D tho ˙’ a m˜an x 0 − x 1  = νγ v`a x 1+1/ν = −(1/ν)x 0 + (1 + 1/ν)x 1 ∈ D, th`ı sup λ∈[2,1+1/ν]  g((1 − λ)x 0 + λx 1 ) − (1 − λ)g(x 0 ) − λg(x 1 )  ≥ 0, (hoˇa . c sup λ∈[2,1+1/ν]  g((1 − λ)x 0 + λx 1 ) − (1 − λ)g(x 0 ) − λg(x 1 )  > 0, tu . o . ng ´u . ng). Mˆe . nh d¯ˆe ` 1.5.6. (H. X. Phu) Gia ˙’ su . ˙’ g : D → IR l`a γ-lˆo ` i trong v´o . i d¯ˆo . tinh ν. Nˆe ´ u x 1 ∈ D l`a d¯iˆe ˙’ m cu . . c d¯a . i cu ˙’ a g th`ı mo . i d¯iˆe ˙’ m x 0 tho ˙’ a m˜an x 0 − x 1  = νγ, x 1+1/ν = −(1/ν)x 0 + (1 + 1/ν)x 1 ∈ D c˜ung l`a d¯iˆe ˙’ m cu . . c d¯a . i cu ˙’ a g trˆen D. D - i . nh l´y 1.5.10. (H. X. Phu) Cho D ⊂ IR n l`a tˆa . p lˆo ` i, gi´o . i nˆo . i v`a g : D → IR l`a h`am γ-lˆo ` i trong. Nˆe ´ u g c´o d¯iˆe ˙’ m cu . . c d¯a . i th`ı c´o ´ıt nhˆa ´ t mˆo . t d¯iˆe ˙’ m cu . . c d¯a . i l`a d¯iˆe ˙’ m γ-cu . . c biˆen ngˇa . t cu ˙’ a D. D - i . nh l´y 1.5.11. (H. X. Phu) Cho g : D → IR l`a h`am γ-lˆo ` i trong ngˇa . t. Nˆe ´ u g d¯a . t cu . . c d¯a . i trˆen D th`ı d¯iˆe ˙’ m cu . . c d¯a . i l`a d¯iˆe ˙’ m γ-cu . . c biˆen ngˇa . t cu ˙’ a D. Mˆe . nh d¯ˆe ` sau d¯ˆay chı ˙’ ra t´ınh γ-lˆo ` i trong cu ˙’ a h`am lˆo ` i ngˇa . t bi . nhiˆe ˜ u gi´o . i nˆo . i. Mˆe . nh d¯ˆe ` 1.5.7. (H. X. Phu) Cho g : IR n → IR l`a h`am lˆo ` i v`a h 2 (γ) := inf x 0 ,x 1 ∈D, x 0 −x 1 =γ,−x 0 +2x 1 ∈D  g(x 0 ) − 2g(x 1 ) + g(−x 0 + 2x 1 )  > 0 v`a γ > 0. Khi d¯´o, nˆe ´ u h`am nhiˆe ˜ u p tho ˙’ a m˜an |p(x)| ≤ h 2 (γ)/4 v´o . i mo . i x ∈ D th`ı h`am bi . nhiˆe ˜ u ˜g = g + p l`a γ-lˆo ` i trong v`a nˆe ´ u |p(x)| < h 2 (γ)/4 v´o . i mo . i x ∈ D th`ı h`am bi . nhiˆe ˜ u ˜g = g + p l`a γ-lˆo ` i trong ngˇa . t. 10 [...]... ¯i ˙ ’ ˙ ’ du.o.i cua h`m tˆp c´c d iˆ’m supremum d a phu.o.ng cua B`i to´n (Q) (Dinh ´ ˙ a a a ¯e ¯i a a ˜ - l´ 4.4.25 v` Mˆnh d` 4.4.30) y a e ¯ˆ e ´ ˆ ˆ KET LUAN CHUNG ´ ´ ’ 1 Luˆn ´n d a giai quy t d o.c c´c vˆ n d` : a a ¯˜ ˙ e ¯u a a ¯ˆ e 23 ˜ ˜ ˙ ’ • Chı ra h`m bi nhiˆu f = f + p l` γ-lˆi ngo`i v´.i moi γ ≥ γ ∗ , trong d ´ a e a ` o a o ¯o ˙ ˙ ’ ˙ ˙ ¯e γ ∗ = 2 2s/λmin ; d iˆ’m γ ∗ -cu.c... ´ ´ 2 Nh˜.ng vˆ n d` cˆn tiˆp tuc nghiˆn c´.u: u a ¯ˆ ` e a e e u ´ ´ ’ ˙ o ¯ˆ a ¯e ’ Luˆn ´n chı m´.i d` cˆp dˆn mˆt sˆ vˆ n d` vˆ l´ thuyˆt cua B`i to´n a a e o o a ¯ˆ ` y e ˙ a a ´ ´ e e ˜ ` ´ quy hoach to`n phu.o.ng lˆi ngˇt v´.i nhiˆu gi´.i nˆi Do d ´ ch´ng tˆi c`n tiˆp a o a o e o o ¯o u o o e ´ e tuc nghiˆn c´.u nh˜.ng vˆ n d` sau d ay e u u a ¯ˆ ¯ˆ ˙ o ’ ´ ˙ a a a ˜ ’ • Xˆy du.ng thuˆt . nˆo . i. 1.1. B`ai to´an quy hoa . ch lˆo ` i, quy hoa . ch to`an phu . o . ng Trong mu . c n`ay, ch´ung tˆoi ph´at biˆe ˙’ u • D - i . nh l´y Kuhn-Tucker cho b`ai to´an quy hoa . ch lˆo ` i g 0 (x). la . i. Luˆa . n ´an gˆo ` m 4 chu . o . ng. Chu . o . ng 1 tr`ınh b`ay b`ai to´an quy hoa . ch lˆo ` i, b`ai to´an quy hoa . ch to`an phu . o . ng, mˆo . t sˆo ´ loa . i h`am lˆo ` i thˆo nhu . γ-lˆo ` i. gia ˙’ c´o thˆe ˙’ ho`an th`anh luˆa . n ´an n`ay. 5 CHU . O . NG 1 B ` AI TO ´ AN QUY HOA . CH L ˆ O ` I, QUY HOA . CH TO ` AN PHU . O . NG V ` A H ` AM L ˆ O ` I TH ˆ O Trong suˆo ´ t luˆa . n